A. PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TERBUKA

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 1 A. PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TERBUKA

Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika matematika adalah kalimat-kalimat yang berbentuk pernyataan.

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.

Manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan?

 “2 adalah bilangan genap”

 “10 kurang dari 5”

 “Tangkaplah orang itu”

 “Dua kurang satu dari tiga”

 “Pa Budi ganteng” ☺

 “Letak Jakarta jauh”

 “Menara itu tinggi”

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, …. dan seterusnya.

Contoh :

✓ Pernyataan “2 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis p : 2 adalah bilangan genap

✓ Pernyataan “7 kurang dari 6” dapat dilambangkan dengan memakai huruf m.

Ditulis m : 7 kurang dari 6

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani  (dibaca : tau).

Sebagai contoh :

i) (p) = B dibaca “nilai kebenaran dari pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenaran B”.

ii) q : 8 adalah bilangan asli, merupakan pernyataan benar, ditulis (q) = B.

Catatan :

Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang dilambangkan dengan angka 0 atau 1. Angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S dan angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B. Lambang nilai kebenaran 0 dan 1 dipakai dalam menganalisa suatu jaringan listrik.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Perhatikan contoh berikut :

 2x + 3 = 7

 y – 3  2

 Itu adalah benda cair.

Kalimat-kalimat di atas tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai x, y dan itu. Kalimat- kalimat yang berciri seperti ini disebut kalimat terbuka, sedangkan x, y dan itu disebut peubah/variabel.

Perhatikan kembali kalimat terbuka “2x + 3 = 7”. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan real () . Nilai x pada kalimat terbuka “2x + 3 = 7” dapat diganti sehingga kalimat terbuka itu menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran (benar atau salah) pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai x yang digantikan.

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 2 Sebagai contoh :

i) Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 7”, merupakan pernyataan salah.

ii) Jika x diganti 2, diperoleh “2(2) + 3 = 7”, merupakan pernyataan benar.

Maka dari uraian di atas dapat ditarik kesimpulan :

1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.

2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota penyelesaian dari kalimat terbuka.

B. NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah suatu pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang

p atau  p

dibaca : tidak benar p atau bukan p

Contoh :

a) Misalkan p : 100 habis dibagi 5, maka ingkaran dari pernyataan p adalah p : 100 tidak habis dibagi 5, atau

p : tidak benar 100 habis dibagi 5

b) Misalkan q : 2  5 sama dengan 8, maka ingkaran dari pernyataan q adalah

q : tidak benar 2  5 sama dengan 8, atau

q : 2  5 tidak sama dengan 8

Dari contoh di atas dapat ditentukan :

i) Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka  p bernilai salah ii) Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka  p bernilai benar

Ketentuan di atas dapat disusun dalam bentuk tabel yang disebut tabel kebenaran.

p  p B S S B

Dengan menggunakan lambang nilai kebenaran, tabel di atas dapat dituliskan sebagai berikut Jika (p) = B, maka (p) = S, dan

Jika (p) = S, maka (p) = B

Contoh :

Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut : a) p : 1 + 3 > 2

b) q : sin² A + cos² A = 1

Jawab :

a) p : ………

b) q : ………

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 3 C. KONJUNGSI

Dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p dan q” yang disebut konjungsi dari pernyataan p dan q.

Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut p  q

(dibaca : p dan q)

Ketentuan : Jika p benar dan q benar, maka p  q bernilai benar.

Dalam bentuk lainnya p  q bernilai salah.

Berdasarkan ketentuan di atas, tabel kebenaran konjungsi p  q dapat ditunjukan sebagai berikut p q p  q

B B B B S S S B S S S S

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut

a) 2 merupakan bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap.

b) 6 + 2 = 8 dan Pa Paul mengajar Sejarah.

c) 4  1 dan 4  5

d) tan² x + sec² x = 1 dan sin A + cos A = 1

D. DISJUNGSI

Dari dua buah pernyataan p dan q, dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q” yang disebut disjungsi dari pernyataan p dan q.

Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut p  q

(dibaca : p atau q)

Ada dua macam jenis disjungsi, yaitu :

1. Disjungsi inklusif : dinyatakan dengan notasi p  q artinya “ p atau q, atau kedua-duanya”.

2. Disjungsi eksklusif : dinyatakan dengan notasi p  q artinya “ p atau q, tetapi tidak kedua-duanya”.

Untuk selanjutnya disjungsi yang dipelajari adalah disjungsi inklusif.

Ketentuan : Suatu disjungsi (inklusif) bernilai salah, hanya jika p dan q keduanya salah.

Dalam bentuk lainnya p  q bernilai benar.

Berdasarkan ketentuan di atas, tabel kebenaran disjungsi p  q dapat ditunjukkan sebagai berikut p q p  q

B B B B S B S B B S S S

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 4 Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini a) 2 + 1 = 3 atau 7 adalah bilangan prima.

b) 2 + 1 = 3 atau 7 adalah bilangan genap.

c) 2 + 1 = 4 atau Surabaya adalah kota pahlawan.

d) 2 + 1 = 4 atau Jakarta adalah kota pahlawan.

E. IMPLIKASI

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk “jika p maka q”

Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut p  q

(dibaca : jika p maka q)

Pernyataan bersyarat p  q dapat juga dibaca sebagai berikut : 1. p hanya jika q

2. p adalah syarat cukup bagi q 3. q adalah syarat perlu bagi p

Dalam suatu pernyataan bersyarat p  q : p disebut hipotesa (anteseden) q disebut konklusi (konsequen)

Ketentuan : Suatu implikasi mempunyai nilai kebenaran salah hanya bila hipotesanya benar dan konklusinya salah.

Berdasarkan ketentuan di atas, tabel kebenaran implikasi p  q ditunjukkan seperti di bawah ini p q p q

B B B B S S S B B S S B Contoh :

Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut a) Jika ibukota Bali adalah Denpasar maka 3 + 1 = 2 b) Jika log 3 + log 5 = log 8 maka 10³ + 10⁵ = 10⁸ c) Jika Matahari terbit di Barat maka 1 + 1 = 1 d) Jika sin² 45 + cos² 45 = 1 maka cos 0 = 1

Perhatikan bahwa pemakaian simbol “” dalam pernyataan “p  q”, tidak memerlukan syarat hubungan sebab akibat antara p dan q.

Pengertian Implikasi Logis

Pandang implikasi yang berbentuk p(x)  q(x), yaitu

“Jika x − 1 = 0, maka x² − 3x + 2 = 0”

Antara pernyataan p(x) : x – 1 = 0 dengan pernyataan q(x) : x² – 3x + 2 = 0 terdapat hubungan.

Hubungan yang dimaksud adalah tiap penggantian nilai x yang menyebabkan kalimat p(x) benar akan menyebabkan kalimat q(x) juga benar.

Implikasi p(x)  q(x) yang bersifat seperti ini disebut implikasi logis. Dalam implikasi logis dapat dikatakan bahwa kalimat p(x) memuat kalimat q(x).

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 5 Contoh :

a) Jika x = 3, maka x² = 9 b) Jika x  2, maka x²  4 c) Jika n genap, maka n² genap

d) Jika PQRS persegi, maka P = Q = R = S = 90

F. BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau pernyataan ekivalen adalah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”, yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dituliskan dengan lambang p  q

(dibaca : p jika dan hanya jika q)

Dalam beberapa penerapan, biimplikasi p  q dapat juga dibaca sebagai berikut 1. Jika p maka q dan jika q maka p

2. p syarat perlu dan cukup bagi q 3. q syarat perlu dan cukup bagi p

Ketentuan : Jika p dan q kedua-duanya benar atau kedua-duanya salah, maka p  q mempunyai nilai kebenaran benar. Sedangkan jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan maka p  q mempunyai nilai kebenaran yang salah.

Berdasarkan ketentuan di atas, tabel kebenaran biimplikasi p  q ditunjukkan seperti di bawah ini

p q p  q B B B B S S S B S S S B

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini

a) log 3 + log 5 = log 8 jika dan hanya jika log 3  log 5 = log 15 b) 2  3 = 6 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan prima c) sin 90 = 1 jika dan hanya jika cos 90 = 0

d) 2³ =6 jika dan hanya jika ²log 8 = 3

Pengertian Biimplikasi Logis

Pandang biimplikasi yang berbentuk p(x)  q(x), yaitu

“x − 2 = 0 jika dan hanya jika 3x = 6”

Tiap penggantian nilai x yang menyebabkan kalimat p(x) benar akan menyebabkan kalimat q(x) juga benar.

Begitu pula tiap penggantian nilai x yang menyebabkan kalimat q(x) benar akan menyebabkan kalimat p(x) juga benar.

Kalimat p(x)  q(x) yang berciri seperti itu disebut biimplikasi logis.

Apabila p(x)  q(x) sebuah biimplikasi logis, dikatakan p(x) dan q(x) merupakan dua kalimat yang ekuivalen, ditulis

p(x)  q(x)

(dibaca : p(x) ekuivalen q(x))

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 6 Jadi, dua kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelesaian yang sama.

Contoh :

a) ²log x = 3 jika dan hanya jika x = 2³ b) x + 2 = 0 jika dan hanya jika 2x + 3 = x + 1 c) x  3 jika dan hanya jika 4x  12

d) – 2  x  2 jika dan hanya jika x²  4

e)  ABC sama sisi jika dan hanya jika AB = BC = AC

G. PERNYATAAN MAJEMUK

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

Contoh beberapa pernyataan majemuk : i. (p  q)  p

ii. q  (p  q) iii.  [p  (p  q)]

iv. [(p  q)  r]

Nilai kebenaran dari pernyataan mejemuk diatas dapat ditentukan dengan bantuan tabel kebenaran.

Nilai kebenaran dari contoh i. (p  q)  p adalah Cara 1 :

p q p (p  q) (p  q)  p B B

B S S B S S

Cara 2 :

( p  q)  p

Nilai kebenaran dari contoh ii. q  (p  q) adalah Cara 1 :

p q q (p  q) q  (p  q) B B

B S S B S S Cara 2 :

q  (p   q)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 7 Nilai kebenaran dari contoh iii.  [p  (p  q)] adalah

Cara 1 :

p q (p  q) [p  (p  q)] [p  (p  q)]

B B B S S B S S

Cara 2 :

 [p  (p  q)]

Nilai kebenaran dari contoh iv. [(p  q)  r] adalah Cara 1 :

p q r (p  q) [(p  q)  r]

B B B B B S B S B B S S S B B S B S S S B S S S Cara 2 :

[(p  q)  r]

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 8 H. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Pandang pernyataan majemuk [(p  q)  p]  q.

Nilai kebenaran pernyataan majemuk itu diperlihatkan oleh tabel

p q p  q (p  q)  p [(p  q)  p]  q

Berdasarkan tabel di atas, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p  q)  p]  q selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran semua komponennya. Pernyataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan benar logis. Pernyataan majemuk yang benar logis disebut tautologi.

Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran semua komponennya disebut kontradiksi.

Dapatkah anda mencari contohnya?

I. DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Perhatikan dua buah pernyataan majemuk berikut

a = (p  q), dan b = (q  p)

Dari pernyataan-pernyataan a dan b itu dapat dibuat suatu biimplikasi a  b, atau

(p  q)  (q  p) Nilai kebenaran biimplikasi (p  q)  (q  p) diperlihatkan oleh tabel

p q (p  q) (q  p) (p  q)  (q  p)

Dari tabel di atas tampak bahwa biimplikasi (p  q)  (q  p) adalah sebuah tautologi. Tautologi yang berbentuk a  b dinamakan ekuivalen logis, ditulis dengan lambang a  b (dibaca a ekuivalen b atau a setara b).

 dapat disimpulkan : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.

Ingkaran dari suatu disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi dapat ditentukan melalui hubungan berikut : a) (p  q)  (p  q)

b) (p  q)  (p  q) c) (p  q)  (p  q)

d) (p  q)  (p  q)  (q  p)

Rumus-rumus di atas dikenal sebagai Hukum de Morgan.

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 9 J. SIFAT KOMUTATIF, ASOSIATIF, DAN DISTIBUTIF PADA DISJUNGSI DAN KONJUNGSI

Seperti pada aljabar biasa, sifat-sifat komutatif, asosatif, dan distibutif berlaku pada operasi-operasi disjungsi () dan konjungsi ().

 SIFAT KOMUTATIF a) p  q  q  p b) p  q  q  p

 SIFAT ASOSIATIF

a) (p  q)  r  p  (q  r) b) (p  q)  r  p  (q  r)

 SIFAT DISTRIBUTIF

a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

b) DIstributif konjungsi terhadap disjungsi p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

K. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU IMPLIKASI Misalkan diberikan suatu implikasi p  q.

Pernyataan : q  p disebut konvers dari implikasi p  q Pernyataan : p  q disebut invers dari implikasi p  q

Pernyataan : q  p disebut kontraposisi dari implikasi p  q

Contoh :

Diberikan suatu pernyataan : Jika Tamara seorang wanita maka Tamara cantik.

 Konvers dari pernyataan di atas adalah

Jika Tamara cantik maka Tamara seorang wanita

 Invers dari pernyataan di atas adalah

Jika Tamara bukan seorang wanita maka Tamara tidak cantik

 Kontraposisi dari pernyataan di atas adalah

Jika Tamara tidak cantik maka Tamara bukan seorang wanita

Nilai kebenaran dari suatu kontraposisi ekuivalen dengan nilai kebenaran implikasinya.

Nilai kebenaran dari suatu invers ekuivalen dengan nilai kebenaran konvers.

Hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi dituliskan dalam tabel di bawah ini

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q p q p  q q  p p  q q  p B B

B S S B S S

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 10 L. KUANTOR UNIVERSAL

Perhatikan kalimat berikut

“Semua siswa SMA A PLUS cerdas”.

Kalimat ini mengandung arti setiap siswa yang bersekolah di SMA A PLUS adalah siswa yang cerdas.

Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap seperti contoh di atas disebut pernyataan berkuantor universal.

Lambang  (dibaca : untuk semua atau untuk setiap) adalah lambang kuantor universal.

Jadi, secara umum : Pernyataan berkuantor universal “Semua B adalah A” ekuivalen dengan pernyataan implikasi “Jika x  B, maka x  A”.

Contoh :

 “Semua satpam berkumis”, ekuivalen dengan

“Jika Trianto seorang satpam, maka Trianto berkumis”

 “Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki”, ekuivalen dengan

“Jika ABC sama sisi, maka ABC sama kaki”

M. KUANTOR EKSISTENSIAL

Untuk memahami kuantor eksistensial, perhatikan himpunan-himpunan berikut S = himpunan semua siswa SMA A PLUS.

A = himpunan semua siswa SMA A PLUS kelas X yang pandai.

B = himpunan semua siswa SMA A PLUS kelas X-A.

Pernyataan “Beberapa siswa SMA A PLUS kelas X-A yang pandai” dapat diperlihatkan dengan diagram Venn di bawah ini. (bagian yang diarsir)

Berdasarkan diagram Venn di atas, tampak bahwa A  B  . Ini berarti sekurang-kurangnya ada sebuah x  A yang juga merupakan x  B.

Berdasarkan diagram Venn di atas diperoleh hubungan , dan

x x A x B

  

Lambang  (dibaca : ada atau beberapa) adalah lambang kuantor eksistensial. Perkataan ada mengandung arti satu atau lebih.

Pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa A adalah B” ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada sebuah x  A yang merupakan  B”

Contoh :

 “Beberapa kuda berwarna hitam” ekuivalen dengan

“Sekurang-kurangnya ada seekor kuda yang berwarna hitam”

 “Beberapa bilangan genap adalah prima” ekuivalen dengan

“Sekurang-kurangnya ada sebuah bilangan genap yang merupakan bilangan prima”

S

B

A

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 11 N. INGKARAN DARI PERNYATAAN BERKUANTOR

1. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal

Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat dinyatakan sebagai berikut :



^{x p x, ( )}



^{x, p x( )}

    

Dibaca : ingkaran dari “untuk semua x yang berlaku p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”.

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini serta nilai kebenarannya a) x  , x + 3 = 4

b) x  , x² + 1  0

Jawab :

a) ………...

b) ………...

2. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat dinyatakan sebagai berikut :



^{x p x, ( )}



^{x, p x( )}

    

Dibaca : ingkaran dari “beberapa x yang berlaku p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”.

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini serta nilai kebenarannya a) x  , x + 4 = 1

b) x  , x² – 1  0 c) x  , x² + 4 = 0 Jawab :

a) ………

b) ………

c) ………

O. SILOGISME, MODUS PONENS, DAN MODUS TOLLENS

Silogisme, modus ponens, dan modus tolens adalah metoda atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan.

Cara penarikan kesimpulan :

1. Diberikan pernyataan-pernyataan yang telah diketahui kebenarannya (disebut premis).

2. Lalu dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan menjadi pernyataan baru.

3. Pernyataan baru tadi disebut kesimpulan.

Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.

Argumentasi dikatakan sah apabila konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi.

Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka argumentasi dikatakan sah apabila

a b  c

Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar.

Argumentasi di atas dapat juga disajikan dalam bentuk susunan sebagai berikut a ……….. premis 1

b ……….. premis 2

c ……….. kesimpulan/konklusi

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 12 Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c sebagai kesimpulan. Tanda  dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”.

1. Silogisme

Misalkan diketahui premis-premis p  q dan q  r. Dari premis-premis itu dapat ditarik konklusi p  r.

Penarikan kesimpulan dengan cara seperti ini disebut kaidah silogisme.

Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut p  q ……….. premis 1

q  r ……….. premis 2

 p  r ……….. kesimpulan/konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut



^{(p  q) (q r)}



^{  (p r)}

Sah atau tidaknya suatu silogisme dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran.

[(p  q)  (q  r)]  (p  r)]

Pada kolom ke-8 tabel di atas, tampak bahwa implikasi konklusi adalah suatu tautologi.

Jadi, silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Contoh :

Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut a) Jika Wawan belajar Matematika, maka Ahok belajar Fisika.

Jika Ahok belajar Fisika, maka Michael belajar Kimia.

b) Jika x bilangan real, maka x²  0 Jika x²  0, maka (x² + 1)  0

Jawab :

a) ………

b) ………

2. Modus Ponens

Misalkan diketahui premis p  q dan premis p. Dari premis-premis tersebut dapat diambil suatu kesimpulan. Pengambilan kesimpulan seperti ini disebut modus ponens.

Modus ponens disajikan dalam bentuk seperti berikut p  q ……….. premis 1

p ……….. premis 2

 q ……….. kesimpulan/konklusi

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 13 Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis menjadi



^{(p   q) p}



^q

Sah atau tidaknya suatu modus ponens dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran.

[(

p

 q)  p ]

 q

Pada kolom ke-6 tabel di atas, tampak bahwa implikasi konklusi adalah suatu tautologi.

Jadi, modus ponens merupakan argumentasi yang sah.

Contoh :

Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut a) Jika John rajin belajar maka John naik kelas

John rajin belajar

b) Jika laki-laki maka ia tampan Pa Budi seorang laki-laki

Jawab :

a) ………..

b) ………..

3. Modus Tollens

Misalkan diketahui premis p  q dan premis q. Dari premis-premis tersebut dapat diambil suatu kesimpulan. Pengambilan kesimpulan seperti ini disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat.

Modus tollens disajikan dalam bentuk seperti berikut p  q ……….. premis 1

q ……….. premis 2

 p ……….. kesimpulan/konklusi

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis menjadi



^(p     ^{q) q}



^p

Sah atau tidaknya suatu modus tollens dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran.

[(p  q)  q]  p

Pada kolom ke-6 tabel di atas, tampak bahwa implikasi konklusi adalah suatu tautologi.

Jadi, modus tollens merupakan argumentasi yang sah.

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 14 Contoh :

Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut a) Jika hari libur, maka James jalan-jalan

James tidak jalan-jalan

b) Jika hari hujan, maka Arman tidak pergi sekolah Arman tidak pergi sekolah

Jawab:

a) ………..

b) ………..