DISTRIBUSI BARANG (STUDI KASUS: PT. MEGA ELTRA CABANG MEDAN)
SKRIPSI
AYU ERIKA 150803039
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
DISTRIBUSI BARANG (STUDI KASUS: PT. MEGA ELTRA CABANG MEDAN)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
AYU ERIKA 150803039
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
PERBANDINGAN METODE LEAST COST–STEPPING STONE DAN METODE VAM–MODI PADA PENGOPTIMALAN BIAYA
DISTRIBUSI BARANG (STUDI KASUS: PT. MEGA ELTRA CABANG MEDAN)
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2019
Ayu Erika 150803039
Judul : Perbandingan Metode Least Cost-Stepping Stone dan Metode VAM-MODI pada Pengoptimalan Biaya Distribusi Barang (Studi Kasus: PT. Mega Eltra Cabang Medan)
Kategori : Skripsi
Nama : Ayu Erika
Nomor Induk Mahasiswa : 150803039
Program Studi : Sarjana Matematika
Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2019
Ketua Program Studi Matematika, Pembimbing,
Dr. Suyanto, M.Kom Drs. Gim Tarigan, M.Si
NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19550202 198601 1 001
(STUDI KASUS: PT. MEGA ELTRA CABANG MEDAN)
ABSTRAK
Masalah transportasi sering ditemukan dalam keadaan bahwa produk yang sejenis dari sejumlah sumber di tempat-tempat berbeda harus diangkut ke berbagai tujuan berbeda.
Jika transportasi tidak diatur sebaik-baiknya maka biaya transportasinya besar. Sejalan dengan tujuan tersebut maka muncul masalah transportasi, sehingga perusahaan memerlukan rencana pendistribusian produk. PT. Mega Eltra merupakan salah satu perusahaan pada bidang perdagangan yang terletak di Medan, mempunyai kegiatan pendistribusian Semen Padang ke beberapa wilayah Sumatera Utara. Salah satu metode transportasi yang digunakan untuk memecahkan permasalahan transportasi pada penelitian ini adalah metode Least Cost-Stepping Stone dan Vogel’s Approximation (VAM)-Modified Distribution (MODI). Berdasarkan hasil perhitungan yang diperoleh dengan metode Least Cost-Stepping Stone melalui 14 tahap dan VAM- MODI melalui 8 tahap, menghasilkan biaya transportasi yang sama sebesar Rp.
409.445.000. Hanya saja cara menyelesaikan VAM-MODI lebih mudah dan efisien dibandingkan metode Least Cost-Stepping Stone. Sedangkan biaya yang dikeluarkan perusahaan adalah Rp. 456.600.000, maka perusahaan dapat menghemat biaya transportasi Semen Padang sebesar Rp. 47.155.000, sehingga hasil perhitungan menggunakan metode VAM-MODI lebih efisien pada permasalahan ini.
Kata kunci: distribusi, Least Cost, Modifed Distribution (MODI), Stepping Stone, transportasi, Vogel’s Approximation (VAM).
(CASE STUDY: PT. MEGA ELTRA CABANG MEDAN)
ABSTRACT
Transportation problems are often found in the situation that similar products from a number of sources in different places must be transported to different destinations. If transportation is not regulated as well as possible, the transportation costs are large.
In line with these objectives, transportation problems arise, so companies need a product distribution plan. PT. Mega Eltra is one of the companies in the field of trading located in Medan, which has distribution activities of Semen Padang to several regions of North Sumatra. One of the transportation methods used to solve transportation problems in this study is the Least Cost-Stepping Stone and Vogel's Approximation (VAM)-Modified Distribution (MODI) method. Based on the calculation results obtained with the Least Cost-Stepping Stone method through 14 stages and VAM-MODI through 8 stages resulting in the same transportation costs, Rp. 409,445,000. It is just that the way to complete VAM-MODI is easier and more efficient than the Least Cost-Stepping Stone method. While the costs incurred by the company are Rp. 456,600,000, the company can save Semen Padang transportation costs of Rp. 47,155,000, so the results of calculations using the VAM-MODI method are more efficient on this problem.
Keywords: distribution, Least Cost, Modifed Distribution (MODI), Stepping Stone, transportation, Vogel’s Approximation (VAM).
Puji dan syukur penulis ucapkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Least Cost-Stepping Stone dan Metode VAM-MODI pada Pengoptimalan Biaya Distribusi Barang (Studi Kasus: PT.
Mega Eltra Cabang Medan)”.
Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak yang telah membantu penyusunan skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku dosen pembimbing yang senantiasa membantu dan mengarahkan saya dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku dosen pembanding yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi penulis.
3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang senantiasa membantu dan membimbing saya selama duduk di bangku perkuliahan S1 Matematika.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA serta seluruh Staf pegawai di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
5. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris jurusan Matematika serta seluruh Bapak dan Ibu dosen yang telah mendidik penulis selama menjalani pendidikan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
6. Terisitimewa kepada kedua orangtua tercinta Ayahanda Sumardi, Ibunda Sri Mahyuni, Abangda M. Arif Fitrah Pratama, Adinda Kalsum Febrianti, Adinda Maksum Caturiandi Siswoyo dan Adinda Raja Aril Hakim yang telah memberikan kasih sayang yang tiada akhir serta dukungan do’a, sehingga penulis memiliki semangat untuk menyelesaikan skripsi tugas akhir penulis.
7. Kepada seluruh rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2015, abangda dan kakanda, adik-adik stambuk 2016, 2017, 2018 dan Organisasi, terkhusus kepada
Winardi, Aprilia, Apnesia, Anna, Denny, Erwin, Irma, Leo, Filo dan Winda yang berjuang bersama-sama dan memberikan dukungan kepada penulis. Dan semoga Allah SWT memberikan balasan yang tak terhingga. Amin.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan skripsi.
Medan, Juli 2019
Ayu Erika 150803039
Halaman
PENGESAHAN SKRIPSI i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR x
DAFTAR LAMPIRAN xi
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Metodologi Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1
2.2
Riset Operasi Program Linier
5
2.2.1 Pengertian Program Linier 5
2.2.2 2.2.3
Model Program Linier
Teknik Penyelesaian Model Program Linier
6 7
2.3 Metode Transportasi 12
2.3.1 Persoalan Transportasi 12
2.3.2 Model Transportasi 13
2.3.3 Keseimbangan Transportasi 15
2.3.4 Metode Transportasi Solusi Awal 16 2.3.4.1 Metode Northwest Corner 16
2.3.4.2 Metode Least Cost 17
2.3.4.3 Metode Vogel’s Approximation
(VAM) 18
2.3.5 Metode Transportasi Solusi Optimal 19
2.3.5.1 Metode Stepping Stone 20
2.3.5.2 Metode Modified Distribution
(MODI) 21
2.3.6 Degenerasi dan Redundansi 23
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Studi Literatur 24
3.2 Sumber Data 24
3.3 Analisis Data 24
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data 29
4.1.1 Data Persediaan Semen Padang 29
4.1.2 Data Permintaan Semen Padang 29
4.1.3 Data Biaya Distribusi dari Gudang ke Toko
Konsumen 30
4.2 Pengolahan Data 31
4.3 Perhitungan Metode Pemecahan Masalah 34
4.3.1 Metode Least Cost 34
4.3.2 Metode Stepping Stone 40
4.3.3 4.3.4
Metode Vogel’s Approximation (VAM) Metode Modified Distribution (MODI)
49 58
4.4 Jaringan Transportasi Optimal 60
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 61
5.2 Saran 61
DAFTAR PUSTAKA 62
LAMPIRAN 63
Nomor
Tabel Judul Halaman
2.1 Tabel Awal Simpeks 9
2.2 Penentuan Kolom Kunci 10
2.3 Penentuan Baris Kunci 10
2.4 Penentuan Angka Kunci 11
2.5 Penentuan Baris Kunci 11
2.6 Gambaran Umum Masalah Transportasi 14
4.1 Kapasitas Persediaan Semen Padang Tahun 2018 27
4.2 Penyaluran Semen Padang Tahun 2018 28
4.3 Biaya Distribusi dari Gudang ke Toko Konsumen Tahun
2018 28
4.4 Data Kapasitas Persediaan, Permintaan, dan Biaya Distribusi Semen Padang dari Gudang ke Toko Konsumen Tahun 2018
30 4.5 Data Kapasitas Persediaan, Permintaan, dan Biaya
Distribusi Semen Padang dari Gudang ke Toko Konsumen Tahun 2018
33
4.6 Hasil Tahap 1 Metode Least Cost 34
4.7 Hasil Tahap 2 Metode Least Cost 34
4.8 Hasil Tahap 3 Metode Least Cost 35
4.9 Hasil Tahap 4 Metode Least Cost 35
4.10 Hasil Tahap 5 Metode Least Cost 36
4.11 Hasil Tahap 6 Metode Least Cost 36
4.12 Hasil Tahap 7 Metode Least Cost 37
4.13 Hasil Tahap 8 Metode Least Cost 37
4.14 Hasil Tahap 9 Metode Least Cost 38
4.15 Hasil Tahap 10 Metode Least Cost 38
4.16 Hasil Penyelesaian Solusi Awal Least Cost 40
4.17 Indeks Perbaikan Sel Kosong Tahap 1 41
4.18 Alokasi Perbaikan pada Sel 𝐺2𝐾1 42
4.19 Hasil Perbaikan pada Sel 𝐺2𝐾1 42
4.20 Indeks Perbaikan Sel Kosong Tahap 2 43
4.21 Alokasi Perbaikan pada Sel 𝐺1𝐾4 44
4.22 Hasil Perbaikan pada Sel 𝐺1𝐾4 44
4.23 Indeks Perbaikan Sel Kosong Tahap 3 45
4.24 Alokasi Perbaikan pada Sel 𝐺2𝐾3 46
4.25 Hasil Perbaikan pada Sel 𝐺2𝐾3 46
4.26 Indeks Perbaikan Sel Kosong Tahap 4 47
4.27 Data Kapasitas Persediaan, Permintaan, dan Biaya
Distribusi Semen Padang Tahun 2018 49
4.28 Hasil Tahap 1 Metode VAM 50
4.29 Hasil Tahap 2 Metode VAM 51
4.30 Hasil Tahap 3 Metode VAM 52
4.34 Hasil Tahap 7 Metode VAM 56 4.35 Alokasi Persediaan dan Permintaan dengan Metode VAM 57
4.36 Hasil Penyelesaian Solusi Awal VAM 58
Nomor
Gambar Judul Halaman
2.1 Contoh Metode Grafik 5
2.2 Deskripsi Jaringan Transportasi 14
3.1 4.1 4.2
Kerangka penelitian
Jaringan Transportasi dari Gudang ke Toko Konsumen Jaringan Transportasi dari Gudang ke Toko Konsumen
25 29 60
Nomor
Lampiran Judul Halaman
1. Persediaan Semen Padang Tahun 2018 63
2. Penyaluran Semen Padang Tahun 2018 dari Gudang ke
Tempat Pendistribusian 64
3. Biaya Distribusi Pengiriman Tiap Sak Semen Padang
Dari Gudang Ke Toko Konsumen Tahun 2018 65
4. Daftar Biaya Distribusi Perusahaan Tahun 2018 66
1.1 Latar Belakang
Distribusi adalah pemindahan barang atau jasa dari suatu tempat ke tempat lainnya dengan menggunakan sebuah kendaraan yang digerakkan oleh manusia atau mesin. Distribusi digunakan untuk memudahkan manusia dalam melakukan aktivitas sehari-hari. Masalah transportasi timbul ketika seseorang mencoba menentukan cara pendistribusian suatu jenis barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan yang dapat meminimumkan biaya.
Metode transportasi merupakan pemindahan barang atau jasa dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan memecahkan permasalahan biaya distribusi agar biaya tersebut optimum. Pada umumnya masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk homogen dari beberapa sumber dengan persediaan terbatas menuju beberapa tujuan dengan permintaan tertentu pada biaya distribusi yang minimum. Karena hanya terdapat satu jenis barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu sumber atau lebih.
PT. Mega Eltra merupakan salah satu perusahaan bidang perdagangan. Dalam menjalankan usahanya PT. Mega Eltra memiliki cabang di berbagai daerah seperti Bandar Lampung, Bandung, Banjarmasin, Makassar, Medan, Padang, Palembang, Pekanbaru, Semarang dan Surabaya. Cabang PT. Mega Eltra yang terletak di Medan mempunyai kegiatan pendistribusian Cat, Kimia Agro, Pupuk dan Semen Padang ke beberapa wilayah Sumatera Utara. Dalam mendistribusikan produk ke berbagai daerah sebagai salah satu bagian dari operasional perusahaan dan kegiatan ini mengeluarkan dana yang cukup besar untuk pendistribusian.
Meminimumkan biaya distribusi merupakan tujuan setiap perusahaan, maka perlu dilakukan perencanaan dalam pendistribusian sehingga biaya distribusi yang dikeluarkan adalah optimal. Permasalahan yang dihadapi oleh perusahaan adalah besarnya biaya pendistribusian produk Semen Padang di PT. Mega Eltra dari beberapa gudang ke beberapa toko konsumen. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan biaya distribusi adalah dengan metode transportasi.
Dalam menyelesaikan masalah transportasi terdapat dua langkah yang harus dilakukan, yaitu mencari solusi awal dan solusi optimal. Dalam mencari solusi awal dapat dipilih salah satu metode yang tersedia, diantaranya: Northwest Corner, Least Cost, Vogel Approximation (VAM). Langkah selanjutnya yaitu menguji hasil penyelesaian (solusi optimal). Pengujian optimalisasi menggunakan 2 metode yaitu:
Stepping Stone dan Modified Distribution (MODI). Pemecahan masalah transportasi bertujuan mengoptimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya transportasi (N.O Iheonu dan S. C Inyama, 2016).
Metode yang dibahas dalam penelitian ini adalah metode Least Cost dan Vogel Approximation (VAM) untuk solusi awal, metode Stepping Stone dan metode Modified Distribution (MODI) untuk solusi optimal. Berdasarkan uraian tersebut, maka penulis memberi tulisan ini dengan judul “Perbandingan Metode Least Cost- Stepping Stone dan Metode VAM-MODI pada Pengoptimalan Biaya Distribusi Barang (Studi Kasus: PT. Mega Eltra Cabang Medan)”.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan berdasarkan latar belakang yaitu besarnya biaya pendistribusian sehingga penulis melakukan penelitian untuk mengoptimalkan biaya pendistribusian produk Semen Padang pada PT. Mega Eltra Cabang Medan.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian agar dapat memberikan hasil yang akurat adalah sebagai berikut:
1. Penelitian hanya difokuskan pada permasalahan pendistribusian Semen Padang.
2. Pengiriman dilakukan menggunakan alat transportasi darat yaitu truk.
3. Diasumsikan harga BBM konstan.
4. Kondisi jalan yang dilalui dianggap sama dan lancar.
5. Tidak dipertimbangkan adanya faktor eksternal seperti bencana alam dan lain sebagainya.
6. Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh PT. Mega Eltra Cabang Medan meliputi:
a. Data jumlah persediaan Semen Padang.
b. Data jumlah permintaan Semen Padang.
c. Data biaya pendistribusian Semen Padang.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengoptimalkan dan membandingkan hasil biaya pendistribusian produk Semen Padang pada PT. Mega Eltra Cabang Medan dengan menggunakan metode Least Cost-Stepping Stone dan Vogel Approximation (VAM)-Modified Distribution (MODI).
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian adalah sebagai berikut:
1. Menjadi bahan pertimbangan dan masukkan untuk meningkatkan keuntungan bagi perusahaan.
2. Mengetahui metode yang paling optimum Least Cost-Stepping Stone dan Vogel Approximation (VAM)-Modified Distribution (MODI).
3. Sebagai bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca dalam bidang operasi riset yang berhubungan dengan metode transportasi.
1.6 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan pengumpulan data pada perusahaan tersebut.
2. Data yang dikumpulkan adalah data pendistribusian Semen Padang pada tahun 2018 yang meliputi:
a. Jumlah persediaan Semen Padang.
b. Jumlah permintaan Semen Padang.
c. Biaya pendistribusian Semen Padang.
3. Pengolahan data dengan tahapan sebagai berikut:
a. Mendefenisikan masalah yang dihadapi ke dalam model matematika program linier.
b. Menyusun tabel transportasi awal untuk meringkas dan menyajikan dengan jelas data-data tersebut.
c. Mencari solusi awal dengan menggunakan metode Least Cost.
d. Menguji hasil solusi awal dengan metode Stepping Stone.
e. Mencari solusi awal dengan menggunakan metode Vogel Approximation (VAM).
f. Menguji hasil solusi awal dengan metode Modified Distribution (MODI).
4. Membuat kesimpulan dan saran.
2.1 Riset Operasi
Riset operasi adalah suatu alat untuk mengambil keputusan melalui penerapan model-model kuantitatif untuk memecahkan masalah-masalah yang berkaitan dengan upaya pengaturan pemanfaatan sumber daya yang serba terbatas dalam rangka pencapaian hasil yang optimal. Riset operasi mulai diterapkan pada awal Perang Dunia II. Akibat perang yang terjadi, dirasakan adanya kebutuhan yang darurat untuk mengalokasikan berbagai sumber daya yang terbatas guna melayani setiap kegiatan dalam berbagai operasi militer. Untuk memenangkan peperangan tersebut, maka kegiatan-kegiatan dalam setiap operasi harus dilakukan secara efesien dan efektif (Sofar Silaen, 2018).
Pada tahun 1940 riset operasi pertama kali digunakan oleh Mc.Closky dan Trefthen dari Inggris. Pada tahun 1942-1943 Amerika Serikat membentuk divisi riset analisis. Divisi ini mengevaluasi setiap kegiatan-kegiatan operasi dari setiap angkatan (Andi Wijaya, 2011).
Hasil kerja tim riset operasi ini mencapai berbagai kemenangan. Tertarik kepada suksesnya penerapan riset operasi di dalam bidang militer, maka para pengusaha dalam bidang industri mulai memperhatikan riset operasi dan penerapannya dalam bidang usaha (bisnis) pada khususnya dan bidang ekonomi pada umumnya yang sifatnya makro (Supranto, 2018).
2.2 Program Linier
2.2.1 Pengertian Program Linier
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu masalah keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematis persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan masalah- masalah alokasi sumber daya, seperti dalam bidang manufaktur, pemasaran, keuangan, administrasi, dan lain sebagainya (Parlin Sitorus, 2013).
Linear programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Kata “linear” berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linear. Kata “programming” dapat diartikan perencanaan. Jadi linear programming mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu paling baik (menurut model matematis) di antara alternatif-alternatif yang ada, dengan menggunakan fungsi linier (Subagyo dkk., 1992).
2.2.2 Model Program Linier
Model program linier merupakan bentuk dan susunan dari dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model program linier dikenal 2 macam fungsi yaitu (Andi Wijaya, 2011):
1. Fungsi tujuan, menggambarkan apa yang ingin dicapai perusahaan dengan menggunakan sumber daya yang ada, fungsi tujuan digambarkan dalam bentuk maksimasi atau minimasi yang biasanya dinyatakan dalam notasi Z.
2. Fungsi batasan, menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan dalam kaitannya mencapai tujuan tersebut. Untuk kasus program linier kendala yang dihadapi berjumlah lebih dari satu kendala.
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu masalah keputusan ke dalam model matematis persamaan linier sebagai berikut (Parlin Sitorus, 2013):
1. Memiliki kriteria tujuan.
2. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas.
3. Semua variabel dalam model memilki hubungan matematis bersifat linier.
4. Koefisien model diketahui dengan pasti.
5. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan.
6. Semua variabel keputusan bernilai tidak negatif.
Secara matematis, bentuk standar model program linier adalah sebagai berikut (Bu’ulӧlӧ, 2016):
Fungsi tujuan:
Maksimumkan 𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 (2.1) Batasan-batasan:
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
. .
. . .
. . . .
. .
. . . .
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚 dan
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 Keterangan:
𝑚 = macam batasan-batasan sumber yang tersedia
𝑛 = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber 𝑖 = nomor setiap macam sumber yang tersedia (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚)
𝑗 = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber yang tersedia (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)
𝑥𝑗 = tingkat kegiatan ke 𝑗 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)
𝑎𝑖𝑗 = banyaknya sumber 𝑖 yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan 𝑗 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)
𝑏𝑖 = banyaknya sumber yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
𝑍 = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)
𝐶𝑗 = kenaikan nilai 𝑍 apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (𝑥𝑗) dengan satu satuan (unit) atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan 𝑗 terhadap nilai 𝑍
2.2.3 Teknik Penyelesaian Model Program Linier
Untuk menyelesaiakan masalah program linier pada umumnya sering dipergunakan hanya dari 2 cara yaitu metode grafik dan metode simpleks, sementara masalah program linier untuk transportasi dan penugasan diselesaikan dengan metode tersendiri (Parlin Sitorus, 2013).
a. Penyelesaian Program Linier dengan Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu metode yang digunakan dalam pemecahan masalah program linier. Metode ini menggunakan pendekatan grafik dalam pengambilan keputusannya, dimana seluruh fungsi kendala dibuat dalam 1 bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk menentukan nilai variabel keputusan yang optimum (Andi Wijaya, 2011).
Penggunaan metode grafik hanya dibatasi pada 2 variabel, karena pada grafik secara umum, hanya terdapat 2 sumbu, yaitu sumbu vertikal dan horizontal. Langkah- langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukan secara ringkas sebagai berikut (Zulfikarijah, 2004):
1. Menentukan fungsi tujuan.
minimumkan 𝑍 = 6𝑥 + 12𝑦 2. Menentukan fungsi batasan.
𝑥 + 𝑦 ≤ 4
𝑥 − 2𝑦 ≤ −2 , dengan syarat 𝑥, 𝑦 ≥ 0
3. Menggambarkan fungsi batasan: untuk menggambarkan fungsi batasan, maka tanda pertidaksamaan diganti dengan tanda persamaan dan terlebih dahulu mencari titik potongnya.
4. Mencari titik yang optimal.
Gambar 2.1 Contoh Metode Grafik Maka minimum adalah 𝑍 = 6(2) + 12(2) = 36
b. Penyelesaian Program Linier dengan Metode Simpleks
Metode simpleks adalah metode pemecahan sistematis, dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya. Metode simpeks ditemukan oleh Geoge Danzig pada tahun 1947 yang merupakan salah satu teknik untuk pemecahan masalah-masalah riset operasi secara matematis. Metode simpleks merupakan pengembangan metode grafik dalam menyelesaikan masalah program linier. Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung 2 variabel keputusan saja, maka akan dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi bila megandung lebih dari 2 variabel keputusan maka metode grafik tidak dapat digunakan.
Untuk mengatasi hal tersebut digunakan metode simpleks. Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari 3 variabel atau lebih (Sofar Silaen, 2018).
Langkah-langkah penyelesaian metode simpleks (Zulfikarijah, 2004):
1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan Fungsi tujuan diformulasikan:
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 menjadi
𝑍 −𝑐1𝑥1− 𝑐2𝑥2− ⋯ − 𝑐𝑛𝑥𝑛 = 0
dan semua batasan mempunyai tanda ketidaksamaan harus diubah menjadi kesamaan dengan menambah slack variable.
Contoh dibawah dengan 3 fungsi batasan:
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 ≤ 𝑏1 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑆1 = 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 ≤ 𝑏2 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑆2 = 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2 ≤ 𝑏3 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑆3 = 𝑏3 Syarat: 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 0
2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel.
Tabel 2.1 Tabel Awal Simpeks
VD 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆2 NK
Z −𝑐1 −𝑐2 0 0 0 0
𝑆1 𝑎11 𝑎12 1 0 0 𝑏1
𝑆2 𝑎21 𝑎22 0 1 0 𝑏2
𝑆3 𝑎31 𝑎32 0 0 1 𝑏3
3. Memilih kolom kunci
Kolom kunci dipilih dari negatif terkecil pada baris Z, misalnya 𝑐1 = −10 dan 𝑐2 = −4, maka kolom kunci berada pada kolom 𝑥1 karena −10 lebih kecil daripada −4.
Tabel 2.2 Penentuan Kolom Kunci
VD 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆2 NK
Z −𝑐1 −𝑐2 0 0 0 0
𝑆1 𝑎11 𝑎12 1 0 0 𝑏1
𝑆2 𝑎21 𝑎22 0 1 0 𝑏2
𝑆3 𝑎31 𝑎32 0 0 1 𝑏3
4. Memilih baris kunci
Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya. Hasil perhitungan indeks, dipilih nilai indeks terkecil > 0. Adapun rumus indeks adalah
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 =
𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑁𝐾
𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
;
𝑁𝐾 adalah nilai kanan persamaan Misalnya, hasil perhitungan indeks diperoleh: Z=~, 𝑆1 = 8, 𝑆2 = 6, 𝑆3 = 10, maka baris kuncinya pada 𝑆2.Tabel 2.3 Penentuan Baris Kunci
VD 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆2 NK
Z −𝑐1 −𝑐2 0 0 0 0
𝑆1 𝑎11 𝑎12 1 0 0 𝑏1
𝑆2 𝑎21 𝑎22 0 1 0 𝑏2
𝑆3 𝑎31 𝑎32 0 0 1 𝑏3
5. Menentukan angka kunci
Angka kunci merupakan perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.
Tabel 2.4 Penentuan Angka Kunci
VD 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆2 NK
Z −𝑐1 −𝑐2 0 0 0 0
𝑆1 𝑎11 𝑎12 1 0 0 𝑏1
𝑆2 𝑎21 𝑎22 0 1 0 𝑏2
𝑆3 𝑎31 𝑎32 0 0 1 𝑏3
6. Membuat baris baru kunci
Untuk membuat baris baru kunci harus mengikuti urutan sebagagi berikut:
a. Membuat tabel baru.
b. Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci, missal kolom kunci pada 𝑥1dan baris kunci pada 𝑆2, maka pada tabel 2 variabel dasar 𝑆2 diganti 𝑥1.
c. Mengisi pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara:
𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐾𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
misalnya,
𝑎21
𝑎21
=
k, 𝑎22𝑎21
=
l, 0𝑎21
=
m, 1𝑎21
=
n, 0𝑎21
=
o,𝑁𝐾𝑎21
=
p, maka Tabel 2.5 Penentuan Baris KunciVD 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆2 NK
Z 𝑆1
𝑥1 K l m n o p
𝑆3
7. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut:
𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 – ( 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖) × 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
8. Uji Optimalisasi
Untuk mengetahui apaka tabel sudah optimum atau belum syaratnya yaitu pada kasus maksimasi baris 𝑍 ≥ 0 untuk dan 𝑍 ≤ 0 untuk kasus minimasi. Apabila syarat optimal belum terpenuhi maka ulangi langkah-langkah perbaikan mulai dari langkah 3.
2.3 Metode Transportasi 2.3.1 Persoalan Transportasi
Masalah transportasi yang dasar pada mulanya dikembangkan oleh F.L.
Hitchcock pada tahun 1941. Kemudian pada tahun 1947 T.C. Koopmans menerbitkan buku tentang sistem transportasi. Selanjutnya perumusan persoalan linear programming dan cara pemecahan yang sistematis dikembangkan oleh G.B. Dantzig pada tahun 1951 yang sering disebut bapak linear programming (Supranto, 2018).
Persoalan transportasi merupakan persoalan linear programming. Persoalan transportasi membahas tentang biaya transportasi barang dari suatu tempat asal ke tempat tujuan. Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya transportasi tersebut dengan cara menggunakan metode penyelesaian program linier (Parlin Sitorus, 2013).
Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah (Zulfikarijah, 2004):
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Jumlah barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan adalah tertentu.
3. Jumlah barang yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber.
4. Biaya transportasi dari suatu sumber ke suatu tujuan adalah tertentu.
5. Jumlah variabel dasar m+n-1, dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. Apabila jumlah variabel dasar kurang dari m+n-1 yang disebut degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dasar dengan nilai nol.
Masalah transportasi merupakan masalah yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang. Misalkan suatu jenis barang diangkut dari beberapa sumber ke beberapa daerah tujuan. Misalnya ada m buah sumber: 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑚 dan n buah tujuan: 𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛. Di daerah asal terdapat 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 buah barang. Di tempat tujuan masing-masing membutuhkan 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 buah barang. Diasumsikan 𝑎1+
𝑎2+ … + 𝑎𝑚 = 𝑏1+ 𝑏2+ … + 𝑏𝑛. Biaya pengiriman dari suatu sumber ke suatu tujuan tidaklah sama karena letak jarak yang berbeda. Misalkan, 𝑐𝑖𝑗adalah biaya pengiriman sebuah barang dari sumber 𝐴𝑖 ke tujuan 𝑇𝑗 dan 𝑥𝑖𝑗 adalah jumlah barang yang diangkut dari 𝐴𝑖 ke 𝑇𝑗. Dengan demikian, untuk mengangkut 𝑥𝑖𝑗 unit diperlukan biaya 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗. Masalahnya adalah bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber sehingga semua kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum mungkin (Supranto, 2018).
2.3.2 Model Transportasi
Pemodelan transportasi mencari cara yang optimum untuk mengirimkan barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan. Untuk menggunakan model transportasi, kita harus mengetahui hal-hal berikut (Jay Heizer dan Barry Reinder, 2005):
1. Titik asal dan kapasitas atau pasokan pada setiap periode.
2. Titik tujuan dan permintaan pada setiap periode.
3. Biaya pengiriman satu unit dari setiap titik asal ke setiap titik tujuan.
Tujuan dari model transportasi adalah merencanakan pengiriman dari sumber- sumber ke tujuan sedemikian rupa untuk meminimumkan total biaya transportasi, dengan kendala-kendala (Aminuddin, 2005):
1. Setiap permintaan tujuan terpenuhi.
2. Sumber tidak mungkin mengirim komoditas lebih besar dari kapasitasnya.
Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan.
Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah persediaan di sumber i adalah 𝑎𝑖 dan permintaan di tujuan j adalah 𝑏𝑗. Biaya unit transportasi antara sumber i dan tujuan j adalah 𝑐𝑖𝑗 (Bu’ulӧlӧ, 2016).
Gambar 2.2 Deskripsi jaringan transportasi
Dari deskripsi di atas dapat disusun dalam tabel transportasi, seperti pada Tabel 2.6 berikut:
Tabel 2.6 Gambaran Umum Masalah Transportasi
Tujuan
T1 T2 ... Tn ai
Sumber
A1
c11 c12 ... c1n
ai
x11 x12 ... x1n
. . .
... ... ... ...
. . .
.
. . .
. . .
. . . Am
1
cm cm2 ... cm n
am 1
xm xm2 ... xm n
bj b1 b2 ... bn
Keterangan:
Ai = sumber ke i, i 1,2,3,...,m Tj = tujuan ke j, j 1,2,3,...,n
ai = persediaan ke i, i 1,2,3,...,m
bj = permintaan ke j, j1,2,3,...,n
cij = biaya transportasi barang dari sumber i ke tujuan j , i 1,2,3,...,m n j 1,2,3,...,
x
ij= banyak barang yang diangkut dari sumber i ke tujuan j , i 1,2,3,...,m n j 1,2,3,..., Berdasarkan tabel 2.1 dapat disusun model matematika sebagai berikut:Minimum
𝑍 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1 𝑚
𝑖=1
(2.2)
dengan kendala:
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚
𝑛
𝑗=1
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑗 , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
𝑚
𝑖=1
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 untuk semua i dan j
Kendala pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi persediaan. Kendala kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaan.
2.3.3 Keseimbangan Transportasi
Masalah Transportasi terbagi atas 2 jenis, yaitu masalah transportasi seimbang dan masalah transportasi tidak seimbang. Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total persediaan sama dengan total permintaan (Aminudin, 2005).
(2.3)
1
1
n
j j m
i
i b
a
Keterangan:
𝑎𝑖 = jumlah persediaan di sumber i 𝑏𝑗 = jumlah permintaan di tujuan j
Masalah transportasi tidak seimbang adalah apabila total persediaan lebih banyak atau lebih sedikit daripada total permintaan.
Agar masalah transportasi tidak seimbang dapat diselesaikan maka dibutuhkan sedikit modifikasi, yaitu (Sofar Silaen, 2018):
1. Bila permintaan lebih besar daripada persediaan maka diciptakan suatu sumber semu dengan menambah baris semu (dummy row). Oleh karena merupakan semu maka masing-masing biaya transportasi untuk setiap sel adalah Rp 0.
2. Bila permintaan lebih kecil daripada persediaan maka diciptakan suatu tujuan semu dengan menambah kolom semu (dummy colomn). Oleh karena merupakan semu maka masing-masing biaya transportasi untuk setiap selnya adalah Rp 0.
Penambahan suatu sumber semu atau tujuan semu tersebut bertujuan agar jumlah persediaan dan permintaan menjadi seimbang atau sama besar.
2.3.4 Metode Transportasi Solusi Awal
Sebelum melakukan solusi optimal, ada beberapa metode fisibel untuk melakukan solusi awal. Tiga macam metode yang dikenal untuk solusi awal dan dapat dipilih salah satunya yaitu Northwest Corner, Least Cost, Vogel Approximation (VAM). Masing-masing metode memiliki kelebihan dan kekurangan yang berbeda.
Perlu diketahui bahwa pemecahan awal tidak menjamin untuk memperoleh pemecahan optimal, walaupun beberapa masalah tertentu, pemecahan awal menghasilkan pemecahan yang optimal (Sofar Silaen, 2018).
Jika tabel transportasi terdiri dari m baris dan n kolom, maka penyelesaian awal harus menghasilkan m+n-1 buah variabel basis. Jika penyelesaian awalnya berisi kurang dari m+n-1 buah variabel basis yang disebut degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan (Zulfikarijah, 2004).
2.3.4.1 Metode Northwest Corner
Metode Northwest Corner (sudut barat laut) adalah metode yang paling sederhana diantara ketiga metode yang telah disebutkan untuk mencari solusi awal.
Sesuai namanya metode sudut barat laut mengisi tabel awal transportasi dari sudut kiri atas dengan kuantitas sebanyak-banyaknya. Pengisian dilakukan terus menerus sehingga semua sumber dihabiskan (Aminuddin, 2005).
Langkah-langkah pemecahan metode Northwest Corner adalah sebagai berikut (Sofar Silaen, 2018):
1. Pengisian sel atau pengalokasian dimulai dari pojok kiri sebelah atas (pojok barat laut) tabel.
2. Alokasikan dengan jumlah maksimum atau sebanyak-banyaknya sesuai dengan yang tersedia di sumber atau sesuai dengan jumlah permintaan, sehingga fisibel untuk memenuhi permintaan.
3. Apabila masih ada persediaan tetapi telah memenuhi permintaan, maka alokasikan sisa tersebut ke sel sebelah kanan sehingga persediaan telah dialokasikan semuanya.
4. Apabila persediaan telah dialokasikan semuanya dari sumber pertama, maka pengalokasian dari sumber kedua.
5. Proses pengalokasian ini dilanjutkan dengan cara yang sama sampai semua persediaan dialokasikan tanpa sisa.
Kelebihan metode Northwest Corner adalah metode yang paling mudah tetapi tidak mempertimbangkan biaya.
Kekurangan metode Northwest Corner adalah termasuk metode yang kurang efesien, karena dalam melakukan alokasi, metode ini tidak mempertimbangkan biaya transportasi per unit, metode ini hanya berdasarkan kriteria sudut kiri atas dan sudut kanan bawah yang merupakan sel basis dan merupakan metode terpanjang dalam mencari tabel optimum.
2.3.4.2 Metode Least Cost
Pada umumnya, metode Least Cost akan memberikan pemecahan awal yang lebih baik atau biaya pengiriman total lebih kecil dibandingkan metode Northwest Corner. Hal ini karena metode Least Cost mempertimbangkan biaya per unit, sehingga iterasi tambahan lebih sedikit dilakukan untuk mencapai pemecahan optimal (Sofar Silaen, 2018).
Prosedur pemecahan awal persoalan transportasi menggunakan metode Least Cost yaitu mengalokasikan sebanyak-banyaknya sejumlah komoditas pada sel yang
mempunyai biaya unit terkecil dalam keseluruhan tabel. Jika ada beberapa sel yang memiliki biaya unit terkecil maka dipilih salah satunya (Andi Wijaya, 2011).
Langkah-langkah penyelesaian metode Least Cost adalah sebagai berikut (Parlin Sitorus, 2013):
1. Isilah sel yang memiliki biaya angkutan terkecil sebanyak-banyaknya dengan memperhatikan jumlah persediaan pada baris dan jumlah permintaan pada kolom dari sel tersebut, apabila ada biaya angkutan terkecil lebih dari 1 sel, maka pilihlah sel yang dapat diisi dengan jumlah terbesar.
2. Isilah sel yang memilki biaya angkutan terendah berikutnya yang terdapat diluar baris atau kolom yang telah terisi sebelumnya, dan demikian untuk proses selanjutnya.
Kelebihan metode Least Cost:
1. Mudah dipahami sehingga disukai oleh orang awam.
2. Mencari dan memenuhi biaya terkecil sehingga lebih efesien daripada metode Northwest corner karena mempertimbangkan biaya per unit.
Kekurangan metode Least Cost:
1. Pada masalah tertentu, tidak selalu memperoleh solusi biaya yang minimum.
2. Penentuan alokasi produk metode Least Cost ke dalam sel yang memiliki biaya terendah, pada beberapa kasus biaya tersebut dimiliki lebih dari satu sel.
2.3.4.3 Metode Vogel’s Approximation (VAM)
Vogel’s Approximation (VAM) selalu memberikan pemecahan awal yang lebih baik dibandingkan dengan metode Northwest Corner dan Least Cost. Hal ini karena metode VAM memperhitungkan biaya transportasi per unit yang diperoleh dari hasil pengurangan dua bagian biaya terkecil dari sel yang berbeda, sehingga selalu (tidak harus) tanpa iterasi tambahan untuk mencapai pemecahan yang optimal. VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk dapat mengatur pengalokasian dari beberapa sumber ke berbagai tujuan (Sofar Silaen, 2018).
Langkah-langkah pengujian metode VAM adalah sebagai berikut (Andi Wijaya, 2011):
7. Cari dua biaya terendah dari masing-masing baris dan kolom. Selisihkan dua biaya terendah tersebut.
8. Pilih selisih biaya terbesar pada baris atau kolom tersebut apabila terdapat selisih terbesar yang sama, maka dapat dipilih salah satunya.
9. Alokasikan produk sebanyak-banyaknya, disesuaikan dengan persediaan dan permintaan di sel yang memiliki biaya terendah pada baris atau kolom yang memiliki selisih terbesar tersebut.
10. Baris atau kolom yang telah diisi penuh tidak dapat diikutsertakan kembali dalam proses perhitungan pencarian selisih biaya berikutnya.
11. Lakukan kembali pada langkah 1 sampai semua produk dialokasikan sesuai dengan persediaan dan permintaan.
Kelebihan metode VAM:
1. Metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur pengalokasian dari beberapa sumber ke berbagai daerah tujuan.
2. Menghasilkan pemecahan awal yang mendekati hasil optimum dibanding metode- metode yang lain.
Kekurangan metode VAM adalah proses iterasi yang dilakukan lebih rumit.
2.3.5 Metode Transportasi Solusi Optimal
Apabila solusi awal sudah diperoleh, maka langkah berikutnya adalah menentukan apakah pemecahan ini sudah merupakan yang terbaik atau belum.
Prosedur penilaian ini melibatkan pemeriksaan setiap segi empat tidak terpakai dalam tabel sebagai alternatif pemindahan pengiriman ke dalam salah satu darinya. Tujuan evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya rencana pengiriman dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Ada 2 metode untuk melakukan solusi optimal, yaitu metode Stepping Stone dan metode Modified Distribution (MODI) (Aminuddin, 2005).
2.3.5.1 Metode Stepping Stone
Pada tahun 1953 W.W Cooper dan A.Charnes menemukan metode Stepping Stone yang dilakukan untuk pemecahan optimal sebagai langkah lanjutan dari hasil pemecahan awal yang fisibel. Metode Stepping Stone adalah suatu proses evaluasi yang dilakukan untuk menekan biaya transportasi dengan mengalokasikan sumber daya ke variabel nonbasis yang memungkinkan terjadinya perbaikan, hingga tercapainya pemecahan optimal. Dalam penerapan metode Stepping Stone, setiap sel kosong menunjukkan suatu variabel nonbasis yang akan dialokasikan harus memberi sumbangan dalam penurunan nilai fungsi. Setiap variabel nonbasis yang telah dialokasikan akan mengakibatkan jumlah alokasi variabel basis berkurang dan bertambah. Untuk menentukkan variabel nonbasis mana yang akan dialokasikan, harus menggunakan jalur tertutup (Sofar Silaen, 2018).
Langkah-langkah pengujian metode Stepping Stone adalah sebagai berikut (Jay Heizer dan Barry Reinder, 2005):
1. Isi tabel dengan hasil solusi awal.
2. Harus dipastikan bahwa jumlah sel yang terisi harus ada (m+n–1), dimana m adalah banyak sumber dan n adalah banyak tujuan.
3. Pilihlah kotak manapun yang tidak terpakai untuk dievaluasi.
4. Dimulai dari kotak yang tidak terpakai, telusurilah sebuah jalur tertutup yang kembali ke kotak awal melalui kotak-kotak yang sekarang ini yang sedang digunakan (yang diizinkan hanyalah gerakan vertikal dan horizontal). Walaupun demikian, boleh melangkahi kotak manapun baik kosong ataupun berisi.
5. Mulai dengan tanda plus (+) pada kotak yang tidak terpakai, tempatkan secara bergantian tanda plus (+) dan tanda minus (-) pada setiap kotak pada jalur yang tertutup yang baru saja dilalui.
6. Hitunglah indeks perbaikan dengan cara menambahkan biaya unit yang ditemukan pada setiap kotak yang berisi tanda plus (+), dilanjutkan dengan mengurangi biaya unit pada setiap kotak berisi tanda minus (-).
7. Ulangi langkah 1 hingga 4 sampai semua indeks perbaikan untuk semua kotak yang tidak terpakai sudah dihitung. Jika semua indeks yang dihitung lebih besar atau sama dengan nol, maka solusi optimal sudah tercapai. Jika belum, maka
solusi sekarang dapat terus ditingkatkan untuk mengurangi biaya pengiriman total.
Kelebihan metode Stepping Stone adalah pengerjaannya sederhana karena mengevaluasi sel kosong untuk indeks perbaikan.
Kekurangan metode Stepping stone:
1. Cara pengerjaan metodenya membutuhkan ketelitian terutama dalam menentukan hasil dari perhitungan biaya-biaya sel kosong.
2. Untuk menghitung indeks perbaikan bagi pemecahan tertentu, dalam metode Stepping Stone harus mencari jalur terpendek untuk tiap sel kosong.
2.3.5.2 Metode Modified Distribution (MODI)
Metode Modified Distribution (MODI) adalah dualitas dari metode Stepping Stone yang ditemukan pada tahun 1955. Jika pada metode Stepping Stone untuk perhitungan perubahan biaya dimulai dengan variabel nonbasis, maka pada metode MODI dimulai dengan variabel basis. MODI merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone, karena penentuan sel segi empat kosong yang bisa menghemat biaya yang dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat (Subagyo dkk., 1992).
Dalam metode MODI, suatu nilai 𝑢𝑖 dirancang untuk setiap baris 𝑖 dan suatu nilai 𝑣𝑗 dirancang untuk setiap kolom 𝑗 pada tabel transportasi. Setiap variabel basis, 𝑥𝑖𝑗mengikuti hubungan sebagai berikut (Mulyono, 2005):
𝑢𝑖+ 𝑣𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 (2.4) Keterangan:
𝑢𝑖 = harga-harga untuk setiap baris 𝑣𝑗 = harga-harga untuk setiap kolom 𝑐𝑖𝑗 = biaya dalam sel ij
Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu untuk menetapkan salah satu nilai yang tidak diketahui (𝑢𝑖 atau 𝑣𝑗) dengan suatu nilai sembarang. Biasanya 𝑢𝑖=0.
Sedangkan untuk mencari nilai sel bukan basis yang digunakan persamaan:
𝐾𝑖𝑗= 𝑐𝑖𝑗− 𝑢𝑖− 𝑣𝑗 (2.5)
Keterangan:
𝑢𝑖 = harga-harga untuk setiap baris 𝑣𝑗 = harga-harga untuk setiap kolom 𝑐𝑖𝑗 = biaya dalam sel ij
𝐾𝑖𝑗 = indeks perbaikan
Berikut merupakan langkah – langkah Modified Distribution (MODI) (Mulyono, 2005):
1. Tentukan solusi awal terlebih dahulu.
2. Menentukan nilai 𝑢𝑖 untuk setiap baris dan nilai-nilai 𝑣𝑗 untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan 𝑢𝑖+ 𝑣𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 untuk semua variabel basis dan menentukan nilai 𝑢𝑖= 0 dari persamaan (2.4).
3. Menghitung berapa penurunan ongkos transportasi per unit untuk tiap variabel non basis 𝐾𝑖𝑗 yaitu 𝐾𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 − 𝑢𝑖 − 𝑣𝑗 dari persamaan (2.5).
4. Apabila hasil perhitungan terdapat nilai 𝐾𝑖𝑗 negatif, maka solusi belum optimal.
Selanjutnya dipilih 𝐾𝑖𝑗 dengan nilai negatif terbesar sebagai entering variabel.
5. Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering 𝐾𝑖𝑗 variabel sesuai dengan proses Stepping Stone dan ulangi langkah pertama.
Kelebihan metode MODI:
1. Penentuan sel kosong yang bisa menghemat biaya dapat dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat.
2. Dapat mencapai hasil optimal lebih cepat.
3. Metode MODI indeks perbaikan dapat dihitung tanpa harus mencari jalur-jalur terpendek.
Kekurangan metode MODI adalah proses pengerjaannya lebih banyak untuk menghasilkan biaya optimal.
2.3.6 Degenerasi dan Redundansi
Pengujian menggunakan solusi optimal baik menggunakan metode Stepping Stone atau Modified Distribution (MODI) harus memenuhi persyaratan m+n-1. Oleh karena itu, apabila dari solusi awal belum memenuhi persyaratan tersebut maka pengujian tidak dapat dilakukan. Setiap pemecahan transportasi dari suatu tabel akan menghasilkan variabel basis sebanyak m+n-1 (jumlah sel baris+jumlah sel kolom-1), lazimnya disebut table m×n (Sofar Silaen, 2018).
Untuk kasus degenerasi, dimana jumlah sel yang terisi kurang dari persyaratan (m+n-1), maka pada salah satu sel yang kosong harus ditambahkan nilai 0.
Penambahan nilai 0 dapat dilakukan pada sel kosong dengan memperhatikan proses eksekusi solusi optimal. Nilai 0 tidak ditempatkan pada sel kosong dimana disekelilingnya terdapat tiga sel yang terisi (Andi Wijaya, 2011).
Nilai nol yang diberikan kepada salah satu variabel tersebut hanya untuk membantu dalam perhitungan akan teteapi tidak memepengaruhi hasil pemecahan.
Terjadinya degenerasi menyebabkan kesulitan di dalam membentuk jalur tertutup (closed path) bagi setiap sel bukan basis, dalam rangka menghitung indeks perbaikan (Supranto, 2018).
Untuk kasus redundansi, dimana jumlah sel yang terisi melebihi dari persyaratan (m+n-1), maka terjadi penggabungan dua sel atau lebih menjadi satu sel.
Penggabungan tersebut dilakukan pada sel-sel baris dengan memperhatikan besarnya permintaan dan persediaan yang ada (Andi Wijaya, 2011).
3.1 Studi Literatur
Studi literatur penelitian ini yaitu pembelajaran tentang materi-materi program linier, khususnya metode transportasi (seperti memahami persyaratan, cara penyelesaian maupun penerapannya) melalui artikel, buku-buku, jurnal dan sumber lainnya yang berhubungan dengan program linier.
3.2 Sumber Data
Sumber data dalam penelitian yaitu PT. Mega Eltra Cabang Medan yang berkantor di Komplek Multatuli Indah Blok AA No. 52 Medan. Pengumpulan data dilakukan dengan teknik kepustakaan. Data yang diperoleh berupa data sekunder yang dimiliki oleh perusahaan, seperti dokumen-dokumen resmi, laporan tertulis dan informasi lainnya yang berhubungan dengan pendistribusian Semen Padang.
3.3 Merumuskan Masalah
Merumuskan masalah perlu dilakukan agar permasalahan yang dikaji dalam penelitian jelas, sehingga mempermudah dalam penyelesaian masalah. Berdasarkan data dan ide yang diperoleh, dirumuskan masalah mengenai pengoptimalan biaya distribusi Semen Padang pada PT. Mega Eltra Cabang Medan.
3.4 Analisis Data
Anlisis data adalah suatu cara untuk mengolah data menjadi sebuah informasi, sehingga membuat karakteristik data tersebut dapat dipahami dan juga bermanfaat untuk sebuah solusi permasalahan. Langkah-langkah untuk menganalisis data adalah sebagai berikut:
1. Pengumpulan data pada tahun 2018 yang meliputi letak lokasi gudang, jumlah persediaan Semen Padang, jumlah permintaan Semen Padang dan biaya pendistribusian Semen Padang.
2. Membuat tabel transportasi.
3. Menentukan solusi awal dengan metode Least Cost.
4. Pada tabel solusi awal yang diperoleh periksa apakah jumlah variabel dasar memenuhi m+n-1 buah sel basis, apabila jumlah variabel dasar kurang dari m+n- 1 buah sel basis yang disebut degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
5. Mencari solusi optimal dengan menggunakan metode Stepping Stone.
6. Menentukan solusi awal dengan metode Vogel Approximation (VAM).
7. Pada tabel solusi awal yang diperoleh periksa apakah jumlah variabel dasar memenuhi m+n-1 buah sel basis, apabila jumlah variabel dasar kurang dari m+n- 1 buah sel basis yang disebut degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
8. Mencari solusi dengan menggunakan metode Modified Distribution (MODI).
3.5 Kerangka Penelitian
Kerangka penelitian adalah kumpulan konsep suatu penelitian yang tersusun secara sistematis yang digunakan sebagai pendekatan dalam memecahkan masalah.
Adapun kerangka penelitian dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Kerangka penelitian Menyusun Tabel Transportasi
Studi Lapangan Studi Pustaka
Pengumpulan data jumlah persediaan Semen Padang, jumlah permintaan Semen Padang dan biaya pendistribusian Semen Padang oleh PT.
Mega Eltra Cabang Medan.
Pengolahan Data Formulasikan Fungsi
Hasil Mencari nilai penyelesaian awal
dengan menggunakan Metode Least Cost
Penentuan Rumusan dan Batasan Masalah Penentuan Tujuan Penelitian
Studi Pendahuluan
Kesimpulan dan Saran Memilih Salah Satu yang Optimal
Mencari nilai penyelesaian awal dengan menggunakan Metode Vogel Approximation (VAM).
Mencari nilai penyelesaian optimal dengan menggunakan Metode
Stepping Stone.
Mencari nilai penyelesaian optimal dengan menggunakan Metode Modified Distribution (MODI).
4.1 Pengumpulan Data
Lokasi pengumpulan data pada PT. Mega Eltra Cabang Medan yang berkantor di Komplek Multatuli Indah Blok AA No. 52 Medan. Data yang dikumpulkan adalah data distribusi Semen Padang pada bulan Januari sampai Desember tahun 2018.
4.1.1 Data Persediaan Semen Padang
PT. Mega Eltra Cabang Medan dalam kegiatan pendistribusian Semen Padang memiliki beberapa gudang penyimpanan untuk memenuhi permintaan konsumen. Data lokasi gudang dan kapasitas persediaan Semen Padang di masing- masing gudang pada tahun 2018 dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Kapasitas Persediaan Semen Padang Tahun 2018
No Gudang Alamat Total Persediaan
(sak) 1 Panjang Jl. Budi Kemasyarakatan
Pulo Brayan Medan 105.500
2 Paya Rumput Jl. Paya Rumput KIM
Mabar Medan 84.550
3 Tebing Tinggi Jl. Patriot – Tebing tinggi 86.950
Jumlah 277.000
Sumber: PT. Mega Eltra Cabang Medan
4.1.2 Data Permintaan Semen Padang
Data permintaan merupakan data Semen Padang yang didistribusikan oleh PT. Mega Eltra Cabang Medan kepada konsumen pada tahun 2018. Data permintaan Semen Padang dari masing-masing gudang ke toko konsumen pada tahun 2018 dapat dilihat pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Penyaluran Semen Padang Tahun 2018
Gudang
Toko Konsumen UD.
Sakti (sak)
UD.
Paten (sak)
UD.
Utama B (sak)
UD.
Indo-mas (sak)
UD.
Jecky (sak)
PT.
Nidya Karya (sak)
PT.
Waskita Karya
(sak)
UD.
Harco (sak) Panjang 18.000 16.000 19.000 16.000 3.000 10.000 - 11.000
Paya
Rumput 14.000 8.000 21.000 16.000 4.000 7.000 6.000 11.000 Tebing
Tinggi 11.000 4.000 13.000 36.000 6.000 16.000 11.000 - Jumlah 43.000 28.000 53.000 68.000 13.000 33.000 17.000 22.000
Sumber: PT. Mega Eltra Cabang Medan
4.1.3 Data Biaya Distribusi dari Gudang ke Toko Konsumen
Data biaya distribusi dari gudang ke toko konsumen adalah biaya yang berhubungan dengan pengangkutan Semen Padang. Biaya distribusi yang dikeluarkan oleh perusahaan adalah biaya pengiriman Semen Padang tiap sak dari gudang ke toko konsumen.
Pendistribusian Semen Padang ke toko konsumen menggunakan jasa angkutan darat yaitu truk. Data biaya distribusi dari gudang ke toko konsumen tahun 2018 dapat dilihat pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Biaya Distribusi dari Gudang ke Toko Konsumen Tahun 2018
No Toko
Konsumen Lokasi Gudang Biaya Transportasi (Rp/sak) 1 UD. Sakti Medan
Panjang 1.300
Paya Rumput 1.400
Tebing Tinggi 2.300 2 UD. Paten Binjai
Panjang 1.600
Paya Rumput 1.900
Tebing Tinggi 2.100 3 UD. Utama B Indrapura
Panjang 1.400
Paya Rumput 1.600
Tebing Tinggi 1.900
No Toko
Konsumen Lokasi Gudang Biaya Transportasi (Rp/sak) 4 UD. Indo-mas Kisaran
Panjang 2.100
Paya Rumput 2.400
Tebing Tinggi 1.400 5 UD. Jecky Siantar
Panjang 2.100
Paya Rumput 2.600
Tebing Tinggi 1.000 6 PT. Nidya
Karya
Tebing tinggi
Panjang 1.600
Paya Rumput 1.900
Tebing Tinggi 900
7 PT. Waskita Karya
Tebing Tinggi
Panjang 2.000
Paya Rumput 2.100
Tebing Tinggi 800
8 UD. Harco Kabanjahe
Panjang 1.900
Paya Rumput 2.100
Tebing Tinggi 1.100 Sumber: PT. Mega Eltra Cabang Medan
4.2 Pengolahan Data
Pengolahan data pada penelitian akan dilakukan melalui beberapa tahap.
Data-data yang telah diperoleh dari PT. Mega Eltra Cabang Medan dituliskan menjadi jaringan transportasi dan tabel transportasi, tujuan pembuatannya adalah untuk meringkas dan menyajikan dengan jelas data-data tersebut.
Gambar 4.1 Jaringan Transportasi dari Gudang ke Toko Konsumen
Berdasarkan jaringan transportasi diatas dapat dilihat bahwa terdapat 22 unit kegiatan distribusi dari 3 gudang ke 8 toko konsumen. Tabel 4.4 merupakan tabel transportasi pengolahan data kapasitas persediaan, data permintaan, dan data biaya distribusi Semen Padang dari masing-masing gudang ke masing-masing toko konsumen tahun 2018.
Tabel 4.4 Data Kapasitas Persediaan, Permintaan,dan Biaya Distribusi Semen Padang dari Gudang ke Toko Konsumen Tahun 2018
cij(Rp/sak)
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 ai
G1 1.300 1.600 1.400 2.100 2.100 1.600 2.000 1.900 105.500 G2 1.400 1.900 1.600 2.400 2.600 1.900 2.100 2.100 84.550 G3 2.300 2.100 1.900 1.400 1.000 900 800 1.100 86.950 bj 43.000 28.000 53.000 68.000 13.000 33.000 17.000 22.000 277.000 Sumber: PT. Mega Eltra Cabang Medan
Keterangan:
G1 = Gudang 1 (Panjang) G2 = Gudang 2 (Paya Rumput) G3 = Gudang 3 (Tebing Tinggi) K1 = Konsumen 1 (UD. Sakti) K2 = Konsumen 2 (UD. Paten) K3 = Konsumen 3 (UD. Utama B) K4 = Konsumen 4 (UD. Indo-mas) K5 = Konsumen 5 (UD. Jecky) K6 = Konsumen 6 (PT. Nidya Karya) K7 = Konsumen 7 (PT. Waskita Karya) K8 = Konsumen 8 (UD. Harco)
ai = Persediaan ke i, 𝑖 = 1,2,3 b = Permintaan ke j,j 𝑗 = 1,2,3, … ,8
cij= Biaya transportasi barang dari gudang i ke konsumen j, 𝑖 = 1,2,3
𝑗 = 1,2,3, … ,8
