JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2

(1)

AA

AA.... Jarak Dua Titik di BidangJarak Dua Titik di BidangJarak Dua Titik di BidangJarak Dua Titik di Bidang

Agar anda dapat memahami bagaimana cara menentukan jarak dua titik di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini.

Ilustrasi 2.1 Ilustrasi 2.1 Ilustrasi 2.1 Ilustrasi 2.1

Perhatikanlah gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1. Tiga Gambar 2.1. Tiga Gambar 2.1. Tiga

Gambar 2.1. Tiga anakanakanak berdiri membentuk segitiga sikuanakberdiri membentuk segitiga sikuberdiri membentuk segitiga siku----sikuberdiri membentuk segitiga sikusikusikusiku

Pada gambar 2.1 tersebut pernahkan anda mengukur berapa jarak yang antara orang A dengan orang B? Untuk menjawab pertanyaan ilustrasi 2.1 tersebut bias diselesaikan dengan menggunakan rumus jarak dua titik di bidang. Untuk menemukan rumus jarak dua titik di bidang, lakukanlah kegiatan 2.1 di bawah ini.

KEGIATAN BELAJAR 2

JARAK DUA JARAK DUA JARAK DUA JARAK DUA

TITIK TITIK TITIK TITIK

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang,

3. menentukan koordinat titik pada ruas garis dengan perbandingan m:n.

(2)

Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang

Untuk menentukan jarak antara titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) lakukanlah langkah- langkah berikut ini.

1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XY (dimensi 2).

2. Buatlah tiga titik berupa segitiga siku-siku, yang semua titik tersebut berada pada kuadran I.

3. Beri nama segitiga tersebut segitiga PQR, dimana titik tersebut yaitu titik P(x1, y1), titik Q yaitu Q(x2, y2) dan titik R adalah titik R(x2, y1) atau R(x1, y2) dengan titik R sebagai titik sudut siku-siku.

4. Kita akan peroleh

|| = |− |

5. karena ∆ PRQ merupakan segitiga siku-siku di R maka kita bisa menggunakan Teorema Phytagoras yaitu:

|| = ||+ ||

|| = − + −

= − + −

6. sehingga kita peroleh jarak antara titik P(x1,y2) ke Q(x2,y2) adalah

= − + −

Dari kegiatan 2.1 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.1 berikut ini.

Masalah 2.1 Masalah 2.1 Masalah 2.1 Masalah 2.1

Tentukan jarak antara titik A(4,-7) dan B(-1,5).

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Dari kegiatan 2.1 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.1 dengan menggunakan rumus pada persamaan (1) tersebut, sehingga diperoleh

= − + − = −1 − 4+ 5 − −7 = √25 + 144

= √169 = 13

Jadi, jarak antara titik A ke B adalah 13.

…(1)

(3)

BB

BB.... Jarak Dua Titik di RuangJarak Dua Titik di RuangJarak Dua Titik di RuangJarak Dua Titik di Ruang

Lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini agar anda dapat menetukan jarak dua titik di ruang.

Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang

Untuk menentukan jarak antara titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) lakukanlah langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XYZ (dimensi 3).

2. Buatlah bangun datar berupa balok, yang semua titik tersebut berada pada oktan I.

3. Beri nama titik balok tersebut dengan titik ABCPQDEF dengan titik P terhubung pula dengan titik B dan titik Q.

4. Kita akan peroleh

|| = |− |

|| = |"− " |

5. Berdasarkan Teorema Phytagoras maka diperoleh PB² = PA² + AB², karena QB

⊥ bidang ABCP, berarti QB ⊥ PB sehingga diperoleh:

PQ² = PB² + BQ² PQ² = PA² + AB² + BQ²

PQ² = − + − + "− "

6. Sehingga diperoleh jarak antara titik P(x1,x2,x3) dan Q(y1,y2,y3) adalah

= − + − + $− $

7. selanjutnya jika jarak antara titik asal O(0,0,0) ke titik P(x1,x2,x3) maka diperoleh persamaan:

% = + + $

Dari kegiatan 2.2 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.2 berikut ini.

Tentukan jarak antara titik P(1,2,2) dan Q(3,5,4) pada gambar di bawah ini.

…(3)

…(2)

(4)

Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3)

Dari kegiatan 2.2 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.2 dengan menggunakan rumus pada persamaan (2) tersebut, sehingga diperoleh

Titik A(1,2,2) dan B(3,5,4)

Jarak PA = 2, jarak AB = 3 dan jarak BQ = 2 PQ² = PB² + BQ²

PQ² = PA² + AB² + BQ² PQ² = 2² + 3² + 2² PQ² = 4 + 9 + 4

= √17

Jadi, jarak antara titik P ke Q adalah √17.

C C C

C.... Koordinat Titik yang Membagi RKoordinat Titik yang Membagi RKoordinat Titik yang Membagi RKoordinat Titik yang Membagi Ruas Garis PQ Atas Perbandingan muas Garis PQ Atas Perbandingan muas Garis PQ Atas Perbandingan muas Garis PQ Atas Perbandingan m :::: nnnn 2.12.1

2.12.1 Pembagian Luas Garis dalam BidangPembagian Luas Garis dalam BidangPembagian Luas Garis dalam BidangPembagian Luas Garis dalam Bidang

lakukanlah kegiatan 2.3 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam bidang.

Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang

Untuk menentukan koordinat suatu titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XY (dimensi 2).

2. Buatlah 3 titik ATB dengan A(x1,y1) dan B(x2,y2) dan T(xt,yt) terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

(5)

Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2) Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2)Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2) Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2)

3. Selanjutnya, Perhatikan ∆AT1T dan ∆AB1B. Karena ∆AT1T sebangun dengan

∆ AB1B maka mengakibatkan AT : AB = RR1 : BB1, sehingga

&

& + ' = −

−

&− = & + ' −

&− & = & − & + ' − '

& + ' = &+ '

= &+ '

& + '

4. Selanjutnya dengan cara yang sama, AT : AB = AT1 : AB1

&

& + ' = −

−

&− = & + ' −

&− & = & − & + ' − '

& + ' = &+ '

= &+ '

& + '

5. Dari langkah 3 dan 4 diperoleh koordinat titik T adalah (, = *^+,_+./^-^{. /,}⁰,⁺¹_+./^-^{. /1}⁰2

6. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah

(, = *^,^-^{. ,} ⁰,¹^-^{. 1} ⁰2

Dari kegiatan 2.3 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik T di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.3 berikut ini.

Tentukan titik P yang terletak pada AB dengan A(-5, 1) dan B(3, -5), sehingga

…(4)

…(5)

(6)

Dari kegiatan 2.3 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.3 dengan menggunakan rumus pada persamaan (4) tersebut, dengan diketahui m = 3 dan n = 5 sehingga diperoleh

= 3&+ '

& + ' ,&+ '

& + ' 4

= 533 + 5−5

3 + 5 ,3−5 + 51

3 + 5 6

= 3−16 8 ,−10

8 4

= 3−2, −5

Setelah memahami masalah di atas, lanjutkanlah dengan mempelajari 44.

pembagian luas garis dalam ruang di bawah ini.

2.22.2

2.22.2.... Pembagian Luas Garis dalam Ruang Pembagian Luas Garis dalam Ruang Pembagian Luas Garis dalam Ruang Pembagian Luas Garis dalam Ruang

lakukanlah kegiatan 2.4 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam ruang.

Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang

Untuk menentukan koordinat suatu titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR : RQ = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XYZ (dimensi 3).

2. Buatlah dua buah titik sembarang yaitu titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Titik R terletak pada garis PQ, sedemikian sehingga PR : RQ = m : n, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

(7)

Gambar 2.4. Titik R memotong garis AB Gambar 2.4. Titik R memotong garis ABGambar 2.4. Titik R memotong garis AB Gambar 2.4. Titik R memotong garis AB

3. Proyeksikan garis PQ terhadap bidang XOY dengan hasil proyeksinya P’Q’.

4. Buat garis yang melalui R sejajar dengan P’Q’ (AB // P’Q’).

5. Perhatikan ∆ PAR dan ∆ BQR. Karena ∆ PAR sebangun dengan ∆ BQR maka mengakibatkan PA : BQ = PR : RQ, sehingga diperoleh

":− "

"− ": = &

&"− ": = '"' _:− "

&"− &":= '":− '"

&":+ '": = &"+ '"

": & + ' = &"+ '"

": = &"+ '"

& + '

6. Dengan cara yang sama, jika garis PQ diproyeksikan ke bidang ZOX maka diperoleh persamaan

: = &+ '

& + '

7. Dan jika garis PQ diproyeksikan ke bidang YOZ maka diperoleh persamaan:

: = &+ '

& + ' 8. Sehingga diperoleh koordinat titik R adalah

:, :, ": = 3&+ '

& + ' ,&+ '

& + ' ,&"+ '"

& + ' 4

9. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah

, , " = *^,^-^{. ,}⁰,¹^-^{. 1}⁰,^;^-^{. ;}⁰2

(8)

10. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah

:, :, ": = *^<,_.<^-^{. ,}⁰,^<1_.<^-^{. 1}⁰,^<;_.<^-^{. ;}⁰2 , =>&?'? @ ≠ −1 CATATAN (1)

Syarat :

• Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q.

• Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P).

• Jika k = -1 maka menunjukkan suatu titik di tak berhingga.

• Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q).

Dari kegiatan 2.4 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik R di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.4 berikut ini.

Tentukan koordinat titik R sehingga membagi PQ dengan P(-4, 2,1), Q(6,4,2) dibagi atas -2 : 1

Dari kegiatan 2.4 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.4 dengan menggunakan rumus pada persamaan (6) tersebut, dengan diketahui m = -2 dan n = 1 sehingga diperoleh

@ = &

' = −2

1 = −2

= 3@+

1 + @ ,@+

1 + @ ,@"+ "

1 + @ 4

= 5−26 + −4

1 + −2 ,−24 + 2

1 + −2 ,−22 + 1 1 + −2 6

= 3−16

−1 ,−6

−1 ,−3

= 16, 6, 3. −14

Karena k = -2 berarti titik R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q).

Selanjutnya, kerjakanlah latihan 2 di bawah ini untuk mencoba menyelesaikan sendiri persoalan yang diberikan.

1. Jarak antara 2 titik, misalkan titik , ke , adalah

= − + −

2. Jarak antara 2 titik, misalkan titik , , $ ke , , $ adalah

…(7)

Rangkuman

(9)

= − + − + $− $ 3. Jika titik asal O(0,0,0) ke titik , , B diperoleh persamaan

% = + + $

4. Koordinat titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n adalah

(, = 3&+ '

& + ' ,&+ '

& + ' 4

5. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah

(, = 3+

2 ,+

6. Koordinat titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR:RQ=m:n adalah 2 4

:, :, ": = 3&+ '

& + ' ,&+ '

& + ' ,&"+ '"

& + ' 4

7. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah

:, :, ": = 3+

2 ,+

2 ,"+ "

8. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R 2 4

adalah

:, :, ": = 3@+

1 + @ ,@+

1 + @ ,@"+ "

1 + @ 4 , =>&?'? @ ≠ −1