44 BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang
digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
dan langkah- langkah penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik
metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty). Selanjutnya
akan dipaparkan penerapan model nonlinear pada rata-rata produksi tanaman
pangan di kota Magelang beserta penyelesaiannya dengan kedua metode tersebut.
A. Pembentukan Fungsi Tujuan denga n Metode Kuadrat Terkecil
Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah masalah pemrograman
nonlinear, sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk berupa fungsi nonlinear
yang dalam hal ini berupa fungsi kuadrat, yaitu fungsi dengan pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah dua. Fungsi kuadrat memiliki satu nilai titik ekstrim yaitu
maksimum atau minimum, sedangkan fungsi kubik memiliki sebuah titik belok,
yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya
dan mungkin pula memiliki satu atau dua titik ekstrim. Karena fungsi kubik
belum tentu memiliki titik ekstrim, maka dipilihlah fungsi kuadrat yang sudah
pasti memiliki satu titik ekstrim.
Metode kuadrat terkecil merupakan metode penaksiran parameter yang
meminimalkan jumlah kuadrat sisa (galat). Penaksiran pada metode ini memiliki
sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) (Asti, 2015 : 6). Oleh karena itu
45
Model yang diselesaikan dengan metode k uadrat terkecil adalah sebagai
berikut
(3.1a)
Dimana adalah parameter dan adalah sisa (galat). Menurut Setijo Bismo (2008), fungsi kuadrat atau fungsi parabola mempunyai bentuk umum yang dapat
dituliskan sebagai berikut :
(3.1b)
Dari Persamaan (3.1a) dan (3.1b) diperoleh model fungsi kuadrat yang akan
diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, yaitu
(3.1c)
Metode kuadrat terkecil disini digunakan untuk mencari nilai- nilai tetapan , dan berdasarkan set data yang diberikan, (dimisalkan banyaknya data = ) , yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa ( dari Persamaan (3.1) berikut
Selanjutnya diturunkan terhadap , dan dengan syarat optimumnya adalah
Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh
46 (3.2a)
Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh (3.2b)
Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh
47 (3.2c)
Persamaan (3.2) disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk
matriks Persamaan (3.2) akan menjadi
Selanjutnya nilai , dan dapat ditaksir dengan menggunakan rumus
B. Penyelesaian Masalah Nonlinear
1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe
Pemrograman Kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear
dengan mentransformasikannya menjadi masalah pemrograman linear
48
Kuhn Tucker dicari solusi optimalnya dengan simpleks metode wolfe. Adapun
langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut (Yuni, 2015)
a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang
diperoleh.
b. Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1.
c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker
yang tidak memiliki variabel basis.
d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk
meminimalkan jumlah nilai variabel buatan .
e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode
wolfe.
Untuk menjamin bahwa solusi akhir (variabel buatan bernilai nol) memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki
modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi
basis, yaitu
1) dari kondisi Kuhn Tucker dan variabel keputusan tidak bisa menjadi variabel basis secara bersamaan.
2) Variabel surplus atau variabel slack dari kendala ke- i dan
dari kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi
variabel basis.
Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari
pemrograman kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan
49
tabel optimal akan ada complementary slackness yang tidak
terpenuhi.
f. Mensubstitusikan hasil dari tabel optimum ke dalam fungsi tujuan
awal (nonlinear) untuk didapatkan solusi optimum.
Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan maka dapat
disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel
slack, surplus, buatan ataupun maka dapat disubstitusikan ke bentuk kanonik yang telah dibentuk di awal.
Untuk menambah pemahaman, maka diberikan ilustrasi penyelesaian
pemrograman kuadratik dengan metode wolfe melalui contoh berikut :
Contoh 3.1 : Memaksimumkan (3.3) dengan kendala (3.4a) (3,4b) (3.4c)
Langkah - langkah penyelesaian Persamaan (3.3) dan (3.4) dengan
pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut :
a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi
kendala yang telah dimiliki.
Berdasarkan Persamaan (3.3) dan (3.4) maka ditentukan bentuk
kanoniknya yaitu :
50
(3.5b)
(3.5c)
(3.5d)
b. Mengidentifikasi complementary slackness yang ada.
Diperhatikan bahwa Persamaan (3.5) merupakan kondisi
complementary slackness, sehingga mengakibatkan :
c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker
yang tidak memiliki variabel basis.
Berdasarkan Persamaan (3.5), hanya Persamaan (3.5c) dan (3.5d)
yang memiliki variabel basis. Pada Persamaan (3.5a) dan (3.5b)
perlu ditambah variabel buatan sehingga bentuk kanoniknya
menjadi :
(3.6a)
(3.6b)
(3.6c)
(3.6d)
d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk
meminimalkan jumlah nilai variabel buatan .
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 3.1 adalah
Meminimumkan
51 dengan kendala (3.6a) (3.6b) (3.6c) (3.6d)
Semua variabel non negatif.
e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode
wolfe.
Pada proses iterasi, semua koefisien ongkos variabel non basis
diganti dengan 0. (Winston, 2003 : 687)
Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 / 1 4 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 0 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10 4 2 1 1 -1 -1 1 1 0 0 5 - 4 2 1 1 -1 -1 0 0 0 0
Semua koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker
dimasukkan ke dalam tabel. Nilai pada baris didapat dari jumlah
hasil perkalian antara koefisien tiap kolom dengan nilai yang
berada di baris yang sama. Untuk menentukan nilai- nilai maka
dipilih dari baris . Variabel dengan nilai terbesar (kasus minimisasi) menjadi pembagi dari yang selanjutnya diisikan kekolom .
52
Nilai pada adalah yang paling besar, maka semua nilai pada kolom dibagi dengan nilai pada kolom variabel sehingga didapatkan nilai seperti dijelaskan pada Tabel 3.2.
Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 / 1 4 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 1 0,25 1 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 0 4 - 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10 - 4 2 1 1 -1 -1 1 1 0 0 5 - 4 2 1 1 -1 -1 0 0 0 0
Karena nilai terkecil adalah maka keluar dan masuk
menjadi variabel basis dengan koefisien ongkos 0. Selanjutnya
proses iterasi dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti
Tabel 3.3.
Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 / 0 1 0 0,25 0 -0,25 0 0,25 0 0 0 0,25 0 0 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 2 0 0 0 -0,25 0 0,25 0 -0,25 0 1 0 7,75 0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0
Karena nilai maka iterasi berhenti, dan tabel dinyatakan optimum. Dari tabel optimum tersebut diperoleh nilai variabel dan . Selain itu juga didapatkan nilai variabel dan serta nilai minimum . Kemudian untuk
53
mengetahui nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel- variabel
tersebut disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal yaitu
. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 3.1 adalah 10,125.
Secara umum, penyelesaian pemrograman kuadratik metode Wolfe dapat
digambarkan dalam Gambar 3.1
2. Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty)
Metode fungsi penalti eksterior pada prinsipnya adalah
mentransformasikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah
tidak berkendala sedemikian sehingga penyelesaiannya dicari secara
numerik. Masalah berkendala diubah ke masalah tanpa kendala dengan
cara menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada fungsi
tujuan. Proses pencarian solusi pada metode penalty dimulai dari luar
daerah layak, oleh karena itu disebut dengan metode fungsi penalti
eksterior. Kondisi Kuhn Tucker Fungsi Linear Simpleks Metode Wolfe Tabel Optimum Fungsi Tujuan Non Linear
Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe
54
Berikut adalah langkah penyelesaian metode fungsi penalti
eksterior
a. Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala
b. Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala , dengan
1) adalah fungsi tujuan masalah berkendala 2) adalah parameter penalti
3) Fungsi penalti 4) adalah fungsi kendala pertidaksamaan
5) adalah fungsi kendala persamaan 6) adalah bilangan bulat positif
c. Menentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni . Menurut syarat perlu keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala,
titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol.
d. Menyelidiki apakah nilai optimal yang dicapai merupakan titik
minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan
masalah nonlinear tanpa kendala.
Secara umum, penyelesaian metode fungsi penalti eksterior dapat
digambarkan dalam Gambar 3.2
Solusi Optimal Fungsi Tujuan Nonlinear Tak Berkendala Fungsi Tujuan Non Linear Berkendala Metode Penalty
55
C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang
Pada subab ini akan dijelaskan langkah pembentukan model non linear
untuk rata-rata produksi tanaman pangan menggunakan metode kuadrat
terkecil yang perhitungannya diselesaikan dengan bantuan software matlab.
Kemudian model yang diperoleh akan diselesaikan dengan pemrograman
kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior. Gambar 3.3
adalah alur penelitian dalam tugas akhir ini
Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear dibandingkan
Solusi Optimal dengan Metode Penalty Solusi Optimal dengan
Pemrograman Kuadratik
Pembentukan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil Data Produksi Tanaman Pangan
diperoleh nilai optimal luas panen tanaman pangan
56 1. Pembentukan Model
Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih
sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap
produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan
pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan
palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok
utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan.
Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap
tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu
padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai.
Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994
hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi
yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman
tersebut.
Dalam buku Kota Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh
Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi
mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan
ada pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata
produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun
57
Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela
Pohon dan Jagung tahun 1994-2014
Tahun
Padi Sawah Ketela Pohon Jagung
LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) 1994 546 602 50,83 59 59 125,76 9 10 32 1995 626 600 51,68 12 16 121,88 6 11 20 1996 637 618 52,04 16 19 132,11 7 7 27,14 1997 604 621 51,8 2 7 132,86 18 14 22,86 1998 648 591 51,82 11 9 153,3 11 15 26,66 1999 600 569 52,81 21 17 172,47 5 7 25 2000 489 497 53,51 1 2 90 3 5 25 2001 525 474 53,35 7 7 168,57 3 4 25,05 2002 517 514 52,79 11 15 139,33 3 - - 2003 492 469 52,81 7 8 139,38 - 1 20 2004 490 471 52,4 5 7 140 - - - 2005 480 473 52,64 8 8 140 - 1 25 2006 495 491 52,62 5 6 140 - - - 2007 502 501 54,51 4 3 140 1 - - 2008 503 504 54,56 7 3 140 3 4 25 2009 513 512 54,67 9 10 140 3 2 63,5 2010 519 520 54,75 10 11 141 2 2 64 2011 550 551 56,98 7 9 70 2 3 16,25 2012 541 548 59,708 4 3 148,96 - - - 2013 544 548 58,5 1 3 73,33 - - - 2014 552 547 58,18 24 2 70 - - - Keterangan LT : Luas Tanam LP : Luas Panen RRP : Rata-Rata Produksi
Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah (2013) luas panen adalah luas
tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur
termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil
per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam
satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013),
58 a. Membentuk Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata – rata produksi
yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam
satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya
tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal
panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu,
maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung
dalam satuan hektar.
Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari
rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan
yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi
padi, ketela pohon, dan jagung.
(3.8) Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut
= data Luas Panen Padi ke - dalam satuan ha
= data Luas Panen Ketela Pohon ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke - dalam satuan ha
= data Rata – Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ; = banyaknya data
59
Berdasarkan Persamaan (3.8) maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi
padi, ketela pohon, dan jagung adalah
(3.9)
Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan (3.9), digunakan
metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan (3.2) yaitu dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear berikut
(3.10) Dimana
Solusi dari Persamaan (3.10) diperoleh dengan
(3.11)
Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing- masing tanaman pangan
yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil
dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan
60
1) Fungsi Tujuan Tanaman Padi
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan
menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke
software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan
dengan nama datax.dat
b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX
c) Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter
d) Muncul hasil pada command window seperti berikut
>> MKTX m = 21 n = 2 A = 1.0e+12 * 1.8008 0.0033 0.0000 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Y = 1.0e+08 * 3.2481 0.0061 0.0000 beta = -0.0002 0.2083 0.0100
Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan
tanaman padi, yaitu
61
2) Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan
menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon
ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan
dengan nama datay.dat
b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY
c) Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter
d) Muncul hasil pada command window seperti berikut
>> MKTY m = 21 n = 2 A = 12502174 230804 5350 230804 5350 224 5350 224 2 Y = 1.0e+05 * 6.9672 0.2985 0.0272 beta = -0.2862 19.2570 -31.7838
Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan
tanaman ketela pohon, yaitu
62
3) Fungsi Tujuan Tanaman Jagung
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan
menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon
ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan
dengan nama dataz.dat
b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ
c) Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter
d) Muncul hasil pada command window seperti berikut
>> MKTZ m = 14 n = 2 A = 119736 9434 816 9434 816 86 816 86 2 Y = 1.0e+04 * 2.0781 0.2299 0.0417 beta = -0.6737 11.4282 -7.7962
Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan
tanaman jagung, yaitu
63
Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata
produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi
padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan (3.12),
(3.13) dan (3.14) diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan (3.15)
Sebelum Persamaan (3.15) diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila
diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), untuk
membuktikan bahwa solusi nilai pada fungsi tujuan yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan
melihat nilai error dan conditional number-nya.
Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel ,
dan pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan (3.15). Kemudian dihitung selisih nilai dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5 merupakan hasil perhitungan selisih nilai beserta errornya.
64
Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai dan Errornya Luas Panen Rata-Rata Produksi
Data Aktual
Hasil
Perhitungan Selisih Error Padi Ketela
Pohon Jagung Padi
Ketela Pohon Jagung 602 59 10 50,83 125,76 32 208,59 200,16 8,43 4% 600 16 11 51,68 121,88 20 193,56 292,45 98,89 51% 618 19 7 52,04 132,11 27,14 211,29 322,33 111,04 53% 621 7 14 51,8 132,86 22,86 207,52 161,38 46,14 22% 591 9 15 51,82 153,3 26,66 231,78 183,65 48,13 21% 569 17 7 52,81 172,47 25 250,28 305,84 55,56 22% 497 2 5 53,51 90 25 168,51 92,22 76,29 45% 474 7 4 53,35 168,57 25,05 246,97 169,94 77,03 31% 514 15 - 52,79 139,33 - 192,12 246,91 54,79 29% 469 8 1 52,81 139,38 20 212,19 160,62 51,57 24% 471 7 - 52,4 140 - 192,4 142,74 49,66 26% 473 8 1 52,64 140 25 217,64 160,70 56,94 26% 491 6 - 52,62 140 - 192,62 127,52 65,10 34% 501 3 - 54,51 140 - 194,51 77,58 116,93 60% 504 3 4 54,56 140 25 219,56 104,74 114,82 52% 512 10 2 54,67 140 63,5 258,17 198,76 59,41 23% 520 11 2 54,75 141 64 259,75 212,02 47,73 18% 551 9 3 56,98 70 16,25 143,23 192,84 49,61 35% 548 3 - 59,708 148,96 - 208,668 77,51 131,16 63% 548 3 - 58,5 73,33 - 131,83 77,51 54,32 41% 547 2 - 58,18 70 - 128,18 59,69 68,49 53% Rata-Rata Error 35%
Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35%. Akan tetapi
masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya.
Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks didefinisikan sebagai berikut
Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin
65
tergantung dari nilai conditional number, sehingga conditional number tidak
boleh terlalu besar (Vina,2013). Jika nilai conditional number < 67108864 ,
maka nilai dinyatakan terbaik (Anderson dalam Vina, 2013). Berikut
adalah hasil perhitungan conditional number dengan bantuan software
Matlab, yaitu dengan perintah cond() (script terlampir).
Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung
Padi Ketela Pohon Jagung Jumlah Conditional Number 716,9105 16,9728 49,9719 783,8552
Berdasarkan Tabel 3.6, nilai conditional number < 67108864 , maka nilai
pada fungsi tujuan dinyatakan terbaik. Jadi Persamaan (3.15) merupakan
fungsi pendekatan yang terbaik.
b. Membentuk Fungsi Kendala
Pada permasalahan ini kendalanya yaitu luas panen tidak boleh lebih dari
luas tanam maksimum. Sehingga menurut data pada Tabel 3.4, fungsi kendala
pada masalah ini adalah
(3.16a)
(3.16b)
(3.16c)
(3.16d)
Jadi model matematika untuk rata-rata produksi tanaman pangan di kota
Magelang adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya Persamaan (3.15)
66
2. Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe
Sebelum diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe,
Persamaan (3.15) dan (3.16) akan diidentifikasi ke dalam bentuk umum dari
masalah pemrograman kuadratik.
Berdasarkan Persamaan (2.38), maka Persamaan (3.15) dapat ditulis dengan , dan , Jadi diperoleh dengan kendalanya yaitu
Persamaan (3.15) dan (3.16) sudah sesuai dengan bentuk umum masalah
pemrograman kuadratik. Selanjutnya, akan dilihat apakah Persaman (3.15)
67
turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan (3.15)
adalah sebagai berikut
dan turunan pertama dari Persaman (3.16) adalah sebagai berikut
Karena
, maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi
merupakan fungsi konkaf. Sedangkan
, maka menurut
Definisi 2.2 dan Teorema 2.4 fungsi merupakan fungsi konveks. Karena fungsi konkaf dan konveks maka digunakan syarat Karush Kuhn Tucker sebagai syarat perlu dan cukup untuk mencapai nilai optimal. Oleh
68
kuadratik metode wolfe. Adapun langkah- langkah penyelesaiannya adalah
sebagai berikut
a. Membentuk Kondisi Kuhn-Tucker
Berdasarkan Teorema 2.7, maka pada Persamaan (3.15) dapat
ditentukan syarat Kuhn-Tuckernya yaitu
1) (3.17a) (3.17b) (3.17c) 2) (3.18a) (3.18b) (3.18c) 3) ( (3.19a) (3.19b) (3.19c) 4) (3.20) 5) (3.21)
Berdasarkan Persamaan (3.16a), (3.16b), dan (3.16c) maka
diperoleh
(3.22a)
(3.22b)
(3.22c)
Bentuk Persamaan (3.22) dapat dijadikan bentuk kanonik sehingga
69
(3.23a)
(3.23b)
(3.23c)
Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn
Tucker untuk Persamaan (3.16) yaitu
(3.17a) (3.17b) (3.17c) (3.23a) (3.23b) (3.23c)
b. Mengidentifikasi complementary slackness
Berdasarkan Persamaan (3.18) dan (3.23), Persamaan (3.17) dan
(3.19) dan sifat complementary slackness pada pemrograman kuadratik,
maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan (3.15) adalah
c. Menambah variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn-Tucker
yang tidak memiliki variabel basis
Persamaan (3.17) tidak memiliki variabel basis sehingga
ditambahkan variabel buatan sehingga bentuknya menjadi
70
(3.24b)
(3.24c)
d. Menentukan fungsi tujuan baru yang linear
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk masalah rata-rata
produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah
Meminimumkan (3.25) dengan kendala (3.24a) (3.24b) (3.24c) (3.23a) (3.23b) (3.23c)
Semua variabel non negatif
e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan metode wolfe
Setelah didapatkan fungsi tujuan dan kendala baru, yaitu Persamaan
(3.23) – (3.25) dibuatlah tabel simpleks lalu dilakukan perhitungannya.
Perhitungan iterasi simplek menggunakan bantuan excel, berikut adalah
71
Gambar 3. 7 Tampilan tabel optimum simplek metode wolfe
Berdasarkan Gambar 3.13 diperoleh hasil , , , , , dan . Kemudian untuk mendapatkan nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel ,
dan disubstitusikan ke Persamaan (3.15) yang merupakan fungsi tujuan
awal yaitu
2. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode
Penalty)
Metode penalty digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear tak
berkendala. Persamaan (3.15) merupakan masalah nonlinear dengan kendala
Persamaan (3.16). Oleh karena itu, Persamaan (3.15) dan (3.16) dapat
72
Adapun langkah- langkahnya adalah sebagai berikut
a. Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala
Akan dibuktikan terlebih dahulu adalah fungsi yang kontinu. Berdasarkan Definisi 2.3 dan Definisi 2.4, suatu fungsi dikatakan kontinu di jika yang berarti untuk setiap yang diberikan terdapat sedemikian sehingga jika maka . Atau dengan kata lain fungsi tersebut memiliki turunan seperti yang tertera pada Teorema 2.2. Berikut
ini akan dicari turunan pertama dari fungsi .
Karena , , , ada, maka adalah fungsi yang kontinu.
b. Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala
sesuai bentuk umum masalah fungsi penalti pada Persamaan (2.40).
Masalah optimisasi Persamaan (3.15) dan (3.16), diubah ke dalam
masalah optimisasi tanpa kendala menggunakan metode penalty dengan
membentuk fungsi dan memilih (karena 2 merupakan bilangan positif terkecil yang mengakibatkan fungsi penalti tetap termuat dalam fungsi tujuan baru setelah diturunkan), sehingga menjadi
73
Maka diperoleh masalah fungsi penalti eksterior yaitu
Meminimumkan
(3.26)
c. Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan , yakni . Titik optimal akan dicapai jika , maka
(3.27a) (3.27b) (3.27c) Karena tujuan masalah fungsi penalti adalah meminimalkan maka
Persamaan (3.27) dapat ditulis
(3.28a) (3.28b) (3.28c)
Dari Persamaan (3.28) diperoleh
74
d. Menyelidiki apakah nilai dan merupakan nilai minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah
nonlinear tanpa kendala.
Matriks Hessian dari Persamaan (3.26) adalah sebagai berikut
Akan diselidiki apakah definit positif, negatif, atau tidak definit.
Jika dinyatakan dalam bentuk kuadratik, maka
Berdasarkan Definisi 2.7, matriks definit negatif. Menurut syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa berkendala jika
dan definit negatif, maka merupakan titik maksimum.
Jadi nilai maksimum dari
, untuk adalah .
75
3. Analisa Hasil Penyelesaian dengan Pe mrograman Kuadratik dan Metode Penalty
Tabel 3. 7 Penyelesaian optimal untuk rata-rata produksi padi, ketela
pohon dan jagung
metode penalty pemrograman kuadratik
Luas Panen Padi (ha)
Luas Panen Ketela Pohon (ha)
Luas Panen Jagung (ha)
Rata-rata Produksi Tanaman
Pangan (kw)
Menurut Tabel 3.7, pada kasus optimasi rata-rata produksi tanaman padi,
ketela pohon dan jagung, penyelesaian dengan pemrograman kuadratik dan
metode fungsi penalti eksterior (penalty) mendapatkan hasil yang sama. Oleh
karena itu kedua metode tersebut efektif untuk menyelesaikan masalah
optimasi rata-rata produksi tanaman pangan. Akan tetapi setiap metode
memiliki kelebihan dan kekurangannya masing- masing. Kekurangan
pemrograman kuadratik yaitu prosesnya yang panjang sehingga
membutuhkan waktu yang lama untuk memperoleh hasilnya. Adapun
kelebihannya adalah perhitungannya yang mudah karena menggunakan
simpleks dan dapat menggunakan bantuan software WinQSB.
Sedangkan metode penalty kekurangannya yaitu apabila penyelesaiannya
masih memuat parameter pinalti yaitu , maka membutuhkan metode
76
Kelebihannya yaitu proses memperoleh hasil optimal yang cepat apabila
parameter penalti sudah tidak ada seperti masalah pada tugas akhir ini.
Nilai optimal yang diperoleh sebesar 387,0586 kwintal. Kemudian apabila melihat Tabel 3.4, jumlahan dari rata-rata produksi tanaman padi,
ketela pohon dan jagung sejak tahun 1994 hingga 2014 belum pernah
mencapai hasil yang optimal. Oleh karena itu, pemerintah dan masyarakat
perlu meningkatkan luas panen tanaman pangan di kota Magelang, khususnya
