METODE NEWTON-COTES TERTUTUP
BERDASARKAN TURUNAN PADA TITIK TENGAH Haryono Ismail
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses a modification closed Newton-Cotes method by adding the value of the derivative function at the midpoint which is also called midpoint-derivative based closed Newton-Cotes method to approximate definite integral. Then, the results of numerical computation show that the approximation of midpoint-derivative based closed Newton-Cotes method is closer to the exact solution than closed Newton-Cotes method.
Keywords: Closed Newton-Cotes method, midpoint-derivative, definite integral, numerical integration
ABSTRAK
Pada artikel ini membahas tentang modifikasi metode Newton-Cotes tertutup dengan menambahkan nilai turunan fungsi pada titik tengah yang disebut juga metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah untuk mengaproksimasi integral tentu. Selanjutnya hasil uji komputasi menunjukan bahwa nilai aproksimasi dari metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah lebih mendekati solusi eksak daripada metode Newton-Cotes tertutup.
Kata kunci: Metode Newton-Cotes tertutup, turunan pada titik tengah, integral tentu, integrasi numerik
1. PENDAHULUAN
Integral merupakan salah satu bagian penting dari kalkulus. Integral berperan penting dalam menyelesaikan masalah-masalah seperti pertumbuhan populasi, volume, panjang busur, luas permukaan dan lainnya. Integral terbagi menjadi dua bagian yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu dapat diartikan sebagai kebalikan dari turunan yang sering diistilahkan
dengan anti turunan. Dengan mengetahui fungsi anti turunan F (x) dari integran f (x), integral tentu dari f (x) pada interval [a, b] dapat dihitung dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz
∫ b a
f (x) dx = F (b)− F (a).
Terkadang integran f (x) tidak mempunyai fungsi anti turunan yang sederhana, seperti fungsi e±x2, sin (x)
x , dan sin (x
2). Selain itu, nilai fungsi f (x) hanya diketahui pada titik-titik xi tertentu saja untuk i = 0, 1, . . . , n. Hal ini
sering terjadi pada nilai-nilai f (xi) yang berasal dari data eksperimen, seperti
pengambilan sampel. Oleh karena itu, salah satu topik penelitian dalam bidang matematika adalah bagaimana memperoleh nilai hampiran (aproksimasi) dari ∫b
af (x)dx yang tidak dapat diselesaikan secara analitik yaitu menggunakan
integrasi numerik, dengan ketelitian tinggi.
Proses integrasi numerik yang paling umum didasarkan pada interpolasi terhadap fungsi f . Proses interpolasi dilakukan dengan menggunakan interpolasi polinomial Pnsehingga fungsi f dapat diaproksimasi seperti berikut:
f (x)≈ Pn(x).
Untuk menginterpolasi dua titik digunakan interpolasi linear. Sedangkan untuk menginterpolasi tiga titik digunakan interpolasi kuadratik. Secara umum untuk menginterpolasi n + 1 titik dapat digunakan interpolasi polinomial Lagrange yang diberikan oleh rumus
Pn(x) = n ∑ k=0 f (xk)Ln,k(x), k = 0, 1, . . . , n, dengan Ln,k(x) = n ∏ i=0 i̸=k x− xi xk− xi .
Selanjutnya, dengan mengintegralkan interpolasi polinomial Lagrange, didapatkan formulasi integrasi numerik atau disebut juga kuadratur yang dapat ditulis dalam bentuk ∫
b a f (x)dx≈ n ∑ i=0 wif (xi), (1) dengan wi = ∫ b a Ln,k(x)dx, i = 0, 1, . . . , n.
Jika titik-titik integrasi terdistribusi seragam pada interval [a, b], maka
xi = a + ih dengan h = b− a
Aturan integrasi numerik yang paling banyak digunakan dari tipe ini adalah metode Newton-Cotes. Burden dan Faires [2] menjelaskan bahwa metode Newton-Cotes terbagi dua, yaitu metode Newton-Cotes terbuka dan metode Cotes tertutup. Terdapat beberapa aturan dalam metode Newton-Cotes tertutup diantaranya aturan Trapesium, aturan Simpson, aturan Simpson 3/8 dan aturan Boole.
Metode Newton-Cotes banyak dikembangkan untuk mendapatkan tingkat ketelitian yang lebih tinggi, diantaranya diusulkan oleh Dehghan et al. [5] yaitu perbaikan aturan kuadratur dari metode Newton-Cotes tertutup. Metode ini diaplikasikan oleh Babolian et al. [3] ke dalam Gauss-Legendre kuadratur. Selanjutnya Burg [4] mengusulkan Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan yang menggunakan nilai-nilai fungsi yang berjarak sama dan dua nilai turunan pada titik akhir. Ketelitian metode dalam [4] lebih tinggi dari Newton-Cotes tertutup biasa.
Pada artikel ini dibagian dua dibahas metode baru yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Cotes tertutup yaitu dengan menambahkan nilai turunan fungsi pada titik tengah [9] yang bertujuan untuk memperoleh aproksimasi integral tentu yang memiliki ketelitian tinggi. Selanjutnya di bagian tiga dijelaskan tentang analisis error untuk mengetahui keakuratan dari rumus yang diperoleh dari nilai error yang didapatkan, kemudian dilanjutkan dibagian keempat dengan melakukan komputasi numerik terhadap dua contoh fungsi uji.
2. METODE NEWTON-COTES TERTUTUP BERDASARKAN TURUNAN PADA TITIK TENGAH
Metode yang umum digunakan untuk mencari integral tentu adalah metode Newton-Cotes. Metode Newton-Cotes tertutup yang biasa disajikan dalam buku teks analisis numerik hanya melibatkan suatu fungsi tanpa melibatkan turunan. Oleh karena itu, pada artikel ini disajikan metode Newton-Cotes tertutup dengan menambahkan nilai turunan fungsi pada titik tengah.
Misalkan terdapat n+1 titik yang berbeda pada interval [a, b] yaitu
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b dan h =
xn− x0
n adalah panjang
dari setiap subinterval. Selanjutnya dengan menambahkan turunan di titik tengah pada persamaan (1), diperoleh rumus untuk menghitung ∫xn
x0 f (x)dx berikut: ∫ xn x0 f (x)dx ≈ n ∑ i=0 wif (xi) + q0f(n+1) ( x0+ xn 2 ) , (2)
untuk n ganjil dan ∫ xn x0 f (x)dx ≈ n ∑ i=0 wif (xi) + q0f(n+2) ( x0+ xn 2 ) , (3)
untuk n genap, dengan wi merupakan bobot fungsi f , q0 bobot untuk turunan titik tengah fungsi f dan n banyaknya subinterval.
Nilai bobot dapat dihitung dengan menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dengan mengganti nilai f (x) dengan monomial xk dengan
k = 0, 1, . . . , n + 1 untuk n ganjil dan k = 0, 1, . . . , n + 2 untuk n genap.
Aturan Trapesium Berdasarkan Turunan pada Titik Tengah
Aproksimasi ∫xn
x0 f (x)dx untuk sebuah subinterval (n = 1) dapat dihitung menggunakan rumus pada persamaan (2) sehingga diperoleh
∫ x1 x0 f (x)dx ≈ w0f (x0) + w1f (x1) + q0f(2) ( x0+ x1 2 ) . (4)
Selanjutnya, nilai f (x) pada persamaan (4) diganti dengan monomial xk untuk k = 0, 1, 2 sehingga diperoleh sistem persamaan nonlinear berikut:
∫ x1 x0 1dx = x1− x0 = w0+ w1, ∫ x1 x0 xdx = x1 2− x 02 2 = w0x0+ w1x1, ∫ x1 x0 x2dx = x1 3− x 03 3 = w0x0 2+ w 1x12 + 2q0. (5)
Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut: x10 x11 00 x02 x12 2 ww01 q0 = x1− x0 x12− x02 2 x13− x03 3 . (6)
Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan (6), diperoleh nilai bobot
w0 = w1 =
h
2 dan q0 = −
h3
12. Kemudian nilai bobot yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan (4) sehingga untuk nilai n = 1 diperoleh persamaan ∫ x1 x0 f (x)dx≈ h 2(f (x0) + f (x1))− h3 12f ′′(x0+ x1 2 ) . (7)
Persamaan (7) disebut juga dengan aturan Trapesium berdasarkan turunan pada titik tengah. Derajat keakuratan dari metode ini adalah tiga.
Misalkan interval [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval. Kemudian dengan mensubstitusikan aturan Trapesium berdasarkan turunan pada titik tengah ke setiap subinterval, diperoleh bentuk komposit dari aturan Trapesium
berdasarkan turunan pada titik tengah berikut: ∫ xn x0 f (x)dx≈h 2 ( f (x0) + 2 n−1 ∑ i=1 f (xi) + f (xn) ) − (h)3 12 n ∑ j=1 f′′ ( xj−1+ xj 2 ) .
Aturan Simpson Berdasarkan Turunan pada Titik Tengah
Aproksimasi ∫xn
x0 f (x)dx untuk dua buah subinterval (n = 2) dapat dihitung menggunakan rumus pada persamaan (3) sehingga diperoleh
∫ x2 x0 f (x)dx≈ w0f (x0) + w1f (x1) + w2f (x2) + q0f(4) ( x0+ x2 2 ) . (8)
Selanjutnya, nilai f (x) pada persamaan (8) diganti dengan monomial
xk untuk k = 0, 1, 2, 3, 4 sehingga diperoleh sistem persamaan nonlinear berikut: ∫ x2 x0 1dx = x2− x0 = w0+ w1+ w2, ∫ x2 x0 xdx = x2 2− x 02 2 = w0x0+ w1x1+ w2x2, ∫ x2 x0 x2dx = x2 3− x 03 3 = w0x0 2+ w 1x12+ w2x22, ∫ x2 x0 x3dx = x2 4− x 04 4 = w0x0 3+ w 1x13+ w2x23, ∫ x2 x0 x4dx = x2 5− x 05 5 = w0x0 4+ w 1x14+ w2x24+ 24q0. (9)
Persamaan (9) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut:
1 1 1 0 x0 x1 x2 0 x02 x12 x22 0 x03 x13 x23 0 x04 x14 x24 24 w0 w1 w2 q0 = x2− x0 x22− x02 2 x23− x03 3 x24− x04 4 x25− x05 5 . (10)
matriks X dapat dihitung dengan menggunakan sifat matriks yaitu
A· X =B AT · A · X =AT · B
X =(AT · A)−1· AT · B, (11)
dimana AT merupakan matriks transpose dari A dan (AT · A)−1 merupakan
matriks invers dari (AT · A).
Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan (10) menggunakan sifat matriks pada persamaan (11), diperoleh nilai bobot w0 = w2 =
h 3, w1 = 4h 3 dan q0 =− h5
90. Kemudian nilai bobot yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan (8) sehingga untuk nilai n = 2 diperoleh persamaan
∫ x2 x0 f (x)dx≈ h 3 ( f (x0) + 4f (x1) + f (x2) ) − h5 90f (4) ( x0+ x2 2 ) . (12)
Persamaan (12) disebut juga dengan aturan Simpson berdasarkan turunan pada titik tengah. Derajat keakuratan dari metode ini adalah lima.
Misalkan n merupakan bilangan bulat kelipatan dua atau bilangan bulat genap. Kemudian interval [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval. Selanjutnya dengan mensubstitusikan aturan Simpson berdasarkan turunan pada titik tengah ke setiap subinterval, diperoleh bentuk komposit dari aturan Simpson berdasarkan turunan pada titik tengah berikut:
∫ xn x0 f (x)dx ≈ h 3 ( f (x0) + 2 (n/2)∑−1 i=1 f (x2i) + 4 n/2 ∑ i=1 f (x2i−1) + f (b) ) − (h)5 90 n/2 ∑ j=1 f(4) ( x2j−2+ x2j 2 ) .
Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama untuk memperoleh aturan Trapesium dan aturan Simpson berdasarkan turunan pada titik tengah beserta bentuk kompositnya, pada bagian berikutnya diperoleh aturan Simpson 3/8 dan aturan Boole berdasarkan turunan pada titik tengah beserta bentuk kompositnya.
Aturan Simpson 3/8 Berdasarkan Turunan pada Titik Tengah
diperoleh ∫ x3 x0 f (x)dx ≈ 3h 8 ( f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (xn) ) −3h5 80f (4) ( x0+ xn 2 ) .
Derajat keakuratan dari metode ini adalah lima.
Aturan Simpson 3/8 komposit berdasarkan turunan pada titik tengah untuk subinterval n merupakan bilangan bulat kelipatan tiga diperoleh ∫ xn x0 f (x)dx≈ 3h 8 ( f (x0) + 3 (n/3)∑−1 i=0 f (x3i+1) + 2 (n/3)∑−1 i=1 f (x3i) + 3 (n/3)∑−1 i=0 f (x3i+2) + f (xn) ) − 3h5 80 n/3 ∑ j=1 f(4) ( x3j−3+ x3j 2 ) .
Aturan Boole Berdasarkan Turunan pada Titik Tengah
Aturan Boole berdasarkan turunan pada titik tengah untuk n = 4 diperoleh ∫ x4 x0 f (x)dx≈ 2h 45 ( 7f (x0) + 32f (x1) + 12f (x2) + 32f (x3) + 7f (xn) ) − 8h7 945f (6) ( x0+ xn 2 ) .
Derajat keakuratan dari metode ini adalah tujuh.
Aturan Boole komposit berdasarkan turunan pada titik tengah untuk subinterval n merupakan bilangan bulat kelipatan empat diperoleh
∫ xn x0 f (x)dx≈ 2h 45 ( 7f (x0) + 32 (n/4)∑−1 i=0 f (x4i+1) + 14 (n/4)∑−1 i=1 f (x4i) + 12 (n/4)∑−1 i=0 f (x4i+2) + 32 (n/4)∑−1 i=0 f (x4i+3) + 7f (xn) ) −8h7 945 n/4 ∑ j=1 f(6) ( x4j−4+ x4j 2 ) . 3. ANALISIS ERROR
berdasarkan turunan pada titik tengah. Bentuk error diperoleh dengan menggunakan konsep dari ketelitian terkait perbedaan antara rumus kuadratur untuk monomial x
p+1
(p + 1)! dan nilai eksak 1 (p + 1)! ∫b a x p+1dx = (b p+2− ap+2) (p + 2)! dimana p merupakan ketelitian dari rumus kuadratur.
Teorema 1 Bentuk error dari aturan Trapesium (n = 1) dengan turunan pada titik tengah adalah
∫ b a f (x)dx = b− a 2 (f (a) + f (b))− (b− a)3 12 f ′′(a + b 2 ) −(b− a)5 480 f (4) (ξ),
dengan ξ ∈ (a, b). Jadi aturan ini mempunyai keakuratan pada orde kelima dengan bentuk error R1(f ) =−
(b− a)5 480 f
(4)(ξ) dan pada bentuk kompositnya mempunyai keakuratan pada orde keempat.
Bukti. Dapat dilihat pada Zhao dan Li [9].
Teorema 2 Bentuk error dari aturan Simpson (n = 2) dengan turunan pada titik tengah adalah
∫ b a f (x)dx = b− a 6 ( f (a) + 4f ( a + b 2 ) + f (b) ) − (b− a)5 2880 f (4) ( a + b 2 ) −(b− a)7 241920f (6)(ξ),
dengan ξ ∈ (a, b). Jadi aturan ini mempunyai keakuratan pada orde ketujuh dengan bentuk error R2(f ) =−
(b− a)7 241920f
(6)(ξ) dan pada bentuk kompositnya mempunyai keakuratan pada orde keenam.
Bukti. Dapat dilihat pada Zhao dan Li [9].
Teorema 3 Bentuk error dari aturan Simpson 3/8 (n = 3) dengan turunan pada titik tengah adalah
∫ b a f (x)dx =b− a 8 ( f (a) + 3f ( 2a + b 3 ) + 3f ( 2a + b 3 ) + f (b) ) − (b− a)5 6480 f (4) ( a + b 2 ) −23(b− a)7 9797760 f (6)(ξ),
dengan ξ ∈ (a, b). Jadi aturan ini mempunyai keakuratan pada orde ketujuh yang lebih tinggi dari metode Simpson dan bentuk kompositnya mempunyai keakuratan pada orde keenam dengan bentuk error R3(f ) =−
23(b− a)7 9797760 f
(6)(ξ). Bukti. Dapat dilihat pada Zhao dan Li [9].
Teorema 4 Bentuk error dari aturan Boole (n = 4) dengan turunan pada titik tengah adalah
∫ b a f (x)dx =b− a 90 ( 7f (a) + 32f ( 3a + b 4 ) + 12f ( a + b 2 ) + 32f ( a + 3b 4 ) + 7f (b) ) − (b− a)7 1935360f (6) ( a + b 2 ) − 17(b− a)9 45· 211· 8!f (8) (ξ),
dengan ξ ∈ (a, b). Jadi aturan ini mempunyai keakuratan pada orde
kesembilan yang lebih tinggi dari metode Simpson 3/8 dan bentuk kompositnya mempunyai keakuratan pada orde kedelapan dengan bentuk
error R4(f ) =−
17(b− a)9 45.211.8! f
(8)(ξ).
Bukti. Dapat dilihat pada Zhao dan Li [9].
4. UJI KOMPUTASI
Pada bagian ini, dilakukan uji komputasi menggunakan aturan-aturan pada metode Newton-Cotes tertutup dan metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah untuk membandingkan metode mana yang lebih baik dan lebih cepat dalam mendekati solusi eksak. Berikut ini merupakan dua contoh fungsi beserta solusi eksak yang digunakan dalam melakukan uji komputasi yaitu
1. ∫02exdx = 6.389056098930650,
2. ∫12 1xdx = 0.693147180559945.
Hasil komputasi dari dua contoh yang digunakan diberikan pada Tabel 1. Pada Tabel 1 terdapat notasi yang digunakan yaitu n merupakan jumlah subinterval, Tn merupakan aturan Trapesium, M Tn merupakan aturan
Trapesium dengan turunan pada titik tengah, Sn merupakan aturan Simpson, M Sn merupakan aturan Simpson dengan turunan pada titik tengah, Sn3/8
merupakan aturan Simpson 3/8, M Sn3/8 merupakan aturan Simpson 3/8
dengan turunan pada titik tengah, Bn merupakan aturan Boole, M Bn
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi metode Newton-Cotes tertutup dan metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah
∫b
a f (x)dx Aturan n Hasil Komputasi Error
Tn 20 6.394379425188750 5.32e− 003 M Tn 20 6.389057429548362 1.33e− 006 Sn 40 6.389056320706871 2.22e− 007 ∫2 0 e xdx M S n 40 6.389056098957052 2.64e− 011 Sn3/8 60 6.389056197501120 9.86e− 008 M Sn3/8 60 6.389056098945646 1.50e− 011 Bn 80 6.389056098933951 3.30e− 012 M Bn 80 6.389056098930651 8.88e− 016 Tn 20 0.693303381792694 1.56e− 004 M Tn 20 0.693147253676607 7.31e− 008 Sn 40 0.693147192747956 1.22e− 008 ∫2 1 1 xdx M Sn 40 0.693147180567545 7.60e− 012 Sn3/8 60 0.693147185977777 5.42e− 009 M Sn3/8 60 0.693147180564262 4.32e− 012 Bn 80 0.693147180560896 9.50e− 013 M Bn 80 0.693147180559946 8.88e− 016
Selanjutnya perbandingan setiap aturan yang menggunakan jumlah subinterval yang sama pada kedua metode dapat dilihat pada tabel yang diberikan. Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa hasil aproksimasi dari kedua contoh menggunakan aturan-aturan pada metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah lebih cepat untuk mendekati solusi eksak. Selain itu, nilai error dari masing-masing aturan pada metode Newton-Cotes tertutup berdasarkan turunan pada titik tengah juga lebih kecil sehingga ketelitian dari metode ini lebih tinggi.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth
Edition, John Wiley & Sons., New York, 2011.
[2] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Edition., Brooks/Cole, Boston, 2010.
[3] E. Babolian, M. Masjed-Jamei dan M. R. Eslahci, On numerical
improvement of Gauss-Legendre quadrature rules, Applied Mathematics
and Computation, 160 (2005), 779-789.
[4] C. O. E. Burg, Derivative based closed Newton-Cotes numerical quadrature, Applied Mathematics and Computation, 218 (2012),
7052-7065.
[5] M. Dehghan, M. Masjed-Jamai dan M. R. Eslahchi, On numerical
improvement of closed Newton-Cotes quadrature rules, Applied
Mathematics and Computation, 165 (2005), 251-260.
[6] D. Kincaid dan W. Cheney, Numerical Analysis Mathematics of Scientific
Computing., Brooks/Cole, Pacific Grove, 1991.
[7] R. Kress, Numerical Analysis., Springer, New York, 1998.
[8] J. H. Mathews dan K. D. Fink, Numerical Methods using Matlab, Fourth
Edition., Prentice-Hall, New Jersey, 2004.
[9] W. Zhao dan H. Li, Midpoint derivative based closed Newton-Cotes
