BAB II PEMBAHASAN
A. Keadaan Makro dan Keadaan Mikro
Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistic adalah menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak terbedakan. Spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkat-tingkat energy dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak, yang disebut dengan” keadaan Makro” (macrostate) dari suatu sistem.
Setiap keadaan makro dapat dirinci lagi menjadi kadaan-keadaan mikro, tergantung kepada apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak . Jumlah kadaan mikro untuk setiap keadaan makro k, yang disebut dengan
“Peluang Termodinamik” yang disimbolkan dengan WK. Sedangkan peluang
termodinamika sistem adalah sjumlah semua peluang termodinamika tiap-tiap keadaan makro, yang biasa dirumuskan sebagai berikut:
Ω = ∑k wk
Pada sistem klasik seperti molekul-molekul gas.massa sistem sangat besar sehinggapanjang gelombang sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi tumpang tindih fungsigelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip sistem-sistem tersebutdapat dibedakan.
Massa untuk sistem sub atomik sangat kecil maka panjang gelombang cukup besar.Panjang gelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yangberdekatan menjadi tumpang tindih. Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindihmaka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsigelombang tersebut.1
1
B. Peluang Termodinamik Statistik Bose- Einsten
Statistik bose-einsten mempunyai 2 ciri yang membedakannya dari statistic Maxwell- Bolzmann dan statistic Fermi-Direc yaitu :
1. Partikel- partikel dalam system idak dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya.
2. Jumlah partikel dalam suatu status tidak terbatas jumlahnya.
Berdasarkan spesifikasi yang berbeda ini, maka jumalah keadaan mikro atau peluang termodinamik pada suatu keadaan makro pada statistic Bozt- Einsten ini tidak sama, baik dengan statistic Fermi- Direc, maupun statistic Maxwell-Bolzmann. Agar lebih mudah dipahami, kita lihat contoh I bawah ini :
Contoh :
Pada suatu tingkat energi yang terdiri dari 3 buah status, terdapat 4 buah boson. Berapa cara yang mungkin untuk mendistribusikan boson tersebut kedalam status-satus itu?
Solusi :
Jika status kita lukiskan dengan kotak, daan boson dengan titik, sedangkan satu kotak dapat diisi oleh lebih dari satu titik, maka diperoleh 15 cara untuk mendistribusikan ke 4 boson tersebut kedalam 3 status energy.
Seperti gambar berikut :
Cara yang digunakan dalam contoh diatas, dapat diterapkan jika bson dan status dinyatakan dalam jumlah yang kecil. Jika jumlah boson cukup besar, tidaklah mungkin untuk kita menghitungnya satu persatu, apalagi melukiskan konfigurasinya. Oleh sebab itu dicari formula yang berlaku secara umum, baik untuk jumlah boson sedikit, atau jumlah boson yang sangat besar. Sesuai dengan ciri khas statistic Bose-Einsten, telah diperoleh peluang termodinamik yang menggambarkan jumlah keadaan mikro untuk suatu keadaan makro tertentu, yang dapat ditulis :
𝑊𝑖 = Nᵢ+ gᵢ− 1 !
gᵢ− 1 ! N!
Dan berlaku untuk satu tingkat energi ke i. jika system mempunyai lebih dari satu tingat energy, masing-masing dengan gi keadaan, maka
peluang termodinamiknya merupakan perkalian dari masing- masing peluang termodinamik pada setiap energi. Agar lebih mudah dipahami kita lihat contoh berikut :
Contoh :
Suatu system terdiri dari 2 tingkat energy, ɛ1 dengan 3 buah status,
berisi 2 buah boson, sedangkan ɛ2 dengan 2 buah status, berisi 4 buah boson.
Keadaan mikro yang manakah yang mungkin untuk system tersebut? Solusi :
Untuk tingkat ɛ1 diperoleh W₁ =
4! 2!2!= 6
Untuk tingkat ɛ₂ diperoleh W₂ = 5!
Keadaan makro yang mungkin dapat diperoleh dengan menggabungkan tiap cara mengisi tingkat pertama dengan 5 cara mengisi tingkat ke 2, sehingga diperoleh :
6 × 5 = 30
yang merupakan jumlah keadaan mikro.2
Selanjutnya dapatlah disimpulkan bahwa jika ada n tingkat energy, misalnya ɛ₁, ɛ₂,…, ɛn, masing-masing dengan g₁, g₂, …., gn, an diisi oleh N₁,
N₂, …, Nn, maka jumlah keadaan mikro yang mungkin untuk suatu keadaan
makro adalah : 𝑊 = 𝑊1𝑊2, … 𝑊n = n i=1 Nᵢ+ gᵢ− 1 ! gᵢ− 1 ! N!
C. Fungsi Distribusi Bose-Einsten
Sama halnya dengan statistik Maxwell – Boltzman dan Fermi – Dirac, fungsi distribusi Bose – Einstein dapat diperoleh pada saat peluang termodinamik berharga maksimun , dengan syarat jumlah boson tetap, karena sistem terisolasi artinya :
𝑛𝑖=1𝑁𝑖 = N dan dN = 𝑛𝑖=1𝑑𝑁𝑖=0 pers (1) Serta energi dalam sistem (U) tetap, sehingga :
𝑈 = 𝑛𝑖=1𝑁𝑖ԑ𝑖 = 0 dan 𝑑𝑈 = 𝑛𝑖=1ԑ𝑖 𝑑𝑁𝑖 = 0 pers (2)
Peluang termodinamik akan berharga maksimum bila harga ln W maksimum, yakni : 𝐿𝑛 𝑊 = ln П 𝑁𝑖+𝑔𝑖 −1 ! 𝑔𝑖 −1 !𝑁𝑖 ! Atau Ln W = 𝑛𝑖=1𝑙𝑛 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 − 1 ! − 𝑛𝑖=1𝑙𝑛 𝑔𝑖 − 1 ! + 𝑛𝑖=1𝑙𝑛 𝑁𝑖 ! 2
Dengan menggunakan pendekatan stirling (Ln N! = N ln N – N) dan mengabaikan angka 1, maka akhirnya diperoleh:
Ln W = 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 𝑙𝑛 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 − 𝑛 (𝑁𝑖+ 𝑔𝑖) 𝑖 =1 − 𝑛𝑖=1𝑔𝑖𝑙𝑛 𝑔𝑖 − 𝑛 𝑖=1 𝑛𝑖=1𝑔𝑖 + 𝑛𝑖=1𝑁𝑖𝑙𝑛 𝑁𝑖− 𝑛𝑖=1𝑁𝑖 Ln W = 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 ln 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖 − 𝑔𝑖− 𝑛 𝑔𝑖ln 𝑔𝑖− 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛𝑖=1𝑔𝑖 + 𝑛𝑖=1𝑁𝑖ln 𝑁𝑖− 𝑛𝑖=1𝑁𝑖 Ln W = 𝑛𝑖=1 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 𝑙𝑛 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 − 𝑛𝑖=1𝑁𝑖 − 𝑛𝑖 =1𝑔𝑖 − 𝑛𝑖=1𝑔𝑖ln 𝑔𝑖+ 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖ln 𝑁𝑖+ 𝑛 𝑁𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 Ln W = 𝑛 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 ln 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 𝑖=1 − 𝑛𝑖=1𝑔𝑖ln 𝑔𝑖− 𝑛𝑖=1𝑁𝑖ln 𝑁𝑖 Ln W = 𝑛𝑖=1 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 𝑙𝑛 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 − 𝑔𝑖𝑙𝑛𝑔𝑖 − 𝑁𝑖𝑙𝑛𝑁𝑖
Bila didiferensialkan terhadap Ni, maka :
𝜕 ln 𝑤 𝑑 𝑁𝑖 = 𝜕 𝑑 𝑁𝑖 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 𝑙𝑛 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 − 𝑔𝑖𝑙𝑛𝑔𝑖− 𝑁𝑖𝑙𝑛𝑁𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜕 ln 𝑤 𝑑 𝑁𝑖 = 𝑙𝑛 𝑁𝑖+ 𝑔𝑖 − 0 − 𝑙𝑛𝑁𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜕ln W = 𝑛𝑖=1 𝑙𝑛 𝑁𝑖 + 𝑔𝑖 𝑑𝑁𝑖 − 𝑙𝑛𝑁𝑖𝑑𝑁𝑖 𝜕ln W = 𝑙𝑛 𝑁𝑖+𝑔𝑖 𝑁𝑖 𝑑𝑁𝑖 𝑛 𝑖=1 pers (3)
Sama halnya dengan statistik Maxwell- Bolztmann dan Fermi – Dirac, fungsi distribusi Bose- Einstein dapat diperoleh dari solusi persamaan (1), (2), dan (3) dengan menggunakan metode penggali lagrange, sehingga dapat ditulis: d ln W + 𝜶 𝒅𝑵 + 𝜷 𝒅𝑼 = 𝟎 Atau 𝑙𝑛 𝑁𝑖 +𝑔𝑖 𝑁𝑖 𝑛 𝑖=1 dNi + 𝛼 𝑛𝑖=1 𝑑𝑁𝑖 + 𝛽 𝑛𝑖=1 𝜀𝑖 dNi = 0 Selanjutnya diperoleh:
𝑙𝑛 𝑁𝑖+𝑔𝑖
𝑁𝑖 = - (𝛼 + 𝛽𝜀𝑖)
Atau
Ni = 𝑔𝑖 exp − 𝛼+𝛽𝜀𝑖 −1
Sesuai dengan persamaan distribusi Maxwell-Boltsman dan Fermi-Dirad, Harga 𝛽 = − 1
𝑘𝑡 .
Sedangkan harga konstanta 𝛼 agak sukar untuk diungkapkan secara umum . jika e-a = A,maka fungsi distribusi Bose- Einsten dapat ditulis:
Ni = 𝑔𝑖
A exp 𝐾𝑇𝜀 −1 pers (4)
Pada prinsipnya, harga A dapat ditentukan dengan menggunakan syarat:
𝑁𝑖 = 𝑁
𝑛
𝑖=1
Telah kita ketahui,bahwa jika jumlah keadaan persatuan volume dalam ruangan fasa adalah B, maka jumlah keadaan keadaan dalam sistem tersebut dapat ditulis:
g = B dT
Dengan demikian diperoleh jumlah keadaan yang mempunyai energi antara 𝜀 dan 𝜀+ d𝜀, yaitu:
g (𝜀) d𝜀 = B dx dy dz dpx dpy dpz
Harga B dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip normalisasi dan azas ketidakpastian Heisenberg, yakni:
𝑔 𝜀 𝑑𝜀 − 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 0 ∆𝑥 ∆𝑝 ≤ ℎ Dan dihasilkan: B = 1 ℎ3
Jadi jumlah keadaan yang mempunyai energi anatara 𝜀 𝑑𝑎𝑛 𝜀 + 𝑑𝜀, adalah:
g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1
Jika V = dx dy dz dan dpx dpy dpz = 4 𝜋 p2 dp, maka persamaan 5-8 dapat ditulis: g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 4 𝜋 p 2 dp pers (6)
Dengan menggunakan hubungan
𝜀 = 𝑃2 2𝑚 p 2 = 𝜀2𝑚 2p dp = 2m d𝜀 P = 𝜀2𝑚 dp = 2𝑚 2𝑝 d𝜀 P = (𝜀)1/2 (2m)1/2 dp = 𝑚 𝑝 d𝜀 Maka diperoleh: g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 4 𝜋𝜀 2m 𝑚 𝑝 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 4 𝜋𝜀 2m 2 1 (𝜀)1/2 (2m )1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 8 𝜋 (1/2) 1/2 (m)3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 8 𝜋 1 2 (m) 3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 8 𝜋 1 2 𝑥 2 2 (m) 3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 8 𝜋 2 2 (m) 3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v (2) 2 (2)1/2𝜋(m)3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v (2) 1 (2)3/2𝜋(m)3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 g (𝜀) 𝑑𝜀 = 1 ℎ3 v 2𝜋 (2m) 3/2 (𝜀)1/2 d𝜀 pers (7)
Dengan menggabungkan persamaan (7) dengan persamaan (4), diperoleh jumlah molekul yang mempunyai energi antara 𝜀 dan 𝜀 + d𝜀, yaitu :
dN(𝜀) = 𝑉 ℎ3 2𝜋 2𝑚 3 2 𝜀 1 2 𝑑𝜀 𝐴 𝑒𝑥𝑝 𝐾𝑇𝜀 − 1 pers (8) Dalam banyak hal, A exp (𝜀
𝐾𝑇)≫1, maka digunakan pendekatan:
dN(𝜀) = 𝑉 ℎ3 2𝜋 2𝑚 3 2exp − 𝜀 𝐾𝑇 𝐴 dԑ pers (9)
Bila kita perhatikan persamaan (5-14),mengingatkan kita pada distribusi Maxwell-Boltzman jika digunakan syarat:
𝑑𝑁 𝜀 ∞ 𝜀=0 = 𝑁 Maka diperoleh: A= 𝑉 𝑁3ℎ (2𝜋 𝑚 𝑘 𝑇) pers (10)
Dengan mengambil gas helium sebagai contoh,pada tekanan 1 atm, dan suhu 300 K, diperoleh A=3.105, sedangkan untuk suhu 4 K, diperoleh harga A= 7, berarti bahwa pada suhu 4 K, pendekatan diatas dapat digunakan,tanpa kesalahan yang besar.3
3
