BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analisa Perencanaan Proyek
Proyek dapat dikatakan sebagai kegiatan terencana dan berurutan yang hanya berlangsung sekali dimana dalam kegiatan tersebut memiliki saat awal dan saat akhir. Proyek adalah serangkaian kegiatan yang berlangsung dalam jangka waktu tertentu dengan alokasi sumber daya yang tersedia dan bertujuan untuk melaksanakan tugas yang telah ditetapkan. Perencanaan sangat penting didalam pelaksanaan proyek. Perencanaan yang tidak sesuai akan mengakibatkan kesulitan di dalam pelaksanaannya. Oleh karena itu, perencanaan proyek harus sesuai dengan batasan yang dimiliki dan tujuan yang ingin dicapai. Fungsi perencanaan proyek yaitu sebagai sarana komunikasi bagi seluruh pihak terkait, dasar dalam pengalokasian sumber daya, dan tolak ukur di dalam pengendalian.
Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa manajemen proyek sangat penting diterapkan dalam kasus ini. Manajemen proyek adalah usaha merencanakan, mengorganisir, mengarahkan dan mengkoordinasi serta mengawasi kegiatan dalam proyek sedemikian rupa sehingga sesuai dengan jadwal, waktu, dan anggaran yang telah ditetapkan.
serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas pemanfaatan setiap sumber daya.”
Santosa (2009) menjelaskan hubungan waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).
Tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek yaitu penerapan tujuan meliputi pelaksanaan proyek yang diinginkan, serta waku, dan biaya performansi yang ditargetkan. Kedua, urutan kerja yang berisi seluruh urutan dan deskripsi pekerjaan-pekerjaan yang perlu dilakukan untuk mencapai tujuan proyek. Ketiga, perancangan organisasi proyek untuk menentukan departemen-departemen yang diperlukan di dalam pelaksanaan proyek. Keempat, jadwal kegiatan berisi waktu pelaksanaan setiap aktivitas, batas selesai dan milestone. Kelima, rencana anggaran dan sumber daya, perencanaan ini berisikan jumlah anggaran dan sumber daya yang dibutuhkan untuk terlaksananya tujuan proyek. Terakhir yaitu ramalan mengenai performansi penyelesaian proyek. Tahap ini berisi performansi yang diharapkan di dalam penyelesaian proyek.
Pada sebuah perencanaan proyek digunakan alat-alat bantu sebagai berikut: 1. Work breakdown structure (WBS)
Metode ini digunakan untuk mengidentifikasi pekerjaan-pekerjaan yang ada dalam pelaksanaan proyek.
2. Matriks tanggungjawab
Matriks ini digunakan untuk menentukan organisasi proyek, personil-personil kunci dan tanggungjawab pekerjaanya.
3. Gantt Chart
Peta ini menggambarkan jadwal induk proyek, dan jadwal pekerjaan secara detail.
Jaringan kerja digunakan untuk memperlihatkan urutan pelaksanaan pekerjaan dari awal hingga akhir.
2.2 Jaringan Kerja
Jaringan adalah kerangka dari sistem informasi proyek yang akan digunakan oleh manajer proyek dalam pengambilan keputusan dengan memperhatikan waktu, biaya, dan performansi. Jaringan mudah dimengerti oleh setiap individu karena jaringan berisi tampilan grafis dari aliran dan urutan tiap pekerjaan. Pengembangan jaringan dapat dengan mudah dilakukan. Sebagai contoh jika material untuk suatu kegiatan tertunda, dampak kejadian tersebut dapat dengan cepat ditaksir dan peninjauan kembali terhadap proyek secara utuh.
Jaringan kerja adalah suatu alat yang digunakan untuk merencanakan, menjadwalkan, dan mengawasi kemajuan dari suatu proyek. Jaringan dikembangkan dari informasi yang diperoleh dari WBS dan gambar diagram alir dari rencana kerja proyek. Jaringan menggambarkan beberapa hal yaitu kegiatan-kegiatan proyek yang harus dilakukan, urutan kegiatan yang logis, ketergantungan antar kegiatan,waktu kegiatan melalui lintasan kritis.
Manfaat jaringan kerja adalah sebagai berikut:
1. Merupakan dasar dalam perhitungan penyelesaian waktu pelaksanaan proyek. 2. Merupakan dasar dalam penjadwalan tenaga kerja dan paralatan.
3. Alat komunikasi antara seluruh manajer dan kelompok. 4. Alat perhitungan waktu apabila terjadi penundaan proyek. 5. Dasar dalam menggambarkan cash flow dari suatu proyek.
kegiatan-kegiatan yang harus dipenuhi untuk melengkapi proyek. Suatu kegiatan merupakan elemen pada proyek yang menghabiskan waktu. Sebagai contoh , bekerja atau menunggu.
Paket pekerjaan dari WBS digunakan untuk membangun kegiatan pada jaringan kerja. Suatu kegiatan dapat meliputi satu atau lebih paket pekerjaan. Kegiatan-kegiaatan ditempatkan sesuai urutannya di dalam penyelesaian proyek. Jaringan dibangun dengan menggunakan node (kotak) dan anak panah (garis). Node menggambarkan suatu kegiatan dan panah menunjukkan keterkaitan dan aliran proyek.
2.3 Analisa Jaringan Kerja
Analisa jaringan kerja proyek adalah suatu sistem kontrol proyek yang berisi kegiatan tunggal, kegiatan gabungan, kegiatan paralel, dan lintasan kritis. Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam membangun jaringan kerja yaitu:
1. Kegiatan (Activity)
Untuk manajer proyek, suatu kegiatan merupakan elemen dari proyek yang membutuhkan waktu pelaksanaan (duration). Juga didefinisikan sebagai hal yang membutuhkan sejumlah sumber ternaga, equipment, material, biaya dan sebagainya. Kegiatan biasanya terdiri dari satu atau lebih tugas dari suatu paket kerja. Deskripsi dari kegiatan seharusnya menggunakan format kata kerja/kata benda: sebagai contoh, pembuatan fondasi.
2. Kegiatan Memusat (Merge Activity)
Beberapa kegiatan yang berbeda lalu dilanjutkan dengan kegiatan yang sama sehingga disebut kegiatan memusat (lebih dari satu kaitan aliran panah).
3. Kegiatan paralel (Parallel Activity)
Ini adalah kegiatan yang dikerjakan pada waktu yang bersamaan. 4. Alur (Path)
Ini berarti alur terpanjang yang terdapat pada jaringan. Jika terdapat suatu kegiatan yang tertunda (delay) pada alur, maka proyek juga akan tertunda pada waktu yang sama.
6. Kegiatan (Event)
Istilah ini berupa suatu titik dan digunakan ketika sebuah kegiatan diimulai atau selesai. Jadi tidak membutuhkan waktu.
7. Kegiatan memencar (Burst Activity)
Kegiatan ini memiliki lebih dari satu kegiatan yang secara bersamaan mengikutinya (lebih dari satu panah yang terkait mengikutinya).
Analisa jaringan kerja berguna dalam mengkoordinir semua unsur proyek ke dalam suatu rencana utama (master plan) dengan menerapkan suatu metode kerja untuk melengkapi proyek sehingga diperoleh:
1. Waktu terbaik untuk pelaksanaan kegiatan (best time). 2. Pengurangan / penekanan ongkos/ biaya (least cost). 3. Pengurangan risiko (least risk).
4. Mempelajari alternatif-alternatif yang terdapat di dalam dan di luar proyek. 5. Untuk mendapatkan atau mengembangkan schedule (jadwal yang optimal). 6. Penggunaan sumber-sumber (resources) secara efektif dan efisien.
7. Alat komunikasi antar pemimpim. 8. Pengawasan pembangunan proyek.
9. Memudahkan revisi atau perbaikan terhadap penyimpangan yang terjadi.
2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja
hubungan-1. PERT (Program Evaluation and Review Technique)
PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu proyek. Teknik ini merupakan suatu metode untuk menentukan jadwal dan anggaran dari sumber-sumber, sehingga suatu pekerjaan tertentu dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
2. CPM (Critical Path Method)
Metode ini ditemukan oleh perusahaan bahan kimia Amerika yaitu Du Pon Company pada tahun 1958 untuk memecahkan kesulitan-kesulitan proses fabrikasi. Metode ini berbentuk diagram network yang hampir mirip dengan PERT. Perbedaanya adalah dalam penentuan perkiraan waktu. CPM dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan kegiatan dan dapat menentukan prioritas kegiatan yang harus mendapat perhatian dan pengawasan yang cermat, agar kegiatan dapat selesai sesuai dengan rencana.
3. PDM (Preseden Diagram Method)
Pada CPM metode yang dipakai adalah Activity on Arrow (AOA) dimana aktifitas dan kegiatan diletakkan pada tanda panah, sedangkan pada PDM Activity on Node (AON) dimana tanda panah hanya menyatakan keterkaitan antar kegiatan. Kegiatan dari peristiwa pada PDM ditulis dalam bentuk node yang berbentuk kotak segi empat, sedang anak panah hanya sebagai petunjuk kegiatan-kegiatan yang bersangkutan.
4. Metode AOA (Activity On Arrow)
Untuk membentuk gambar dari rencana jaringan kerja digunakan simbol-simbol, yaitu:
a. Anak panah = arrow (menyatakan sebuah kegiatan, activity). b. Lingkaran = node (menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa,
event).
c. Anak panah terputus-putus (menyatakan kegiatan semu atau
dummy).
Dummy terdiri dari dua macam, yaitu:
a. Grammatical Dummy diperlukan untuk menghindari kerancuan penyebutan
suatu kegiatan apabila terdapat dua atau lebih kegiatan yang berasal dari peristiwa yang sama dan berakhir pula pada peristiwa yang sama.
1
1
2 1
2 2
Gambar 2.1 Grammatical Dummy
b. Logical Dummy digunakan untuk memperjelas hubungan antar kegiatan.
Misalnya, terdapat hubungan seperti pada gambar ini, hubungan ini dapat diartikan bahwa kegiatan 4 dan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Padahal maksud yang sesungguhnya ialah kegiatan 4 dapat dimulai setelah kegiatan 1 dan 2 selesai, sedangkan kegiatan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Untuk menggambarkan logika ini maka diperlukan
dummy yang dapat memperjelas maksud tersebut.
a b b b a a c c
1 4 1 4
2 2
3 5
3 5
Gambar 2.2 Logical Dummy
Contoh:
Dalam rangka memenuhi permintaan yang semakin meningkat, Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merencanakan untuk memasang instalasi pengolah air (water
treatment) baru. Maka terlebih dahulu diidentifikasi kegiatan-kegiatan yang harus
dilakukan. Rincian kegiatan akan diperlihatkan pada tabel di bawah ini.
Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan
Kegiatan Kegiatan pendahulu
A. Perencanaan system -
B. Pembuatan saluran air A
C. Pembuatan pondasi A
D. Pemesanan mesin A
E. Pembuatan instalasi listrik C
F. Pemasangan pipa B,E
G. Pemasangan mesin C,D
H. Finishing dan start up F,G
Jaringan kerja pada kasus ini dapat digambarkan dengan memperhatikan urutan pekerjaan dan kegiatan yang mendahuluinya.
𝑑1 B
A C E F H
D G 𝑑2
Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolah Air
𝑑1 pada gambar di atas merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan B dan E sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir. Demikian juga 𝑑2 merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan F dan G sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir.
2.4.1 Elemen Jaringan Kerja
Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja
Waktu mulai tercepat (ES) untuk masing-masing kegiatan menunjukkan kapan suatu kegiatan paling cepat dapat dilakukan. Waktu selesai terlama (LF) menunjukkan kapan suatu kegiatan paling lama dapat diselesaikan. Dalam melakukan perhitungan penentuan waktu penyelesaian digunakan beberapa terminologi dasar berikut:
E L
Nomor identifikasi kejadian Waktu mulai tercepat Waktu selesai terlama
1
8
7
6
5
4
3
2
9
a). E (earliest event occurence time ) Saat tercepat terjadinya suatu peristiwa. b). L (Latest event occurence time)
Saat paling lambat yang masih diperbolehkan bagi suatu peristiwa terjadi. c). ES (earliest activity start time)
Waktu mulai paling awal suatu kegiatan. Bila waktu mulai dinyatakan dalam jam, maka waktu ini adalah jam paling awal kegiatan dimulai.
𝐸𝑆𝑖 = max{𝐸𝑆 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑖 + 𝐷 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑖,𝑖 d). EF (earliest activity finish time)
Waktu Selesai paling awal suatu kegiatan. EF pada dasarnya merupakan pasangan dari ES. Karena waktu penyelesaian kegiatan ditandai dengan 𝐷𝑖,𝑗, maka
𝐸𝐹𝑖,𝑗 = 𝐸𝑆𝑖 + 𝐷𝑖,𝑗.
EF suatu kegiatan terdahulu = ES kegiatan berikutnya. e). LS (latest activity start time)
Waktu paling lambat kegiatan boleh dimulai tanpa memperlambat proyek secara keseluruhan.
𝐿𝑆𝑖,𝑗 = 𝐿𝐹𝑗 − 𝐷𝑖,𝑗
f). LF (latest activity finish time)
Waktu paling lama kegiatan diselesaikan tanpa memperlambat penyelesaian proyek.
𝐿𝐹𝑗 = min{𝐿𝐹 𝑠𝑒𝑠𝑢𝑑𝑎 𝑗 + 𝐷(𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑗 ,𝑗 ). g). t (activity duration time)
Kurun waktu yang diperlukan untuk suatu kegiatan (hari, minggu, bulan).
Slack dapat dihitung dengan cara: Slack=EF-LF=ES-LS.
Perhitungan ES dan LF ini dapat dilakukan dengan melalui 2 tahap yaitu: 1. Hitungan Maju
Dimulai dari Start (initial event) menuju Finish (terminal event) untuk menghitung waktu penyelesaian tercepat suatu kegiatan (EF), waktu tercepat terjadinya kegiatan (ES) dan saat paling cepat dimulainya suatu peristiwa (E).
Dimulai dari Finish menuju Start untuk mengidentifikasi saat paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LF), waktu paling lambat terjadinya suatu kegiatan (LS) dan saat paling lambat suatu peristiwa terjadi (L).
2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis
Pada CPM terdapat dua buah perkiraan waktu dan biaya untuk setiap kegiatan yang terdapat dalam jaringan. Kedua perkiraan tersebut adalah perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya normal (normal estomate) dan perkiraan waktu penyelesaian dan biaya yang sifatnya dipercepat (crash estimate). Dalam menentukan perkiraan waktu penyelesaian akan dikenal istilah jalur kritis, jalur yang memiliki rangkaian-rangkaian kegiatan dengan total jumlah waktu terlama dan waktu penyelesaian proyek yang tercepat. Sehingga dapat dikatakan bahwa jalur kritis berisikan kegiatan-kegiatan kritis dari awal sampai akhir jalur.
Waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash dapat dihubungkan sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).
Contoh bagan CPM sederhana. Tentukan jalur kritis dan waktu tercepat
1 minggu 3 minggu 2 minggu 4 minggu 1 3 4 2
Dapat dilihat bahwa jaringan diatas mempunyai dua jalur, yaitu 1-2-4 yang memerlukan 4 minggu, dan 1-3-4 yang memerlukan waktu 6 minggu. Dengan demikian waktu tercepat yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah 6 minggu. Sedangkan jalur yang membentuk jalur terpanjang ini yaitu 1-3-4 disebut sebagai jalur kritis ( Critical Path ). Bisa dikatakan bahwa waktu tercepat yang diharapkan untuk event 4 adalah 6 minggu.
Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada Keadaan Normal dan Dipercepat
𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆 𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 = 𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 𝑫𝒊𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕 − 𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝑾𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑫𝒊𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕
Sebagai contoh, misalnya kegiatan B memiliki waktu normal selama 3 hari dengan total biaya Rp 40.000,00. Jika kegiatan B dipercepat menjadi 2 hari maka total biaya menjadi Rp 50.000,00. Biaya percepatan perhari kegiatan B dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut:
\ Biaya Normal Biaya untuk Waktu Dipercepat Biaya waktu A (Titik Nomal) Waktu Normal Waktu Dipercepat B (Titik Dipercepat)
Waktu Normal −Waktu Dipercepat =Rp 50.000,00−Rp 40.000,00
3−2
= Rp 10.000,00/𝑎𝑟𝑖.
2.5 Nilai Harapan dan Variansi
Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Dua asumsi yang dipakai untuk mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan (𝑡𝑒) dan variansi (𝜎2) dari waktu yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat dituliskan menjadi
𝜎2 = 𝑏 − 𝑎 6
2
sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus 𝑡𝑒 = 𝑎+𝑏+4𝑚
6 .
2.6 Program Linier
Program Linier (Linear Programming) merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika. Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah
Misalnya: 𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Setiap pertambahan/ pengurangan 1 unit 𝑥1 akan menaikkan/ menurunkan nilai Z dengan 𝑐1, demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama. b. Additivity
Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan kegiatan lain.
Misalnya: 𝑍 = 8𝑥1+ 10𝑥2 Untuk 𝑥1 = 6 dan 𝑥2 = 8 𝑍 = 8.6 + 10.8 = 128
Jika 𝑥1 bertambah/ berkurang, penambahan/ pengurangan 𝑥1 dapat langsung ditambahkan/ dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang diperoleh dari 𝑥2.
c. Disibility
Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan.
d. Deterministic ( Certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier (𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖, 𝑐𝑗) dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang harus dipenuhi yaitu:
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif, kerugian-kerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin diminimumkan.
b. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya.
c. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga, keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan.
d. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.
e. Keterkaitaan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling menunjang, dan sebagainya
Sumber daya yang membatasi: 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏𝑚 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0
Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut: Fungsi tujuan:
Maksimum dan minimumkan: 𝑍 = 𝑛𝑗 =1𝑐𝑗𝑥𝑗
Kendala:
𝑛𝑗 =1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏𝑖 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 Dan 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Simbol 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 merupakan konstribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematikanya. Simbol 𝑎11, … , 𝑎1𝑛, … 𝑎𝑚𝑛 merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.
𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 170𝑥1+ 190𝑥2
Dengan kendala: 15𝑥2 ≤ 1050
20𝑥1+ 16𝑥2 ≤ 1600 24𝑥1+ 30𝑥2 ≤ 2400 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari nilai variabel yang lain.
1) 15𝑥2 = 1050 𝑥2 = 70 2) 20𝑥1+ 16𝑥2 = 1600 𝑥1 = 0 16𝑥2 = 1600 𝑥2 = 100 𝑥2 = 0 20𝑥1 = 1600 𝑥1 = 80 3) 24𝑥1+ 30𝑥2 = 2400 𝑥1 = 0 30𝑥2 = 2400 𝑥2 = 80 𝑥2 = 0 24𝑥1 = 2400 𝑥1 = 100
𝑥2 120 100 F 80 E A B G 1 60 C 40 20 2 3 D H 0 20 40 60 80 100 𝑥1
Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan
Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel (fisible
solution).
Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai 𝑥1 dan 𝑥2. Perbandungan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan perbandingan 𝑐1 dan 𝑐2. Geser grafik fungsi tujuan tersebut kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel, yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi adalah yang paling dekat dengan titik original 0.
kendala 2 dan kendala 3). 20𝑥1+ 16𝑥2 = 1600 × 6 120𝑥1+ 96𝑥2 = 9600 24𝑥1+ 30𝑥2 = 2400 × 5 120𝑥1+ 150𝑥2 = 1200 -54𝑥2 = −2400 𝑥2 = 400/9 20𝑥1+ 16 ∙ 400/9 = 1600 𝑥1 = 400/9 Z=170(400/9)+190(400/90=16000
2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier a. Feasible Solution
Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang
ada pada persoalan tersebut. b. In Feasible Solution
In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi
semua kendala dalam masalah tersebut.
Contoh: 𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2 Dengan kendala: 8𝑥1+ 10𝑥2 ≤ 40 2𝑥1 ≥ 12 𝑥2 ≥ 5 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑥2 6 2 5 3 4 3 2 1 1 𝑥1 0 1 2 3 4 5 6
Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution
Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak.
c. Optimal Solution
Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi
fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar dibandingkan titik O, A, B dan C.
d. Multiple Optimal Solution
Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik
optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula : 𝑍 = 170𝑥1+ 190𝑥2 berubah menjadi 𝑍 = 100𝑥1+ 80𝑥2, maka akan terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada gambar 2.7.
120 100 F 80 E A B G 1 60 C 40 20 2 3 D H 0 20 40 60 80 100 𝑥1
Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution
Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan. e. Boundary Equation
Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan.
f. Corner Point Feasible Solution
Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada
perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A, B, C dan D.
g. Corner Point Infeasible Solution
Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar
daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H. h. No Optimal Solution
No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai
Hal tersebut disebabkan oleh :
1. Tidak ada feasible solution (lihat gambar 2.6). 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut: 𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2
Dengan kendala 𝑥1 ≤ 4
2𝑥1 ≤ 10 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: 𝑥1 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution
Pengambilan waktu percepatan (crash) yang optimal dengan pendekatan Program Linier.
Jika 𝑥𝑖 = waktu untuk kejadian i 𝑥𝑗 = waktu untuk kejadian j
𝑥𝑚 = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir (m) 𝑡𝑖𝑗 = waktu normal untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗
𝑡𝑐𝑖𝑗 = waktu chrashing aktivitas 𝑖 → 𝑗
𝜏𝑖𝑗 = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗 karena crashing maksimum
𝐶𝑐𝑖𝑗 = untuk aktivitas normal 𝑖 → 𝑗 dengan crashing 𝑆𝑖𝑗 = slope biaya untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗
Model umum program linier untuk jaringan ini adalah 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑆𝑚𝜏𝑚 . Untuk kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa 𝑥𝑖 = 0.
Untuk event berikutnya 𝑥𝑗 ≥ 𝑡𝐴− 𝜏𝐴+ 𝑥𝑖 𝑥𝑘 ≥ 𝑡𝐵− 𝜏𝐵 + 𝑥𝑗
⋮
𝑥𝑚 ≥ 𝑡𝑍− 𝜏𝑍+ 𝑥𝑚 −1
Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan kedalam bentuk program linier.
Jika dianggap 𝑥𝑚 adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas, yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = 𝑥𝑚. Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗 sebagai 𝑡𝑖𝑗. Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑖𝑗. Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥𝑚.
Dengan kendala: 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑖𝑗 untuk seluruh aktivitas 𝑖 → 𝑗 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ≥ 0
Diketahui: 𝑥𝑖 = waktu kejadian pada simpul i 𝑥𝑗 = waktu kejadian pada simpul j 𝑡𝑖𝑗 = waktu aktivitas 𝑖 → 𝑗
2.5.2 Metode Simpleks
Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.
Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.
Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks
𝐶𝑗 𝐶1 … 𝐶𝑘 … 𝐶𝑛 Jawab Basis Variabel Basis Harga Basis 𝑋𝐵1 … 𝑋𝑛 … 𝑋𝑚 𝑋𝐵1 𝐶𝐵1 𝑎11 … 𝑎1𝑘 … 𝑎1𝑛 𝑏 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑋𝐵𝑟 𝐶𝐵𝑟 𝑎𝑟1 … 𝑎𝑟𝑘 … 𝑎𝑟𝑛 𝑏 𝑟 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑋𝐵𝑚 𝐶𝐵𝑚 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑘 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏 𝑚 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗= imbalan 𝑍1− 𝐶1 … 𝑍𝑘 − 𝐶𝑘 … 𝑍𝑛 − 𝐶𝑛 𝐶𝐵𝑏
Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
1). Untuk batasan bernotasi ≤ dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack kedalamnya.
2). Untuk batasan bernotasi ≥ dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel buatan (artificial variable) kedalamnya.
3). Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan
(artificial variable) kedalamnya.
Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method).
Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk umum 𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1+ 3𝑥2 Kendala: 4𝑥1+ 6𝑥2 ≤ 36 7𝑥1+ 5𝑥2 = 35 8𝑥1+ 4𝑥2 ≥ 32 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Bentuk standar persoalan di atas menjadi: 𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1+ 3𝑥2
Kendala: 4𝑥1+ 6𝑥2+ 𝑠1 = 36 7𝑥1+ 5𝑥2+ 𝐴1 = 35
7𝑥1+ 5𝑥2+ 𝐴1 = 35 8𝑥1+ 4𝑥2− 𝑠2+ 𝐴2 = 32 𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝐴1, 𝐴2 ≥ 0
1. Nilai 𝐴1 digantikan dari fungsi kendala kedua. 𝐴1 = 35 − 7𝑥1− 5𝑥2
𝑀𝐴1 berubah menjadi 𝑀 35 − 7𝑥1− 5𝑥2 = 35𝑀 − 7𝑀𝑥1 − 5𝑀𝑥2 2. Nilai 𝐴2 digantikan dari fungsi kendala kedua.
𝐴2 = 32−8𝑥1− 4𝑥2+ 𝑠2
𝑀𝐴2 berubah menjadi 𝑀 32−8𝑥1− 4𝑥2+ 𝑠2 = 32𝑀 − 8𝑀𝑥1 − 4𝑀𝑥2+ 𝑀𝑠2
3. Fungsi tujuan berubah menjadi
𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1+ 3𝑥2 + 35𝑀 − 7𝑀𝑥1− 5𝑀𝑥2+ 32𝑀 − 8𝑀𝑥1− 4𝑀𝑥2+ 𝑀𝑠2
= 7 − 15𝑀 𝑥1+ 3 − 9𝑀 𝑥2 + 𝑀𝑠2+ 67𝑀
Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut:
Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua 𝑐𝑗𝑥𝑗 kekiri.
𝑍 = 7 − 15𝑀 𝑥1+ 3 − 9𝑀 𝑥2+ 𝑀𝑠2+ 67𝑀 berubah menjadi
Basis Z 𝑥1 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi
Z 1 15M-7 9M-3 0 0 -M 0 67M
𝑠1 0 4 6 1 0 0 0 36
𝐴1 0 7 5 0 1 0 0 35
𝐴2 0 8 4 0 0 -1 1 32
Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi telah optimal.
Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio
diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris.
𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖
𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.
Tabel 2.4 Iterasi 0 Entering Coloumn
Basis Z 𝒙𝟏 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio
Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot.
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot
Karena leaving variablenya 𝐴2 dan entering variablenya 𝑥1, maka gantilah basis 𝐴2 dengan 𝑥1.
Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom entering × persamaan pivot baru). Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Iterasi 1
Basis Z 𝑥1 𝒙𝟐 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio
Z 1 0 (3M+1)/2 0 0 (7M-7)/8 -(15M-7)/8 7M+28 -
𝑠1 0 0 4 1 0 ½ -1/2 20 3
𝑨𝟏 0 0 3/2 0 1 7/8 -7/8 7 6/5
𝑥1 0 1 ½ 0 0 -1/8 1/8 4 9/5
Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil optimal.
Tabel 2.6 Iterasi 2
Basis Z 𝑥1 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio
Z 1 0 0 0 -M-1/3 -7/6 -M+7/6 77/3 -
𝑠1 0 0 0 1 -8/3 -11/6 11/6 4/3 25/3
𝑥2 0 0 1 0 2/3 7/12 7/12 14/3 -
𝑥2 0 1 0 0 -1/3 -5/12 5/12 5/3 1
Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi tujuan tidak ada yang negatif.
Diperoleh nilai 𝑥1 =5 3 ; 𝑥2 = 14 3 ; 𝑠1 = 4 3 𝑑𝑎𝑛 𝑍 = 77/3
Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo.
Lindo (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3 syarat:
1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan minimasi (MIN).
2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam formula.
3. Batasan (fungsi kendala). Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir batasan diketik kata END.
Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau mengklik tombol solve pada toolbar.
