I
I
/
Dlselenqq
arakan
o
leh.
Ilmpunan
Matematika Indonesia
(IndoMS)
ekerjasama dengan
....•
-\f.'1.\"
~
-,
Jniversitas Sriwi
j
aya
.: ~
...
Jl;>~ .',_'ogram Studi
Magister
Pendidikan Matematika,
.
;
••
7
L
-
d
~
'-.... 4t '"
P
.
...J __ __.'-'
ogram
asc
a
sar)ana
e..,
- ,__. _ •.. .~.
--:
..:.'~
Kombinatorik
Onthef-coloring of the corona product ofK.with K",<orP,. Adiwijaya • AN.M. Salman, E. T. Baskoro, and D. Suprijanto
Struktur Titik Selfrepeat dan Nonselfrepeat Pada Digraf Hampir Moore Cahyono, H dan Y.M.Cholily
Masalah Diameter Dan Center pada Subgraf-Subgraf Bentukan Dari Hypercube
Emastuti, Haryanto, Widaningrum, Dan H. Sutedjo
On The Ramsey Numbers For Star Union Cycle VersusWheel On Seven Vertices I Wayan Sudarsana; Edy Tri Baskoro, Saladin Uttunggadewa, clan Hilda Assiyatun Pelabelan Berurutan Sisi Ajaib Total dari Suatu Graf
Kik.i Ariyanti Sugeng
The Total Vertex-Irregular Labellings ofThe Complete Binary and 3-ary Trees
N.N. Gaos. Nurdin. E.T. Baskoro. A.N.M. Salman
The Total Vertex-Irregular Labellings of The Olive and Its Copies Nurdin, E.T.Baskoro, A.N.M. Salman, N.N. Gaos
Earliest Start Tune Schedule Generation Algorithm forthe Job Shop Scheduling P-roblem
Opim Salim Sitompul
2-Eksponen Digraph Dwi-wama Asimetrik Memuat Sikel Primitif Saib Suwilo, Opim Salim dan Mardiningsih
Graf Grup Diagram Dari Semigrup [a,b.clab=ba.ac=ca,bc=cb]
Sri Gemawati Dan Abd. Ghafur BinAhmad
Pembangkitan Permutation dengan Siklus Sulistyo Puspitodjati dan Djati Kerami On Ph-supermagic labelings of
«Pn
T. K. Maryati, A. N.M.Salman, E. T.Baskoro, Irawati
Operasi Penyisipan Dan Reposisi Simpul dalam Menyelesaikan Masalah Desain Tata Letak Mesin dan Robot
YayaS.Kusumah clanMieke Yolanda
Statistika
Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut untuk Membandingan Tingkat Kebocoran di Daerah Dinding Gingival Menggunakan Tiga ~acam Bahan Tambalan Sementara
Bemik Maskun
Analisa Survival Bayesian dalam Model Resiko yang Sebanding dengan Resiko Logistic yang Relative
Daeng Idris Muhyidin
Program Stulfi Mapistu poufU£i{an ?fatmratika
Program PQSCasaryana'Universitas Sriwijaga
211
215
221
22
9
23323
9
2
45
2
53
. 261 267275
281
28
7
2Y5
307 XII!PEMBM GKIT
Al"lPERMUTATION DENGAN SIKLUS
""Sulistyo Puspitodjati Idan Djati Kerami2
IJmusan Siste:m lnforrnasi FILKOM Universitas Gunadarma E-mail: sulistyo@staff.gunadarma.acjd
2Jurusan.1arematika FMlPA Universitas Indonesia E-mail: djatikr@uLedu
Abstrak. Makalah ini membahas pembangkitan leng\c:ap objek kombinatorial pennutasi khususnya
pennutasi n dengan satu siklus dengan panjang n. Metode yang akan digunakan dalam pembangkitan
pennutasi dengan memperharikan siklus tersebut menggunakan pendekatan pohon pembangkit atau
metode ECO (enumerating combinatorial objects). Dalam metode ini setiap objek diperoleh dati objek yang lebih kecil dengan melakukan ekspansi lokal, Seringkali ekspansi lokal tersebut sangat teratur dan dapat dijelaskan dalamamran suksesi, Metode ECO ini telah ditunjukkan efektif untuk beberapa struktur kombinatorik. Efekrif dalam pembangkitan kombinatorik berarti: waktu untuk menghasilkan (running
rime) sebanding dengan banyaknya objek yang dihasilkan, yang merupakan syarat
penring
dalammerancang algoritma pembangkitan obiek kombinatorial.
Kala kuncl: engbangkitan lengkap, permutasi dengan siklus, po/u)n pembangkit. metodeECo.
1. Pendahulean
Salah sani bidang utama dati kombinatorik adalah membangkitkan objek dati kelas tertenru untuk
parameter tertentu, baik secaralengkap (exhaustive generation) atau secara acak (random generation).
Maksud dari membangkitan secara lengkap tersebut adalah mencari cara atau metode atau algoritma
untuk mencacah (list. enumerate) semua objek dalam urutan tertentu tanpa pengulangan dan tidak
melewatkan satu objek pun. Algorinna-algoritma tersebut berguna pada banyak bidang seperti uji
perangkat keras maupun perangkat hmak, biokimia, biologi dan termodinamika ({Bet{J7), (Duc07)).. .,.
Pembangkitan lengkap sering juga digunakan untuk memecahkan masalah-masalah NP-complete, dan
menganalisa atau membukrikan suatu program. ([Vaj06]).
Salah satu pendekatan untuk membangkitkan objek kombinatorial adalah dengan yang disebut
pohon
pembangkit atau sering diidentikkan dengan nama metode ECO (enumerating combinatorial objects)
([Ban07]). Dalam metode ECO setiap objek diperoleh dati objek yang lebih kecil yang diekspansikan
dengan rumusan yang disebut aturan suksesi. Aturan suksesi ini dapatdirepresentasikan dalam suatu
pobon dan disebut pobon pembangkit ([Fer05]). Pobon pembangkit 1nitelah ditunjukkan efisien dalam
konteks pembangkitan kombinatorial, yaitu waktu untuk menghasilkan N objek berukuran n adalah O(l\.l).
Objek-objek yang telah ditunjukkan efisien dibangkitkan dengan pohon pembangkit tersebut adalah:
objek Catalan dalam [Ber07] dan (Fer05], untuk pennutasi pengbindaran pola umum (generelazid pattern
avoidance) dalam [Eli07], convex polyominoespan dalam {Lun03}, dan untuk: struktur Gray dalam
[Ber207]. Pobon pembangkit juga secara detail dibahas untuk beberapa objek dalam [Ban07] dan
[Wes96].
Selain itu, pohon pembangkit mempunyai pemanfaatan yang penting dalam kcmbinatorial, yaitu bijeksi
dan pembangkitan acak ({Duc07).
Karena itu makalah ini akan membahas pembangkitan perrnutasi siklUSMtiiggu.nalGm pendekatan pohon
pembangkit ataudikenaI juga sebagaimetode ECO
2. Permutasi
Perrnutasi adalah pemetaan dati suatu himpunan ke dirinya sendiri, Atau secara tbnMl:
Dejinisi I: Permutasi dati himpunan S=(n] ={1,2, ..,n} adalab bijeksi n:S ~ S.
Salah representasi dari pennutasi adalah dengan perkalian siklusnya. Siklus dari permutasi adalah himpunan bagian dari suatu himpunan yang elemen-elemeaava rnasuk dalam satu orbit. Atau siklus
lProgram Stwfi'M4f!i...ttLr(P,1Il411fiI~g.n :Mntematif,g.
<Program CPascasarjana Vniversitas Sriwijaya
It•• ,•••••••• 1•••••• 11., •••• 1 11.1 ••• 1111. XIV
I
[2008]-
----
-
-
--
-
-
-
-
-
---
-
-
---
-
-
--dengan panjang 1dari suatupennutasi adalah urutan at. a2,... ,a, sedemikian sehingga ~ =n:(a;.\)untuki
=
2,3, ... ,I,dana,
=It{a/) atau ~(a;)=
a; ([Rus03]dan [8On02]). Contoh,pennutasi 1tberikut:(1
\1
2
3
4
2
4
5
-8
:>
7 8)
6
3
/
dapat diwakilioleh diagramberikut:
Permutasi tersebut mempuyai4siklus(1), (248 3), (~),and (6 7). (2483) adalah siklus dengan panjang
I= 4, karena n:4(2)= 2. Dengan perkalian siklus, 1tdapat dinyatakan sebagai 1t= (IX2483)(5)(67).
Karena siklus (8324) menyatakansiklus yang sama dengan(.2483),nuka seringdigunakan earnyang nnik
untuk menyatakan permutasi menggunakan notasi siklus, yang disebut sebagai norasi siklus kanonikal.
Cara ini adalah menuliselementerbesar pada setiapsiklus terlebih dahufu, kemudian mengurutkan setiap
siklus dari kecil ke besar berdasarkan elemen-elemen pertama pada siklus. Dengan demikian 1t =
(1)(2483)(5)(67) dalamnotasi siklus kanonikal adalahn=(1)(5)(76)(8324).
Banyaknya permutasi en] dengan m siklus adalah bilangan Stirling tanpa tanda jenis pertama c(n,m)
«(Rus03J,(B6n02J).Dimana
c(n,n)= 1,
c(n,l) =(n-l)! (1)
c(n,m)=(n-l).c(n-l.m) +c(n-l,m-l), 1 <m<n.
Makalab iniakan membabas permutasi dengan m siklus, khusus m= 1,yang selanjutnya akan disebut
sebagai permutasi ndengan sikius. Banyaknya permutasi n dengan siklus menurut formula (1) diatas
adalah (n-l)!. Sehingga banyaknya permutasi 4 dengan siklus adalah 3! =6,yajJft-{(4123), (4312),
(4132), (4213),(4231),(4321)}.
3.Pembapgkitan ObjeR. kombinatoriar dan Pohon Pembangkit
Sl\!<lh
S<\tu bi~ng
dl\!~KQmbim
l
tc)fik
adalah pembangkitan obiekseca; Iengkap, Pembangkitan ini berarti membangkitkan (menghadirkan) semua anggota dari kelas kombinatorial tertentu secara efisienyang sedemikian sehingga setiap anggota muneultepat seka:li.Salah satupeneekatan untukpembanzkitan
lengkap adalah dengan yang disebut pohon pembangkit, Pohon pembangkit adalah- pohon-yang
menggambarkan ke\uarga tertentu dariobjek kombinatorial; tiap simpul berhubungan dengan satu objek,
dan cabangnya mennjn simpul yang mengkudekan altematif yang dipilih dalam mengkonstruksikan
objek. Pehen pembangkit menjanjikatt kemputasi yang ccpat dalam mengenumerasi barisan objek.
..Metodepohon pembangkit ini disistematisasikan oleh Barcucci, Del lungo, Pergola, and Pinzani, dengan
nama sistem ECO (enumerating combinatorial objects) «(Ban07]).Da:lammetode ECO inisetiap objek
diperolehtiariobjek ynng lebihkecildcnganmclaknkanekspansi lokal. seringkati ekspansi lokal tersebnt
sangat teramr dandapat dijelaskan dalam aturansuksesi. Metode ECO ini telah ditunjukkan efektifuntuk
beberapa struktur kombinatorik, seperti: objek Catalan dalam [Ber07J dan [Fer05], untuk permutasi
penghindaran pola umum (generelazid pattern avoidance) dalam [Eli071,convex polyominoespan dalam
[LunG3], dan untuk struktur Graydalam [Ber207]. Namunpenelitian-penelitian tcrsebut belum memhahas
pembangkitarr permutasi siklus dengan,pohorr pembangkit atau metode ECO tersehnt. Snbhab berikut
akanmenjelaskan metode ECOsecara lebih rinei.
3".
r
Metode KCO,aturan suksesi, dan pohon pembangkitBagaimana m~tQ<JeECO b~k~rjadij~laskan dalam [B~r(H).
(O\lc07J.
dan[B
anO
if.
sebagaimana berikut.276
tpyo9~mSt.wf~agi.>ur1'~u!i~an.!Ma!e!M.~ili.!z
P ••••••••••• f•••••• N •••••• _ ••
'e.
_"
••
XIV [2008]/
Operator ECO ,!
Misalkan 0adalah kelas objek kombinatorial dan p:
°~
N adalah parameter yang hingga pada 0,yaituparameter p sedemikian sebingga OD= {O EO: P(O) =n} dari objek berulcuran n adalah hingga. Misalkan " :
°
~2° adalah operator yang sedemikian sehingga 'll(On) k 20>+1, Operator "menggambarkan bagaimana objek keeil mengaasilkan objek yang lebih besar.
Proposisi 2-1: Jika e memenuhi, untuk setiap n? 0,
l. untuk setiap 0' E Oa+hakan terdapat 0 E Onsedemikian sehingga O'E'II,dan
2. untuk setiap 0.0' EOn, akan menggambarkan'll(O) () '11(0')= 0kapanpun 0 ~0', maka famili
himpunan JO+I ={\"(0):0 E On} adalah partisi dati 00+1.
Operator "yang memenuhi kondisi ) dan 2 tersebut di atas, dikatakan sebagai operator ECO. Jadi
operator ECO membangkitkan semua objek 0 sedemikian sehingga setiap objek O'E 0a+1diperoleh
secara unik dari 0E On .Operator ECO yang sedang melakukan ekspansi lokal pada objek yag disebut
situs aktif dari objek. Operator ECO dapat digambarlam dengan pohon pembangkit, yaitu: pohon berakar
yang simpu-simpulnya berhubungan dengan objek 0, Akar yang ditempatkan pada level 0pada pohon,
adalah objek dengaa ulomm terkecil. m. Objek-objek dengan ukuran S3IllZ berada pada level yangsama
dan anak dari objek O.adalah yang dihasilkan dari 0 melalui ". Jib {IOnnnadalah urutan yang
ditentukan oleh banyaknya objek berukuran n,makal Jx) =~
I
On
I
x
!'
adalah fungsi pembangkitnya.Aturan suksesi
Aturan suksesi
a
adalah sistem «a),1')
,
mengandung aksioma (a)dan himpunan produksi atau aturan penulisanVdi
definisikan pada hirapunan label Mc N••:dimana aEMadalah nilai tertentu dan e;adalah :fimgsiM~ M.
Salah satu sifat utama dari aturan suksesi adalah prinsip konsistensi, yaitu setiap label (k) harus
memproduksi tepat k elemen.. Aturan suksesi adalah sesuai dengan representasi pohon yang akarnya
berlabel aksioma (a),dan simpul berlabel (Ie)menghasilkan level seianjutnya kanak-anak yang mas
ing-masing berlabel (e/(k), "', e,jlc) (yang nanti akan menghasilkan masing-masing anak berlabel e/(k), •. "
e,jlc),dan seterusnya). Aturan suksesi menghasilkan urutan {f"},,dari bilangan bulat positif, dimana /..
adalah banyaknya simpul pada level kendari pohon pembangkit dan dinotasikan sebagai
1
0
M
=1:.-1,,
-
1'.
Seringkali operator ~dikodelam dengan aturan suksesi
n,
yang berarti, objek dengan ukuran minimummempunyai aanak dan kobjek
0;,
.
.
.,
~,dihasilkan oleh objek 0 yang sedemikian sehingga0
;
akaa menghasilkan anak elk) oleh e, yaitu
!
,,
(O;)
!=e;(k), l~ i~ k. Berarti terdapat isomorfuna antarapohon pembangkit dari operator
£co
dan aturan suksesinya yang bersesuaian. Maka Ijx) =x'"lo(x),ataufjx) =x., Jo(X) ketika m=0: 3.2, Contoh : Permutasi
Pohon pembangkit untuk permutasi (secara umum) dapat dibangun berdasarkan algoritma pembangkitan
permutasi Johnson =Trotter, Algoritma Johnson-Trotter memulai peimutasi dari yang terpendek, yaitu
[I],dan ini hanya mempunyai satu permutasi {I}.Kemudiaa untuk [21,elemen tambahan 2, ditaIiib3hkan
i..e permutasi 1dengan cara meletakkan 2pada sebelah kiri 1,atau ke sebelah kanan 1,sehingga diperoleh 12 dan 21.Dua elemen dari masing-masing pemrutasi ini mendefinisikan 3 posisi untuk elemen k.etiga 3
dengan meletakkan 3 pada paling lciri,tengah, dan paling kanan: 312, 132, 123, dan 321, 231, 213. Secara umum, terdapat N cara untuk mempeduas permutasi 31 32 ... 3n_! dengarr panjang N-l ke permutasi
dengan panjang N:
277
tProgramStudt9idgisurtPefl(tufik.gt! 9.tt1t~\. P •••••••••••
t•••
•
•
•
••
,1••• 1 •••••••• IIt. XIV [2008] Nal a2... an·1 ll'lNa2 •••3,..1 a, a2N...au-I al a~ Nan_I a, a1 lI,,-lN 1 12~21A\
ffi
231
213
i134~~
42
1
3
2413 2
1
43
Gambar-l: Pohon pembangkit untuk permutasi
Melalui pohon pembangkit, pembangkitan permutasi dapat digambarkan sebagaimana tcrlihat pada gambar-l. Jika simpul dari pohon sebelah kiri pada gambar-l diberi label sesuai dengan banyaknya anak
cabang, maka diperoleh pobon sebelah kanan pada gambar-l. Dengan demikian pobon pembangkit untuk pennutasi dapat ditulis dalam aturan suksesi berikut:
4
3
12 312
13
2
123
~~
34
1
2
31
4
2
3
12
4
321
~
n
_
{
(l
)
(
k
)
H(
k+l)
k
(3.) ,~Berdasarkan aturan suksesi (3) maka fungsi pembangkit untuk aturan suksesi tersebut adalah
.fn
=
L
:1n
x
.
=1+
Zx+
2
.
3
x
2+
23Ax3+ '
" +
(n+
l)!x·w.o
4. Pohon Pembangkit untuk Permutasi dengan siklus
Untuk pembangkitan permutasi it: [n]~ In] dengan satu siklus panjang n, penulis mengikuti logika
pembangkitan permutasi Johnson -Trotter. Misa\kan S"cadalah himpunan semua anggota permutasi n
dengan siklus yang ditulis secara kanonik, dan
IS,
,_cI
adalah banyaknya anggota S,,_c. MakaS,,_c
=
{(ala2...a.)lal=
n=1t(a.), ai=
1t(ai-I),i=
2,3,... ,n} (4)Dengan demikian, 1t(n) adalah semua kemungkinan angota [n-I], kcmudian n:(a2) adalah semua anggota
[n-I] tanpa al. dan seterusnya, tt(a,...I)adalah anggota [n-I] tanpa ai, i=2, ... , n-2. Dengan kata lain
siklus-siklus anggota Sn,S adalah (na2...a.) dengan semua kemungkinan permutasi [11-1] untuk ~ ...a". Berarti
I
s.,
I
=(n-I)!S;cdapat dibangun dari S("'/I edengan menambahkan n didepan semua anggota S'._I) csehingga diperoleh
sebanyak
I
S'n-l)_cI
eIemen berupa (na2 .••a.) dengan a2=n- I. Anggota S"J yang lain-dibentuk dari setiap (na,...aH)yang ada dengan memindahkan posisi n-I ke posisi acberturut-turut untuk k=3, ... ,n..Dengandemikian pohon pembangkit untuk permutasi ndengan siklus adalah sebagaimana pada gambar-2.
278
<ProgramStudt ?ttagister <Pl!luiitfW~ ~atik(l
•••••••••••• ' ••••• 111•••••• 1 •• , ••••••• X.9 f2002}
---
-
--
-
--
-
-
-(321 )
~
(1)I
(21).
r:-
.
(312)~
,I " (4321) (4231) (4213) (4312) (4132) (4123)Gambar-2 Pohon Pembangkit untuk pennutasi 4 dengan siklus
Jika simpul dari pohon pembangkit gambar-2 diberi label sesuai dengan banyaknya anak cabang, maka pohon pembangkit untuk pennutasi n dengan siklus dapat ditulis dalam aturan suksesi berikut:
{O)
Q= (1) H (2) (k) H (k+l)k
(4)
Berdasarlcan aturan suksesi (4) maka fungsi pembangkit untuk aturan suksesi tersebut adalah
I«
=
Lf.x.
=1+x+2
.
xl
+2.3x3 +... +n!x"n~ .
5. Simpulan
Pohon pembangkit permutasi n dengan satu siklus panjang n pada makalah ini menunjukkan kekonsistensian dengan enumerasi tanpa pohon pembangkitan, yang menunjukkan bahwa pohon dapat digunakan untuk membangkitkan semua pennutasi n dengan siklus.
Langkah selanjutnya yang perlu dikembangkan dari basil pada makalah ini adalah analisa algoritma pembangkitan dengan pohon pembangkit ini untuk mengetahui apakah tahapan-pembangkitan cu....up..
efektif, Selain itu perlu diteliti lebih lanjut untuk melihat sifat-sifat yang dapat dihasilkan dari pohon ini,
seperti kode gray misalnya.
Penelitian ini merupakan langkah sangat awal dalam penelitian untuk menunuskan pohon pembangkit pennutasi untuk sembarang m siklus.
Acknowledgment
Terimakasih saya ucapkan pada Prof. Vajnovszki yang memberikan ide penelitian, dan tak Iupa pada Pimpinan Universitas Gunadarma yang memungkinkan makalah ini dihadirkanpada Konferensi Matematika Nasional XIV 2008 Palembang.
Daftar Pustaka
[1] [Ban07] C. Banderier, dkk, Generating Functions for Generating Trees, arXiv:math.CO/
_ 0702753vl, 25 Feb 2007
I
[2J and others,[Ber07] A. Bernini, IarXiv:math.CO/06.Fanti, E Grazzini,12 127v2, 1 Feb 2007,An exhaustive generation algorithm for Catalan obj._ .._ects_ . _[j] [Ber207] A. Bernini. dkk, A general exhaustive generation algorithm for Graystructures, arXiv:
mathl0703262vl [math.eOl ,9 March 2007
[4] [B6n02] 'vi. BOna, A Walk through Combinatorics. An Introduction to Enumeration and Graph
Theory.New Jersey, War Scientific, 2002.
279
Cftngr •• Sttufi9Jl.tJAisfer(pnu['ufiftan ~M4tnnatik.a
ti
[5] [Duc07] E. Duchi, ECO method and Object Grammars: two methods fort
ire
enumeration ofcombinatorial objects. Dottorato di Ricerea in Ingegneria Informatica e deU'Automazione, XV
Ciclo, Universit_a Degli 8tudi di Firenze, htto:/Iwww.dsi.unifi-itIDRIIA/RaccoltaTesilDuchL diunduh:Mei,2007
[6] [Eli07] S. Elizalde, Generating Tree for Permutations Avoiding Generalized Patterns, arXiv: 0707.4633vl [math.CO] ,31 July 2007
[7] [Fer05] L. Ferrari and R. Pinzani, Catalan like numbers and succession rules, arXiv:math.CO/0507210vI, 11 July 2005.
[8] [Lun03] A.Del Longo, dkk.,"Enumeration ofconvex polyominoes using theECO method".
Discrete Malhemathics andTheoretical Computer ScienceAB(DMCS), 2003, 103-116.
[9] [Rus03] F.Ruskey, Combinatorial Generation,
http://www.lstworks.comlreflRuskevCombGen.pdf. 2003.
[10] [Vaj06] V.Vajnovszki, Generating Combinatorial Objects by ECOMethod, the Lyndon
Words Case.Lecture Notes.Jakarta,26January 2006.
[11] [Wes96] J.West, Generating Trees andForbidden Subsequences
htto:llciteseerx.ist.psu.edulshQwciting;jsessionid= 1CEE9AO113F2F48EF4334245C6A5~BED ?cid=1531l4.1996
280
lJ>roaram Studi 9rt.agisterfJ>m4ufi~n901.atemati~,g.
