BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Umum
Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa
yang terjadi di kehidupan yang sehari-hari. Antrian ini tidak lepas dengan adanya
kegiatan menunggu karena di dalam antrian maka akan ada kegiatan menunggu,
contohnya seperti antrian pada kasir supermarket, antrian pada loket bus, antrian
pada pengisian BBM, antrian pada pembelian tiket bioskop dan
peristiwa-peristiwa lainnya.
Fasilitas pelayanan yang tidak dapat mencukupi kebutuhan (overcapacity)
yang ada akan menimbulkan adanya antrian. Untuk mengurangi peluang
terjadinya antrian ini, maka dilakukan berbagai cara, salah satunya adalah dengan
menambah fasilitas dari pelayanan. Penambahan fasilitas pelayanan cenderung
akan mengurangi dari keuntungan. Namun jika fasilitas pelayanan tidak
diperbaiki, maka kemungkinan pelanggan akan semakin berkurang. Oleh karena
itu, perlu adanya pengkajian yang tepat terhadap parameter-parameter antrian
sehingga dapat diambil keputusan yang tepat, dimana mendapatkan keuntungan di
kedua pihak, yaitu penggunan dan penyedia fasilitas.
Salah satu antrian yang dapat ditemui sehari hari dalam bidang komunikasi
adalah antrian yang terjadi pada jaringan packet switching. Packet switching merupakan suatu metode pengiriman atau penerimaan dengan melalui adanya proses pemecahan data kemudian dikirim menjadi beberapa bagian.
seri melalui satu jalur tertentu saja, tetapi bisa secara paralel dengan
memanfaatkan jalur koneksi lain yang tingkat kepadatannya tidak tinggi. Pada
jalur atau simpul di ujung packet switching ini terjadi adanya antrian.
2.2 Sejarah Teori Antrian
Teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang yang merupakan seorang insinyur
berkebangsaan Denmark, yang bekerja pada industri telepon. Adapun eksperimen
yang ia teliti adalah tentang masalah fluktuasi permintaan terhadap fasilitas
telepon dan pengaruhnya terhadap perangkat telepon yang otomatis (automatic
dialing equipment). Hal ini akan mengakibatkan pada waktu yang sibuk, operator
akan sangat kewalahan, yang menimbulkan terjadinya antrian yang cukup lama.
Erlang menerbitkan bukunya yang berjudul Solution of Some Problems in
Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange pada
tahun 1917, setelah sebelumnya melakukan eksperimen dalam penghitungan
keterlambatan (delay) dari seorang operator dan penghitungan kesibukan beberapa
operator. Kemudian pada masa setelah Perang Dunia II, dilakukanlah
eksperimen-eksperimen lain yang lebih luas untuk memecahkan persoalan-persoalan umum
yang menyangkut masalah antrian[1].
2.3 Komponen Sistem Antrian
Komponen dasar dalam sistem antrian adalah kedatangan dan pelayanan.
Proses ntrian merupakan proses dimana pelanggan atau konsumen masuk ke
konsumen tersebut dilayana dan akhirnya selesai dilayani. Komponen dasar
proses antrian ada 3 yaitu[2]:
1. Sumber Kedatangan
Sumber kedatangan merupakan proses terjadinya kedatangan dari suatu
peristiwa. Sumber kedatangan ini bersifat acak yang dan dalam periode
waktu tertentu.
2. Pelayanan
Pelayanan merupakan tempat atau fasilitas yang akan menangani dari
konsumen. Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan di
dalam suatu sistem antrian.
3. Antrian
Penentu antrian yaitu dari disiplin antrian, sifat kedatangan, dan proses
pelayanan.
Komponen antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian
2.4 Struktur Dasar Sistem Antrian
Pada umumnya, struktur dasar sistem antrian dikelompokkan kedalam
empat model menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu [2] :
SUMBER KEDATANGAN
1. Satu Saluran Satu Tahap
Satu saluran satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian
dimana hanya ada satu jalur dan hanya ada satu fasilitas pelayanan. Sistem
antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap
2. Satu Saluran Banyak Tahap
Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model
antrian dimana hanya ada satu jalur, namun beberapa pelayanan. Sistem
antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Satu Saluran Banyak Tahap
3. Banyak Saluran Satu Tahap
Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model
antrian dimana terdapat banyak jalur, namun hanya satu pelayanan. Sistem
antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.4.
4. Banyak Saluran Banyak Tahap
Banyak saluran banyak tahap (multichannel multi phase) adalah model
antrian dimana terdapat banyak jalur dan banyak fasilitas pelayanan. Sistem
antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap
2.5 Disiplin Sistem Antrian
Disiplin antrian adalah sebuah aturan untuk pelanggan dilayani atau disiplin
pelayanan (service discipline) sebagai urutan daripada para pelanggan untuk
ditangan dalam fasilitas pelayanan. Disiplin antrian berdasarkan urutan
kedatangan ini dapat didasarkan pada[2] :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO)
FIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal
adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. Contohnya dapat dilihat pada
antrian di loket karcis atau tiket.
2. Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO)
LIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal
adalah yang datang paling akhir. Contohnya dapat dilihat pada sistem
3. Service in Random Order (SIRO)
SIRO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal
adalah acak atau tidak tergantung apapun. Contohnnya dapat dilihat pada
arisan.
4. Priority Service (PS)
PS merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah
yang diprioritas khusus. Contohnya dapat dilihat pada pesta dengan tamu
VIP.
5. Round Robin (RR)
RR merupakan disiplin antrian dimana untuk fasilitas pelayanan diberikan
pada jangka waktu tertentu saja. Contohnya dapat dilihat pada sistem
komputer yaitu parallel jobs.
2.6 Karakteristik Sistem Antrian
Dalam masalah teori dalam antrian, ada beberapa dasar asumsi tentang
aspek khusus yang terdapat di dalamnya. Dalam model dasar teori antrian ini,
asumsi-asumsi yang dibuat adalah[2]:
a. Sumber Populasi
Suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas bisa menjadi asal tempat
pengantri yang datang ke suatu sistem. Jika tidak terdapat batas untuk
jumlah pekerjaan yang boleh menunggu dalam suatu antrian, maka disebut
dengan antrian tidak terbatas, sedangkan antrian yang terdapat batas
b. Pola Kedatangan
Untuk menggambarkan pola kedatangan cara yang umum dipakai adalah
penggunaan waktu antar kedatangan sebagai interval antara kedatangan
yang datang secara berurutan. Bila kedatangan acak atau random secara
stokastik, maka diperlukan fungsi kerapatan probabilitas dari antar waktu
kedatangan.
c. Panjang Antrian
Panjang antrian dan sumber kedatangan biasanya adalah diasumsikan
sebagai jumlah yang tidak terbatas. Meski asumsi ini tidak dapat terjadi di
kehidupan nyata atau tidak realistis.
d. Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah suatu metode atau aturan untuk menentukan urutan
dari pekerjaan yang dilakukan oleh fasilitas pelayanan, dalam sistem antrian
paling sering digunakan adalah yang menurut urutan waktu kedatangan
mereka datang dalam antrian, yaitu yang pertama datang akan pertama
dilayani.
e. Pola Pelayanan
Pola pelayanan dalam proses antrian akan dengan salah satu bentuk
distribusi probabilita dari waktu pelayanan. Waktu pelayanan ini biasanya
paling sering terdistribusi eksponensial negatif.
f. Keluar
Bila konsumen telah selesai dilayani, maka akan keluar dari sistem,
2.7 Notasi Sistem Antrian
Sebuah notasi sistem merupakan penunjuk dari ciri khas suatu disiplin
antrian. Notasi sistem antrian ini merupakan kombinasi proses kedatangan dengan
pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall,
yaitu[2]:
(a/b/c):(d/e/f) (2.1)
dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model
sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:
a = Distribusi waktu kedatangan
b = Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan c = Jumlah pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…, ∞)
d = Disiplin Pelayanan
e = Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem
f = Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber
Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari
distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:
M = Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson. Dapat juga menggunakan distribusi eksponensial.
D = Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu pelayanan). K Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri. N = Jumlah maksimum paket dalam sistem.
Ed = Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau
G = Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure). GI = Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.
GD = General Discipline (disiplin umum) dalam antrian. NPD = Non-Preemptive Discipline
PRD = Preemptive Discipline
2.8 Sistem Antrian M/G/1
Model antrian (M/G/1) merupakan model antrian dimana untuk banyak
kedatangannya berdistribusi Poisson atau waktu antar kedatangan berdistribusi
Eksponensial, sedangan untuk waktu pelayanannya dijabarkan dengan sebuah
distribusi General atau umum dengan rata-rata waktu pelayanan (E(t)) dan varians
dari waktu pelayanan tersebut (var(t)). Dalam sistem antrian M/G/1, terdapat 2
jenis keadaan yaitu :
1. Ketika waktu pelayanan tiap paket berbeda-beda, sehingga terdapat variansi
(var(t)<0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin
antrian M/M/1.
2. Ketika waktu pelayanan tiap paket konstan, sehingga tidak terdapat variansi
(var(t) = 0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin
antrian M/D/1.
Dengan demikian, sistem antrian M/G/1 dengan terdapatnya varians pada
waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/M/1 yaitu waktu pelayanannya
terdistribusi eksponesial. Sedangkan, sistem antrian M/G/1 dengan tidak
terdapatnya varians pada waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/D/1 yaitu
Adapun pemodelan antrian paket dari salah satu simpul pada jaringan
Packet Switching yang menggunakan antrian M/G/1 dapat dilihat pada Gambar
2.6.
Gambar 2.6 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching
Parameter kinerja dari sistem antrina M/G/1 adalah E(t), var(t), Ls , Lq , Ws ,
Wq, dan ρ dimana [2]:
λ : rata-rata laju kedatangan paket (paket/detik)
µ : rata-rata laju transaksi paket (paket/detik)
E(t) : rata rata waktu pelayanan/transaksi (detik)
var(t) : variansi dari waktu pelayanan/transaksi (detik2) Ls : rata-rata jumlah paket dalam sistem (paket)
Lq : rata-rata jumlah paket dalam antrian (paket)
Ws : rata-rata waktu dalam sistem (paket)
Wq : rata-rata waktu dalam antrian (paket)
� : menyatakan utilisasi
Untuk rumus secara umum perhitungan parameter M/G/1 dapat
menggunakan persamaan berikut :
E(t) = ttr = 1
μ (2.2)
PENGIRIM server PENERIMA
var(t) = 1
Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/M/1 digunakan
persamaan berikut:
Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/D/1 digunakan
2.9 Pola Kedatangan dan Pola Pelayanan
Untuk pola pelayanan dan pola kedatangan yang digunakan pada sistema
antrian ini dapat diuraikan sebagai berikut [5]:
1. Pola Kedatangan
Pola Kedatangan adalah sebuah pola yang menggambarkan bagaimana
distribusi dari paket ketika akan memasuki suatu sistem pelayanan. Pola
kedatangan terdapat dua jenis yaitu, paket yang datang secara acak atau
random dan paket yang datang pada setiap periode waktu tertentu. Pola
kedatangan digambarkan dengan interval antar waktu kedatangan yang
berurutan yang didapatkan dari waktu antar kedatangan. Untuk kedatagan
yang berubah stokastik, diperlukan fungsi probabilitas dari waktu antar
kedatangan. Notasi yang digunakan untuk pola kedatangan adalah sebgai
berikut :
1. tk adalah rata-rata waktu kedatangan (detik)
2. λ merupakan laju kedatangan paket (paket/detik)
Variabel tersebut hubungannya dapat dilihat pada Persamaan 2.1 berikut:
�= 1
�� (2.19)
Untuk beberapa keadaaan yang sering dijumpai, pola kedatangan ini
sering didefenisikan dengan probabilitas yang waktu antar kedatangannya
lebih besar dari waktu yang diberikan untuk beberapa keadaan yang sering
dijumpai. Lalu, untuk distribusi kedatangan yang didefenisikan sebagai
Ao(t), maka Ao merupakan probabilitas dengan waktu antar kedatangannya
lebih besar dari t.
2. Pola Kedatangan Poisson
Kedantangan konsumen atau pelanggan sering terjadi dalam keadaan
acak atau random. Keadaan acak berarti bahwa kedatangan dapat terjadi
kapan saja setiap tanpa adanya suatu nilai tertentu. Disini diasumsikan
bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak bergantung pada kedatangan
sebelumnya dan terdistribusi dalam interval Δt. Untuk λ merupakan laju
kedatangan paket, maka probabilitas kedatangan dalam Δt adalah λΔt.
Fungsi kerapatan probabilitas waktu antar kedatangan dapat dilihat pada
Persamaan (2.21).
�(�) =��−�� (�> 0) (2.21)
dan untuk distribusi kedatangannya dapat dilihat pada Persamaan 2.22.
�0(�) =�−��� (2.22)
Notasi λ merupakan laju kedatangan paket persatuan waktu. Dalam
periode waktu t, jumlah kedatangan pada kehidupan sehari hari-hari adalah
variabel yang acak.
3. Distribusi Eksponensial
Dengan mendefenisikan F(t) = y maka kemudian akan didapatkan
persamaan yang dihitung dengan integral diperoleh fungsi kumulatif yang
dapat dilihat pada Persamaan 2.23.
�= ∫ ��0� −�� =� = 1− �−��� (2.23)
Kemudian akan diinveriskan sehingga menghasilkan Persamaan 2.24.
Disini y menunjukkan distribusi kumulatif atau kumpulan, dimana
untuk nilai 1- y berada di antara 0 dan 1. Dalam rentang nilai ini logaritma
berharga negatif, yang pada akhirnya akan menghasilkan nilai yang positif.
Digunakanlah logaritma natural dan digantikan nilai y dengan sederet
bilangan acak yang terdistribusi serba sama antar 0 dan 1,sehingga
kemudian akan menghasilkan output, yaitu sederetan bilangan acak yang
terdistribusi secara eksponensial. Jika nilai 1–y berada di antara 0 dan 1
juga, maka dapat menggunakan Persamaan 2.25.
��= −ln (�)
� = −��ln(�) (2.25)
Dengan tk adalah nilai rata-rata waktu antar kedatangan yang muncul
pada rumus untuk menggantikan rumusnya, sehingga akan dihasilkan
bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial.
4. Pola Pelayanan
Pola pelayanan dalam proses antrian juga dapat menyesuaikan dalam
bentuk distribusi probabilitas. Disini digunakan bahwa waktu pelayanan
terdistribusi eksponensial negatif. Rumus umum fungsi kepadatan
probabilitas (probability density function) eksponensial negatife adalah:
�(�) = ��−��� (2.26)
dimana:
tp = waktu pelayanan
f(t) = probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t
μ = laju pelayanan paket
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative density function) didapatkan
dari pengintegralan distribusi eksponensial, dapat dilihat pada Persamaan
2.27.
�(�) =∫ ��� −��� ��= 1− �−���
0 (2.27)
Kemudian digunakan cara yang sama seperti beda waktu kedatangan
(ta) maka didapatkan rumus yang dapat dilihat pada Persamaan 2.28.
�� = −ln (��)= −��ln(�) (2.28)
Dengan tp merupakan rata-rata waktu pelayanan yang muncul sebagai
pengali dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara
eksponensial dimana, tp ini didapatkan dari rumus :
tp = ������� �����
��������� ������ (2.29)
2.10 Packet Switching
Packet switching adalah suatu metode dari komunikasi digital yang dimana
data yang ditransmisikan diubah menjadi blok-blok berukuran yang sesuai, yang
disebut paket. Hal ini terlepas dari konten, tipe, dan struktur dari data tersebut.
Dimana semua variabel-bit-rate data stream (urutan paket), dikirim melaui
jaringan bersama. Pada packet switching, pesan yang panjang akan dipecah ke
dalam bentuk paket yang lebih kecil, lalu paket dikemas, kemudian dikiramkan ke
jaringan. Pengemasan paket ada 2 cara, yaitu[4]:
1.
dengan transaksi yang sama, dimana didalamnya terdapat alamat dari
2.
a. Rute telah direncanakan terlebih dahulu.
b. Jaringan terkoneksi antara permintaan dan penerimaan.
c. Ada identifikasi sirkuit virtual sebagai alamat tujuan untuk setiap paket
d. Setiap paket dapat untuk mencari jalur sendiri.
Perbedaan dari cara untuk mengemas paket dijelaskan sebagai berikut
ini[4]:
1. Dengan sirkuit virtual, tidak diperlukannya jalur-jalur khusus karena jaringan dapat melakukan deretan dan kontrol kesalahan sehingga paket
diteruskan lebih cepat.
2. Dengan datagram, rutenya lebih fleksibel sehingga jika terjadi gegagalan,
terdapat penggantinya dan panggilan untuk setup fase dapat dihindari diman
akan lebih baik daripada paket-paket yang sedikit
Adapun untuk kelebihan dari packet switching adalah sebagai berikut [4]:
1. Jalur atau rute dari simpul ke simpul dibagi secara dinamik beberapa paket
sepanjang waktu sehingga didapatkan efisiensi yang lebih besar, karena
paket akan diantrikan dan ditransmisikan secara secepat mungkin.
2. Konversi rate data, yaitu setiap stasiun terhubung ke simpul lokal pada rate
data yang sesuai.
3. Walaupun sedang sibuk, paket tetap dapat diterima.
4. Dapat menggunakan skala prioritas
Walaupun mempunyai kelebihan yang lumayan banyak ketika ketika
melintasi adapter jaringan, switch, router dan node jaringan lainnya, paket buffer
beban lalu lintas dalam jaringan. Oleh karena itu paket akan mengalam antrian
disebabkan oleh adanya delay pada pengiriman paket dan penerimaan paket.
Jaringan Packet Switiching dapat dilihat pada Gambar 2.6
Gambar 2.7 Jaringan Packet Switching
2.11 Pembangkit Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan yang sembarang, dimana bilangan
tersebut dihasilkan dari suatu algoritma tertentu yang disebut sebagai pembangkit
bilangan acak. Studi pengembangan simulasi ini didasarkan pada kemampuan
untuk menghasilkan bilangan acak, dimana bilangan acak yang tersebut mewakili
nilai suatu variabel acak yang terdistribusi uniform pada (0,1). Jadi bilangan acak
adalah barisan angka Ui (0 ≤ Ui ≤ 1), yang dihasilkan dari pembangkit bilangan
acak (random number generator).
Pembangkit bilangan acak (Random Number Generator) adalah suatu
algoritma yang digunakan secara terus menerus untuk menghasilkan angka-angka
secara random sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui
distribusinya. Pada Congruential Pseudo Random Number Generator dapat
2.11.1 Additive / Arithmatic RNG
Bentuk rumusnya adalah
�� = (� ∗ �0 + �)���� (2.30)
dimana:
��= merupakan hasil akhir
�0= merupakan angka pertama yang bebas tertentu
m = angka modulo
c = merupakan angka bebas tetapi tidak ada hubungan
Bagi Additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagi
berikut :
a. Konstanta a harus lebih besar dari √m. Dan dinyatakan dengan syarat:
m/100 < a < m - √m.
b. Konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua dan
nilai c tidak boleh nilai berkelipatan dari m.
c. Modulo m harus angka integer dan angka yang cukup besar.
d. Angka �� harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup
besar.
Untuk mendapatkan bilangan acak yang terdistribusi uniform Ui
pada interval [0,1], maka menggunakan persamaan :
�
�=
�[�]�
(2.31)
2.11.2 Multiplicate RNG
Bentuk rumusnya adalah
dengan catatan:
Zi = angka random baru
Zi-1 = angka random yang lama
a<c, c<m, Z0<m.
Untuk syarat yang lainnya adalah sama dengan Additive RNG. Terdapat
3 variabel utama dalam perumusan multiplicate ini yang menentukan untuk
nilai-nilai Random Number yang dapat diperoleh untuk seterusnya dengan tidak
ada terjadinya pengulangan pada angka-angkanya. Dan syarat pemilihan untuk
nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut :
a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan satu angka integer yang cukup
besar dan merupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada komputer.
Sebagai contoh :
1. Dalam komputer IBM 360/370 sistem sebuah kata adalah 32 bits
panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dalam satu kata
komputer (computer words) adalah : 232−1- 1 = 231 – 1 = 2147488647
2. Untuk mesin komputer sistem 1130 / 1800 IBM yang dikenal dengan 16
Bit words maka untuk memilih m adalah : m = 216−1 = 32.768
3. Pada microcomputer dengan 8 bit akan digunakan : m = 28−1 = 128
4. Nilai m ini adalah merupakan pembagi dari nilai ( a x Z1) yang
mengikuti operasi modulo.
Jika angkanya terlalu tinggi atau terlalu besar, maka yang terjadi adalah
mengakibatkan overflow atau hang.
1. Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus
bilangan ganjil. Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus a = 2�/2±
3 yang lebih mendekat pada ketepatan.
2. Untuk sistem IBM 1130/1800 dengan 16 bit akan diperoleh a = 216/2 ± 3
= 28 + 3 = 259
3. Untuk mikrokomputer dengan 8 bit ,maka akan diperoleh a = 28 ± 3
= 24 + 3 = 16 + 3 = 19
c. Pemilihan untuk Zo, yang dikenal dengan : SEED = Zo harus merupakan
bilangan prima terhadap m. Dengan demikian untuk Zo adalah harus angka
angka yang ganjil.
d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga
