BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan sebuah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari sifat-sifat, bentuk, dan ciri umum suatu graf . Banyak permasalahan dapat dimodelkan dan direpresentasikan ke dalam bentuk sebuah graf dan diselesaikan dengan ban-tuan graf. Sebagai contoh, Jejaring sosial seperti facebook,twitter, instagramdan lainnya dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf dengan memberikan bobot pertemanan sebagai sisi dan pengguna sebagai titik. Sehingga secara singkat graf yang dinotasikan dengan simbol G merupakan sebuah objek yang tersusun atas elemen-elemen titik yang tidak kosong dimana setiap titik dapat dihubungkan oleh sebuah penghubung yang dinamakan sisi.
Jika setiap sisi pada sebuah graf G sembarang diberikan sebuah arah dengan tidak mempengaruhi titik-titik di Gakan memberikan sebuah defiinisi baru yang dinamakan digraf yang dinotasikan sebagai D. Penggunaan definisi digraf sudah banyak digunakan dalam pengembangan teorema-teorema yang berguna. Joel E. Cohen (1968) memperkenalkan sebuah definisi kompetisi graf untuk penggunaan pada sistem ekologi yang berhubungan dengan rantai makanan. Beliau mendefin-isikan kompetisi graf C(D) adalah sebuah graf yang memiliki titik yang sama dengan D dan sisi merupakan pasangan (x, y) dimana x, y ∈ D jika dan hanya jika terdapat sebuah titik z ∈ D dimana (x, z) dan (y, z) merupakan arc di D (Cho et all, 2000).
u, v ∈V(D) maka (u, v),(v, u)∈E(D) dengan menggunakan definisi yang sama.
Penelitian selanjutnya berkembang menjadi mencari sebuah generalisasi dari scrambling indeks dinamakan m-kompetisi indeks. Definisi dari m-kompetisi in-deks yang simbolkan dengankm(D) yaitu sebuah jalan terpendek dengan panjang
k sehingga setiap pasang titik x dan y yang berada di digraf primitifD terdapat m titik yang berbeda yaitu v1, v2, v3,· · · , vm di D dimana x
k
−→ vt dan y k
−→ vt
untuk t= 1,2,3,· · · , m (Kim, 2010).
Kim (2010) menelitim-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif dan mene-tapkan batas atas dari m-kompetisi indeks digraf tersebut. Jika Wn merupakan
graf Wielandt seperti yang ditunjukkan pada gambar 1
Gambar 1.1. Graf Wielandt Wn
Beliau memaparkan bahwa, untuk 1 ≤ m ≤ n (n ≥ 3), maka m-kompetisi indeks graf pada gambar 1.1 adalah
km(Wn) =
1 + (n+m−2
2 )(n−1) jika m+n genap 1 + (n+m−3
2 )n jika m+n ganjil
m-kompetisi indeks km(D) dari digraf D
Sehingga memberikan kesimpulan bahwa digraf Wielandt merupakanm-kompetisi terbesar untuk kelas himpunan digraf primitif yang dipengaruhi oleh panjang lingkaran terpendek girth.
Shaoet al(2012) menelitim-kompetisi indeks dari digraf primitif yang simetris tanpa menggunakan loop dan menetapkan batas atas dari m-kompetisi indeks dari digraf tersebut. Pada penelitian tersebut, diteliti sebuah graf Sn(r) yang
dinotasikan sebagai semua digraf simetris primitif dengan banyaknya titik adalah nyang memiliki lingkaran ganjil dengan panjangrtetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r. Andaikan Gr,l merupakan
graf dari kelasSn(r) dengan dengan 3≤r≤n−1 dan 1 ≤l≤n−r seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2
Gambar 1.2. GrafGr,l
maka, m-kompetisi indekskm(Gr,l) dari grafGr,l adalah
km(Gr, l) =
Gambar 1.3. Graf Gr
untuk 2 ≤m≤n−1 maka nilai dari m-kompetisi indeks graf Gr adalah
km(Gr) =
⌊r+m−1
2 ⌋ jika 2≤m≤r−1 r−1 jika r ≤m≤n−1
Kesimpulan yang dihasilkan, batas atas dari kelas graf Sn(r) adalah untuk
graf G∈ Sn(r), 3≤r≤n−1 dan 2≤m≤n−1. Maka,
km ≤km(Gn,r) =
n−r+⌊r+m−2
2 ⌋ jika 2≤m≤r−1 n+m−r−1 jika r ≤m≤n−1
Sehingga km(Gn,r) ∈ Sn(r) merupakan m-kompetisi indeks terbesar untuk kelas
graf primitif dengan banyaknya titik adalahnyang memiliki lingkaran ganjil den-gan panjang r tetapi tidak ada lingkaran dari panjang ganjil tersebut yang lebih kecil dari pada r.
Informasi diatas menjadi latar belakang peneliti untuk mengembangkan m-kompetisi indeks dari sebuah digraf primitif yang terdiri atas sebuah lingkaran hamiltonian dengan beberapa loop didalamnya.
1.2 Perumusan Masalah
Pembahasan digraf primitif sendiri karena definisi darim-kompetisi indeks meng-haruskan digraf tersebut terhubung kuat dan untuk setiap pasangan titik vi dan
vj harus mempunyaioutdegreeyang sama. Peneliti sebelumnya telah meneliti
sebuah lingkaran Hamiltonian dengan beberapaloop yang saling lepas diletakkan berdekatan. Secara khusus rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Gambar 1.4. Digraf sDn
Andaikan digraf sDn adalah sebuah digraf dengan banyak titik adalah n buah
terdiri atas sebuah lingkaran Hamiltonian yaitu v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1
dan s buah loop yang diletakkan berdekatan. Apakah f(km(sDn))≤f(s, m, n)?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk rumus umum dari batas atas m-kompetisi indeks untuk kelas digraf primitif dengan n ∈ Z+
titik v1, v2,· · · , vndi digrafDyang mempunyai lingkaran hamiltonianv1 →v2 →v3 →
· · · → vn → v1 dan beberapa loop sebanyak s yang diletakkan berdekatan untuk
1≤s≤n.
1.4 Manfaat Penelitian
