DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

(1)

dy/analisis_numerik/april2007 diferensiasi dan integrasi numerik

DIFERENSIASI DAN

INTEGRASI NUMERIK

Diferensiasi Numerik

(Forward, Central atau Centered, & Backward Difference; Turunan Pertama &

Kedua)

Integrasi Numerik

(Trapezoidal Rule & Simpson’s Rule; Lebar Inkremen Tetap & Berubah)

by: siti diyar kholisoh

DIFERENSIASI NUMERIK

Misalnya: y = f(x), dan ingin dicari harga pada x = x₀ dx

dy Berdasarkan definisi matematika:

x ) x ( f ) x x ( f 0 x lim dx dy Δ Δ Δ → + − =

Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga Δx →0 didekati dengan sebuah bilangan kecil ε, sehingga akan diperoleh:

Menurut teori:

♦pendekatan dengan centralmerupakan yang terbaik.

♦makin kecil ε, hasil makin baik

ε ε) f(x) x ( f dx dy_≈ + − ε ε ε 2 ) x ( f ) x ( f dx dy_≈ + − − ε ε) x ( f ) x ( f dx dy_≈ − − Cara forward: Cara backward:

Cara central ataucentered:

Visualisasi Grafik

Keterangan:

3: Centered difference approx. 2: Backward difference approx. 1: Forward difference approx. 4: True derivative

x

y

y = f (x)

1

3

2

4 i

i-1

i+1

h

2h

?

...

x

d

y

d

i x

=

Nilai turunan y = f (x) pada

x = x

idapat

dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x di sekitar

x

_iÆdalam hal ini:

x

_i-1dan

x

_i+1

Contoh Ilustratif:

Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu) benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan

persamaan: ₃

t

2 x

=

dengan x dalam meter dan t dalam detik Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari:

128 4 54 3 16 2 2 1 0 0 x (m)

t (detik) Kecepatan rata-rata:

dari t = 0 hingga t = 1…? dari t = 1 hingga t = 2…? dari t = 0 hingga t = 2…? Kesimpulannya: ……….

(2)

Yang ditunjukkan oleh speedometer:

waktu

jarak

v

=

Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1 Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara t = 1 dan t = 1,1:

Untuk kecepatan tetap:

62 , 6 1 , 0 ) 1 ( 2 ) 1 , 1 ( 2 1 1 , 1 x x v 3 3 1 t 1 , 1 t 1 , 1 1 = − = − − = = = → 06 , 6 01 , 0 ) 1 ( 2 ) 01 , 1 ( 2 1 01 , 1 x x v 3 3 1 t 01 , 1 t 01 , 1 1 = − = − − = = = → 006 , 6 001 , 0 ) 1 ( 2 ) 001 , 1 ( 2 1 001 , 1 x x v 3 3 1 t 001 , 1 t 001 , 1 1 = − = − − = = = → kecepatan sesaat

Jika Δt yang dipakai lebih kecil:

Δt = 0,01:

Δt = 0,001:

Jika menggunakan

Jika menggunakan Δt yang makin kecil, maka nilai kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan sesaat.

'

x

dt

dx

t

x

0 t

lim

v

=

_→

t+ t

−

t

=

Δ

Bandingkan dengan diferensiasi secara analitik:

3 t

2 x

=

6 t

2

dt

dx

v

=

Pada t = 1:

6 )

1 (

6 dt

dx

v

2 1 t 1 t

=

= = Kecepatan sesaat: Kesimpulan:

PENJABARAN

FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:

...

)

x

(

''

f

2 h

)

x

(

'

f

h

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₊₁

=

_i

+

_i

+

2 _i

+

...

)

x

(

''

f

2 h

)

x

(

'

f

h

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₊₁

−

_i

=

_i

+

2 _i

+

...

)

x

(

''

f

2 h

h

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

'

f

_i

=

i+1

−

i

−

_i

−

)

h

(

Ο

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:

h

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

'

f

i 1 i i

≅

+

−

≡error

(formula first forward finite-divided difference

2 titik) dengan: h ≡step size

…(*)

PENJABARAN

FIRST BACKWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan backward:

...

)

x

(

''

f

2 h

)

x

(

'

f

h

)

x

(

f

)

x

(

f

_i₋₁

=

_i

−

_i

+

2 _i

−

...

)

x

(

''

f

2 h

)

x

(

'

f

h

)

x

(

f

)

x

(

f

_i

−

_i₋₁

=

_i

−

2 _i

+

...

)

x

(

''

f

2 h

h

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

'

f

_i

=

i

−

i−1

+

_i

−

)

h

(

Ο

Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:

h

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

'

f

i i 1 i

≅

−

− ≡error

(formula first backward finite-divided difference

2 titik)

(3)

PENJABARAN

FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

2 TITIK DARI DERET TAYLOR

Pendekatan centeredmenggabungkan kedua pendekatan sebelumnya:

... ) x ( '' ' f 6 h ) x ( '' f 2 h ) x ( ' f h ) x ( f ) x ( f _i₋₁ = _i − _i + 2 _i − 3 _i + ) h ( 2

Ο

sehingga:

h

2 )

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

'

f

i 1 i 1 i

≅

+

−

− ≡error

(formula first centered finite-divided difference 2 titik)

(**)

...

)

x

(

''

'

f

6 h

)

x

(

''

f

2 h

)

x

(

'

f

h

)

x

(

f

)

x

(

f

_i+₁

=

_i

+

_i

+

2 _i

+

3 _i

+

(*)

Kurangkan (**) dari (*), maka:

... ) x ( '' ' f 3 h ) x ( ' f h 2 ) x ( f ) x ( f _i₊₁ − _i₋₁ = _i + 3 _i + ... ) x ( '' ' f 6 h h 2 ) x ( f ) x ( f ) x ( ' f _i 2 1 i 1 i i = + − − − −

PENJABARAN

FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (x_i) untuk pendekatan forward:

... ) x ( '' ' f 6 h ) x ( '' f 2 h ) x ( ' f h ) x ( f ) x ( f _i₊₁ = _i + _i + 2 _i + 3 _i +

)

h

(

2

Ο

h

2 )

x

(

f

3 )

x

(

f

4 )

x

(

f

)

x

(

'

f

_i

≅

−

i+2

+

i+1

−

i ≡error

(formula first forward finite-divided difference 3 titik)

(*) ... ) x ( '' ' f 6 ) h 2 ( ) x ( '' f 2 ) h 2 ( ) x ( ' f h 2 ) x ( f ) x ( f i 3 i 2 i i 2 i+ = + + + + (***)

Kalikan (*) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (***), maka:

... ) x ( '' ' f 3 h 2 ) x ( ' f h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 4 ) x ( f _i ₂ + _i ₁ − _i = _i − 3 _i − − + + ... ) x ( '' ' f 3 h h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( ' f _i =− i+2 + i+1 − i + 2 _i + sehingga:

PENJABARAN

SECOND FORWARD FINITE-DIVIDED

DIFFERENCE

3 TITIK DARI DERET TAYLOR

Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward: ... ) x ( '' ' f 6 h ) x ( '' f 2 h ) x ( ' f h ) x ( f ) x ( f _i 3 i 2 i i 1 i+ = + + + +

)

h

(

Ο

2i 1 i 2 i i

h

)

x

(

f

)

x

(

f

2 )

x

(

f

)

x

(

''

f

≅

+

−

+

≡error

(formula second forward finite-divided difference 3 titik) (*) ... ) x ( '' ' f 6 ) h 2 ( ) x ( '' f 2 ) h 2 ( ) x ( ' f h 2 ) x ( f ) x ( f i 3 i 2 i i 2 i+ = + + + + (***)

Kalikan (*) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (***), sehingga:

... ) x ( '' ' f h ) x ( '' f h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f _i₊₂ − _i₊₁ + _i = 2 _i + 3 _i + ... ) x ( '' ' f h h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( '' f i = i+2 − ₂i+1 + i − i − sehingga:

SECARA UMUM

Secara umum, proses penjabaran diferensiasi numerik untuk kasus:

Turunan yang melibatkan jumlah titik data lebih banyak, atau Turunan yang lebih tinggi

dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) dan mengikuti langkah-langkah manipulasi aljabar yang sama atau analog dengan beberapa penjabaran di atas.

Secara umum, berlaku:

• h (step size)semakin kecil, atau

• menggunakan jumlah titik data semakin banyak 1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika:

2. Pendekatan centered differencememberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan forwarddan backward difference.

(4)

Forward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h2₎

(4 titik)

Ο(h)

(3 titik)

Error

Turunan kedua:

Ο(h2₎

(3 titik)

Ο(h)

(2 titik)

Error

Turunan pertama:

h ) x ( f ) x ( f ) x ( ' f _i = i+1 − i h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( ' f i =− i+2 + i+1 − i 2i 1 i 2 i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( '' f = + − + + 2 i 1 i 2 i 3 i i h ) x ( f 2 ) x ( f 5 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( '' f =− + + + − + +

Backward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h2₎

(4 titik)

Ο(h)

(3 titik)

Error

Turunan kedua:

Ο(h2₎

(3 titik)

Ο(h)

(2 titik)

Error

Turunan pertama:

h ) x ( f ) x ( f ) x ( ' f _i = i − i−1 h 2 ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 3 ) x ( ' f i = i − i−1 + i−2 21 i 2 i i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( '' f = − − + − 2 i 2 i 3 1 i i i h ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 5 ) x ( f 2 ) x ( '' f = − − + − − −

Centered finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h4₎ (5 titik) Ο(h2₎ (3 titik) Error

Turunan kedua:

Ο(h4₎ (4 titik) Ο(h2₎ (2 titik) Error

Turunan pertama:

h 2 ) x ( f ) x ( f ) x ( ' f i 1 i 1 i = + − − h 12 ) x ( f ) x ( f 8 ) x ( f 8 ) x ( f ) x ( ' f i 2 i 1 i 1 i 2 i =− + + + − − + − 2i i 1 1 i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( '' f = + − + − 2i i1 i 2 1 i 2 i i h 12 ) x ( f ) x ( f 16 ) x ( f 30 ) x ( f 16 ) x ( f ) x ( '' f =− + + + − + − − −

CONTOH SOAL:

Gunakan

finite divided difference approximation

(

forward

,

backward,

dan

centered

) untuk

menentukan nilai turunan pertama dari fungsi:

2 ,

1 x

25 ,

0 x

5 ,

0 x

15 ,

0 x

1 ,

0 )

x

(

f

=

−

4

−

3

−

2

−

+

pada x = 0,5, menggunakan

step size

h = 0,5.

Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,25

dan h = 0,1.

(5)

CONTOH APLIKASI:

2,6350 3,3834 4,3443 5,5783 7,1626 C 45 40 35 30 25 t 0,7549 0,9694 1,2447 1,5982 2,0521 C 70 65 60 55 50 t 9,1970 11,8092 15,1633 19,4700 25,0000 C 20 15 10 5 0 t 0,2163 0,2777 0,3566 0,4579 0,5879 C 95 90 85 80 75 t 0,0620 120 0,0796 115 0,1022 110 0,1312 105 0,1684 100 C t Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3_):

Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi:

pada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided difference

cara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centeredatau central. Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan

secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting) t

d C d r=−

DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATA

Untuk sekumpulan data-data yang melibatkan interval x yang tidak sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilai

turunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi polinomial Lagrange orde dua.

) x x )( x x ( x x x 2 ) x ( f ) x ( ' f 1 i 1 i i 1 i 1 i i 1 i + − − + − ₋ − − ₋ =

Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan:

Melalui penurunan secara analitik, diperoleh:

) x x )( x x ( x x x 2 ) x ( f 1 i i 1 i i 1 i 1 i i + − + − − − − − + ) x x )( x x ( x x x 2 ) x ( f i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i ₋ − − ₋ + + − + − + (x merupakan nilai yang ingin dievaluasi turunannya)

(xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1))

CONTOH APLIKASI:

Reaksi isomerisasi searah fase cair: A ÆB

berlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan data konsentrasi A tersisa (C_A) vs waktu (t) sbb.:

n A A A d_dC_t kC r =− = −

Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk:

maka besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k) dapat ditentukan. 0,06 0,25 0,65 1,0 1,45 2,25 4,0 CA(mol/L) 17,5 15 12 10 8 5 0 t (menit)

Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:

t

d

C

d

A

INTEGRASI NUMERIK

Persoalan integrasi numerik:

∫

b a

dx

)

x

(

f

1. Fungsi (persamaan) tunggal dengan variabel tunggal

2. Bentuk persamaan diferensial (PD), baik tunggal maupun simultan

(Trapezoidal rule; Simpson’s Rule)

(Metode: Euler, Heun,ModifiedEuler; Runge-Kutta)

yang akan dipelajari pada bagian ini

Misal: Penyelesaian integral berbentuk:

Misal: Penyelesaian PD berbentuk: ) x ( Q y . ) x ( P x d y d ₊ ₌

_f

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

x

d

y

d

₌

) z , y , x ( f x d z d ₌ (tunggal) (simultan)

(6)

FORMULA NEWTON-COTES

Formula integrasi Newton-Cotes merupakan basis penyelesaian integrasi numerikuntuk kasus persamaan dengan variabel tunggal.

dx

)

x

(

f

I

b a

∫

=

Ide dasar:

Menggantikan bentuk fungsi atau persamaan yang kompleks dengan data-data dalam bentuk tabel. Selanjutnya, dilakukan proses curve-fittingterhadap data-data tersebut, sehingga diperoleh fungsi atau persamaan yang mudah diintegralkan. Integral fungsi f (x) dari x = a

hingga x = bdapat dituliskan sbb.:

dengan: m m 1 m 1 m 2 2 1 0

a

x

a

x

...

a

x

a

x

a

)

x

(

f

=

+

₋ −

+

f (x) ≡fungsi polinomial berorder m

Ingat kembali bahwa:Untuk membentuk polinomial berorder m, maka dibutuhkan sekurang-kurangnya (m+1) titik data.

TRAPEZOIDAL RULE

dx

)

x

(

f

I

b a

∫

=

x y y = f (x) a b f (a) f (b) Integral (I) Merupakan bentuk integrasi Newton-Cotes yang paling sederhana

Æmenggunakan pendekatan polinomial orde satu (linier)

)

a

x

(

)

a

(

f

)

x

(

f

=

+

f(b_b)₋−_af(a)

−

Integral f (x) antara x = a dan x = b: dengan: orde satu

TRAPEZOIDAL RULE

dx ) a x ( a b ) a ( f ) b ( f ) a ( f I b a∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − + = 2 ) a b ( 2 1 a b ) a ( f ) b ( f ) a b ).( a ( f I − − − + − = 2 ) a ( f ) b ( f ) a b ( ) a ( f ). a b ( I= − + − − Maka: 2 ) b ( f ) a ( f ). a b (

I = − + (formula trapezoidal rule)

Secara geometri:

Luas trapesium = lebar x rerata panjang sisi sejajar

2 ) b ( f ) a ( f ). a b ( I = − +

Luas daerah yang diarsir:

I bermakna luas daerah di bawah kurvay = f (x)

MULTIPLE-APPLICATION TRAPEZOIDAL RULE

= Composite Trapezoidal Rule

n

x

n

a

b

h

₌

−

₌

n

−

0 x y = f (x) a b f (a) f (b) I … = x0 = xn

Interval dari x = x0= a dan x = x_n= b dibagi menjadi

bagian-bagian kecil (inkremen atau segmen) yang masing-masing selebar h, berjumlah n buah.

Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, …, n shg:

x

i

=

x

0

+

i

.

h

Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Harga integral yang merupakan luas di bawah kurva y = f (x) dari x0s.d xn didekati dengan penjumlahan dari luas trapesium-trapesium tsb.

(7)

Dengan demikian, jika tersedia data-data berikut: y_n atau f (xn) y_n-1 atau f (xn-1) … y₂ atau f (x2) y₁ atau f (x1) y₀ atau f (x0) y atau f (x) xn xn-1 … x2 x1 x0 x ∫ = ∫ =b a x x n 0 dx ) x ( f dx ) x ( f I ∫ +∫ + + ∫ = − 1 0 2 1 n 1 n x x x x x x dx ) x ( f ... dx ) x ( f dx ) x ( f I maka: 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h I₌ 0 + 1 ₊ 1 + 2 ₊_"₊ n−1 + n ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ + + = − = 1 n 1 i i n 0) 2 f(x ) f(x ) x ( f 2 h I

Jika jumlah n semakin besar, maka hasil integrasi akan semakin baik.

(formula composite trapezoidal rule)

CONTOH SOAL:

Perkirakan integral:

dari a = 0 hingga b = 0,8

dengan menggunakan metode

trapezoidal:

(a) 1 segmen,

(b) 2 segmen,

(c) 4 segmen, dan

(d) 20 segmen

5 4 3 2

₆₇₅

_x

₉₀₀

_x

₄₀₀

_x

x

200 x

25

2 ,

0 )

x

(

f

=

+

−

+

−

+

(Sebagai perbandingan, penyelesaian secara analitik

untuk integral ini adalah 1,640533)

Bandingkan hasil-hasilnya…!

SIMPSON’S RULE

dx

)

x

(

f

I

2 0 x x

∫

=

f(x ) ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x ( f ₀ 2 0 1 0 2 1 − − − − = y2 atau f (x2) y1 atau f (x1) y0 atau f (x0) y atau f (x) x2 x1 x0 x

Æmenggunakan pendekatan polinomial orde dua (kuadrat)

Integral f (x) antara x = x0dan x = x2: dengan:

orde dua Jika tersedia 3 titik data:

) x ( f ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( 2 1 2 0 2 1 0 − − − − + ) x ( f ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( 1 2 1 0 1 2 0 − − − − +

(Persamaan f (x) yang melalui ketiga titik data tsb. di atas dapat didekati dengan interpolasi polinomial Lagrange orde dua)

∫ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ∫ = 2 0 2 0 x x 0 1 0 2 0 2 1 x x ) x ( f ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( dx ) x ( f I ) x ( f ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( 1 2 1 0 1 2 0 − − − − + dx ) x ( f ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( 2 1 2 0 2 1 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − − − − +

[

f(x ) 4 f(x ) f(x )

]

3 h I≅ ₀ + ₁ + ₂ 2 x x h= 2− 0 _x 0 x1 x2 h h (formula Simpson’s 1/3 rule)

Setelah melalui proses integrasi dan manipulasi aljabar, diperoleh: Dengan demikian:

dengan:

(8)

MULTIPLE-APPLICATION SIMPSON’S 1/3 RULE

= Composite Simpson’s 1/3 Rule

)) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f ( 3 h )) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f ( 3 h I= ₀ + ₁ + ₂ + ₂ + ₃ + ₄

Identik dengan penurunan formula composite trapezoidal rule,

metode ini dapat dijabarkan sbb.:

∫ +∫ + + ∫ ∫ = = − 2 0 4 2 n 2 n n 0 x x x x x x x x dx ) x ( f ... dx ) x ( f dx ) x ( f ) x ( f I )) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f ( 3 h ...+ _n ₂ + _n ₁ + _n + ₋ ₋ atau: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∑ + ∑ + = − = − = f(x ) 2 f(x ) f(x ) 4 ) x ( f 3 h I n 2 _n 6 , 4 , 2 j j 1 n 5 , 3 , 1 i i 0

(formula composite Simpson’s 1/3 rule)

dengan:

n x x

h₌ n− 0 _dan_n_berupa_{bilangan genap}

CONTOH SOAL:

Perkirakan integral:

dari a = 0 hingga b = 0,8

dengan menggunakan metode

Simpson 1/3:

(a) 2 segmen,

(b) 4 segmen, dan

(c) 20 segmen

5 4 3 2

₆₇₅

_x

₉₀₀

_x

₄₀₀

_x

x

200 x

25

2 ,

0 )

x

(

f

=

+

−

+

−

+

(Penyelesaian secara analitik untuk integral ini: 1,640533)

Bandingkan hasil-hasilnya…!

Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh dengan

metode

trapezoidal

…!

INTEGRASI DGN LEBAR SEGMEN TAK SAMA

∫ = ∫ =b a x x n 0 dx ) x ( f dx ) x ( f I ∫ +∫ + + ∫ = − 1 0 2 1 n 1 n x x x x x x dx ) x ( f ... dx ) x ( f dx ) x ( f I 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h I= 1 0 + 1 + 2 1 + 2 +"+ n n−1 + n

Pada kebanyakan situasi, kasus integrasi dengan lebar segmen (atau inkremen) sama seringkali justru tidak banyak dijumpai. Misalnya, data-data yang diperoleh melalui eksperimen di laboratorium.

Untuk kasus seperti ini, metode composite trapezoidal ruledapat diterapkan, dengan cara yang sangat identik dengan kasus lebar segmen yang sama.

dengan:

h

_i

≡

lebar

segmen

ke

−

i

(i = 1, 2, …, n)

CONTOH APLIKASI:

Sebuah reaksi homogen fase gas: A Æ3 R mempunyai laju reaksi pada 215o_{C sebesar:}

) ik det . liter / mol ( C 10 r_A= −2 _A1/2 −

Campuran reaksi yang berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa yang beroperasi pada 215o_{C dan 5 atm. C}

A0= 0,0625 mol/liter. Tentukan space-time yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80%.

Keterangan:

Persamaan kinerja reaktor alir pipa:

A 2 / 1 8 , 0 0 A A A 2 / 1 0 A X 0 1/2 A A A 2 / 1 0 A A 0 A X 0 A A 0 A C _k 1₁ _XX dX X 1 X 1 C k X d C r X d C Af Af ∫ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∫ ₋ = ε ε τ

(9)

Penyelesaian:

Metode yang bisa ditempuh: 1. Integrasi secara grafik 2. Integrasi secara analitik 3. Integrasi numerik

Penyelesaian secara analitik:

328 , 1 X 1 X sin arc X d X 1 X 1 X d X 1 X 1 0,8 0 2 A A A 8 , 0 0 _A2 A A 2 / 1 8 , 0 0 A A _∫ ₌ ₋ ₋ ₌ − + = ∫ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +

Coba Anda ulangi kembali melalui

penyelesaian secara

numerik

! (Silakan pilih sendiri metode yang akan Anda

gunakan…)

Integral ≈luas daerah

di bawah kurva

CONTOH APLIKASI

KANDUNGAN AIR dalam PADATAN BASAH

R

r _dr

Misal suatu padatan bentuk bola berjari-jari R, mengandung air dengan kadar tidak seragam:

dengan r = jarak ke pusat bola. Ingin dicari jumlah air yang ada dalam padatan (m) dan kadar air rata-ratanya (Cav)

Analisis: 2 o 3 2 R r 1 C cm O H g C _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Misal:

Ditinjau elemen volume dengan tebal dr (≈0) Jumlah air pada elemen volume = dm Karena dr sangat kecil, maka kadar air pada bagian tersebut praktis dapat dianggap seragam, sehingga:

dm = 4.π.r2_.dr.C

(massa H2O = volume x kadar) Dengan integrasi diperoleh:

Jika diambil: C0= 0,3 g/cm3; R = 5 cm Dengan integrasi numerik, diperoleh:

m = …….. g Kadar air rata-rata:

∫

= = = = = R r 0 r 2 m m 0 m dr . C . r . . 4 dm π

∫

= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = R r 0 r 2 2 o. r .1 _Rr .dr C . . 4 m π 3 3 av cm g ... R 3 4 m volume massa C = = = π

Latihan Soal #:

Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut dengan pendekatan forward difference(2 titik (Ο(h))dan 3 titik (Ο(h2_{))), backward difference}_{(2 titik}₍Ο_(h))_{dan 3}

titik (Ο(h2_))),_serta_{central/centered difference}_{(2 titik}

(Ο(h2₎₎_{dan 4 titik}₍Ο_(h4_))):

(a)

pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan h = 0,1

(b)

pada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1, dan h = 0,05

Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh melalui perhitungan secara analitik!

15 x 4 x y= 3+ −

x

e

y

=

x

+

(10)

Latihan Soal #:

Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian

tangki bahan bakar minyak:

1,30

1,14

1,03

0,88

0,73

0,65

0,5

V, 10

6

_barrel

120

90

60

45

30

15

0 t, menit

Hitunglah

laju alir minyak

yang terkumpul

pada

setiap waktu pengamatan

(Q = dV/dt).

Latihan Soal #3:

Pada suhu tetap, sebuah proses termodinamika mengukur

perubahan tekanan terhadap perubahan volume sistem,

dan diperoleh data berikut:

∫

=

P

dV

W

11 10 8 6 4 3 2 0,5 Volume, V (m3₎ 207 242 312 316 326 333 368 420 Tekanan, P (kPa)