B. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR B. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR
Untuk setiap bilan
Untuk setiap bilangan bulat a gan bulat a palinpaling g sediksedikit memiliki dua it memiliki dua faktfaktor yaitu or yaitu 1 dan1 dan dir
dirinyinya a sensendirdiri. i. SuaSuatu tu bilbilangangan an bulbulat at dadapat pat memmemiliiliki ki fakfaktor tor selselain ain 1 1 dan dan dirdirinyinyaa sendiri. Sebagai contoh 20 memiliki faktor 1, 2, 4, 5, 10 dan 20, sedangkan 30 sendiri. Sebagai contoh 20 memiliki faktor 1, 2, 4, 5, 10 dan 20, sedangkan 30 memiliki faktor 1, 2, 3, 5, , 10, 15 dan 30. !ari contoh ini diperoleh bah"a 1, 2, 5 memiliki faktor 1, 2, 3, 5, , 10, 15 dan 30. !ari contoh ini diperoleh bah"a 1, 2, 5 dan 10
dan 10 mermerupaupakan faktokan faktor r dardari i 20 20 dan sekaldan sekaliguigus s fakfaktor tor dardari i 30. #akta terse30. #akta tersebutbut mengantarkan ke konsep faktor
mengantarkan ke konsep faktor persekutuan, dan faktor persekutuan terbesar.persekutuan, dan faktor persekutuan terbesar.
Definisi 2.1.2 Definisi 2.1.2 Suatu bilangan
Suatu bilangan bulat d dbulat d disebut faktor persekutuan isebut faktor persekutuan dari a dan dari a dan b apabila d b apabila d a dan da dan d b.b.
$erlu diketahui bah"a untuk setiap dua bilangan bulat a dan b memiliki paling $erlu diketahui bah"a untuk setiap dua bilangan bulat a dan b memiliki paling sedikit satu faktor persekutuan yaitu 1. %ika d adalah faktor persekutuan dari a dan sedikit satu faktor persekutuan yaitu 1. %ika d adalah faktor persekutuan dari a dan b maka
b maka d ma d ma & nb untuk & nb untuk setiap bilangan setiap bilangan bulat m bulat m dan n. dan n. %ika a %ika a dan b dua dan b dua bilanganbilangan bulat
bulat tak tak nol, nol, maka maka a a dan dan b b hanya hanya memiliki memiliki se'umlah se'umlah hingga hingga faktor faktor dan dan oleholeh kar
karenaenanya nya himhimpunpunan an fakfaktor tor perperseksekutuutuan an dardari i a a dan dan b b 'ug'uga a berberhinhinggagga. . (ar(arenaena elemen)elemen himpunan faktor persekutuan dari a dan b merupakan bilangan) elemen)elemen himpunan faktor persekutuan dari a dan b merupakan bilangan) bilangan bulat
bilangan bulat maka maka himpunan tersehimpunan tersebut but memiliki memiliki elemen elemen terbesar. *ilangan terbesar. *ilangan bulatbulat terbesar ini disebut faktor persekutuan terbesar +#$* dari a dan b. (onsep #$* terbesar ini disebut faktor persekutuan terbesar +#$* dari a dan b. (onsep #$* disa'ikan pada !efinisi 2.1.3.
disa'ikan pada !efinisi 2.1.3.
Definisi 2.1.3 Definisi 2.1.3
*ilangan bulat positif d disebut #$* dari a dan b 'ika dan hanya *ilangan bulat positif d disebut #$* dari a dan b 'ika dan hanya
'ika-++ii. . d d a a ddaan n dd bb
++iiii. . ''iikka a cc a a ddaan n cc b b mmaakka a cc dd..
#aktor persekutuan terbesar dari a dan b dinotasikan dengan #$*+a,b. *eberapa #aktor persekutuan terbesar dari a dan b dinotasikan dengan #$*+a,b. *eberapa hal yang perlu diketahui tentang #$* antara lain- +i. #$* +0,0 tidak
hal yang perlu diketahui tentang #$* antara lain- +i. #$* +0,0 tidak didefinisikan.
didefinisikan. +ii
+iii. #$* +a,b #$* +a,)b #$* +)a,b #$* +)a,)b.
Contoh 2.1.2
a. #$* dari 30 dan 105 adalah 15, sehingga ditulis #$* +30, 105 15. b. #$* dari / dan 20 adalah 1, sehingga ditulis #$* +/,20 1.
Teorema 2.1.5
%ika #$* +a,b d maka #$* +a-d, b-d 1. B!ti"
isalkan #$* +a-d, b-d c.
kan ditun'ukkan bah"a c 1, yaitu dengan menun'ukkan c 1 dan c 1. (arena c adalah #$* dari dua bilangan bulat yaitu a-d dan b-d maka c 1.
+.
(arena #$* +a-d, b-d c maka c +a-d dan c +b-d. kibatnya ada bilangan bulat dan r sedemikian sehingga berlaku a-d c dan b-d cr. enurut definisi pembagian diperoleh a d+c +cd dan b d+cr +cdr. ni berarti cd
merupakan faktor persekutuan dari a dan b. (arena d adalah #$* dari a dan b maka cd d. (arena d positif maka c 1. +.
!ari + dan + disimpulkan c 1.
Contoh 2.1.3
(arena #$* +24,30 maka #$* +24-, 30- #$* +4,5 1.
Definisi 2.1.#
*ilangan bulat a dan b disebut relatif prima +saling prima 'ika #$* +a,b 1.
!ari contoh 2.1.2 diperoleh bah"a / dan 20 saling prima, sedangkan dari contoh 2.1.3 diperoleh bah"a 4 dan 5 saling prima.
%ika a dan b adalah bilangan)bilangan bulat yang kecil maka #$* +a,b dapat dihitung dengan mudah +singkat. 6idak demikian halnya a dan b adalah bilangan) bilangan yang besar. Sebagai contoh 'ika a 2020473 dan b 202087
maka #$* +a,b tidak dapat dihitung dengan singkat. *erikut ini akan sa'ikan cara yang efisien untuk menentukan #$* dari dua bilangan bulat.
Teorema 2.1.$ %A&'oritma Pem(a'ian Bi&an'an B&at)
Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat dengan tunggal bilangan bulat dan r sedemikian sehingga b a & r dengan 0 r 9 a.
B!ti"
*entuk barisan bilangan berikut- , +b)3a, +b)2a, +b)a, b, +b&a, +b&2a, +b&3a,
….
isalkan r adalah bilangan bulat tak negatif terkecil dari barisan tersebut. kibatnya r 0 dan r b : a untuk suatu bilangan bulat . !iperoleh b a & r dengan r 0. Selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a r 9 a. ndaikan r a, maka r a & k untuk suatu k 0. Sehingga k r)a.
(arena r b : a maka k b : +&1a. ni berarti bah"a k adalah suatu suku dari barisan tersebut, dengan 0 k r : a r. (ontradiksi dengan r adalah bilangan bulat
tak nol terkecil dari barisan tersebut. $engandaian salah, yang benar r a. %adi ada dan r sedemikian sehingga b a & r, dengan 0 r a.
Selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a dan r tunggal.
isalkan terdapat 1 dan r 1 sedemikian sehingga b a1 & r 1, dengan 0 r 1 a.
(arena b a & r dan b a1 & r 1, maka diperoleh
+ : 1a & +r : r 1 0 ... +
(arena a + : 1a dan a 0, maka a +r : r 1.
6etapi karena 0 r a dan 0 r 1 a, maka )a r : r 1 a.
Sehingga diperoleh r : r 1 0 atau r r 1.
Selan'utnya dari persamaan + diperoleh + : 1a 0 atau 1, sebab a 0. %adi
diperoleh r r 1 dan 1. !engan kata lain dan r yang memenuhi b a & r
dengan 0 r 9 a adalah tunggal.
Contoh 2.1.#
%ika a 24 dan b 81 maka 3 dan r /, sebab 81 +3.+24 & /. 6erlihat bah"a #$* +81,24 3 dan #$* +24,/ 3.
%ika a dan b sebarang bilangan bulat, maka 6eorema 2.1 tetap berlaku tetapi dengan syarat 0 r 9 a .
Teorema 2.1.*
%ika b a & r, maka #$* +b,a #$* +a,r. B!ti"
isalkan #$* +b,a d. aka d a dan d b.
(arena d a dan d b dan r b : a maka d r. ni berarti d adalah faktor persekutuan dari a dan r. selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a d adalah #$* dari a dan r.
isalkan c adalah sebarang faktor persekutuan dari a dan r, yang berarti c a dan c r.
(arena b a & r maka c b, sehingga c merupakan faktor persekutuan dari a dan b. 6etapi #$* +a,b d , sehingga c d. ni berarti d adalah #$* dari a dan r. %adi
#$* +b,a #$* +a,r.
Selan'utnya dengan menggunakan 6eorema 2.1. dan 6eorema 2.1.7 dapat ditentukan #$* dari sebarang dua bilangan bulat.
Contoh 2.1.5
6entukan #$* +577,4453.
$enyelesaian-!engan menggunakan 6eorema 2.1. berkali)kali maka diperoleh-577 4453 . 1 & 1314 4453 1314 . 3 & 511 1314 511. 2 & 2/2 511 2/2 . 1 & 21/ 2/2 21/ . 1 & 73 21/ 73 . 3 & 0
*erdasarkan 6eorema 2.1.7 diperoleh #$* +577,4453 #$* +4453,1314 #$* +1314,511 #$* +511,2/2 #$* +2/2,21/ #$* +21/,73 #$* +73,0 73. %adi #$* +577,4453 73.
Teorema 2.1.+
isalkan a dan b bilangan)bilangan bulat positif. enggunakan algoritma pembagian diperoleh persamaan)persamaan berikut- a b & r, dengan 0 r b
b r1 & r 1, dengan 0 r 1 r r r 12 & r 2, dengan 0 r 2 r 1 -r k)2 r k)1k & r k, dengan 0 r k r k)1 r k)1 r k k&1. !iperoleh #$* +a,b r k .
6eorema 2.1.8 dapat dibuktikan dengan proses rekursif menggunakan 6eorema 2.1.7. eru'uk pada !efinisi 2.1.3, 'ika a atau b bilangan bulat negatif, maka #$* +a,b #$* +a,)b #$* +)a,b #$* +)a,)b.
Teorema 2.1.,
Untuk setiap bilangan bulat tak nol a dan b terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga #$* +a,b am & bn.
6eorema 2.1./ dapat dibuktikan dengan menggunakan 6eorema 2.1.8.
Contoh 2.1.$
%ika a 247 dan b 2//, maka diperoleh-2// 247 . 1 & 52
247 52 . 4 & 3/
52 3/ . 1 & 13 39 13 . 3
*erdasarkan 6eorema 2. diperoleh #$* +a,b 13.
;aranya sebagai berikut. 13 52 - 3/ . 1 =52 ) +247 ) 52 . 4 = 52 . 5 : 247 =+2// ) 247 . 1 . 5 ) 247 = 2// . 5 - 247 . %adi m ) dan n 5. A!i(at Teorema 2.1.,
%ika a dan b relatif prima maka ada bilangan bulat m dan n sehingga am & bn 1.
Teorema 2.1.1
%ika d ab dan #$* +d,a 1, maka d b. B!ti"
(arena #$* +d,a 1 maka ada m dan n sehingga dm & an 1. kibatnya
diperoleh- b+dm & b+an b d+bm & +abn b (arena d ab maka d b.
Teorema 2.1.11
%ika c a dan c b dengan +a,b d maka c d. B!ti"
(arena #$* +a,b d maka d am & bn untuk suatu bilangan bulat m dan n. (arena c a dan c b maka c am dan c bn, sehingga c +am & bm d.
6eorema 2.10 menyatakan bah"a setiap faktor persekutuan dari dua bilangan bulat merupakan faktor dari #$* dua bilangan tersebut. Sehingga dengan menggunakan 6eorema 2.10 maka definisi #$* dari dua bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.
Suatu bilangan bulat positif d disebut #$* dari bilangan bulat a dan b 'ika
memenuhi-+i. d adalah faktor dari a dan b,
+ii. untuk sebarang faktor dari a dan b merupakan faktor dari d.
Contoh 2.1.*
