Momentum Sudut 2

(1)

BAB I BAB I

PENDAHULUAN

Pengertian Momentum

Seb

Sebelum elum kitkita a berberkenkenalan alan dendengan gan mommomententum um sudsudut, ut, terterleblebih ih dahdahulu ulu kitkita a pahpahamiami kembali konsep momentum (momentum = momentum linear). Momentum alias momentum kembali konsep momentum (momentum = momentum linear). Momentum alias momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus. linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus. Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua benda selalu bergerak sepanang lintasan lurus. Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua benda selalu bergerak sepanang lintasan lurus. !intasan lurus itu hanya model yang kita pakai untuk membantu kita menganalisis gerakan !intasan lurus itu hanya model yang kita pakai untuk membantu kita menganalisis gerakan benda. "adi kita menganggap setiap benda seolah-olah selalu bergerak sepanang lintasan atau benda. "adi kita menganggap setiap benda seolah-olah selalu bergerak sepanang lintasan atau alan

alan yang lurus. yang lurus. Momentum sebuah Momentum sebuah benda merupakan benda merupakan hasil hasil kali akali antara masntara massa (sa (m) benda m) benda ituitu dan ke#epatan ($) geraknya.

dan ke#epatan ($) geraknya.

Keterangan : Keterangan : p p =momentum =momentum m = massa m = massa v v = ke#epatan = ke#epatan Mo

Momementntum um memerurupapakakan n bebesarsaran an $e$ektktoror, , adadi i selselaiain n memempmpununyayai i bebesasar r (n(nililai)ai),, momen

momentum uga tum uga mempmempunyai arah. Besar unyai arah. Besar momenmomentumtum p p = = mvmv. %erus arah momentum adalah. %erus arah momentum adalah arah momentum sama dengan arah ke#epatan.

arah momentum sama dengan arah ke#epatan.

dan satuan $ = m&s, maka satuan momentum adalah kg m&s. dan satuan $ = m&s, maka satuan momentum adalah kg m&s. Dari persamaan di atas, tampak bah'a momentum (

Dari persamaan di atas, tampak bah'a momentum (pp) berbanding lurus dengan massa) berbanding lurus dengan massa (m) dan ke#epatan (

(m) dan ke#epatan (vv).). Semakin besar ke#epatan benda, semakin besar momentum bendaSemakin besar ke#epatan benda, semakin besar momentum benda tersebut. Demikian uga, semakin besar massa sebuah benda, momentum benda tersebut uga tersebut. Demikian uga, semakin besar massa sebuah benda, momentum benda tersebut uga semakin besar. erlu diingat bah'a momentum merupakan hasil kali antara massa (m) dan semakin besar. erlu diingat bah'a momentum merupakan hasil kali antara massa (m) dan ke#epatan ($). "adi ika sebuah benda sedang diam (ke#epatannya = ), maka momentum ke#epatan ($). "adi ika sebuah benda sedang diam (ke#epatannya = ), maka momentum benda itu = .

benda itu = .

Dalam mekanika klasik, momentum (gabungan Momentum * SI satuan kg + m & s, Dalam mekanika klasik, momentum (gabungan Momentum * SI satuan kg + m & s, atau, ekui$alen,   S) adalah produk dari massa dan ke#epatan suatu benda (p/ = m $/ ). atau, ekui$alen,   S) adalah produk dari massa dan ke#epatan suatu benda (p/ = m $/ ). Se

Sepepertrti i keke#ep#epatatanan, , momomementntum um adadalaalah h kukuanantititatas s $e$ektktoror, , mememimilikliki i araarah h serserta ta bebesarsaranan.. Momentum adalah kuantitas kekal (hukum kekekalan momentum linier), yang berarti bah'a Momentum adalah kuantitas kekal (hukum kekekalan momentum linier), yang berarti bah'a ika

ika suatu suatu sistem sistem tertutup tertutup tidak tidak terpengaruh terpengaruh oleh oleh kekuatan-kekuatan kekuatan-kekuatan eksternal, eksternal, momentummomentum total tidak bisa berubah. Momentum kadang-kadang disebut sebagai momentum linier untuk total tidak bisa berubah. Momentum kadang-kadang disebut sebagai momentum linier untuk membedakannya dari subek terkait

membedakannya dari subek terkait momentum sudut.momentum sudut. Materi yang ak

Materi yang akan dibahas yan dibahas yaitu:aitu: 0.

0. eengngertertian Mian Momomenentutum Sudm Sudutut 1.

1. 2uk2ukum um 3ek3ekekalekalan an MomMomententum um SudSudutut 4.

4. MomMomententum um SudSudut ut SysSystem tem arartiktikelel

p = m v

(2)

BAB II 5MBA2ASA

MOMENTUM SUDUT

ada gerak melingkar atau rotasi terdapat besaran seenis yang dinamakan sebagai Momentum Sudut.

0.

Pengertian Momentum Sudut

*

Misalnya benda bermassa m diikatkan dengan tali yang panangnya r . 6ung tali diikat pada titik 7. "ika benda bergerak melingkar dengan ke#epatan tetap v, besarnya momentum sudut dituliskan sebagai berikut.

L = r × p = r p sin α

3arena sudut yang dibentuk oleh r dan p adalah 9o

o , persamaaan tersebut menadi* L = r m v sin 90 0 = r m v = r m w r = m r 2 w L = I w

Dengan ! = momentum sudut dalam kg. m1_{&s 8 I = momen inersia dalam kg.m1 dan} 9 = ke#epatan sudut dalam rad&s.

"adi, kita dapat mende:enisikan momentum sudut sebagai hasil perkalian momen inersia dengan ke#epatan sudutnya.

m

;ambar <otasi benda yang diikat dengan tali ontoh soal

Sebuah benda bermassa 1 kg bergerak melingkar dengan ari-ari ,> m. "ika periode rotasi ,01> s, ditentukan*

a. 3e#epatan sudut8 b. Momen inersia8 dan

#. Momentum sudutnya? Jawab: Masa partikel m = 1 kg "ari-ari rotasi r = ,> m eriode rotasi T = ,01> s a. 3e#epatan sudut (w)

(3)

w= 2_π T = 2π 0,125 = 0@ π

"adi, besarnya ke#epatan sudut 0@ π rad&s.

b. Momen Inersia ( I ) I = m r

2

= 1(,>)1 = ,>

"adi, besarnya momen inersia ,> kg m

2

. #. Momentum sudut ( L)

L = I w

= ,> . 0@ π

"adi, besarnya momentum sudut  π kg m

2

&s.

2. Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Sama halnya sepaerti pada momentum linear,momentum sudut suatu sistem pun bersi:at kekal. Berikut pembuktian bah'a momentum sudut memiliki si:at kekekalan uga. Momentum sudut partikel ( L) se#ara umum dide:inisikan sebagai*

L = m r × v = r × m v L = r × p

r

• p

Berdasarkan hukum II e'ton ,gaya yang menyebabkan bena mengalami perubahan gerak adalah*

F = ma F =

dL dt

"ika kedua ruas persamaan diatas dikalikan se#ara silang dengan r diperoleh* r × F = r ×

dL dt τ = d

(

r × p_dt

)

(4)

• 

τ = dL_dt

Bila tidak ada gaya dari luar yang bekera pada benda ( =  ) dL

dt = ,

maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut.

ersamaan terakhir dari Hukum Kekekalan Momentum Sudut menyatakan bah'a* “Jika resultan momen gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol,

tidak ada perubahan momentum sudut atau dikatakan momentum sudut benda tegar yang berotasi bernilai konstan.. 2al ini berarti momentum sudut benda tetap. ernyataan ini disebut dengan Hukum Kekekalan Mmentum Su!ut.

ernyataan tersebut analogi dengan pernytaan bah'a C"ika resultan gaya luar yang bekera pada benda sama dengan nol,umlah momentum linier benda tetap itu sebagai hukum kekekalan momentum linear.

"adi, ika suatu benda pada a'alnya memiliki momen inersia I 1

dan berputar dengan ke#epatan sudut w1 _{terus berubah momen inersianya menadi}

I 2

dan dengan ke#epatan sudut w2

serta tidak ada gaya luar yang bekera pada benda, menurut hukum kekekalan momentum sudut yang berlaku*

a" untuk #atu ben!a

<umus diatas menyatakan bah'a suatu sistem dengan momen gaya luar nol, dapat diperbesar ke#epatan sudutnya dengan #ara memperke#il momen inersianya. Dengan kata lain, suatu sistem dapat diperke#il#ke#epatan sudutnya ika momen inersianya diperbesar.

I0 = momen inersia keadaan 0, 90 = ke#epatan sudut keadaan 0, !0 = momentum sudut keadaan 0

(5)

I1 = momen inersia keadaan 1, 91 = ke#epatan sudut keadaan 1, !1 = momentum sudut keadaan 1

b" untuk !ua ben!a

$%" &% ' $(" &( = ) $% ' $( *& Bila arah gerak searah

$%" &% + $(" &( = ) $% ' $( *& Bila arah gerak berla'anan arah

I0 = momen inersia benda 0 dalam kg.m1 8 90 = ke#epatan sudut benda 0 dalam rad&s I1 = momen inersia benda 1 dalam kg.m1 8 91 = ke#epatan sudut benda 1 dalam rad&s 9 = ke#epatan sudut benda gabungan benda 0 dan benda 1 dalam rad&s

ontoh soal

Sebuah piringan bermassa 1 g berputar dengan ke#epatan 4 rpm. ada piringan tersebut ditambahkan piringan lain yang bermassa sama sehingga kedua piringan tersebut dengan ke#epatan sudut sama. Berapa ke#epatn sudut akhir kedua piringan tersebut, ika ari-ari keduanya 0#mE

D,keta-u, : m1 _{= 1 g = ,1 kg} m2 _{= ,1 kg} r = ,0m w0 _{= 4 rpm} D,tan.akan :

3e#epatan sudut akhir ( wt _{) = E} Jawab : w₀ = 4 rpm = 30

(

2_π

)

60 rad&s = π rad&s I 0 ₌ 1 2 m1r 2 = 1 2 . (.1) .

(

0,1

)

2 = 0. 10− 3 kgm2

(6)

I 0 w0 ₌ I 1 w_t w_t = I 0 I t . w 0 = I 0 2_I₀ . w0 = 1 2 w0 = ,> π rad&s

"adi, keepatan sudut kedua benda sekarang menadi ,> π rad&s.

Berikut ini penerapan dari hukum kekekalan momentum sudut adalah,/erak Menggel,n!,ng :

- pelon#at indah - penari ballet - kursi putar

enari ballet berputar perlahan saat membentangkan tangannya. 3etika sang penari melipat tangannya di dada ke#epatan putarannya bertambah, dan membentangkan kembali tangannya saat akan berhenti dari putaran. ada keadian ini berlaku hukum kekekalan momentum yaitu momentum sudut saat membentangkan sama dengan momentum sudut saat melipat tangannya.

;erak menggelinding teradi bila sebuah benda melakukan dua ma#am gerakan se#ara bersamaan yaitu gerak translasi dan gerak rotasi.

(7)

ontoh gerak menggelinding.

ada sebuah roda bekera gaya sebesar , benda bergerak pada bidang kasar. Dalam hal ini ada dua enis gerakan, yaitu * gerak translasi dan gerak rotasi.

- ;erak rotasi berlaku*

= I : ges . < = I

Keterangan:

a = percepatan dalam m/s2

f ges = gaya gesekan dalam Newton (N)  = !ar"#!ar" roda dalam m

I = momen kelem$aman dalam kg%m2 - ;erak translasi berlaku*

F = m.a  G : ges = m.a

Keterangan:

F = &aya l'ar dalam newton (N) m = massa $enda dalam kg

ontoh kasus berikut ini.

Sebuah roda ditarik oleh sebuah gaya sebesar @  pada tepi roda (gambar). <oda bergerak mengelinding pada lantai kasar dengan koe::isien gesekan kinetis ,H. "ika

(8)

enyelesaian * Diket *  = @  < = 0 m m = > kg  = ,H Ditanya * a = JJ E "a'ab * = .>.02_{= 1,> kg.m}2 = I (  K : ges ). < = I

ada gerak menggelinding berlaku hukum kekekalan energi mekanik

!. Momentum Sudut Sistem Partikel

Apabila kita mempunyai suatu sistem benda yang terdiri atas dua benda atau partikel dan tidak ada gaya luar yang bekera, hanya gaya interaksi antara partikel-partikel dalam sistem yang berpengaruh terhadap sistem dua benda tersebut. Dengan demikian, pada sistem benda tersebut berlaku hukum kekekalan momentum linear dan hukum kekekalan momentum sudut. Dengan begitu, kita dapat menentukan suatu titik yang membuat benda seimbang. %ititk tersebut dinamakan pusat massa.

y

m1

(9)

r1

r2

L

;ambar system dua partikel ini tidak mendapat gaya luar. usat massa benda G benda dua dimensi dinyatakan dengan*

r_pm = x pm _, y pm Dengan* x_pm = Σ x_im Σ mi y_pm = Σ y_im Σ m_i

6ntuk sistem dua partikel separti yang terlihat digambar pusat massanya adalah*

x_pm = 2 x1m1+_x 2m¿

¿

m1+¿_m₂

¿

dan y pm ₌ 2 y1m1+_y 2m¿

¿

m1+¿_m₂

¿

Selama tidak ada gaya luar yang bekera pada sistem partikel, pusat massa tidak berubah.

Misalkan partikel pertama mempunyai massa m1

yang terletak pada posisi r1

dan bergerak dengan ke#epatan v1

. Adapun partikel kedua mempunyai massa m2

yang terletak pada posisi r2 _{dengan ke#epatan} v2 _{. Momentum sudut dari kedua}

partikel tersebut berturut G turu,yaitu* L1 ₌ m1r1 × v1

L2

= m2r2 × v2

Momentum sudut dari kedua partikel tersebut berturut G turut,yaitu* τ 1 ₌ r1× F 12

τ 2

= r1× F 12

(10)

τ

= dL dt ,

dengan = momen gaya dan d!&dt adalah turunan dari momentum sudut terhadap 'aktu. Didapat* τ 1 = d L1 dt dan τ 2 = d L2 dt Dengan demikian, τ 1 K τ 2 = d L1 dt K d L2 dt

Apabila kita anggap*

Σ τ = τ 1 K τ 2 = 2 L1+ L¿ ¿ d¿ ¿

Sedangkan kita mempunyai* L1 _K L2 _= L

yang merupakan momentum sudut total dari sistem peringkat sehingga berlaku* Σ τ = dL_dt

"ika pada sistem tidak ada gaya luar (hanya ada gaya G gaya internal), resultan momen gaya pada sistem adalah*

Σ τ

= 

Dengan demikian, dL

dt = .

ersamaan terakhir menunukkan tidak adanya perubahan resultan momentum sudut (momentum sudut total). Dengan demikian, pada sistem benda yang terdiri atas banyak benda atau partikel, hukum kekekalan momentum sudut tetap berlaku.

6ngkapan Σ τ =  merupakan syarat keseimbangan rotasi. Artinya benda tidak sedang bergerak rotasi ika umlah momen gaya yang bekera padanya sama dengan nol.

(11)

Dari pelaaran gerak lurus kita mempunyai ungkapan yang serupa Σ F = . 6ngkapan tersebut dapat diartikan bah'a benda diam. Apabila kedua syarat itu dipenuhi, benda dikatakan benar G benar diam dan dalam posisi setimbang.

Dua benda yang semula memiliki momentum sudut L1

dan L2 _{, kemudian}

berubah momentum sudutnya menadi L1 _{ dan} L2 _{, selama tidak ada gaya luar}

yang bekera pada kedua benda tersebut berlaku* L1 _K L2 ₌ L1 _{ K} L2 _

Momentum sudut sistem partikel dide:inisikan sebagai* ! = !0 K !1 K J K !n

BAB III 56%6

K"S#MP$%&'

Momentum Sudut merupakan perkalian $ektor antara ari-ari rotasi yang besarnya adalah*

L = r × p L = r p s"n α

Dengan α merupakan sudut antara ari-ari dan arah ke#epatan.

3arena ke#epatan singgung sebanding dengan ke#epatan sudut dan ari-ari, besarnya momentum sudut menadi*

L = r m v s"n 90 0 = r m w r = m r 2 w = I w

Menurut hokum kekekalan momentum sudut ika resultan momen gaya luar yang bekera pada benda sama dengan nol,besarnya momentum sudut tetap,yaitu*

L1 ₌ L2