MATRIKS
A. DEFINISI MATRIKS
Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah. Nama matriks menggunakan huruf besar seperti A, B, C dst. Sedangkan anggota (elemen) dari matriks yang berupa huruf dituliskan menggunakan huruf kecil. Tanda yang digunakan untuk mengurung elemen-elemen matriks menggunakan tanda
atau .
Contoh 1.1:
A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
Elemen-elemen matriks pada garis horizontal disebut dengan baris, dan elemen-elemen pada garis vertical disebut dengan kolom. Ukuran dari suatu matriks yang disebut dengan Dimensi atau Ordo ditentukan oleh banyaknya baris di kali dengan banyaknya kolom yang ada didalam suatu matriks.
Contoh 1.2:
E = baris
kolom
Tanda kurung matriks Nama Matriks
Pada Matriks E mempunyai 3 baris dan dan 2 kolom yaitu adalah baris pertama, adalah baris kedua dan adalah baris ketiga, sedangkan adalah
kolom pertama dan adalah kolom kedua. Sehingga dimensi atau ordo dari matriks E adalah 3x2 (dibaca: tiga kali dua).
Notasi A = , untuk menyatakan matrik secara umum dan menunjukkan letak suatu elemen matriks. Dengan i menunjukkan letak baris dan j menunjukkan letak kolom.
Contoh 1.3
A=
Perhatikan matriks A, elemen adalah elemen pada baris pertama kolom kedua; sedangkan elemen adalah elemen pada baris kedua kolom ketiga, dan seterusnya. Sehingga matriks A mempunyai 4 baris dan 3 kolom, dimensi dari A adalah 4x3 dapat ditulis dengan A4x3.
Sehingga bentuk umum dari suatu matriks adalah sebagai berikut:
A =
Matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom. Dalam notasi yang lebih singkat, A dapat ditulis dengan:
A = ( dimana i = 1, 2, 3, …., m j = 1, 2, 3, …., n
B. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian I) 1. Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks Baris adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Contoh 1.4 :
A = adalah matriks baris berdimensi 1x3 B = adalah matriks kolom berordo 2x1
2. Matriks Persegi (Square Matriks)
Suatu matriks A = disebut sebagai matrik persegi (matriks bujur sangkar) bila i = j = 1, 2, 3 ,… n. atau dengan kata lain banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks sama. Matriks persegi mempunyai dimensi nxn. Bentuk umum dari matriks persegi adalah sebagai berikut:
A =
Pada matriks persegi A diatas elemen , , … , disebut sebagai diagonal utama dari matriks A. jumlah dari semua elemen-elemen diagonal dari suatu matriks persegi disebut dengan trace.
Sehingga trace A = + … + ) =
3. Matriks Nol (Zero Matriks)
Suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol) disebut dengan matriks nol. Matriks nol dilambangkan dengan O.
Contoh 1.5:
;
4. Matriks Identitas
Suatu matriks persegi yang semua elemen diagonalnya adalah 1 dan selain elemen diagonal adalah 0 maka dinamakan matriks identitas. Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I. Karena matriks I berdimensi n, sehingga dinotasikan dengan In.
Jadi,
5. Matriks Bagian (Sub-Matriks)
Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan menghilangkan salah satu atau lebih vektor baris dan atau vektor-vektor kolom yang sudah ditentukan. Matriks-matriks yang dihasilkan dari partisi tersebut dinamakan submatriks atau matriks bagian.
Contoh 1.6 :
Diketahui matriks M = dengan menghilangkan vektor kolom ketiga diperoleh matriks bagian . Menghilangkan vektor baris pertama dan vektor kolom kedua diperoleh matriks bagian dan seterusnya. Berapa banyaknya matriks bagian dari M?
Contoh 1.7:
Andaikan matriks persegi Q= . Menghilangkan vektor baris kedua
dan kolom kedua diperoleh submatriks . Menghilangkan vektor baris pertama dan ketiga serta vektor kolom pertama dan ketiga diperoleh submatriks (2) dan seterusnya.
Perhatikan bahwa diagonal matriks Q= tetap menjadi diagonal pada
submatriks dan (2) . Submatriks yang diperoleh disebut dengan matriks bagian utama (submatriks principal). Sehingga dan (2) disebut sebagai submatriks principal. Submatriks principal yang lain dari matriks Q adalah
C. Operasi Matriks
1. Kesamaan Dua Matriks
Definisi: Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran atau dimensi yang sama dan elemen-elemen yang berpadanan sama.
Dalam notasi matriks, jika A = ( dan B = ( mempunyai ukuran yang sama maka A=B jika dan hanya jika , atau secara ekuivalen, untuk semua i dan j.
Contoh 1.8:
Diketahui matriks B= , C= D=
Jika x = 5, maka B=C, tetapi untuk nilai x yang lainnya matriks B dan C tidak sama. Tidak ada nilai x yang membuat B = D karena B dan D mempunyai ukuran atau dimensi yang berbeda.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi: jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran (berdimensi) sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.
Contoh 1.9:
Andaikan A = , B= , C=
A+B = + = =
A-B = - = =
Perhatikan bahwa matriks A dan B masing-masing berdimensi 3x2 sehingga dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dan matriks hasil
operasinya juga tetap berdimensi 3x2. Tidak dapat dilakukan operasi penjumlahan B+C sebab dimensi kedua matriks tidak sama.
Andaikan dua buah matriks A = ( , B = ( dan C = ( yang dapat dilakukan operasi penjumlahan memenuhi sifat-sifat:
a. Komutatif; A+B = B+A Bukti:
b. Asosiatif; (A+B)+C = A + (B+C) Bukti:
c. Identitas Penjumlahan
Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks nol (0) berdimensi mxn, demikian sehingga: A+0 = 0+A = A. matriks 0 ini disebut matriks identitas penjumlahan.
Bukti:
d. Invers Aditif (invers penjumlahan)
Untuk setiap matriks A = ( berdimensi mxn selalu ada matriks -A = (-sedemikian hingga A + (-A) = (-A) + (A) = 0, dimana 0 adalah matriks nol yang berdimensi sama dengan matriks A. Matriks “-A” disebut dengan lawan atau negatif dari matriks A, atau invers penjumlahan dari A.
Dari sifat yang terakhir ini, dapat dipahami bahwa jika dua matriks A dan B yang mempunyai dimensi yang sama, maka: A-B = A + (-B). jadi mengurangi matriks A dengan matriks yang lain adalah sama saja menambah matriks A tersebut dengan negatif dari matriks yang lain.
3. Perkalian Skalar
Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c.
Dalam notasi matriks, jika A = ( , maka cA = c (
Contoh 1.10:
Untuk matriks-matriks:
A= , B= , C=
(-1)B = (-1)
= =
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:
a. Andaikan k dan s adalah skalar dan A = ( matriks, maka: (k+s) A = kA + sA
Bukti:
b. Andaikan k skalar dan A = ( serta B = ( adalah dua matriks yang berdimensi sama, maka:
k (A+B) = kA +kB Bukti:
c. Andaikan k dan s skalar serta matriks A = ( , maka: K (sA) = (ks) A
Bukti:
d. Andaikan k skalar, dan matriks A = ( , maka kA = Ak Bukti:
e. Jika skalar k =1, maka 1A = A
Sehubungan dengan sifat ini maka (-1) A = -A
4. Perkalian Matriks
Definisi: jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Andaikan matriks baris A = ( dan matriks B =
C = (
= ( C = AB =
Perhatikan bahwa dimensi matriks A adalah 1xn dan dimensi dari matriks kolom B adalah nx1 sehingga matriks C= AB mempunyai dimensi 1x1.
Untuk matriks yang bukan matriks baris atau matriks kolom, operasinya adalah sebagai berikut. Andaikan A= , dan B= Atau: A = ( ; i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …,p B = ( ; i = 1, 2, 3, … p; j= 1, 2, 3, … n AB = C = ( ; i = 1, 2, 3, …, m; j= 1, 2, 3,…, n. Dimana: =
Dua matriks dapat dilakukan operasi perkalian jika banyaknya elemen dari matriks baris A harus sama dengan banyaknya elemen dari matriks kolom B. Oleh karena itu perkalian matriks sering juga disebut dengan perkalian baris kali kolom.
Contoh 1.11:
DE = =
=
ED = =
Apa yang dapat disimpulkan dari contoh 1.11?
Sifat-sifat perkalian matriks:
Andaikan A = ( , B = ( dan C = ( adalah matriks-matriks yang dimensinya sesuai untuk perkalian dan penjumlahan, maka perkalian matriks bersifat:
a. Distributif
1) A (B+C) = AB + AC distributif kiri 2) (A+B) C = AC +BC distributif kanan Bukti
b. Asosiatif; A(BC) = (AB) C Bukti
D. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian II) 1. Matriks Eselon
Matriks A, untuk A = ( berdimensi mxn disebut matriks eselon baris atau matriks eselon jika dan hanya jika memenuhi sifat:
a. Setiap baris yang semua elemennya nol terletak sesudah baris yang mempunyai elemen tidak nol
b. Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak dikolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya. Elemen tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsure utama atau elemen pivot. Contoh 1.12:
A = ; B=
Elemen yang dilingkari menunjukkan elemen pivot. 2. Matriks Segitiga
a. Matriks Segitiga Atas
Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j disebut dengan matriks segitiga atas. Atau dengan kata lain Matriks segitiga atas merupakan matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonalnya adalah . Secara umum matriks segitiga atas berbentuk:
Contoh : Misalkan
b. Matriks Segitiga Bawah
Matriks A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i < j disebut dengan matriks segitiga bawah. Atau dengan kata lain Matriks segitiga bawah merupakan matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonalnya adalah . Secara umum matriks segitiga bawah berbentuk:
Contoh:
3. Matriks Diagonal
Matriks A, untuk A = ( berdimensi nxn dan elemen-elemen = 0 untuk i > j dan i < j disebut dengan matriks diagonal. Suatu matriks yang memenuhi sifat matriks segitiga atas maupun segitiga bawah disebut matriks diagonal. Atau dengan kata lain
suatu matriks persegi yang semua elemen selain diagonalnya adalah 0 dinamakan matriks diagonal. Matriks Diagonal dinotasikan dengan D. Secara umum matriks segitiga atas berbentuk:
Perhatikan bahwa semua elemen-elemen diluar posisi elemen diagonal nilainya 0 (nol)
Contoh 1.13:
B=
4. Matriks Identitas
Dari matriks diagonal D = jika nilai =
dimana k adalah sebuah skalar, maka matriks ini disebut matriks skalar. Jika k= 1 maka matriks dinamakan matriks identitas.
Contoh 1.14:
S = , matriks skalar. Untuk k = 1
I= , matriks identitas berdimensi 4
Matriks-matriks I dinamakan matriks identitas untuk perkalian matriks karena untuk
sembarang matriks A berdimensi mxn selalu ada matriks identitas untuk perkalian dengan A, sedemikian hingga IA = AI = A (coba buktikan!)
5. Matriks Komutatif, Idempoten dan Periodik
Dua matriks persegi A = ( dan B = ( yg berdimensi sama disebut komutatif (commute) jika berlaku AB = BA. Sebaliknya, disebut anti komutatif
(anti-commute) jika berlaku AB = - BA.
Matriks persegi A = ( yang berlaku Ak+1 = A, dengan k bilangan bulat positif, disebut matriks periodik. Untuk k = 1, berarti A2 = A, maka A disebut matriks
idempoten. Matriks persegi A = ( yang berlaku Ap = 0, untuk p bilangan bulat positif disebut matriks nilpoten.
Contoh:
1. Andaikan matriks B =
B2= =
B3=B2B= = =B
Tampak bahwa B3= B2+1= B ini berarti matriks B adalah periodic dengan periode 2.
2. Matriks E =
E2= EE = = = E
Tampak bahwa E2= E, berarti matriks E adalah matriks idempoten. 3. Matriks F =
F2= FF = =
F3=F2F = = = O
6. Matriks Invers
Andaikan A = ( dan B = ( dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku :
AB = BA = I, maka B disebut invers A ditulis dengan B = A-1. Atau A invers B ditulis dengan A = B-1.
Dengan demikian bentuk: AB = BA = I
A A-1= A-1A=I atau juga B-1B=B B-1=I
Suatu matriks yang mempunyai invers disebut matriks yang invertible atau matrik non singular.
Contoh:
Matriks dan saling invers, sebab:
= = I
Andaikan invers dari matriks A adalah A-1 dan invers dari matriks B adalah B-1 maka berlaku sifat (AB) -1= B-1 A-1.
7. Transpose Matriks
Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Transpose dari matriks biasanya dinotasikan dengan .
Dalam notasi adalah sebagai berikut:
A = AT = dimana = Misalkan dengan
Transpose dari , yaitu
Dengan demikian bila matriks A = berdimensi mxn, maka matriks AT =( akan berdimensi nxm.
Contoh :
Misalkan maka transpose dari adalah
Dari definisi transpose matriks tersebut diturunkan beberapa sifat yang berhubungan dengan transpose matriks, yaitu:
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT 3. (AB)T = BT AT Bukti:
8. Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring
Andaikan A = adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A dikatakan Matriks simetri yang memenuhi .
Contoh :
Misalkan maka . Berarti matriks A adalah matriks simetri.
Sedangkan untuk matriks A = adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A dikatakan Matriks simetri miring yang memenuhi . Karena
untuk setiap I dan j. khusus untuk diagonal (i=j), maka artinya elemen diagonal suatu matriks miring adalah berupa bilangan yang sama dengan negatifnya, bilangan tersebut adalah bilangan 0.
Contoh :
C = ; CT = = - = -C
Karena CT= -C maka C adalah matriks simetri miring.
9. Conjugate Matriks
Misalkan adalah matriks dengan elemen-elemen dalam matriksnya merupakan bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks z = a+bi maka conjugate bilangan kompleks z dinotasikan dengan = . Conjugate dari adalah
. Jadi conjugate dari conjugate bilangan kompleks adalah dirinya sendiri.
Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks, maka conjugate dari matriks dinotasikan dengan adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mencari conjugate dari setiap elemen-elemen matriks A.
Contoh:
A = ;
Andaikan A = dan B = adalah matriks-matriks yang mempunyai elemen bilangan kompleks, dan masing-masing conjaget dari A dan B, serta k adalah skalar dengan adalah conjugate dari k, maka:
a. b. c. d.
e. notasi untuk transpose dari conjugate (conjugate dari transpose) suatu matriks A adalah AH. Jadi dalam hal ini AH = atau AH = .
10. Matriks Hermitian dan Skew Hermitian
Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Hermitian jika dan hanya jika berlaku AH= A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan suatu bilangan yang sama dengan conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan real.
Contoh:
Tunjukkan bahwa A = adalah hermitian!
Solusi:
Matriks persegi A = berdimensi n dikatakan Matriks Skew Hermitian jika dan hanya jika berlaku AH=- A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika unsure-unsurnya berlaku hubungan untuk setiap i dan j. Khusus untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah yang berarti menggambarkan suatu bilangan yang sama dengan negatif conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan 0 atau bilangan imajiner.
Contoh:
Tunjukkan bahwa C = adalah skew hermitian!
Solusi:
= -C
11. Matriks Ortogonal
Matriks persegi A = berdimensi n disebut Matriks ortogonal jika dan hanya jika memenuhi AAT=I=ATA. Disisi lain pada pembahasan tentang matriks invers, untuk matriks persegi A yang non-singular maka ada invers A, ditulis sehingga berlaku
Contoh:
Tunjukkan bahwa matriks B = matriks orthogonal!
BT=
B BT = = = I
Jadi B adalah matriks orthogonal.
12. Matriks Uniter
Matriks persegi A = berdimensi n dengan elemen matriks adalah bilangan kompleks. Matriks disebut Matriks uniter jika berlaku AHA= I = AAH. Sehubungan dengan matriks invers maka matriks uniter adalah matriks yang mempunyai invers sana dengan conjugate transposenya AH .
Contoh:
Tunjukkan bahwa matriks C = adalah uniter!
Solusi:
; CH =
CHC= = =I
CCH= = =I
Jadi, C adalah uniter.
13. Matriks Normal
Matriks persegi A = berdimensi n yang memenuhi AAT= ATA (untuk anggota-anggota A adalah bilangan real); atau AHA=AAH (untuk anggota-anggota A adalah dari bilangan kompleks) disebut matriks normal. Berdasarkan pengertian tersebut
jelas bahwa matriks orthogonal dan matriks uniter adalah salah satu contoh dari matriks normal.
Contoh:
Apakah matriks A = matriks normal?
Solusi: AT=
A AT= =
ATA = =
