Aljabar Matriks | Mathematic's Blog

DETERMINAN

DETERMINAN

Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan.

Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.

Cara menghitung determinan :

1. Definisi determinan

2. Sifat-sifat determinan

3. Ekspansi minor dan kofaktor

4. Kombinasi cara 2 dan 3

Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan.

MELALUI DEFINISI DETERMINAN

A =













22 21

12 11

a

a

a

a

Det(A) = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁

Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . .

A =





















33 32

31

23 22

21

13 12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda :

a₁₁ a₂₂ a₃₃

a₁₁ a₂₃ a₃₂

a₁₂ a₂₃ a₃₁

a₁₂ a₂₁ a₃₃ a₁₃ a₂₁ a₃₂

a₁₃ a₂₂ a₃₁

Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap +, jika ganjil (-) negatif; atau tandanya adalah (-1)t, dengan t banyaknya transposisi.

Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.

Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 = a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂

Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3 + a₁₂ a₂₃ a₃₁

Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3

– a₁₂ a₂₁ a₃₃

Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3 + a₁₃ a₂₁ a₃₂

Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 – a₁₃ a₂₂ a₃₁

A = terdiri dari empat faktor.

Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS

|A| =

2

4

3

7



= 26

|B| =

2 1

1

0 1 1

3 1

2







= – 6

|C| =

1 1 1 1

0 1 0 1

0 1 2

1

1 1 2 1



 _{= 0}

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |A

T

_{| = |A|}

|A| =

2

4

3

7



= 26 |A

T_{| =}

2

3

4

7

_

= 26

Akibatnya :

semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.

2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).

det(B) =

5

6

7

0

0

0

3

1

2

_

= 0

_{det(C) =}

0

8

7

0

5

6

0

2

2





3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k _A_

|A| =

Jika baris kedua

dikalikan dengan 7

₂₁

₂₈

1

2





= 35 = 7 |A|

Akibat sifat ini :

28

Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.

4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah

menjadi negatip determinan semula.

3

2

5

7



= 31 Baris pertama ditukar baris kedua

5

7

3

2



= – 31

5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).

2

7

2

7





_{= 0}

3 0

3

2 3

2

1 1

1

 

 

6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).

|B| =

1 1

2 1

3 1

6 1

2 2

4 1

1 1 2

1

 

 

 





Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0

7. Determinan dari matriks persegi A = (a_ij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama

ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan

suku yang kedua.

6

9

5

8

6

9

1

4

3

5





₌

6

9

4

5

+

6

9

1

3

6

4

5

5

3

5





₌

6

5

5

5

+

6

4

8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.

4

1

3

2



= 11

Jika k2 + 3k1

1

1

9

2



= 11

Jika b1 – b2

4

1

1

3





_{= 11}

Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom),

sebelum menghitung nilai determinan

9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.

5

0

0

3

1

0

2

7

3





= (3)(-1)(5) = - 15

1

3

0

0

0

4

1

1

0

0

2

0

0

0

0

3







Gunakan sifat determinan untuk menghitung :

1

1

2

4

5

3

2

2

1









b2 + 3b1

1

1

2

2

1

0

2

2

1







b3 – 2 b1

3

3

0

2

1

0

2

2

1







b3 + 3 b2

3

0

0

2

1

0

2

2

1





= (1)(-1)(3) = - 3

Submatriks / matriks bagian :

Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks

A =



























5

8

7

3

1

2

0

6

5

2

1

3

Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks :

_















5

8

7

3

1

2

0

6

Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :

















5

7

3

5

1

3

Minor dan Kofaktor

Andaikan

A

berdimensi

n

,

determinan

dari submatriks yg berdimensi (

n

-1)

disebut

minor

.

M

_rs

: minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke

r

kolom ke

s

.

Andaikan A =

a₁₁ a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

M₁₁ = a22 a23

a₃₂ a₃₃

= a₂₂ a₃₃ – a₂₃ a₃₂

M₃₂ =

a₁₁ a₁₃

a₂₁ a₂₃

= a₁₁a₂₃ – a₁₃a₂₁

Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ?

Kofaktor

Kofaktor yang berhubungan dengan minor M_rs adalah C_rs = (-1)r+s _M rs.

A =



























1

1

2

4

3

1

1

1

2

C₁₁ = (-1)1+1 _M

11 = (-1)2

1

1

4

3



= 1 (7) = 7

C₁₂ = (-1)1+2 M

12 = (-1)3

1

2

4

1



= (-1) (9) = -9

C₁₃ = (-1)4 M

13 = M13 =

1

2

3

1





= 5

C₂₁ = (-1)3 _M

21 = - M21 = -

1

1

1

1





_{= 0}

C₂₂ = M₂₂ = 0

C₂₃ = - M₂₃ = 0

C₃₁ = M₃₁ = 7

C₃₂ = - M₃₂ = - 9

A =





















33 32

31

23 22

21

13 12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

Ekspansi melalui baris pertama :

Det(A) = a

₁₁

C

₁₁

+ a

₁₂

C

₁₂

+ a

₁₃

C

₁₃

Atau ekspansi melalui baris ketiga :

Det(A) = a

₃₁

C

₃₁

+ a

₃₂

C

₃₂

+ a

₃₃

C

₃₃

Atau ekspansi melalui kolom ke dua :

Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan :

B =

























4

1

1

1

1

3

1

2

1

Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua :

Det(B) = b

₂₁

C

₂₁

+ b

₂₂

C

₂₂

+ b

₂₃

C

₂₃

_C

21

= - M

21

= -

4

1

1

2



= 9

C

₂₂

= M

₂₂

= 3

C

₂₃

= - M

₂₃

= - 3

Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)

Det(B) = 33

Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga :

Det(B) = b

₁₃

C

₁₃

+ b

₂₃

C

₂₃

+ b

₃₃

C

₃₃

_C

13

= M

13

= 2

C

₂₃

= - M

₂₃

= - 3

C

₃₃

= M

₃₃

= 7

Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)

Strategi menghitung determinan :

1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).

2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.

3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom

yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.

Hitung determinan dari : E =



























2

4

5

1

1

1

3

1

2

Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :

|E| =

2

4

5

1

1

1

3

1

2







K2 + K1

2

9

5

1

0

1

3

3

2





K3 – K1

7

9

5

0

0

1

5

3

2





|E| = e

₂₁

C

₂₁

+ e

₂₂

C

₂₂

+ e

₂₃

C

₂₃

|E| = e

₂₁

C

₂₁

+ 0 + 0

|E| = (1) (-24) = - 24

Berapakah determinan dari F =



























2

1

1

5

4

0

2

3

1

Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :

|F| =

2

1

1

5

4

0

2

3

1







B3 + B1

4

2

0

5

4

0

2

3

1







Berapakah determinan dari G =

Matriks kofaktor :

Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks.

A =

Matriks adjoint :

Transpose dari matriks kofaktor.