Matriks A berordo m n (Matriks. artinya, matriks A dengan jumlah m baris dan n kolom.

(1)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 1 DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan berbentuk segi-empat yang disusun menjadi baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan ini disebut anggota / elemen matriks. Secara umum dituliskan :

            =  mn m m n n n m a a a a a a a a a A       2 1 2 22 21 1 12 11

Matriks A berordo m  n (Matriks Am n) Catatan : Am nartinya, matriks A dengan jumlah m baris dan n kolom. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks Bujursangkar

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyak kolomnya (m = n).

            =  nn n n n n n n a a a a a a a a a A       2 1 2 22 21 1 12 11 Contoh : _      =  22 21 12 11 2 2 a a a a A           =  33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 3 a a a a a a a a a A

2. Matriks Nol (Null Matriks)

Matriks Nol adalah matriks bujursangkar yang semua elemennya adalah nol.

Contoh : _      =  0 0 0 0 0₂ ₂           =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0₃ ₃ 3. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan semua elemen / anggota bukan diagonalnya bernilai nol.

                =  nn n n a a a a A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 22 11          Contoh : _      =  22 11 2 2 0 0 a a A           =  33 22 11 3 3 0 0 0 0 0 0 a a a A

(2)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 2 4. Matriks Satuan / Identitas

Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemennya bernilai 1 (dpl. matriks satuan adalah matriks Nol yang semua diagonal utamanya adalah 1).

                =  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1          n n I Contoh : _      = 1 0 0 1 2 I           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I

5. Matriks Segitiga Bawah

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal bernilai nol.

                =  nn n n n n n a a a a a a a a a a A          3 2 1 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 Contoh : _      =  22 21 11 2 2 0 a a a A           =  33 32 31 22 21 11 3 3 0 0 0 a a a a a a A

6. Matriks Segitiga Atas

Matriks Segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal bernilai nol.

                =  nn n n n n n a a a a a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 3 33 2 23 22 1 13 12 11          Contoh : _      =  22 12 11 2 2 ₀ _a a a A           =  33 23 22 13 12 11 3 3 0 0 0 a a a a a a A

(3)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 3 OPERASI-OPERASI MATRIKS

1. Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama / berordo sama dan anggota-anggota / elemen-elemennya yang berpadanan / bersesuaian sama.

Contoh : Tinjau matriks-matriks :       = 4 6 9 5 A dan _      = 4 6 9 x B

Jika x = 5 maka A = B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama, karena tidak semua anggota-anggota / elemen-elemennya yang bersesuain sama.

2. Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian.

Contoh : Misal matriks-matriks :       = 22 21 12 11 a a a a A dan _      = 22 21 12 11 b b b b B       + + + + = +  22 22 21 21 12 12 11 11 b a b a b a b a B A

3. Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo sama, maka selisih A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian.

Contoh : Misal matriks-matriks :       = 22 21 12 11 a a a a A dan _      = 22 21 12 11 b b b b B       − − − − = −  22 22 21 21 12 12 11 11 b a b a b a b a B A

4. Jika A adalah sebarang matriks dan k adalah sebarang skalar, maka hasil kali k.A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k.

Contoh :

Misal A matriks 2  2 dan k  sebarang skalar       = 22 21 12 11 a a a a A       =  22 21 12 11 . . a a a a k A k _      = 22 21 12 11 . . . . a k a k a k a k

5. Jika A matriks m  r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m  n yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut :

Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

(4)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 4

Contoh :

Misal A matriks 2  3 dan B matriks 3  2

      = 23 22 21 13 12 11 a a a a a a A dan           = 32 31 22 21 12 11 b b b b b b B       + + + + + + + + =  32 23 22 22 12 21 31 23 21 22 11 21 32 13 22 12 12 11 31 13 21 12 11 11 . . . . . . . . . . . . b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a AB Catatan :

Suatu matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.

TRANSPOSE SUATU MATRIKS

Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A, dinyatakan dengan AT_{didefinisikan sebagai matriks n x m} yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom dari matriks A, yaitu kolom pertama dari AT_{adalah baris} pertama dari matriks A, kolom kedua dari AT_{adalah baris kedua dari matriks A, dan seterusnya.}

Contoh : Tinjau matriks A23       = 23 22 21 13 12 11 a a a a a a A           =  23 13 22 12 21 11 a a a a a a AT

SIFAT-SIFAT TRANSPOS MATRIKS

Jika A dan B matriks berukuran sedemikian sehingga operasi yang dinyatakan dapat dilakukan, maka : 1.

( )

AT T = A 2.

(

A+B

)

T =AT +BT 3.

(

A−B

)

T =AT −BT 4.

( )

k.AT =k.AT 5.

( )

ABT =BTAT 6.

( ) ( )

AT −1 = A−1 T

SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS

Misalkan matriks-matriks A, B, dan C berukuran sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan dan ,   R adalah sebarang skalar.

1. A + B = B + A (Hukum Komutatif Penjumlahan)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum Assosiatif Penjumlahan)

3. A (BC) = (AB) C (Hukum Assosiatif Perkalian) 4. A (B + C) = AB + AC (Hukum Distributif Kiri) 5. (B + C) A = BA + CA (Hukum Distributif Kanan) 6. A (B – C) = AB – AC 7. (B – C) A = BA – CA 8. (B + C) = B + C 9. (B − C) = B −C 10. ( + ) C = C + C 11. (−) C = C −C 12. (C) = () C 13. (BC) = (B) C = B (C) 14. A + 0 = 0 + A = A 15. A – A = 0 16. 0 – A = − A 17. A0 = 0 = 0A

(5)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 5 INVERS DARI SUATU MATRIKS

Jika A dan B matriks n x n sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Jadi AA−1 = A−1A = I. Contoh : Tinjau matriks-matriks :       − − = 2 1 2 5 2 3

B adalah invers dari _

     = 3 2 5 4 A karena I AB _=      =       − −        = 1 0 0 1 2 1 2 5 2 3 3 2 5 4 dan I BA _=      =       −        − − = 1 0 0 1 3 2 5 4 2 1 2 5 2 3

DETERMINAN SUATU MATRIKS 1. Determinan Matriks berordo 2  2

Misal diberikan matriks _      = d c b a

A , determinan dari matriks A ditentukan oleh

bc ad d c b a A= = − det

2. Determinan Matriks berordo 3  3 Misal diberikan matriks

          = i h g f e d c b a B

Untuk menentukan nilai determinan dari matriks B, dapat digunakan dua buah metoda, yaitu : A. Metoda Kofaktor

i. Nilai determinan matriks B menggunakan elemen-elemen baris ke-i adalah

h g e d c i g f d b i h f e a − + = B

ii. Nilai determinan matriks B menggunakan elemen kolom ke-i adalah

f e c b g i h c b d i h f e a − + = B B. Metoda Sarrus

Untuk mencari nilai determinan dari matriks B dengan metoda Sarrus, kita harus menambahkan dua kolom pertama ke matriks B.

– – – h e b g d a i h g f e d c b a + + + Nilai determinan matriks B adalah

(

a e i

) (

b f g

) (

c d h

) (

g e c

) (

h f a

) (

i d b

)

B=+   +   +   −   −   −  

(6)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 6 MATRIKS ADJOINT (ADJ)

1. Adjoint matriks 2  2

Misal diberikan matriks C berorde 2  2, dengan

      = d c b a C

maka adjoint dari matriks C, didefinisikan sebagai matriks 2  2 dengan ketentuan

      − − = a c b d C adj 2. Adjoint matriks 3  3

Misal diberikan matriks C berorde 3  3, dengan

          = i h g f e d c b a C

maka adjoint dari matriks C, didefinisikan sebagai matriks 3  3 dengan ketentuan

                  + − + − + − + − + = f e c b i h c b i h f e C adj

Ketentuan cara pengisian :

Untuk mengisi baris 1 kolom 1, tutup baris 1 kolom 1 pada matriks C Untuk mengisi baris 1 kolom 2, tutup baris 2 kolom 1 pada matriks C Untuk mengisi baris 1 kolom 3, tutup baris 3 kolom 1 pada matriks C Untuk mengisi baris 2 kolom 1, tutup baris 1 kolom 2 pada matriks C dst

MENCARI INVERS SUATU MATRIKS

Rumus umum untuk mencari invers suatu matriks A adalah

A det 1 1 _adj A A− = 

Matriks A tidak mempunyai invers (disebut matriks singular), jika det A = 0 PERSAMAAN MATRIKS

Misalkan diberikan matriks A dan B yang sesuai, dan memenuhi persamaan AX=B, maka untuk mencari matriks X adalah

(

) ( )

(

A X

)

A

( )

B A B X A 1 1 − − _ ₌ = 

menurut hukum assosiatif perkalian, maka

(

)

B A X I B A X A A  =   =  − − − 1 1 1 B A X= −1 Bagaimana jika persamaannya X  A = B ?

(7)

w w w . a p l u s - m e . c o m Page 7 MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS

Misalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel berbentuk

   = + = + 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a

Bentuk umum ini dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks

      =                   =       + + 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 c c y x b a b a c c y b x a y b x a

sehingga bentuk di atas dapat kita tuliskan AX =B, dengan matriks _      = 2 2 1 1 b a b a A dan matriks _      = 2 1 c c B

Untuk mencari matriks X, gunakan kembali persamaan X=A−1B.

Hal yang sama juga dapat kita terapkan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. MINOR

Jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j pada suatu matriks persegi ordo 3 dihapus, maka akan diperoleh matriks persegi ordo 2. Determinan dari matriks ini disebut minor aij, dinotasikan dengan

 

M . ij

KOFAKTOR

Jika

 

M adalah minor dari aij ij dari matriks A, maka

( )

ij j i

M

+