PENDUGAAN PARAMETER FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
NON-HOMOGEN PADA PENCEMARAN GAS OZON
DI KOTA JAKARTA
ALDI MARTIANDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Pendugaan Parameter Fungsi Intensitas Proses Poisson Non-Homogen pada Pencemaran Gas Ozon di Kota Jakarta” adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Aldi Martiandi
ABSTRAK
ALDI MARTIANDI. Pendugaan Parameter Fungsi Intensitas Proses Poisson Non-Homogen pada Pencemaran Gas Ozon di Kota Jakarta. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Proses Poisson non-homogen dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang. Salah satunya ialah pemodelan pencemaran gas ozon yang ada di kota Jakarta. Diasumsikan banyaknya gas ozon mengikuti model proses Poisson non-homogen. Fungsi intensitas untuk proses Poisson yang digunakan meliputi sebaran Weibull, sebaran Musa Okumoto, sebaran Goel Okumoto dan sebaran General Goel Okumoto. Pendugaan parameter sebaran tersebut menggunakan metode Bayes dengan pendekatan Markov chain Monte Carlo. Pemilihan sebaran terbaik menggunakan nilai deviance information criterion (DIC) dan pendekatan plot. Berdasarkan sebaran yang digunakan sebaran General Goel Okumoto merupakan sebaran terbaik yang cocok untuk kota Jakarta karena memiliki nilai DIC terkecil dan memiliki nilai dugaan fungsi nilai harapan yang mendekati plot akumulasi gas ozon sebenarnya.
Kata kunci: metode Bayes, pencemaran udara, proses Poisson non-homogen,
ABSTRACT
ALDI MARTIANDI. Parameter Estimation of Intensity Function of a Non-Homogeneous Poisson Process for Ozone Gas Pollution in Jakarta City. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
Non-homogeneous Poisson process can be applied in various fields. One of them is modeling ozone gas pollution in the city of Jakarta. Amount of ozone gas is assumed to follow the model of the non-homogeneous Poisson process. Intensity functions for Poisson process used are Weibull distribution, Musa Okumoto distribution, Goel Okumoto distribution and Goel Okumoto General distribution. Estimation of model parameter uses Bayesian method via Markov chain Monte Carlo method. The best model is chosen by using the deviance information criterion (DIC) and graphical approach. Based on the distribution used, Goel Okumoto General distribution is the best model for Jakarta city, because it has the smallest DIC value and it has estimation of expected value which is closed to the plot of the actual accumulation of ozone gas.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENDUGAAN PARAMETER FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
NON-HOMOGEN PADA PENCEMARAN GAS OZON
DI KOTA JAKARTA
ALDI MARTIANDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2013
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Fungsi Intensitas Proses Poisson Non- Homogen pada Pencemaran Gas Ozon di Kota Jakarta Nama : Aldi Martiandi
NIM : G54090052 Disetujui oleh Dr Ir I Wayan Mangku, M Sc Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam karya ilmiah ini ialah prediksi pencemaran gas ozon dengan proses Poisson non-homogen, dengan judul Pendugaan Parameter Fungsi Intensitas Proses Poisson Non-Homogen pada Pencemaran Gas Ozon di Kota Jakarta.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, M Sc selaku pembimbing I dan Ibu Ir Retno Budiarti MS selaku pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran dalam penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada:
1 keluarga besar bapak Ahmadi yang selalu memberi dukungan dalam menyelesaikan proses belajar di Institut Pertanian Bogor,
2 seluruh jajaran yang berwenang dan donatur Yayasan Karya Salemba Empat, Bank BRI, dan beasiswa POM yang telah memberikan bantuan keuangan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Departemen Matematika IPB,
3 Fenny Silviastuti yang selalu memberi dukungan kepada penulis dalam pengerjaan karya ilmiah ini,
4 teman matematika angkatan 46 (Yoyok, Nur Lasmini, Windi, Adit, Irma, Avendi, Danty, Aisyah, Dewi, Syaepul dan lainnya) yang telah membantu penulis dalam kegiatan belajar,
5 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa angkatan 44, 45, dan 47 departemen Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama menjalani perkuliahan di Departemen Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2PROSES POISSON NON-HOMOGEN 2
Deskripsi Model 2
Definisi, Notasi, dan Asumsi 3
METODE BAYES 4
Fungsi Kemungkinan (Likelihood function) 4
Sebaran Prior 5
Sebaran Posterior 7
PENERAPAN PEMODELAN GAS OZON DI KOTA JAKARTA 9
SIMPULAN 16
DAFTAR PUSTAKA 18
LAMPIRAN 19
DAFTAR TABEL
1 Indeks standar pencemaran udara (ISPU) 1
2 Dugaan parameter, standar deviasi, 95% selang kepercayaan dan nilai
deviance information criterion (DIC) untuk setiap fungsi intensitas
proses Poisson non-homogen. 11
3 Peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3, dengan t awal ialah hari ke 731 14
DAFTAR GAMBAR
1 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 terhadap waktu (waktu dalam hari) 10 2 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah
ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | )
model sebaran Weibull (W) terhadap waktu (waktu dalam hari) 12 3 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah
ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran Musa Okumoto (MO) terhadap waktu (waktu dalam
hari) 12
4 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran Goel Okumoto (GO) terhadap waktu (waktu dalam
hari) 13
5 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran General Goel Okumoto (GGO) terhadap waktu (waktu
dalam hari) 13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian fungsi intensitas pada model sebaran Weibull (W), Musa Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO), dan General Goel Okumoto
(GGO) 19
2 Pembuktian fungsi kemungkinan (likelihood function) pada model sebaran Weibull (W), Musa Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO),
dan General Goel Okumoto (GGO) 20
3 Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter
dugaan fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran Weibull (W), Musa Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO), dan General Goel
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan ekonomi mendorong semakin bertambahnya kebutuhan akan transportasi, di sisi lain lingkungan alam yang mendukung hajat hidup manusia semakin terancam kualitasnya. Efek negatif pencemaran udara pada kehidupan manusia semakin bertambah. Pencemaran udara adalah masuk atau tercampurnya unsur-unsur berbahaya ke dalam atmosfer yang dapat mengakibatkan terjadinya kerusakan lingkungan, gangguan pada kesehatan manusia secara umum serta menurunkan kualitas lingkungan. Salah satu unsur berbahaya yang ada di atmosfir yang mengakibatkan terjadinya gangguan pada kesehatan adalah gas ozon (O3) .
Di Indonesia kategori indeks standar pencemaran udara (ISPU), ditunjukkan dalam tabel sebagai berikut :
Tabel 1 Indeks standar pencemaran udara (ISPU)
Kelompok Kategori ISPU Batas nilai ISPU (ug/m3)
I Baik 0 – 50
II Sedang 51 – 100
III Tidak sehat 101 - 199
IV Sangat tidak sehat 200 - 299
V Berbahaya 300 - 500
Dalam karya ilmiah ini dianalisis banyaknya gas ozon (O3) yang berada di
bawah ambang batas yaitu 75 ug/m3, yaitu kategori di bawah rata-rata sedang. Apabila pemodelan dapat dilakukan dengan tepat maka diharapkan pemerintah atau otoritas pengambil keputusan dapat mengambil tindakan pencegahan untuk menghindari polusi gas ozon dalam tingkat tinggi. Hal ini harus dilakukan karena gas ozon merupakan polutan berbahaya.
Metode yang sering digunakan untuk pemodelan pencemaran udara adalah teori nilai ekstrim (Roberts 1979). Namun, teknik lain mungkin digunakan untuk mempelajari jenis masalah ini, seperti analisis multivariat (Guardani et al. 2003), model Poisson (Achcar et al. 2009), time series analysis (Loomis et al. 1997) dan metode lainnya.
Dalam karya ilmiah ini akan digunakan model proses Poisson (Achcar et al.
2009). Proses Poisson dibagi menjadi dua jenis, yaitu proses Poisson homogen serta proses Poisson non-homogen. Yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah proses Poisson non-homogen dengan beberapa fungsi intensitas yang berbeda-beda, yaitu fungsi intensitas sebaran Weibull, fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto, fungsi intensitas sebaran Goel Okumoto dan fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto. Sebaran-sebaran tersebut memiliki parameter yang belum diketahui. Parameter tersebut akan diduga dengan menggunakan metode Bayes dengan pendekatan Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Model
2
fungsi intensitas terbaik ditunjukkan dengan nilai deviance information criterion
(DIC) dan plot antara akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan. Rujukan utama karya ilmiah ini adalah Non-homogeneous Poisson models with a change
point: an application to ozone peaks in Mexico city oleh Achcar et al. (2009).
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah:
1 menduga parameter fungsi intensitas dari model proses Poisson non-homogen menggunakan metode Bayes,
2 menentukan model fungsi intensitas terbaik berdasarkan nilai deviance
information criterion (DIC) dan plot antara akumulasi banyaknya hari dengan
gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan,
3 menentukan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk suatu selang pengamatan di waktu yang akan datang.
PROSES POISSON NON-HOMOGEN
Deskripsi Model
Proses Poisson non-homogen merupakan proses stokastik yang dapat digunakan dalam berbagai hal. Salah satunya adalah untuk menduga peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas tertentu untuk suatu selang tertentu. Misalkan * , -+, dengan adalah banyak hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas tertentu dalam interval waktu , -. Diasumsikan bahwa N dimodelkan dengan proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas ( ) dan ( ) adalah fungsi nilai harapan, yakni ( ) ( ) ( ). Dengan demikian proses Poisson non-homogen dapat diekspresikan sebagai berikut:
( )
, ( ) (
, , ( ) ( )-- ( )
Fungsi intensitas, ( ) , bergantung pada parameter-parameter yang perlu diduga. Ketika parameter tersebut sudah diduga, maka dapat diperoleh nilai dugaan ( ). Hasil dari dugaan ( ) tersebut dapat disubstitusi ke persamaan (1) sehingga nilai dugaan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas tertentu dalam interval waktu tertentu dapat ditentukan.
3
Definisi, Notasi, dan Asumsi
Misalkan ( ) { ( ) , -} merupakan proses Poisson non-homogen dengan fungsi nilai harapan ( | ) dengan adalah vektor parameter. Fungsi ( | ) merepresentasikan rata-rata banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah batas ambang 75 ug/m3.Dengan fungsi intensitas ( | ), maka didefinisikan sebagai berikut:
( | )
( | ) ( ) ( )
Karakteristik yang terdapat dalam fungsi intensitas yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini adalah sebagai berikut :
1 fungsi intensitas tersebut merupakan hazard rates dari waktu antar terjadinya kejadian setiap model,
2 Sebaran Weibull ( )( | ) memiliki karakteristik berbeda bergantung kepada . Fungsi intensitas ini dapat menjadi konstan ( ) , fungsi turun ( ), dan fungsi naik ( ). Fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto ( )( | ) dan sebaran Goel Okumoto ( )( | ) menunjukkan fungsi turun terhadap waktu. Dan, fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto ( )( | ) menunjukkan perilaku fungsi intensitas sedikit meningkat pada awal waktu dan kemudian mulai menurun seiring bertambahnya waktu.
Berdasarkan karakteristik tersebut, fungsi intensitas ( | ) dapat diasumsikan fungsi turun untuk setiap sebaran, dengan fungsi nilai harapan yaitu:
( )( | ) ( ) ( )
( )( | ) ( ) ( ) ( )( | ) , , -- ( ) ( )( | ) , , -- ( )
dengan ( ) untuk fungsi intensitas Weibull (W), Musa Okumoto (MO), dan Goel Okumoto (GO) sedangkan ( ) untuk General Goel Okumoto (GGO). Berdasarkan persamaan (2) dapat diperoleh fungsi intensitas untuk setiap model, yaitu: ( )( | ) ( ) ( ) ( ) ( )( | ) ( ) ( )( | ) , - ( ) ( )( | ) , - ( )
4
Semua fungsi intensitas tersebut memiliki parameter yang belum diketahui. Parameter tersebut dapat diduga dengan suatu metode yaitu metode Bayes. Proses penurunan fungsi intensitas dari setiap model disajikan di Lampiran 1.
METODE BAYES
Tujuan utama dalam karya ilmiah ini adalah untuk menduga parameter sesuai dengan fungsi intensitas masing-masing sebaran. Pendugaan parameter yang dilakukan dalam karya ilmiah ini menggunakan metode Bayes dengan pendekatan Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Dalam pendugaan parameter menggunakan metode Bayes terdapat dua komponen utama yaitu sebaran prior dan sebaran posterior. Sebaran prior digunakan untuk membentuk sebaran posterior. Sebaran posterior diperlukan untuk menentukan nilai dugaan parameter tersebut. Menurut Gilks dan Wild (1992) nilai dugaan parameter diperoleh dengan simulasi pengambilan sampel parameter dari sebaran posterior kompleks menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Konsep utama dari MCMC adalah membuat sampel pendekatan dari sebaran posterior parameter, dengan membangkitkan sebuah rantai Markov yang memiliki sebaran limit mendekati sebaran posterior parameter tersebut. Nilai penduga parameter tergantung pada sampel acak yang terambil, sehingga dianggap sebagai peubah acak yang memiliki sebaran peluang. Sampel parameter untuk sebaran posterior diperoleh dengan menggunakan software WinBugs (Spiegelhalter et al. 1999) di mana hanya sebaran gabungan untuk data dan sebaran prior untuk parameter yang perlu ditetapkan.
Software WinBUGS adalah perangkat lunak statistik untuk analisis Bayes
menggunakan metode rantai Markov Monte Carlo (MCMC). Hal ini didasarkan pada BUGS (Bayes inference Using Gibbs Sampling). WinBUGS hadir tahun 1989 di bawah Microsoft Windows oleh tim peneliti Inggris di Unit MRC Biostatistics, Cambridge, dan Imperial College School of Medicine di Kota London. Versi yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah WinBUGS 1.4.3.
Fungsi Kemungkinan (Likelihood Function)
Misalkan * +, dengan K adalah banyak kejadian yang diamati untuk . Fungsi kemungkinan (likelihood function)
untuk parameter θ menurut Cox dan Lewis (1996) diberikan sebagai berikut:
( | ) (∏ ( | )
) , ( | )- ( )
Dengan demikian berdasarkan persamaan (11) fungsi kemungkinan
(likelihood function) untuk setiap fungsi intensitas, yaitu:
( )( | ) ( ) (∏( )
5 ( )( | ) (∏ ) * ( ( ))+ ( ) ( ) ( | ) ( ) ( [ ∑ ]) , ( , , --)- ( ) ( )( | ) ( ) (∏ ) [ ∑ ] , ( , , --)- ( )
Fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk setiap sebaran dibuktikan secara lengkap di Lampiran 2.
Sebaran Prior
Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai sebaran peluang pada ruang parameter yang disebut sebaran prior. Sebaran prior dapat ditentukan berdasarkan pengetahuan dari penelitian sebelumnya atau berdasarkan insting peneliti. Semakin berpengalaman peneliti maka penentuan sebaran prior akan semakin tepat. Sebaran prior yang digunakan dalam karya ilmiah ini diperoleh dari hasil penelitian yang dilakukan oleh Achcar
et al. (2009). Sebaran prior yang digunakan adalah sebaran prior non-informatif.
Prior non-informatif adalah prior yang memiliki dampak minimal pada sebaran posterior. Sebaran prior fungsi intensitas sebaran Weibull (W) yang digunakan adalah sebaran , - untuk parameter dan , - untuk parameter . Sebaran prior fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto (MO) adalah sebaran , - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter . Sebaran prior fungsi intensitas sebaran Goel Okumoto (GO) adalah sebaran , - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter . Dan sebaran prior fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto (GGO) adalah sebaran , - untuk parameter dan sebaran
, - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter .
Fungsi kepekatan peluang untuk sebaran , - yaitu:
( )
( )
dan fungsi kepekatan peluang untuk sebaran , - adalah:
( )
( ) 0 . /1 ( )
Fungsi kepekatan peluang untuk sebaran , - untuk parameter dan , - untuk parameter dari persamaan (16) hanya berupa konstanta sehingga sebaran prior untuk fungsi intensitas sebaran Weibull (W) diperoleh sebagai berikut:
6
( ) ( )
Fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto (MO) sebaran priornya adalah sebaran
, - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter , sehingga berdasarkan persamaan (17) diperoleh sebaran prior sebagai berikut:
( ) [ (( ) ( ))] ( ) Bukti: ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ (( ) ( ))]
Fungsi intensitas sebaran Goel Okumoto (GO) sebaran priornya adalah sebaran
, - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter , sehingga berdasarkan persamaan (17) diperoleh sebaran prior sebagai berikut:
( ) [ (( ) ( ))] ( ) Bukti: ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ (( ) ( ))]
Fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto (GGO) sebaran priornya adalah sebaran , - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter dan sebaran , - untuk sebaran , sehingga berdasarkan persamaan (16) dan (17) diperoleh sebaran prior sebagai berikut:
7 ( ) [ ( )] ( ) Bukti: ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] Sebaran Posterior
Sebaran posterior parameter ditentukan dengan mengalikan sebaran prior dengan fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk setiap sebaran, yaitu
( | ) ( | ) ( ) sehingga sebaran posterior untuk fungsi intensitas sebaran Weibull (W) adalah berdasarkan persamaan (12) dan persamaan (18), yaitu: ( | ) ( ) (∏( ) ) * ( ) + ( ) Bukti: ( | ) ( | ) ( ) ( ) (∏( ) ) * ( ) + ( ) (∏( ) ) * ( ) +
Sebaran posterior untuk fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto (MO) adalah berdasarkan persamaan (13) dan persamaan (19), yaitu:
( | ) (∏ ) [ ( ( ) ( ) ( ))] ( ) Bukti: ( | ) ( | ) ( ) (∏ ) * ( ( ))+ [ (( ) ( ))]
8 (∏ ) * ( ( ))+ * (( ) ( ))+ (∏ ) [ ( ( ) ( ) ( ))]
Sebaran posterior untuk fungsi intensitas sebaran Goel Okumoto (GO) adalah berdasarkan persamaan (14) dan persamaan (20), yaitu:
( | ) [ ( , , -- ( ) ( ) ∑ ) ] ( ) Bukti: ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( [ ∑ ]) , ( , , [ (( ) ( ))] ( [ ∑ ]) , ( , , [ (( ) ( ))] [ ( , , -- ( ) ( ) ∑ ) ]
Sebaran posterior untuk fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto (GGO) adalah berdasarkan persamaan (15) dan persamaan (21), yaitu:
( | ) ( ) (∏ ) [ ( , , -- ( ) ∑ )] ( )
9 Bukti: ( | ) ( | ) ( ) ( ) (∏ ) [ ∑ ] , ( , , [ ( )] ( ) (∏ ) [ ∑ ] , ( , , [ ( )] ( ) (∏ ) [ ( , , -- ( ) ∑ )]
PENERAPAN PEMODELAN GAS OZON DI KOTA JAKARTA
Gas ozon (O3) adalah gas pencemar yang dapat mengakibatkan gangguan
kesehatan pada seseorang jika menghirup gas tersebut dalam konsentrasi yang tinggi. Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini dilakukan pemodelan mengenai pencemaran gas ozon . Pemodelan tersebut difokuskan untuk hari-hari dengan keadaan gas ozon berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 , yaitu kategori di bawah rata-rata sedang. Penentuan ambang batas ini terkait ingin diketahuinya hari-hari di kota Jakarta dengan kualitas udaranya adalah baik dan sedang untuk kesehatan berdasarkan kriteria ISPU.
Data yang digunakan untuk analisis berasal dari pemantauan langsung oleh Badan Pengelola Lingkungan Hidup Daerah (BPLHD) di kota Jakarta, yaitu dari tanggal 1 Januari 2011 sampai dengan 31 Desember 2012, dengan T = 731 hari. Rata-rata konsentrasi gas ozon dalam dua tahun tersebut adalah 91.00 ug/m3 dan standar deviasi adalah 47.69311 ug/m3. Berdasarkan data tersebut dianalisis data yang berada di bawah 75 ug/m3, kemudian data tersebut diolah di dalam
software WinBUGS, untuk diduga parameter sebaran Weibull (W), Musa
Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO) dan General Goel Okumoto (GGO). Dengan demikian nilai dugaan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk beberapa selang pengamatan di waktu yang akan datang dapat ditentukan.
Berikut plot akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 terhadap waktu, dengan waktu dalam hari.
10
Gambar 1 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 terhadap waktu (waktu dalam hari)
Dalam karya ilmiah ini ditunjukkan model sebaran terbaik yang cocok dengan kota Jakarta yang dilihat dari plot antara akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) terhadap waktu dan berdasarkan nilai kriteria pemilihan model yang terdapat dalam metode Bayes. Kriteria tersebut adalah
deviance information criterion (DIC)(Spiegelhalter et al. 2002) yang merupakan
perkiraan bagi faktor Bayes. Cara kerjanya dengan membandingkan DIC yang diperoleh dari setiap model. Model yang memiliki DIC terkecil yang merupakan model yang terbaik.
Dugaan parameter dan nilai kriteria DIC dari sebaran Weibull (W) diperoleh dari software WinBUGS dengan sebaran prior non-informatif sebaran
, - untuk parameter dan , - untuk parameter dengan ukuran contoh sebanyak 1000 data. Dugaan parameter dan nilai kriteria DIC dari sebaran Musa Okumoto (MO) diperoleh dari software WinBUGS dengan sebaran prior non-informatif sebaran , - untuk parameter dan , - untuk parameter dengan ukuran contoh sebanyak 1000 data. Dugaan parameter dan nilai kriteria DIC dari sebaran Goel Okumoto (GO) diperoleh dari software WinBUGS dengan sebaran prior non-informatif sebaran , - untuk parameter dan , - untuk parameter dengan ukuran contoh sebanyak 1000 data. Dugaan parameter dan nilai kriteria DIC dari sebaran General Goel Okumoto (GGO) diperoleh dari
software WinBUGS dengan sebaran prior non-informatif sebaran
, - untuk parameter dan sebaran , - untuk parameter 0 50 100 150 200 250 300 1 33 65 97 12 9 16 1 19 3 22 5 25 7 28 9 32 1 35 3 38 5 41 7 44 9 48 1 51 3 54 5 57 7 60 9 64 1 67 3 70 5 B an yakn ya h ar i d e n gan gas o zo n d i b awah b atas am b an g 75 u g/ m 3
Waktu dalam hari
11 dan sebaran , - untuk sebaran dengan ukuran contoh sebanyak 1000 data. Hasil pendugaan parameter, standar deviasi, 95% selang kepercayaan dan nilai deviance information criterion (DIC) untuk setiap fungsi intensitas proses Poisson non-homogen diberikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Dugaan parameter, standar deviasi, 95% selang kepercayaan dan nilai
deviance information criterion (DIC) untuk setiap fungsi intensitas
proses Poisson non-homogen
Sebaran Parameter Dugaan parameter Standar deviasi 95 % Selang kepercayaan DIC Weibull 0.649 0.019 (0.623, 0.689) 1010.79 0.134 0.037 (0.094, 0.215) Musa Okumoto 216.9 4.207 (210.6, 224.3) 1233.31 421.0 5.886 (411.4, 430.7) Goel Okumoto 303.5 12.060 (284.9, 322.8) 987.16 0.003 0.0003 (0.003, 0.004) General Goel Okumoto 340.3 22.970 (301.9, 374.3) 986.26 0.006 0.0012 (0.004, 0.009) 0.857 0.0033 (0.799, 0.897)
Dari Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa di antara model fungsi intensitas sebaran yang digunakan, sebaran General Goel Okumoto (GGO) merupakan model terbaik yang cocok untuk pemodelan gas ozon di kota Jakarta, karena memiliki nilai kriteria DIC terkecil di antara model yang lain.
Pada bagian selanjutnya ditunjukkan plot antara akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) untuk masing-masing sebaran.
12
Gambar 2 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran Weibull (W) terhadap waktu (waktu dalam hari)
Gambar 3 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran Musa Okumoto (MO) terhadap waktu (waktu dalam hari)
0 50 100 150 200 250 300 1 31 61 91 12 1 15 1 18 1 21 1 24 1 27 1 30 1 33 1 36 1 39 1 42 1 45 1 48 1 51 1 54 1 57 1 60 1 63 1 66 1 69 1 72 1 B an yakn ya h ar i d e n gan gas o zo n d i b awah b atas am b an g 75 u g/ m 3
Waktu dalam hari
Sebaran Weibull (W)
0 50 100 150 200 250 300 1 32 63 94 12 5 15 6 18 7 21 8 24 9 28 0 31 1 34 2 37 3 40 4 43 5 46 6 49 7 52 8 55 9 59 0 62 1 65 2 68 3 71 4 B an yakn ya h ar i d e n gan gas o zo n d i b awah am b ang b atas 75 u g/m 3Waktu dalam hari
13
Gambar 4 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran Goel Okumoto (GO) terhadap waktu (waktu dalam hari)
Gambar 5 Akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) model sebaran General Goel Okumoto (GGO) terhadap waktu (waktu dalam hari)
0 50 100 150 200 250 300 1 33 65 97 12 9 16 1 19 3 22 5 25 7 28 9 32 1 35 3 38 5 41 7 44 9 48 1 51 3 54 5 57 7 60 9 64 1 67 3 70 5 B an yakn ya h ar i d e n gan gas o zo n d i b awah am b an g b atas 75 u g/ m 3
Waktu dalam hari
Sebaran Goel Okumoto (GO)
0 50 100 150 200 250 300 1 32 63 94 12 5 15 6 18 7 21 8 24 9 28 0 31 1 34 2 37 3 40 4 43 5 46 6 49 7 52 8 55 9 59 0 62 1 65 2 68 3 71 4 B an yakn ya h ar i d e n gan gas o zo n d i b awah am b an g b atas 75 u g/ m 3
Waktu dalam hari
14
Berdasarkan Gambar 2 sampai dengan Gambar 5, sebaran Goel Okumoto (GO) dan General Goel Okumoto (GGO) menunjukkan model terbaik, karena memiliki plot dugaan fungsi nilai harapan ( | ) yang mendekati plot akumulasi banyaknya kejadian gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3. Berdasarkan nilai deviance information criterion (DIC), sebaran General Goel Okumoto (GGO) model terbaik karena memiliki nilai DIC terkecil di antara sebaran yang lainnya, sehingga dapat disimpulkan model terbaik yang cocok untuk kota Jakarta adalah sebaran General Goel Okumoto (GGO), dengan dugaan nilai parameter .
Selanjutnya ditentukan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan model Poisson non-homogen yang diberikan pada persamaan (1) untuk waktu yang akan datang. Diberikan
* , -+, dengan adalah banyak hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas tertentu dalam interval waktu , - Diketahui
T = 731 hari, selanjutnya ditentukan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk T > 731. Untuk lebih jelas perhatikan tabel berikut:
Tabel 3 Peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3, dengan t awal adalah hari ke 731
Berdasarkan Tabel 3, dapat disimpulkan bahwa untuk suatu hari tertentu di waktu yang akan datang peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 semakin menurun. Hal tersebut menunjukkan dalam suatu hari tertentu kemungkinan kualitas udara di Kota Jakarta yang kadar gas ozonnya berada di bawah 75 ug/m3 atau yang menunjukkan kualitas udara baik kemungkinan terjadinya sangat kecil. Hal tersebut akan menjadi hal serius untuk waktu yang akan datang. Misalkan , yang berarti menduga peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk 5 hari kedepan atau . Dengan demikian interval waktu yang digunakan adalah , - Karena akan diduga peluang untuk 5 hari ke depan, maka terdapat 6 kemungkinan K, yaitu dan Interpretasi dari K, misalkan artinya banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu
adalah 3 hari, begitu pun untuk K yang lainnya. Hari ke- K = 0 K = 1 K = 2 K = 3 K = 4 K = 5 K = 6 … K = n 732 0.88 0.11 733 0.78 0.19 0.02 734 0.69 0.25 0.05 0.01 735 0.61 0.30 0.07 0.01 0.001 736 0.54 0.33 0.1 0.02 0.003 0.0004 737 0.48 0.35 0.13 0.03 0.006 0.0008 0.0001 … … .. . … … … … T+s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
15 Dugaan fungsi nilai harapan ( | ) sebaran General Goel Okumoto
(GGO) berdasarkan persamaan (6) diperoleh ( ) dan
( ) . Dengan demikian peluang banyaknya kejadian gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk 5 hari ke depan diperoleh dengan memasukkan nilai dugaan tersebut ke dalam persamaan (1). Berdasarkan kemungkinan-kemungkinan yang ada, diperoleh:
Kemungkinan 1, untuk , yaitu:
( ) , ( ) ( , , ( ) ( , , ,
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 0 hari adalah .
Kemungkinan 2, untuk , yaitu:
( ) , ( ) (
, , ( ) (
,
, ,
.
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 1 hari adalah .
Kemungkinan 3, untuk , yaitu:
( ) , ( ) (
, , ( ) (
,
, ,
.
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 2 hari adalah .
16
Kemungkinan 4, untuk , yaitu:
( ) , ( ) (
, , ( ) (
,
, ,
.
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 3 hari adalah 0.02.
Kemungkinan 5, untuk , yaitu:
( ) , ( ) (
, , ( ) (
,
, ,
.
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 4 hari adalah 0.003.
Kemungkinan 6, untuk , yaitu:
( ) , ( ) ( , , ( ) ( , , ,
Interpretasi dari hasil peluang tersebut adalah peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dari selang , - untuk waktu sebanyak 5 hari adalah .
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini, diperoleh penduga parameter fungsi intensitas dari model proses Poisson non-homogen dengan menggunakan metode Bayes. Dugaan parameter untuk fungsi intensitas sebaran Weibull (W) adalah , dan . Dugaan parameter untuk fungsi intensitas sebaran Musa Okumoto (MO) adalah dan Dugaan parameter untuk fungsi intensitas
17 sebaran Goel Okumoto (GO) adalah dan , dan dugaan parameter untuk fungsi intensitas sebaran General Goel Okumoto (GGO) adalah
. Dugaan parameter tersebut digunakan untuk mendapatkan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) dari setiap sebaran, sehingga plot antara akumulasi banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 dengan dugaan fungsi nilai harapan ( | ) dapat diperoleh. Berdasarkan plot tersebut dan nilai deviance information criterion
(DIC) yang diperoleh dengan metode Bayes, sebaran General Goel Okumoto (GGO) merupakan sebaran terbaik yang cocok untuk pemodelan di kota Jakarta, karena sebaran GGO memiliki plot dugaan nilai fungsi harapan ( | ) yang mendekati akumulasi gas ozon serta memiliki nilai kriteria DIC terkecil di antara sebaran yang lain. Nilai deviance information criterion (DIC) untuk setiap sebaran adalah W = 1010.79, MO = 1233.31, GO = 987.16 dan GGO = 986.26.
Dalam karya ini pun ditunjukkan peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 untuk suatu selang pengamatan di waktu yang akan datang. Berdasarkan model proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas GGO, dapat disimpulkan untuk suatu hari tertentu di waktu yang akan datang peluang banyaknya hari dengan gas ozon yang berada di bawah ambang batas 75 ug/m3 semakin menurun. Hal tersebut menunjukkan dalam suatu hari tertentu di waktu yang akan datang kemungkinan kualitas udara di Kota Jakarta yang kadar gas ozonnya berada di bawah 75 ug/m3 atau yang menunjukkan kualitas udara baik kemungkinan terjadinya sangat kecil. Hal tersebut akan menjadi hal serius untuk waktu yang akan datang, karena berarti semakin sedikitnya hari dengan kualitas udara yang baik. Oleh karena itu, karya ilmiah ini dapat dijadikan masukan untuk pemerintah atau otoritas pengambil keputusan untuk melakukan tindak pencegahan terhadap polusi yang disebabkan oleh gas ozon .
18
DAFTAR PUSTAKA
Achcar JA, Rodrigues ER, Paulino CD, Soares P. 2009. Non-homogeneous Poisson models with a change-point: an application to ozone peaks in Mexico city. Environ Ecol Stat. 17:521–541.doi: 10.1007/s10651-009-0114-3.
Cox DR, Lewis PA. 1996. Statistical Analysis of Series of Events. London (UK): Methuen.
Gilks WR, Wild P. 1992. Adaptive rejection sampling for Gibbs sampling.
Journal of the Royal Statistical Society. 41(2): 337-348.
Guardani R, Aguiar JL, Nascimento CAO, Lacava CIV, Yanagi Y. 2003.
Ground-level ozone mapping in large urban areas using multivariate statistical analysis: application to the São Paulo metropolitan area. Journal of
the Air and Waste Management Association. 53(5):553-559.doi:
10.1080/10473289.2003.10466188
Loomis DP, Borja-Arbuto VH, Bangdiwala SI, Shy CM. 1997. Ozone, suspended particulates, and daily mortality in Mexico city. American Journal of
Epidemiology. 145(3):258–263.
Roberts EM. 1979. Review of statistics of extreme values with applications to air quality data. Journal of the Air Pollution Control Association. 29(7):733-740.doi: 10.1080/00022470.1979.10470856.
Spiegelhalter DJ, Best NG, Carlin BP, Vander LA. 2002. Bayesian measures of model complexity and fit. Royal Statistical Society. 64(4):583–639.
19 Lampiran 1 Pembuktian fungsi intensitas pada model sebaran Weibull (W), Musa
Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO), dan General Goel Okumoto (GGO) Bukti persamaan (7) : ( | ) ( | ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bukti persamaan (8) : ( | ) ( | ) ( ( )) . / . / Bukti persamaan (9) : ( | ) ( | ) ( , , --) ( , ) , - Bukti persamaan (10) : ( | ) ( | ) ( , , --) ( , -) , -
20
Lampiran 2 Pembuktian fungsi kemungkinan (likelihood function) pada model sebaran Weibull (W), Musa Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO), dan General Goel Okumoto (GGO)
Fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk sebaran Weibull (W) dengan dugaan fungsi nilai harapan persamaan (3) dan fungsi intensitas persamaan (7), adalah : ( | ) (∏ ( ) ( ) ) * ( ) + ( ) ( ) (∏( ) ) * ( ) + ( ) (∏( ) ) * ( ) +
Fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk sebaran Musa Okumoto (MO) dengan dugaan fungsi nilai harapan persamaan (4) dan fungsi intensitas persamaan (8), adalah : ( | ) (∏ ) * ( ( ))+ (∏ ) * ( ( ))+
Fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk sebaran Goel Okumoto (GO) dengan dugaan fungsi nilai harapan persamaan (5) dan fungsi intensitas persamaan (9), adalah : ( | ) (∏ , ) , ( , , ( [ ∑ ]) , ( , , ( ) ( [ ∑ ]) , ( , , --)-
21 Fungsi kemungkinan (likelihood function) untuk sebaran General Goel Okumoto (GGO) dengan dugaan fungsi nilai harapan persamaan (5) dan fungsi intensitas persamaan (9), adalah:
( | ) (∏ , ) , ( , , (∏ ) [ ∑ ] , ( , , ( ) (∏ ) [ ∑ ] , ( , , --)-
Lampiran 3 Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter dugaan fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran Weibull (W), Musa Okumoto (MO), Goel Okumoto (GO), dan General Goel Okumoto (GGO)
Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter
dugaan fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran Weibull (W), sebagai berikut : model{ for (i in 1 : N){ zeros[i]<- 0 phi[i] <- -log(L[i]) zeros[i] ~dpois(phi[i])
log(lambda[i]) <- log(alpha) - log(beta) + (alpha-1) * log(t[i]) - (alpha-1) *log(beta) L[i] <- lambda[i] * m } m<-exp(-(pow(T,alpha) * pow(beta,(-alpha)))/N) alpha ~ dunif(0.09,1) beta~ dunif(0.09,1) }
Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter
dugaan fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran Musa Okumoto (MO), sebagai berikut:
model{
for (i in 1 : N){ zeros[i]<- 0
22
zeros[i] ~dpois(phi[i])
log(lambda[i]) <- log(beta) - log(t[i]+alpha) L[i] <- lambda[i] * m } m<-exp(-(beta *( log(alpha+T)-log(alpha))/N)) alpha ~ dgamma(2000,10) beta ~ dgamma(4550,10) }
Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter dugaan
fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran Goel Okumoto (GO), sebagai berikut: model{ for (i in 1 : N){ zeros[i]<- 0 phi[i] <- -log(L[i]) zeros[i] ~dpois(phi[i])
log(lambda[i]) <- log(alpha) + log(beta)-(beta*t[i]) L[i] <- lambda[i] * m } m <-exp(-((alpha) * (1 - exp(-(beta*T))))/N) alpha ~ dgamma(300, 1) beta ~ dgamma(0.1, 1) }
Syntax dalam software WinBUGS untuk memperkirakan parameter dugaan
fungsi nilai harapan ( | ) pada model sebaran General Goel Okumoto (GGO), sebagai berikut: model{ for (i in 1 : N){ zeros[i]<- 0 phi[i] <- -log(L[i]) zeros[i] ~dpois(phi[i])
log(lambda[i]) <- log(alpha) + log(beta) + log(gamma) + ((gamma -1) *log(t[i])) - ((beta) * pow(t[i ], gamma))
L[i] <- lambda[i] * m }
m <-exp(-((alpha) * (1 - exp(-(beta* (pow(T, gamma))))))/N) alpha ~ dunif(1,380)
beta ~ dgamma(0.1,1) gamma ~ dunif(0.1,0.9) }
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 8 Maret 1991 dari ayah Ahmadi. Penulis adalah putra kepertama dari dua bersaudara. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sukaresmi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kegiatan penulis selain kegiatan akademik adalah mengikuti organisasi yang dibentuk oleh mahasiswa matematika yaitu gugus mahasiswa matematika (Gumatika) periode 2012-2013 menjabat sebagai ketua Divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia. Sementara, setahun sebelum itu yaitu di periode 2011-2012 penulis mengikuti organisasi lain yaitu Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) tingkat fakultas sebagai anggota Divisi Sains dan Teknologi.
Prestasi yang pernah diperoleh sebagai mahasiswa adalah menjuarai kompetisi olahraga yaitu bidang lari 100 meter putra memperoleh medali perak selama 2 tahun berturut-turut. Prestasi lainnya adalah penulis merupakan penerima beasiswa Karya Salemba Empat (KSE), beasiswa Bank BRI, dan beasiswa Persatuan Orangtua Mahasiswa (POM).
