M L M I DAN K O T N I Y A FU G N SI f ) ( X li X X ,. M P. d,. M. T P r P n e u a Pr r o am a S ( P ) 4

Kode Modu l MAT.TKF 02 1- 10

F

a

k

u

tl

a

s

T

e

k

n

i

k

U

N

Y

J

u

r

u

s

a

n

P

e

n

d

i

d

i

k

a

n

T

e

k

n

i

k

O

t

o

m

o

t

fi

T

I

M

I

L

D

A

N

K

O

N

T

I

N

Y

U

I

T

A

S

F

U

N

G

S

I

f( X) f( X )= — X — C C ilm — X = — X X  C : n u s u y n e P . T . M , . d P . M , i b u t r a M ) 4 P S ( n a r a g g n a g n e P n a d m a r g o r P n a n u s u y n e P n a a n a c n e r e P m e t s i S

T

n

a

k

i

d

i

d

n

e

P

n

a

s

u

r

u

J

e

k

n

i

k

O

t

o

m

o

t

fi

0

0

2 5

2

R

A

T

N

A

G

N

E

P

A

T

A

K

Modu ldengan judu lLimi tdan Kon itnyutias Sebuah Fungsi iin k u t n e b m e m k u t n u h a il u k n a t a i g e k m a l a d n a u d n a p i a g a b e s n a k a n u g i d u t a s h a l a s s -ub kompetensi , yatiu : “Menggunakan konsep , sfiat , dan l a i s a l u p i n a m jaba rdalam pemecahan masalah ilmi tfungs“i . Modu lin i I r e t s e m e s i d a k it a m e t a M h a il u k a tr e s e p a u m e s k u t n u n a k a n u g i d t a p a d i r e g e N s a ti s r e v i n U k i n k e T s a tl u k a F f it o m o t O k i n k e T i d u t S m a r g o r P a d a p . a tr a k a y g o Y Pada modu l in i disaijkan konsep dasa r Limi t dan Konitnyutias m a l a d i a p m u ji d k a y n a b g n a y a y n n a h a l a s a m r e p n a d i s g n u F h a u b e S . s it k a r p n u p u a m s it ir o e t a r a c e s k i a b , k i n k e t g n a d i b i d a y n n a p a r e n e p s a h a b m e m 1 r a j a l e b n a t a i g e K . r a j a l e b n a t a i g e k a g it s a t a i ri d r e t i n i l u d o M .r a b a jl A i s g n u F t i m i L : g n a t n e t Kegiatan belaja r2membahast entang: Limi t .i rt e m o n o g ir T i s g n u F Kegiatan belaja r3 membahas t entang: Konitnyutias .i s g n u F h a u b e S Untuk dapa t mempelajar i modu l in i dengan mudah mahasiswa n a m a h a m e p n a d n a u h a t e g n e p i a y n u p m e m h a l e t n a k p a r a h i d tentang p e s n o k -konsep dasa ryang menunjangnya ,dalamhali nit erutama konsep g n a t n e t FungsiAjlaba rd anFungs iT irgonometir. Yogyaka tra, Oktobe r 2005 Penyusun Ma trubi ,M.Pd. ,M.T.

3

L

U

D

O

M

I

S

I

R

A

T

F

A

D

n a m a l a H A H LAMAN SAMPUL ... 1 R A T N A G N E P A T A K ... 2 I S I R A T F A D ... . 3 Y R A S S O L G / N A H A L I T S I R E P .. ... 5 N A U L U H A D N E P . I ... 6 A .Desk irps i... 6 B .Prasyara t... .6 C .PetunjukPenggunaan Modu l... .7 1 .Petunjuk bag imahasiswa ... 7 2 .Petunjuk bagidosen ... ... .7 D .Tujuan Akhi r... 8 E .Kompetens i. ... .8 F .CekKemampuan. ... . 9 N A R A J A L E B M E P . II ... .10 A .RencanaBelaja rMahasiswa ... .1 0 B .KegiatanBelaja r... .1 0 1 .KegiatanBelaja r1 ... .1 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a ... 01 i r e t a m n a i a r U . b ... ... 01 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1 n a m u k g n a R . c . 8 .1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 s a g u T . d ... 02 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 f it a m r o f s e T . e . 02 b a w a j i c n u K . f t esformait f1 .. ... 02

4 n a m a l a H 2 .KegiatanBelaja r2 ... . 12 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a 12 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2 i r e t a m n a i a r U . b ... . 12 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 n a m u k g n a R . c . 22 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2 s a g u T . d . 32 fi t a m r o f s e T . e 2. ... 32 b a w a j i c n u K . f t esformatfi 2... ... 42 3 .KegiatanBelaja r3 ... . 42 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a 3 ... . 42 i r e t a m n a i a r U . b 3 ... . 42 n a m u k g n a R . c 3 ... . 25 s a g u T . d 3 ... . 26 fi t a m r o f s e T . e 3. ... . 26 b a w a j i c n u K . f t esformatfi 3... . 27 I S A U L A V E . II I ... .. 28 .... A .Pe tranyaan ... 28 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . n a b a w a J i c n u K . B 29 C .Krtie iraKelulusan. ... . 29 P U T U N E P . V I ... 03 A K A T S U P R A T F A D ... 13

5

/

N

A

H

A

L

I

T

S

I

R

E

P

G

L

O

S

S

A

R

Y

i s g n u F Diskon itnyu :adalah sebuah f ungs iyang itdak selalu atau itdak u p m e m s u r e n e m s u r e t nya iharga d iseitap ititk atau sebuah f ungs i u a t a k it it a d a p a g r a h i a y n u p m e m k a d it i m a l a g n e m h a n r e p g n a y . u t n e tr e t l a v r e t n i u y n it n o K i s g n u F :adalah sebuahf ungs iyangselalu atau t erus menerus u p m e m nya ihargad iseitap ititk. i r t e m o n o g ir T i s g n u F :adalah adalah sebuah fungs iyang harganya u t n e tr e t t u d u s u t a u s a g r a h h e l o n a k u t n e ti d . i s g n u F t i m i L :adalah harga atau nlia ibatas yang didekat isebuah f ungs i g n a li b n a g n e d i t n a g i d u ti i s g n u f l e b a ir a v a k ij an yangmendekat inlia i u t n e tr e t . i s i n if e d r e T : adalah sebuah istliah untuk menyatakan bahwa suatu . u t n e tr e t a g r a h i a y n u p m e m n a g n a li b

6

I

B

A

B

N

A

U

L

U

H

A

D

N

E

P

i s p ir k s e D . A Modu l dengan judu l Limi t dan Kon itnyutias Fungsi in i s a h a b m e m tentang konsep dasa rLimi tdan Konitnyutias Fungs ise tra a y n n a h a l a s a m r e p yang banyak djiumpa i dalam penerapannya d i . s it k a r p n u p u a m s it ir o e t a r a c e s k i a b , k i n k e t g n a d i b Mater i yang ,r a b a jl A i s g n u F t i m i L : p u k a c n e m ir a j a l e p i d Limi tFungs iT irgonomert i danKonitnyutiasSebuahFungs.i Modul i n iterdri iatas dua kegiatan belajar .Kegiatan belaja r1 : g n a t n e t s a h a b m e m Limi t Fungs i Ajlabar , Kegiatan belaja r 2 : g n a t n e t s a h a b m e m Limi t Fungs i T irgonomet ir . Kegiatan belaja r 3 : g n a t n e t s a h a b m e m Konitnyutias Sebuah Fungsi . Pada seitap n a d l a o s h o t n o c n a g n e d i p a k g n e li d u l a l e s r a j a l e b n a t a i g e k n a h it a l a tr e s e b a y n n a s a h a b m e p -laithan sepelrunya untuk membantu . n a k p a r a h i d g n a y i s n e t e p m o k i a p a c n e m m a l a d a w s i s a h a m Setelah selesa i mempelajar i modul in i secara keseluruhan n a k p a r a h i d a w s i s a h a m mempunya isub kompetens i “Menggunakan t i m il h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m n a d , t a fi s , p e s n o k “i s g n u f t a r a y s a r P . B Modul i n ibe irs imate ir-mater iyang meme lrukan dukungan mater i i a l n yang semesitnya telah dipelajar isebelumnya . Adapun mate ir -l e t a y n s u r a h e s g n a y r a s a d i r e t a m ah dfiaham ioleh pese tra kuilah id p e s n o k h a l a d a a m a t u r e t f it o m o t O k i n k e T n a k i d i d n e P n a s u r u J dasa r .i rt e m o n o g ir T i s g n u F n a d r a b a jl A i s g n u F : g n a t n e t

7 k u j n u t e P . C PenggunaanModul 1 .Petunjukbag iMahasiswa Aga rdiperoleh hasi lbelaja ryang maksimal ,maka dalam u lr e p g n a y r u d e s o r p a p a r e b e b a d a i n i l u d o m n a k a n u g g n e m : n i a l a r a t n a n a k a n a s k a li d n a d , n a k it a h r e p i d a m a s k e s n a g n e d i m a h a f n a d h a l a c a B . a uraian konsep-konsep a l u p i m a h a f n a i d u m e k , i n i l u d o m a d a p n a k ij a s i d g n a y s it ir o e t p e s n o k n a p a r e n e p -konsep tersebu t dalam contoh-contoh soa l i r e t a m a d a h i s a m a s k a p r e t a li B . a y n n a i a s e l e y n e p a r a c a tr e s e b d i m a h a fi d a s i b m u l e b n a d s a l e j g n a r u k g n a y engan baik para u p m a g n e m g n a y n e s o d a d a p e k n a k a y n a n e m t a p a d a w s i s a h a m . n a h a il u k r e p n a t a i g e k , ir i d n a m a r a c e s ) n a h it a l l a o s ( f it a m r o f s a g u t p a it e s n a k a jr e k a b o C . b r a s e b a p a r e b e s i u h a t e g n e m k u t n u n a k d u s k a m i d i n i l a h r e t a w s i s a h a m p a it e s i k ili m i d h a l e t g n a y n a m a h a m e p hadap ir e t a m -mater iyangdibahaspadaseitapkegiatanbelaja .r i r e t a m i a s a u g n e m m u l e b a w s i s a h a m a y n n a a t a y n e k m a l a d a li b a p A . c n a d a c a b m e m i g a l i g n a l u a b o c , n a k p a r a h i d g n a y l e v e l a d a p n a h it a l i g a l n a k a jr e g n e m -laithannya dan kalau pe lru be tranyalah o d a d a p e k sen yang mengampu kegiatan perkuilahan yang n a k u lr e m e m n a t u k g n a s r e b g n a y i r e t a m u a l a K . n a t u k g n a s r e b t a r a y s a r p a w h a b n a k n i k a y a k a m ) t a r a y s a r p ( l a w a n a m a h a m e p r a n e b d u s k a m i d g n a y -bena rsudahdipenuh.i 2 .PetunjukBag iDosen Dalam seitapkegiatanperkuilahan ,dosenmempunyait ugasdan : k u t n u n a r e p a. Membantumahasiswa dalammerencanakanprosesbelaja .r b. Membimbing mahasiswa melalu itugas-tugas atau l aithan-la ithan .r a j a l e b b a h a t m a l a d n a k s a l e ji d g n a y

8 c. Membantu mahasiswa dalam memaham i konsep baru dan . n a k u lr e p i d a li b a p a a w s i s a h a m n a a y n a tr e p b a w a j n e m d. Membantumahasiswa untuk mengaksessumbe rbelajarl ainyang . n a k u lr e p i d e. Mengorganisi rkegiatanbelaja rkelompok ijkadipe lrukan. f. Merencanakanseorangahl/idosenpendamping ijkadipe lrukan. g. Mengadakan evaluas i terhadap pencapaian kompetens i . n a k u t n e ti d h a l e t g n a y a w s i s a h a m Evaluasit ersebu tpelaksanaan- .r a j a l e b n a t a i g e k r i h k a p a it e s a d a p a y n ri h k A n a u j u T . D Setelah mempelajar iseluruh mater ikegiatan belaja rdalam modu l p a r a h i d a w s i s a h a m i n i k an dapa t: “Menggunakan konsep ,sfiat ,dan “i s g n u f ti m il h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m . i s n e t e p m o K . E Modu l T 0KF 2 1-01 dengan judu l Limi t dan Kon itnyutias i s g n u F h a u b e S in i disusun dalam rangka membentuk s -ub i s n e t e p m o k “Menggunakan konsep , sfiat , dan manipulas i ajlaba r “i s g n u f ti m il h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d . Untuk mencapa is -ub kompetens itersebut ,te lrebih dahulu harus b u s i a p a c i d t a p a d -sub kompetens i bese tra krtie ira unjuk ke jranya a m n a g n e d r a j a l e b p u k g n il i u l a l e m ter ipokok pembelajaran sebaga i t u k ir e b :

9 F .CekKemampuan Sebelum mempelajar iModulTKF201– 01 i ni ,i sliah dengant anda ( k e c — )pe tranyaan yang menunjukkan kompetens iyang t elah dim iliki : n a k b a w a j g n u g g n a tr e p i d t a p a d n a d r u j u j n a g n e d a w s i s a h a m b u S i s n e t e p m o K Pertanyaan n a b a w a J BliaJawaban“Ya“ n a k a jr e K aY Tidak a n u g g n e M , p e s n o k n a k n a d , t a fi s i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m n a d t i m il s ti u y n it n o k i s g n u f . , n a it r e g n e p : n a k s a l e j n e m u p m a m a y a S . 1 notas,i dansfiat-sfia tilmtif ungs.i TNeosmFoo rr1m ait f1 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 2 - lahan ilmtif ungsi ajlaba.r TNeosmFoorr m2ait f1 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 3 - lahan ilmtif ungs it irgonomert.i TesFormait f2 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 4 - lahan konitnyutiassebuahf ungsi TesFormait f3 b a w a j n e m a w s i s a h a m a li b a p A Tidak makapelajar imoduli ni b a w a ji d g n a y i r e t a m i a u s e s Tidak tersebu.t b u S i s n e t e p m o K UnKjurktieKireajra LBineglakjuarp n a r a j a l e b m e P k o k o P i r e t a M p a k i S Pengetahuan Ketramplian a n u g g n e M , p e s n o k n a k ,t a fi s dan i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m t i m il dan ti u y n it n o k s i s g n u f . n a k s a l e j n e M . 1 n a it r e g n e p , i s a t o n dan t a fi s -sfia tilmi t . i s g n u f 2 .Menyelesai -m r e p n a k a -sa t i m il n a h a l i s g n u f ajlabar 3 .Menyelesai -a s a m r e p n a k t i m il n a h a l i s g n u f ir t e m o n o g ir t .5 4 .Menjelaskan s a ti u y n it n o k h a u b e s i s g n u f a it r e g n e P . 1 n , notas idan t a fi s -sfia tilmi t . i s g n u f 2 . Limtif ungs i ajlabar . 3 . Limtif ungs i Tirgonometir 4 .Konitnyutias h a u b e s i s g n u f Telti idan t a m r e c m a l a d s il u n e m l o b m i s a l e m n a d -r e p n a k u k -n a g n u ti h 1 .Pengeritan , notasi ,dan t a fi s -sfiat ilmi t . i s g n u f 2 . Limtif ungs i ajlabar . 3 . Limtif ungs i Tirgonometir 4 .Konitnyutias h a u b e s i s g n u f g n u ti h g n e M n a g n e d r u d e s o r p l i s a h n a d r a n e b g n a y

0 1

II

B

A

B

N

A

R

A

J

A

L

E

B

M

E

P

a w s i s a h a M r a j a l e B a n a c n e R . A Bualtah rencana kegiatan belaja rdengan mengis itabe ld ibawah .i a s e l e s h a l e t e s n e s o d a d a p e k r a j a l e b i t k u b h a l a t n i m n a d i n i n a t a i g e K s i n e J Tanggal Waktu T_Be_em_lap_jaa_r t _PeA_rl_ua_bs_aa_hn_{an D}P_oa_sra_en f 1 .Pengeritan ,notas idan sfiat-sfia tilmtif ungsi 2 .Limtif ungs iajlabar 3 .Limtif ungsit irgonomert.i h a u b e s s a ti u y n it n o K . 4 fungsi .r a j a l e B n a t a i g e K . B 1 .KegiatanBelaja r1 :Limi tFungs iAjlabar a .TujuanKegiatanBelaja r1: 1 .) Mahasiswa dapa tmenjelaskan pengeritan ,notas idan sfiat -.i s g n u f ti m il t a fi s 2 .) aM hasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan ilmi tfungs i .r a b a jl a b .UraianMate ir 1: t a fi S n a d i s a t o N , n a it r e g n e P . ) 1 -sfiat Limi tFungsi. Untuk dapa tmemaham ipengeritan tentang ilmi tfungs i g n u f h a u b a u d i r a d i a li n n a k it a h r e p a k a m s iX be irku t ijka g n i s a m -masing dicar iharganya .Fungs ipe trama adalah fungs i i s g n u f h a l a d a a u d e k i s g n u f g n a d e s , s u r u l g n i d n a b r e b g n a y . k il a b r e t g n i d n a b r e b g n a y

1 1 a .) Untukf ungs iberbandingl urus ,misalnya: X f(X )= (denganX =blianganasil) 4 X 4 00 1 00 2 1 0,04 0,004 0,0004 ... ) X ( f 1 00 2 5 0 ,5 0,25 0,01 0,001 0,0001 ... D a ir datfa rd iatas tampak j elas bahwa ijka X diber iharga a g g n i h e s , li c e k n i k a m a g u j ) X ( f a g r a h a k a m l i c e k n i k a m “ g n a y X k u t n u sanga t ama t keci l sekail ” ( dikatakan “ n a k a a g u j ) X ( f a g r a h a k a m ) l o n i t a k e d n e m sanga tama t il a k e s l i c e k ” (mendekat inol) .Pernyataan i n idtiuils secara : i s a t o n n a g n e d s it a m e t a m X X ilmi t = 0 atause irngdisingkat ilm = 0 Xo0 4 Xo0 4 Selanjutnya juga dapa tdibukitkan bahwa , ij ka X makin X k u t n U . a l u p r a s e b n i k a m e s n a k a ) X ( f a g r a h a k a m r a s e b k a t it a k e d n e m n a k a t a k i d ( ” il a k e s r a s e b t a m a t a g n a s “ g n a y a m a t a g n a s “ n a k a a g u j ) X ( f a g r a h a k a m ) a g g n i h r e t t a r a c e s s il u ti d i n i n a a t a y n r e P . ) a g g n i h r e t k a t( ” il a k e s r a s e b : i s a t o n n a g n e d s it a m e t a m X X ilmti = f atause irngdisingkat ilm = f Xof 4 Xo f 4 Akhrinya dapa tdisimpulkan secara umum bahwa untuk : u k a lr e b t a p a d s u r u l g n i d n a b r e b i s g n u f a u m e s ilmti f ( X ) = 0 dan ilmti f ( X) = f Xo 0 Xo f

2 1 b.) Untukf ungs iberbandingterbailk ,misalnya: 4 f( X )= (denga X n =bliangan asil) X X 1 2 8 4 0 4 00 4.000 40.000 ... ) X ( f 4 2 0 ,5 0 ,1 0,01 0,001 0,0001 ... D a ir datfa rd iatas tampak j elas bahwa ijka X diber iharga a k a m r a s e b n i k a m harga f(X )makin kecli ,sehingga untuk “ g n a y X sanga tama tbesa rsekail ” (dikatakanmendekat i “ n a k a ) X ( f a g r a h a k a m ) a g g n i h r e t k a t sanga tama tkeci l il a k e s ” (mendekat ino l) . Pernyataan in idtiuils secara : i s a t o n n a g n e d s it a m e t a m 4 4 ilmi t = 0 atause irngdisingkat ilm = 0 Xof X Xo f X Selanjutnya juga dapa tdibukitkan bahwa , ij ka X makin g n a y X k u t n U . r a s e b n i k a m e s n a k a ) X ( f a g r a h a k a m l i c e k “sanga tama tkeci lsekail ” (dikatakan mendekat ino l ) “ n a k a ) X ( f a g r a h a k a m sanga tama tbesa rsekail ” t(ak y n r e P . ) a g g n i h r e t ataan i n idtiuils secara matemaits dengan : i s a t o n 4 4 ilmi t = f atause irngdisingkat ilm = f Xo 0 X Xo0 X Akhrinya dapa tdisimpulkan secara umum bahwa untuk : u k a lr e b t a p a d k il a b r e t g n i d n a b r e b i s g n u f a u m e s ilmti f ( X ) = 0 dan ilmti f ( X) = f X o f X o 0

3 1 D air uraian t ersebu tdapa tdiambi lsebuah pengeritan : a w h a b Limi tFungsi adalah sebuah harga batas yang a ir a v a k ij t u b e s r e t i s g n u f h e l o i t a k e d i d belnya digant isuatu a y n s a l e j h i b e l k u t n U . u t n e tr e t a g r a h i t a k e d n e m g n a y a g r a h : t u k ir e b h o t n o c n a k it a h r e p ilmti( X +4 )= 2+4 =6 Xo 2 Pada contoh tersebu tangka 6 adalah ilmti atau harga s a t a b dar ifungs i (X + 4 ) ijka X digant iangka yang a y n l a s i m , 2 i t a k e d n e m 2,001 yang menghaslikan 6,001 u a t a 1,9999 yang menghaslikan 5,9999 kedua harga tiu a k g n a i t a k e d n e m a t a y n r e t 6 .Jad iangka 6 bukanlah harga g n a y a k g n a ( s a t a b a g r a h a y n a h i p a t e t , k a s k e didekat i.) i s g n u f ti m il a g r a h a k a m a m a s g n a y n a r a l a n e p n a g n e D k u t n e b n a g n e d -bentuk l ainnyadapa tdtientukan ,misalnya: (1.) ilmi t (2X2_{+4X– 3 )=2. 1}2 _{4+ . 1 – 3 =3} Xo 1 (2.) ilmti X (3 2_{+4X+5 )=3. f}2 _{4+ .f +5 =f + f +5=f} Xo f 6X 6. 2 12 = = = t i m il .) 3 ( f Xo2 X  2 2– 2 0 X  6 6  6 0 0 = = = ti m il .) 4 ( Xo6 5X 5. 6 30 2 2 2 0 = = = ti m il .) 5 ( Xof 5X+4 5 .f +4 f 2X +3 2.f +3 f +3 f = = = = ti m il .) 6 ( f Xof 5 5 5 5

4 1 S fia t–sfia tLimi tFungsi : Dar ipenelusuran terhadap hasli-hasi lperhtiungan ilmi t t a fi s i a y n u p m e m i s g n u f ti m il a w h a b n a k t u b e s i d t a p a d i s g n u f -: t u k ir e b i a g a b e s t a fi s k = k ti m il . ) 1 ( X o C C = X ti m il . ) 2 ( X o C t i m il . ) 3 ( k . f ( X ) = k .ilmtif ( X) X o C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 4 ( + g( X)] = ilmtif ( X ) + ilmti g ( X) X o C Xo C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 5 ( . g( X)] = ilmi tf ( X ) . ilmti g( X) Xo C Xo C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 6 ( : g( X)] = ilmi tf ( X ) : ilmti g( X) X o C Xo C Xo C ] ) X ( f [ t i m il . ) 7 ( n = [ilmtif ( X) ]n X o C Xo C ti m il . ) 8 (

—

f( X)] =

—

ilmtif ( X) X o C Xo C Catatan :Untuksfia tnomo r6asa lharga ilmti g( X )=0 X o C Untuksfia tnomo r8 : ilmtif ( X)

>

0 X o C

5 1 r a b a jl A i s g n u F t i m i L . ) 2 Berdasarkan p irnsip ilmi t fungs i sebagaimana telah i a r u i d kan d i atas , ijka f (X ) adalah fungs i ajlaba r maka : t u k ir e b i a g a b e s n a m o d e p n a g n e d g n u ti h i d t a p a d a y n a g r a h (Cdankadalahbliangankonstandan irli) k = ) C ( f a li b a p a k = ) X ( f t i m il . ) a X o C k = ) X ( f t i m il . ) b f apablia f ( C )= X o C 0 0 a li b a p a 0 = ) X ( f t i m il . ) c f( C )= X o C k k ( f a li b a p a 0 = ) X ( f t i m il . ) d f ) = X o f f = ) X ( f t i m il . ) e itdak t erde ifnisi atau itdak t ertentu apablia X o C f 0 _{harga f ( c) adalah : ; atau ( f – f)} f 0 Jika ternyata hasi lperhtiungan ilmi tsebuah fungs iberupa k u t n e b a r a t n a i d u t a s h a l a s -bentuk itdak terdeifnis id iatas k u t n e b ( e )maka harus dliakukanperubahan carapenge jraan , u a t a u l u d a y n l a o s k u t n e b n a k a n a h r e d e y n e m n a g n e d a y n l a s i m a r a t e s g n a y n i a l k u t n e b n a g n e d l a o s k u t n e b n a k a t a y n e m a g g n i h e s diperolehhasi ldalam bentuk t e trentu ( t erdeifnis i.) Adapun cara penyederhanaan bentuksoalt ersebu t misalnya n a w a k e s k u t n e b n a g n e d n a k il a g n e m , n a k r o t k a f m e m n a g n e d

6 1 n a d , a g u j n a w a k e s k u t n e b n a g n e d a y n i g a b m e m n a i d u m e k b e s againyat ergantungbentuksoalnya. Contoh Soal : Htiunglah ilmtif ungsi-fungs ibe irkuti n i! a l) .imi t (5X2 _{– 3X +4) e) .ilmti (}

_—

_X5 2 _–

_—

_{4X )} Xo2 Xof 3X X2 +2X +3 b .) limi t f .) limi t Xo5 X– 5 Xof 4X2 _{+ 3 X – 2} X2 – 4X +3 X 2 – 6X +9 c .) limi t g .) limi t Xo1 3X2 _{+X – 2 Xo3 X}2 _{+X – 21} 4 3X + 5 d .) limi t h .) limi t Xof X+5 Xof 3X _{– 2} Jawab : a l) .imi t (5X2 _{– X3 4+ ) = 5.2}2 _{– 3 2. +4 = 18} Xo2 3X 3.5 15 b .l) imi t = = = f Xo5 X– 5 5 – 5 0 X2 _{– 4X +3 1}2 _{– 4.1 +3 0} c .) limi t = = = 0 Xo1 3X2 _{+X – 2 3.1}2 _{+1 – 2 2} 4 4 4 d .) limi t = = = 0 Xof X+5 f 5+ f e) .ilmti (

—

X5 2 _–

_—

_{4X )= (}

_—

_{5. f}2 _–

_—

_{.4 f ) = f – f} Xof

7 1 karena haslinyabentuk itdakt erdeifnisi ,makaharusdiubah dengancarasebaga ibe irkut: (

—

X5 2 +

—

X4 ) ilmi t(

—

X5 2 _–

_—

_{4X) = ilmti(}

_—

_X5 2 _–

_—

_{4X ) .} Xof Xof (

—

X5 2 ₊

_—

_{X4 )} (

—

X5 2 _–

_—

_{X4 ).(}

_—

_X5 2 ₊

_—

_{X4 ) 5X}2 _{– X4} = ilmi t = ilmti Xof (

—

X5 2 ₊

_—

_{X4 ) Xof}

_—

_X5 2 ₊

_—

_X4 u a l a k harga X disubsttiusikan pada bentuk in i masih i n if e d r e t k a t k u t n e b t a p a d i d sil agi ,makasebelumnya semua X : u ti a y ( i g g n it r e t t a k g n a p X i g a b i d u k u s 2_atau

_—

_X4₎ 5X2 _/X2 _{– X4 /X}2 menjadi: = ilmti Xof (

—

X5 2 /

—

X4+

—

X4 /

—

X4 ) 5 – 4 /X 5 – /4 f = ilmti = X of

—

5 /X2 ₊

_—

_{4 /X}3

_—

_{5 /f}2 ₊

_—

_{4 /f}3 5 – 0 5 = = = f 0+0 0 X2 _{+2X +3 f}2 _{+2.f 3+ f} f .) limi t = = t(akt erdeifnis)i Xof 4X2 _{+ 3 X – 2 4.f}2_{+3.f – 2 f} h a b u i d s u r a h a k a m , i s i n if e d r e t k a d it k u t n e b a y n li s a h a n e r a k u ti a y dengancaramembag isemuasukudenganX2_. X2 _{+2X +3 X}2 _{/ X}2 _{2+ X/ X}2 _+3/X2 limi t = ilmi t Xof 4X2 _{+ 3 X – 2 Xof 4X} 2 _/X2_{+ 3 /X X}2 _{– /2 X}2 1 2+ / X +3/X2 1 2+ / f + f3/ 2 1 +0+0 = ilmti = =

8 1 Xof 4 + 3/ X – /2 X2 4 + 3/ f – /2 f2 4 + – 0 0 =

¼

X2 _{– 6X+9 3}2 _{– 6.3 +9 0} g .) limi t = = ( t akt erdeifnisi) Xo3 X2 _{+ – X 12 3}2 _{+3 – 12 0} makaharusdiubah ,yatiu dengancaramemfaktorkannya : X2 _{– 6X+9 ( X– 3) ( X– 3) X– 3} limi t = ilmi t = ilmi t Xo3 X2 _{+ –X 12 Xo3 ( X+4)( X– 3 ) Xo3 X+ 4} 3 – 3 0 = ilmti = -- -- = 0 Xo3 3+4 7 3X _{+ 5 3}X _/3X _{+ 35/} X _{1 3+ 5/} X h .) limi t = l imi t = ilmti Xof 3X _{– 2 Xof 3}X _3/ X _{– 32/} X _{Xof 1 – 32/} X ₁₊₀ = = 1 1 – 0 c .Rangkuman 1 : t r e g n e P . ) 1 ian ,Notas idanSfiat-sfiat Limi tFungsi. a) .Limi tFungsiadalahsebuahhargabatas yangdidekat ioleh g n a y a g r a h u t a u s i t n a g i d a y n l e b a ir a v a k ij t u b e s r e t i s g n u f . u t n e tr e t a g r a h i t a k e d n e m b) .Limi tf ungs iX untukX mendekat iC dtiuils dengannotas i: ilmti f ( X) =f ( C ) X o C c) .Sfiat-sfia tilmtif ungsi: (dengan k C ,



R le ) a k = k ti m il . ) 1 ( X o C C = X ti m il . ) 2 (

9 1 X o C i m il . ) 3 ( t k. f ( X ) = k .ilmtif ( X) X o C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 4 ( + g( X)] = ilmtif ( X ) + ilmti g( X) X o C Xo C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 5 ( . g( X)] = ilmti f( X ) . ilmti g( X) X o C Xo C Xo C ) X ( f [ t i m il . ) 6 ( : g( X)] = ilmi tf ( X ) : ilmti g( X) X o C Xo C Xo C ] ) X ( f [ t i m il . ) 7 ( n = [ilmtif ( X) ]n X o C Xo C t i m il . ) 8 (

—

f( X)] =

—

ilmtif ( X) X o C Xo C Catatan :Untuksfia tnomor( 6 )asa lharga ilmti g( X )=0 X o C Untuksfia tnomor( 8) : ilmtif ( X)

>

0 X o C r a b a jl A i s g n u F t i m i L . ) 2 J ika f(X )adalah sebuah fungs iajlabar ,maka harga ilmi t : t u k ir e b i a g a b e s n a m o d e p n a g n e d i r a c i d t a p a d ) X ( f ir a d k = ) C ( f a li b a p a k = ) X ( f t i m il . ) a X o C k = ) X ( f t i m il . ) b f apablia f ( C )= X o C 0 0 = ) C ( f a li b a p a 0 = ) X ( f t i m il . ) c X o C k k ( f a li b a p a 0 = ) X ( f t i m il . ) d f ) = X o f f

0 2 = ) X ( f t i m il . ) e itdakt erde ifnisi atau itdakt ertentu apablia Xo C f 0 _{harga f ( C) adalah : ; atau ( f – f)} f 0 d. Tugas1: Htiunglah ilmtif ungsi-fungs ibeirkuti ni: X2 _{– 4 — X}4 _{– 3X}2 _{– X} 2 t i m il . ) 2 7) .ilmti - Xo 2 X2 _{– 3X +2 Xo 0 X}2 5 – — 2 – X 5 2X +1 ₃₊ ti m il . ) 3 8) .ilmti - Xo 0 X Xo f 2X _{– 1} ( ti m il . ) 4 — X2 _{3+ X – — X}2 _{– X ) 9) .ilmti ( 3X – 4 – — 9X}2 _{– )3} Xo f Xo f e .Tesf ormatfi1 : 1) .Jelaskanlah :pengeritan ,notas idansfiat-sfia tilmtif ungsi! 2) .Htiunglah ilmtif ungsi-fungs ibe irkut! X2 _{+ 2X – 51 3 4} a .) ilmti d) .ilmi t ( – ) Xo 5 X 2 _{– 25 Xo 2 X}2 _{– 4 X – 2} X2 _{– 4X+3 X}3 _{– 3X}2 _{– X + 4} b) .ilmi t e) .ilmi t - Xo 3 X2 _{– X – 6 Xo f X2} 2 _{+ 3X}3 _{– 7} 3 – — 9 – X 2 5X 1+ _{+ 7} c) .ilmti f) .ilmti Xo 0 5 X Xo f 5X _{– 02} .f Kunc iJawabTesFormatfi : 1 .) 1 Limi tFungsi adalah sebuah harga batas yang didekat ioleh g n a y n a g n a li b u t a u s i t n a g i d a y n l e b a ir a v a k ij t u b e s r e t i s g n u f . u t n e tr e t a g r a h i t a k e d n e m Limi tf ungs iX untukX mendekat iC i s a t o n n a g n e d s il u ti d : ilmti f ( X) =f ( C ) X o C

1 2 Limtif ungs imempunya isfiat- asfi tsepetr isfiat-sfia toperas i . n a t s n o k n a g n a li b r a b a jl a a / k it a m ti r a .2 a .) ) f c .) 1/15 e .) 1 /3 b ) . 2/5 d .) f )f . 5 2 . KegiatanBelaja r2 : Limi tFungs iT irgonomet ir a .TujuanKegiatanBelaja r2 : Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan ilmi tfungs i .i rt e m o n o g ir t b .UraianMate ir 2 : Limi tFungs iT irgonomet ir

Dengan ide dasa r ilmi tyang sama dengan ilmi tFungs i m a l a d i d a k a m , a y n m u l e b e s n a k i a r u i d a n a m i a g a b e s r a b a jl A s u m u r t a p a d i d i rt e m o n o g ir T -rumusdasa rsebaga ibe irkut: sinX X ti m il . 1 = 1 atau ilmi t = 1 Xo 0 X Xo 0 sinX tgX X ti m il . 2 = 1 atau ilmti = 1 Xo 0 X Xo 0 t gX Kedua r umus t ersebu tdapa td ipe lruasmenjad isebaga ibe irkut : sinaX a X t i m il . 3 =1 atau ilmi t = 1 Xo 0 aX Xo 0 sinaX tgaX aX t i m il . 4 =1 atau ilmi t = 1 Xo 0 aX Xo0 t gaX nsi n_{aX a} n _X n

2 2 t i m il . 5 =1 a uta ilmi t 1= Xo 0 a n _X n _{Xo0 sin}n _Xa tgn_{aX a} n _X n t i m il . 6 =1 atau ilmi t 1 = Xo 0 a n _X n _{Xo0 t g} n _Xa Contoh : Tentukan ilmtif ungs i– fungs id ibawah i n i : sin3X t Xg6 t i m il . 1 --- 3 .ilmi t --- Xo 0 X Xo0 sin7X tgX s ni 2 _3X 2. ilmi t --- 4 .ilmti --- Xo 0 5X Xo0 7X2 Jawab : sin3X sin3X 3 1. ilmi t = ilmti . = 1. 3 =3 Xo0 X Xo0 3X 1 tg4X t g4X 4 4 4 2 . ilmi t = ilmi t ˜ = 1. = - Xo 0 5X Xo 0 4X 5 5 5 t g6X 7X t 6X g 6 6 6 3. ilmti = ilmti ˜ ˜ = 1˜1˜ = - Xo0 sin7X Xo0 sin7X 6X 7 7 7 s ni 2 _{3 X sin}2 _{3X 9} 4. ilmti = ilmi t . - Xo0 7X2 _{Xo 0 9X}2 ₇ 9 9 = 1 . = - 7 7 c .Rangkuman 2 : Limi tFungs iT irgonomert isecaraga irsbesa rdapa tdibedakan n e m aj d iduar umusumum : (ijka adannadalah blianganr ii l ) sin n_{aX a} n _X n 1 .ilmi t =1 atau ilmi t 1=

3 2 Xo 0 a n _X n _{Xo0 sin}n _Xa tgn_{aX a} n _X n 2 .ilmi t =1 atau ilmi t 1= Xo 0 a n _X n _{Xo0 t g} n _Xa .d Tugas 2 : Htiunglah ilmtif ungs i– fungsiTirgonomert ibe irkuti n i : tg X 1+cos2X ti m il . 1 --- --- 6. ilmti --- --- X o0 sin3X Xo0 cosX tg 5X sinX– cosX t i m il . 2 --- 7. ilmi t --- --- Xo0 3X Xo 0 1– sin2X sin 2X+t g2X 1– cos2X 3. ilmti --- --- --- --- 8. ilmi t -- --- X o0 1/2 X2 Xo 0 X2 1 – cos X 9. ilmi t ( X– 5) .cotg( X– 5 ) 4. ilmi t ---- --- Xo 5 X o0 X2 sinX .sin3X X .sinX _{5. ilmi t ---- -------- ----- 10. ilmti -------- --- ------} Xo0 1– cos4X X o0 1– cos4X e .Tesf ormatfi 2 : Htiunglah ilmtif ungs i– fungs iT irgonomert ibe irkuti ni ns 3i X 1). ilmti ---- --- -- 4 ). ilmti ( X – )2 cosec( X– )2 Xo 0 gt 8X Xo2 tg3 2X sin3X. sin4X 2). ilmi t --- 5). ilmi t -- --- --- --- Xo 0 5X3 _{Xo0 1 – sc 0o 1 X} sin 2_{3X+t g}2 _{4X 1– cos 7 X} 3). ilmti ---- ---- --- ) 6 . ilmi t --- X o0 5 X2 _{Xo 0 4 X}2

4 2 f .Kunc iJawabTesFormatfi : 2 1 .) 3/8 4.) 1 )2 . 8/5 5) . 6 /25 3 .) 5 6) . 61 /8 3 . KegiatanBelaja r3 : KonitnyutiasSebuah Fungsi a .TujuanKegiatanBelaja r3 : Mahasiswadapa tmenyelesaikan permasalahankonitnyutias .i s g n u f h a u b e s b .UraianMate ir 3 : Kon itnyutiasSebuah Fungsi Sebuah f ungs i f(X )dikatakan konitnyu d i ititk X = C apablia t a r a y s i h u n e m e m -syara td ibawahi n i : . a f( C)t erdeifnisi ,aritnya hargaf ( C )ada. . b ilmi t f (X) j ugaada X o C c . ilmi t f (X) = f (C ) X o C Kalau salah satu atau lebih dar ikeitga syara td iatas itdak d g n a y i s g n u f a k a m , i h u n e p i d emikian dikatakan sebaga i fungs i g n a y diskonitnyu ( itdak kon itnyu )d iX= C. Selanjutnyaf ungs iyang . u y n it n o k i s g n u f i a g a b e s t u b e s i d k it it p a it e s i d u y n it n o k Contoh : a. Fungsif ( X )=X2_{+3konitnyud iseitap ititk ,sebabuntukseitap} X=Cselaludipenuh isyarat-syara tkekonitnyuansebuahf ungsi . X 2 b .Fungs if ( X )=--- -- sdi konitnyud iititk X=2 ,sebab f ( 2) = --- X – 2 0 sehingga f ( 2 ) itdak t erdeifnisi .

5 2 X2_{+ 2 6} . c Fungsif ( X )= --- diskonitnyu di X=2 , sebab f (2) = - X – 2 0 yangbera tr iitdakt e trentumeskipun ilmi tf ( X )untuk Xo 2 ada. Selanjutnya dengan memperhaitkan persyaratan konitnyutias l a v r e t n i n a k u t n e ti d a g u j t a p a d , i s g n u f u t a u s -interva l d i mana n o k k a d it i s g n u f h a u b e s itnyu. Contoh: Padai nterva lmanakahf ungsi-fungs ibe irkut sdi konitnyu. 4 . ) 1 f( X )=

—

X - 2 2 .) f( X )= -- --- --

—

X - 9 ² Jawab :1) .f ( X )=

—

X - 2 ) X ( f a li b u y n it n o k k a d it g n a y i s g n u f i d a j n e m n a k a ) X ( f h a w a b i d a k ij i d a jr e t u ti a y , )l a y a h k ( a y n a g r a h a d a k a d it fi t a g e n a g r a h r e b r a k a , sehingga: X- 2<0 o X<2 ) X ( f i d a J diskonitnyupadai nterva l : {X

|

X<2 } 4 2) . f( X )= --- ---

—

X - 9 ² Fungsii n iakandiskonitnyu ijka X ²- 9 ≤ 0 ² X - 9≤ 0 X ( - )3 . (X+3 )≤ 0 - 3≤ X≤ 3 Jadif ( X ) sdi konitnyupadai nterval: X {

¨

- 3 ≤ X ≤ } 3 c .Rangkuman3 : Sebuah f ungs i f(X )dikatakan konitnyu d i ititk X =C t a r a y s i h u n e m e m a li b a p a -syara td ibawahi n i :

6 2 . a f( C)t erdeifnisi ,aritnya hargaf ( C )ada. . b ilmi t f (X) j ugaada X o 0 c . ilmi t f (X) = f (C ) X o 0 Kalau salah satu atau l ebih dar ikeitga syara td iatas itdak i s g n u f i a g a b e s n a k a t a k i d n a i k i m e d g n a y i s g n u f a k a m , i h u n e p i d i s g n u f a y n t u j n a l e S . C = X i d ) u y n it n o k k a d it ( u y n it n o k s i d g n a y u y n it n o k i s g n u f i a g a b e s t u b e s i d k it it p a it e s i d u y n it n o k g n a y d .Tugas3 : 1) .Manakah fungsi-fungs i be irku t in i yang merupakan fungs i u y n it n o k d iseitap ititk ,dant unjukkanbukitnya .? a. f (X ) = X + 2 X2 4+ b. f (X ) = --- --- X – 2 X2 _{+ 2X + 8} c. f (X ) = --- --- -- X + 4 2) .Pada ititk atau i nterva lmanakah f ungsi-fungs ibe irkuti n i itdak ? u y n it n o k X X3 _{+ 2 7} a .) f (X) = --- c. f (X) = - - --- X – 2 X– 3 5 – X 1 X2 _{– 25} b) .f ( X) = - --- d. f (X) = - -- --- --- — 3 – X 2 X2 – 3 – 0X 1 e .Tesf ormatfi 3 : .1) Katakanlah fungs -ifungs ibe irku tin ikonitnyu atau itdak ,dan . ? a y n it k u b n a k k u j n u t