l u d o M e d o K MAT. TKF 02 1- 02
F
a
k
u
tl
a
s
T
e
k
n
i
k
U
N
Y
J
u
r
u
s
a
n
P
e
n
d
i
d
i
k
a
n
T
e
k
n
i
k
O
t
o
m
o
t
fi
I
S
A
I
S
N
E
R
E
F
I
D
F
U
N
G
S
I
V
h
r
wV w V 2 = S r h dan = S r2 wr w h : n u s u y n e P . T . M , . d P . M , i b u t r a M ) 4 P S ( n a r a g g n a g n e P n a d m a r g o r P n a n u s u y n e P n a a n a c n e r e P m e t s i Sfi
t
o
m
o
t
O
k
i
n
k
e
T
n
a
k
i
d
i
d
n
e
P
n
a
s
u
r
u
J
0
0
2 5
2
P
A
T
A
K
E
N
G
A
N
T
A
R
Modu l dengan judu l Dfierensiasi Fungsi in i digunakan sebaga i u t a s h a l a s k u t n e b m e m k u t n u h a il u k n a t a i g e k m a l a d n a u d n a p s -ub : u ti a y , i s n e t e p m o k “Menggunakan konsep ,sfiat ,dan manipulas iajlaba r h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d dfierensiasi fungs “. i Modu l in i dapa t i d a k it a m e t a M h a il u k a tr e s e p a u m e s k u t n u n a k a n u g i d Semeste rI pada i d u t S m a r g o r P Pendidikan Teknik Otomoit fFakutlas Teknik Universtias . a tr a k a y g o Y i r e g e N Pada modu l in i disaijkan konsep dasa r Dfierensiasi Fungsi dan l a s a m r e p ahannya yang banyak djiumpa idalam penerapannya d ibidang . s it k a r p n u p u a m s it ir o e t a r a c e s k i a b , k i n k e t Modul i n iterdri iatas empat . r a j a l e b n a t a i g e k Kegiatan belaja r1 membahas tentang : Dfierensiasi A i s g n u F jlabar . Kegiatan belaja r 2 membahas tentang: Dfierensiasi i s g n u F -fungs i Transenden. Kegiatan belaja r 3 membahas tentang : i s a i s n e r e fi D Logartimik ,Persamaan Parametirk dan Dfierensia lParsial . r a j a l e b n a t a i g e K 4 membahast entang :Apilkas iDfierensias iFungsi Untuk dapa t mempelajar i modu l in i dengan mudah mahasiswa g n a t n e t n a m a h a m e p n a d n a u h a t e g n e p i a y n u p m e m h a l e t n a k p a r a h i d p e s n o k -konsep dasa ryang menunjangnya ,dalamhali nit erutama konsep g n a t n e t FungsiAjlaba rd anFungsi-fungs iTransendendanGeomet ir. Yogyaka tra, Oktobe r 2005 Penyusun Ma trubi ,M.Pd. ,M.T.3
L
U
D
O
M
I
S
I
R
A
T
F
A
D
n a m a l a H L U P M A S N A M A L A H ... 1 R A T N A G N E P A T A K ... 2 I S I R A T F A D ... . 3 Y R A S S O L G / N A H A L I T S I R E P .... ... 5 N A U L U H A D N E P . I ... 7 A .Desk irps i... . 7 B .Prasyarat ... .7 C .PetunjukPenggunaan Modul... .8 1 .Petunjuk bag imahasiswa ... 8 2 .Petunjuk bagidosen ... .8 D .Tujuan Akhri ... ... 9 E .Kompetensi . ... ... .. 9 F .CekKemampuan. ... .1 1 N A R A J A L E B M E P . II ... .... . .. 21 A .RencanaBelaja rMahasiswa ... 21 B .KegiatanBelajar... 21 1 .KegiatanBelaja r1 ... 21 n a t a i g e k n a u j u T . a belajar 1 ... ... 2.. 1 i r e t a m n a i a r U . b ... ... 31 1 n a m u k g n a R . c ... 18 1 s a g u T . d ... 19 1 f it a m r o f s e T . e ... .19 b a w a j i c n u K . f t esformait f1 .. ... 024 Halaman 2 .KegiatanBelaja r2 ... 02 2 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a ... 02 2 i r e t a m n a i a r U . b ... 12 2 n a m u k g n a R . c ... . 82 2 s a g u T . d ... 03 fi t a m r o f s e T . e 2 ... ... 13 b a w a j i c n u K . f t esformatfi 2... ... 23 3 .KegiatanBelaja r3 ... . 23 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a 3 ... . 23 i r e t a m n a i a r U . b 3 ... . 33 n a m u k g n a R . c 3 ... . 39 s a g u T . d 3 ... . 04 fi t a m r o f s e T . e 3. ... . 14 b a w a j i c n u K . f t esformatfi 3... . 41 4 .KegiatanBelaja r4 ... .4 2 r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T . a 4 ... .4 2 i r e t a m n a i a r U . b 4 ... .4 3 n a m u k g n a R . c 4 ... .5 8 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4 s a g u T . d 6 0 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4 f it a m r o f s e T . e 6 1 b a w a j i c n u K . f t esformatfi 4... . 26 I S A U L A V E . II I ... .. 3.... 6 A .Pe tranyaan ... .. 3.. 6 n a b a w a J i c n u K . B ... 46 C .Krtie iraKelulusan... 56 E P . V I NUTUP ... 66 A K A T S U P R A T F A D ... 67
5
/
N
A
H
A
L
I
T
S
I
R
E
P
G
L
O
S
S
A
R
Y
e v it a v ir e D / i s a i s n e r e fi D Fungsi :adalah fungsi l ain yang merupakan . n a t u k g n a s r e b g n a y i s g n u f ir a d n a n u r u t l a i s r a P l a s a i s n e r e fi D :adalah dfierensia ldar isebuah f ungsi t erhadap a y n n i a l l e b a ir a v p a g g n a g n e m n a g n e d a y n l e b a ir a v u t a s h a l a s . h i b e l u a t a l e b a ir a v a u d i a y n u p m e m u ti i s g n u f a k ij n a t s n o k i Dferensias iLogartimik :adalah caramendfierensialkan sebuahf ungs i t a fi s n a k r a s a d r e b -sfia tdant urunanf ungsil ogartima. i s g n u F Ajlabar :adalah sebuah fungs iyang menunjukkan hubungan h a s i p r e t a r a c e s h i b e l u a t a l e b a ir a v h a u b a u d i r a d r a b a jl a a r a c e s . l a i s n e n o p s k E i s g n u F : adalah sebuah fungs i yang merupakan n i a l i s g n u f/ l e b a ir a v u t a u s n a g n e d n a g n a li b u t a u s n a t a k g n a p r e p u t n e tr e t . k il o b r e p i H i s g n u F : adalah sebuah fungs iyang mempunya isasaran a l o b r e p i h u t a u s m a l a d i d l e b a ir a v h a u b e s . i s g n u F Impilsit :adalah sebuah fungs iyang menunjukkan hubungan n a k h a s i p i d u lr e p k a d it /t a p a d k a d it g n a y ) t a ri s r e t ( t i s il p m i a r a c e s . a d e b r e b g n a y s a u r m a l a d a m ti r a g o L i s g n u F : adalah sebuah fungs iyang merupakan logartima l a i s n e n o p s k e i s g n u f h a u b e s i r a d .6 i s g n u F Majemuk :adalah sebuah fungs iyang merupakan fungs idar i . a y n n i a l i s g n u f i r t e m o n o g ir T i s g n u F : adalah sebuahf ungs iyang harganyadtientukan n a r a k g n il u t a u s m a l a d i d u t n e tr e t t u d u s u t a u s a g r a h h e l o . n e i d a r G : adalah sebuah istliah untuk menunjukkan kemiirngan suatu u t n e tr e t s ir a g . k ir t e m a r a P n a a m a s r e P : adalah sebuah hubungan dua buah va irabe l a y n a r a t n a r e p /r e t e m a r a p n a k a p u r e m g n a y a g it e k l e b a ir a v i u l a l e m .
7
I
B
A
B
N
A
U
L
U
H
A
D
N
E
P
i s p ir k s e D . A Modu ldengan j udu lDfierensias iFungsi in imembahas tentang r a s a d p e s n o k Dfierensiasi Fungs i se tra permasalahannya yang a r a c e s k i a b , k i n k e t g n a d i b i d a y n n a p a r e n e p m a l a d i a p m u ji d k a y n a b . s it k a r p n u p u a m s it ir o e t Mater iyangdipelaja ir mencakup :Dfierensiasi r a b a jl A i s g n u F , DfierensiasiFungsi-fungs iTransenden, Dfierensiasi a tr e s l a i s r a P l a a i s n e r e fi D n a d k ir t e m a r a P n a a m a s r e P , k i m ti r a g o L i s g n u F i s a i s n e r e fi D i s a k il p A Modu lin iterdri iatas empat kegiatan belajar .Kegiatan belaja r1 : g n a t n e t s a h a b m e m Dfierensiasi Fungs iAjlabar .Kegiatan belaja r2 : g n a t n e t s a h a b m e m Dfierensiasi Fungsi-fungs iTransenden. Kegiatan : g n a t n e t s a h a b m e m 3 r a j a l e b Dfierensiasi Logartimik ,Persamaan . l a i s r a P l a i s n e r e fi D n a d k ir t e m a r a P Kegiatan belaja r4 membahas : g n a t n e t ApilkasiDfierensias iFungsi Pada seitap kegiatan belaja rselalu dliengkap idengan contoh soa l n a h it a l a tr e s e b a y n n a s a h a b m e p n a d -la ithan sepe lrunya untuk . n a k p a r a h i d g n a y i s n e t e p m o k i a p a c n e m m a l a d a w s i s a h a m u t n a b m e m Setelah selesai mempelajar i modu l in i mahasiswa diharapkan i s n e t e p m o k b u s i a y n u p m e m “Menggunakan konsep , sfiat , dan h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m dfierensias ifungs“i t a r a y s a r P . B Modul i n ibe irs imate ir-mater iyang meme lrukan dukungan mater i g n a y n i a l semesitnya telah dipelajar isebelumnya . Adapun mate ir -l e t a y n s u r a h e s g n a y r a s a d i r e t a m ah dfiaham ioleh pese tra kuilah id p e s n o k h a l a d a a m a t u r e t f it o m o t O k i n k e T n a k i d i d n e P n a s u r u J dasa r : g n a t n e t FungsiAjlaba rd anFungsi-fungs iTransendendanGeomet ir.8 l u d o M n a a n u g g n e P k u j n u t e P . C 1 .Petunjukbag iMahasiswa Aga rdiperoleh hasi lbelaja ryang maksimal ,maka dalam u lr e p g n a y r u d e s o r p a p a r e b e b a d a i n i l u d o m n a k a n u g g n e m : n i a l a r a t n a n a k a n a s k a li d n a d , n a k it a h r e p i d h a l a c a B . a dan faham idengan seksama uraian konsep-konsep a l u p i m a h a f n a i d u m e k , i n i l u d o m a d a p n a k ij a s i d g n a y s it ir o e t p e s n o k n a p a r e n e p -konsep tersebu t dalam contoh-contoh soa l i r e t a m a d a h i s a m a s k a p r e t a li B . a y n n a i a s e l e y n e p a r a c a tr e s e b m u l e b n a d s a l e j g n a r u k g n a y bisa dfiaham idengan baik para u p m a g n e m g n a y n e s o d a d a p e k n a k a y n a n e m t a p a d a w s i s a h a m . n a h a il u k r e p n a t a i g e k , ir i d n a m a r a c e s ) n a h it a l l a o s ( f it a m r o f s a g u t p a it e s n a k a jr e k a b o C . b r a s e b a p a r e b e s i u h a t e g n e m k u t n u n a k d u s k a m i d i n i l a h i m i d h a l e t g n a y n a m a h a m e p ilk i seitap mahasiswa terhadap ir e t a m -mater iyangdibahaspadaseitapkegiatanbelaja .r i r e t a m i a s a u g n e m m u l e b a w s i s a h a m a y n n a a t a y n e k m a l a d a li b a p A . c n a d a c a b m e m i g a l i g n a l u a b o c , n a k p a r a h i d g n a y l e v e l a d a p n a h it a l i g a l n a k a jr e g n e m -laithannya dan kalau pe lru be tranyalah g n a y n a h a il u k r e p n a t a i g e k u p m a g n e m g n a y n e s o d a d a p e k n a k u lr e m e m n a t u k g n a s r e b g n a y i r e t a m u a l a K . n a t u k g n a s r e b t a r a y s a r p a w h a b n a k n i k a y a k a m ) t a r a y s a r p ( l a w a n a m a h a m e p r a n e b d u s k a m i d g n a y -bena rsudahdipenuh.i 2 .PetunjukBag iDosen Dalam seitapkegiatanperkuilahan ,dosenmempunyait ugasdan : k u t n u n a r e p a. Membantumahasiswa dalammerencanakanprosesbelaja .r b. Membimbing mahasiswa melalu itugas-tugas atau l aithan-la ithan .r a j a l e b b a h a t m a l a d n a k s a l e ji d g n a y
9 c. Membantu mahasiswa dalam memaham i konsep baru dan . n a k u lr e p i d a li b a p a a w s i s a h a m n a a y n a tr e p b a w a j n e m d. Membantumahasiswa untuk mengaksessumbe rbelajarl ainyang . n a k u lr e p i d e. Mengorganisi rkegiatanbelaja rkelompok ijkadipe lrukan. f. Merencanakanseorangahl/idosenpendamping ijkadipe lrukan. g. Mengadakan evaluas i terhadap pencapaian kompetens i . n a k u t n e ti d h a l e t g n a y a w s i s a h a m Evaluasit ersebu tpelaksanaan- .r a j a l e b n a t a i g e k r i h k a p a it e s a d a p a y n ri h k A n a u j u T . D Setelah mempelajar iseluruh mater ikegiatan belaja rdalam modu l n a k p a r a h i d a w s i s a h a m i n i dapa t: “Menggunakan konsep ,sfiat ,dan h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m dfierensiasifungs“i. i s n e t e p m o K . E Modu lMAT .TKF 02 1-02 dengan j udu lDfierensiasi Fungsi iin e b m e m a k g n a r m a l a d n u s u s i d ntuk s -ub kompetens i “Menggunakan h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m n a d , t a fi s , p e s n o k i s a i s n e r e fi d fungs“i. Untuk mencapa is -ub kompetens itersebut ,te lrebih dahulu harus b u s i a p a c i d t a p a d -sub kompetens i bese tra krtie ira unjuk ke jranya a l e m lu i ilngkup belaja rdengan mater ipokok pembelajaran sebaga i t u k ir e b :
0 1 b u S i s n e t e p m o K UnKjurktieKireajra LBineglakjuarp n a r a j a l e b m e P k o k o P i r e t a M p a k i S Pengetahuan Ketramplian a n u g g n e M , p e s n o k n a k n a d n a r u t a i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m i s a i s n e r e fi d i s g n u f . 1.Menjelaskan n o k / n a it r e g n e p -n a d i s a t o n p e s t a fi s -sfiat dfie -. i s g n u f i s a i s n e r 2 .Menyelesaikan e fi d h a l a s a m r -en i s g n u f i s a i s .r a b a jl a n a k i a s e l e y n e M . 3 e fi d h a l a s a m r - en i s g n u f i s a i s k u m e j a m n a k i a s e l e y n e M . 4 a l a s a m h edfi r -en i s g n u f i s a i s .t i s il p m i n a k i a s e l e y n e M . 5 e fi d h a l a s a m r - en o g ir t i s g n u f i s a i s i rt e m o n dan . a y n s r e v n i n a k i a s e l e y n e M . 6 e fi d h a l a s a m r -en i s g n u f i s a i s k il o b r e p i h dan . a y n s r e v n i n a k i a s e l e y n e M . 7 e fi d h a l a s a m r -en i s g n u f i s a i s .l a i s n e n o p s k e n e M . 8 yelesaikan e fi d h a l a s a m i s g n u f i s a i s n e r . a m ti r a g o l n a k i a s e l e y n e M . 9 e fi d h a l a s a m r -en ti r a g o l i s a i s n e r -k i m danpersa- n a a m parametirk . 0 1 Menyelesaikan n e r e fi d h a l a s a m -.l a i s r a p l a i s a i s n a k p a r e n e M . 1 1 n e r e fi d p e s n o k a s a m a d a p i s a i s s ir t e m o e g h a l n a d masalah / m u m i s k a m .i s g n u f m u m i n i m 12 .Menerapkan n e r e fi d p e s n o k k u t n u l a i s r a p l a i s g n u ti h g n e m p -er u t a u s n a h a b u .i s g n u f , n a it r e g n e P . 1 notas idan t a fi s -sfiat i s a i s n e r e fi d . i s g n u f 22 . eDfi rensias i i s g n u f .r a b a jl a .3 eDfi rensias i s g n u f i majemuk .4 eDfi rensias i i s g n u f impilsi.t e fi D . 5 rensias i i s g n u f tirgo- n a d i rt e m o n a y n s r e v n i e fi D . 6 rensias i i s g n u f hiper- n a d k il o b a y n s r e v n i e fi D . 7 rensias i i s g n u f se - k l a i s n e n o p i s a i s n e r e fi D . 8 i s g n u f logairtma. i s a i s n e r e fi D . 9 k i m ti r a g o l n a d persa n a a m p aar -k ir t e m . 0 1 Dfierens ial l a i s r a p n a p a r e n e P . 1 1 p e s n o k i s a i s n e r e fi d i s g n u f 2 1 .Penerapan p e s n o k l a i s n e r e fi d l a i s r a p Telti idan t a m r e c m a l a d s il u n e m l o b m i s n a d a l e m k -u r e p n a k -n a g n u ti h 1.Pengeritan , notas idan t a fi s -sfiat i s a i s n e r e fi d . i s g n u f 22 . eDfi rensias i i s g n u f .r a b a jl a .3 eDfi rensias i i s g n u f majemuk .4 eDfi rensias i i s g n u f impilsi.t e fi D . 5 rensias i i s g n u f tirgo- n a d i rt e m o n a y n s r e v n i e fi D . 6 rensias i i s g n u f hiper- n a d k il o b a y n s r e v n i e fi D . 7 rensias i i s g n u f se - k l a i s n e n o p i s a i s n e r e fi D . 8 i s g n u f logartima. i s a i s n e r e fi D . 9 k i m ti r a g o l n a d persa n a a m p aar -k ir t e m . 0 1 Dfierens ial l a i s r a p n a p a r e n e P . 1 1 konsep dfierensias i i s g n u f n a p a r e n e P . 2 1 konsep dfierensial l a i s r a p g n u ti h g n e M n a g n e d r u d e s o r p l i s a h n a d r a n e b g n a y
1 1 F .CekKemampuan Sebelum mempelajar iModulMAT .TKF201 – 02 i ni , i sliahdengan ( k e c a d n a t )petranyaan yang menunjukkan kompetens iyang telah : n a k b a w a j g n u g g n a tr e p i d t a p a d n a d r u j u j n a g n e d a w s i s a h a m i k ili m i d b u S i s n e t e p m o K Pertanyaan n a b a w a J BliaJawaban“Ya“ n a k a jr e K aY Tidak a n u g g n e M , p e s n o k n a k n a d n a r u t a i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m i s a i s n e r e fi d i s g n u f . / n a it r e g n e p n a k s a l e j n e m u p m a m a y a S . 1 t a fi s n a d i s a t o n p e s n o k -sfiat dfieren -.i s g n u f i s a i s 1 f it a m r o F s e T 1 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 2 - lahan dfierensiasif ungsi ajlaba.r TNeosmFoor rm :2a :ita f,b 1,c ,e a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 3 - lahan dfierensiasif ungsi majemuk. TNeosmFoorrm: a2it: ff 1 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 4 - lahan dfierensiasif ungs ii mpilsi.t TNeosmFoorrm: a2it : fd 1 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 5 - lahan dfierensiasif ungs itirgonometir dani nversnya. 2 f it a m r o F s e T 0 1 , 9 , 4 , 3 , 2 , 1 : o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 6 - lahan dfierensiasif ungs ihiperboilkdan inversnya. 2 f it a m r o F s e T 3 1 , 5 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 7 - lahan dfierensiasif ungs ieksponensia.l TNeosmFoor rm :6a,1it1 f, 122 ,14 a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 8 - lahan dfierensiasif ungsil ogartima. TNeosmFoor rm :7a,8it, f1 52,16 . 9 Sayadapa tmenyelesaikanpermasa- lahan dfierensiasil ogartimikdan persamaanparametirk. 3 f it a m r o F s e T 2 , 1 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 0 1 - lahan edfi rensia lparsial TNeosmFoorrm: a3it f 3 a d a y a S . 1 1 pa tmenerapkankonsep h a l a s a m a d a p i s g n u f i s a i s n e r e fi d m u m i n i m / m u m i s k a m n a d s ir t e m o e g .i s g n u f 4 fi t a m r o F s e T 3 , 2 , 1 : r o m o N p e s n o k n a k p a r e n e m t a p a d a y a S . 2 1 s r a p l a i s n e r e fi d ia ldalam g n a y n a h a l a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m . n a v e l e r 4 f it a m r o F s e T 5 , 4 : r o m o N b a w a j n e m a w s i s a h a m a li b a p A Tidak makapelajar imoduli ni b a w a ji d g n a y i r e t a m i a u s e s Tidak tersebu.t
2 1
II
B
A
B
N
A
R
A
J
A
L
E
B
M
E
P
a w s i s a h a M r a j a l e B a n a c n e R . A Bualtah rencana kegiatan belaja rdengan mengis itabe ld ibawah .i a s e l e s h a l e t e s n e s o d a d a p e k r a j a l e b i t k u b h a l a t n i m n a d i n i n a t a i g e K s i n e J Tanggal Waktu TBeemlapjaar t PeArluabsaahnan DPoasraen f i s a t o n n a d , n a it r e g n e P . 1 i s g n u f i s a i s n e r e fi d . .2 Dfierensiasif ungs iajlabar . .3 Dfierensiasif ungs imajemuk . 4 Dfierensiasif ungsii mpilsti .5 Dfierensiasif ungs itirgono- mert idani nversnya. .6 Dfierensiasif ungs ihiperboilk dani nversnya. .7 Dfierensiasif ungs iekspo- .l a i s n e n .9 Dfierensiasif ungsil ogartima. . 0 1 Dfierensisil ogartimikdan k ir t e m a r a p n a a m s r e p . 1 1 Dfierensia lparsial i s a k il p A . 2 1 dfierensiasif ungsi i s a k il p A . 3 1 dfierensia lparsial .r a j a l e B n a t a i g e K . B 1 .KegiatanBelaja r1 :Dfierensiasi Fungs iAjlabar a .TujuanKegiatanBelaja r1: 1 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i s g n u f .3 1 2 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi . r a b a jl a i s g n u f 3 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i s g n u f majemuk . 4 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi fungs iimpilsti . b .UraianMate ir 1: i s a i s n e r e fi D i s a t o N n a d , n a it r e g n e P . ) 1 Fungsi. Deferensias i (De irvaitve /Turunan ) suatu fungs i f(X) f “ : a c a b ( ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f h a l a d a aksen X ” )yang nliainya g n a r a b m e s a d a p blianganXadalah: f( X+h )– f )( X ’f( X )= ilmi t h o 0 h t i m il a k i J . a d a g n a m e m t u b e s r e t t i m il a g r a h n a t a t a c n a g n e d d a g n a m e m t u b e s r e t a .Jika ilmi ttersebu tmemang ada , maka f a w h a b n a k a t a k i d (X )tetrurunkan /terdeferensiasikan /terde ir -. X i d n a k e v it a v JikaY f = )( X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t dY df u ti d ilsY ‘=f ' ( X) atau dengan notas iLeibniz: -- --- atau dX d X n a n u r u t k u t n u a y n t u j n a l e S keduadanseterusnya itnggalmenye- d2Y u ti a y , n a k i a u s atau Y”danseterusnya. dX2 Contoh PenerapanKonsep Dfierensiasi Fungsi . Untuk mempe jrelas konsep dfierensias i fungs i sebagai -n a k ir e b i d i n i t u k ir e b a k a m , s a t a i d n a k t u b e s i d h a l e t a n a m . a y n a p a r e n e p h o t n o c a p a r e b e b
4 1 .) a Jika (fX )=13X– 6 t entukanlah f' )( 4 b a w a J :f ( X) =13X– 6 (fX+h) – f( X) f('X )= ilmti ho0 h ) h + 4 ( f – f( 4 ) ti m il = ) 4 ( ' f ho0 h 13( 4+h )– 6 – 13( 4 )+6 = ilmi t - ho0 h 13 .h = ilmti = ilmi t13 = 1 3 ho0 h ho0 .) b Carliah f'(C) ijkadiketahuif ( X )=4X2 – 7X+8 b a w a J :f ( X )=4X2 – 7X+8 f( X+h )– f( X) ti m il = ) X ( ' f ho0 h f (C+h )– f( C) ti m il = ) C ( ' f ho0 h 4 (C+h) 2 –7( C+h )+8– C(4 2 – 7C+8) = ilmti - ho0 h 4C2 +8Ch+ 4h2 – 7C+8– C4 2 +7C– 8 ti m il = ho0 h C 8 ( ti m il = – 7 +4h ) = 8 - 7 C ho 0 1 ) c . Tentukanlah f('X )ijka (fX )= - X 1 Jawab: (fX) = X
5 1 (fX+h )– )(f X f('X) = ilmti ho0 h 1 1 1 f('X) = ilmi t – ho0 h X+h X 1 X– (X+h ) = ilmti ho0 h X. (X+h) – 1 = ilmi t - ho0 X2 X+ h – 1 = = – X–2 X2 ==== s u m u R – RumusDasa rTurunanFungs iAjlabar Berdasarkan konsep penurunan sebuah fungs imelalu icara a li b a k a m , ) a y n ti m il g n u ti h g n e m ( s a t a i d n a k i a r u i d h a l e t g n a y : t u k ir e b i a g a b e s r a s a d s u m u r u k a lr e b a t a y n r e t n a k it a h r e p i d Jika Y=f ( X ) ;U=g( X ) ;V=h( X) dan Y '= f('X) C=konstanta; n=blianganr lii 1. Y=C Y '=0 2. Y=CX Y '=C 3. Y=Xn Y '=nX n - 1 4. Y=kXn Y '=knXn - 1 5. Y=U+V Y '=U '+V' 6. Y=U– V Y '=U '– 'V 7. Y=U .V Y '=U'V+UV' U U – 'V U V' 8. Y= Y '= V V2
6 1 Contoh: . ) a JikaY=5 maka Y ’= 0 . ) b JikaY=6X maka Y’ = 6 . ) c JikaY=X7 maka Y ’ = 7X6 . ) d JikaY=8X4 maka Y ’ = 32X3 . ) e JikaY=6X3+7X2 maka Y ’ = 18X2+14X )f. JikaY=5X4 – X3 3 maka Y ’ = 20X3 – X9 2 )g . JikaY = (3X2 – 4X) ( 5X+6 ) maka Y ’= (6X– 4 ) (5X+6 )+ (3X2 – 4X) ( 5) =30X2+16X– 24+15X2 – X2 0 =45X2 – 4 – 4X 2 3 – X 5 3 (X2+7 )– 2X (3X– 5 ) )h . Jika Y= - makaY’ = X2+7 (X2+7 ) 2 – X3 2+10X+21 = X4+14X2+49 TurunanFungs iMajemuk (Dail lRanta iTurunan ) JikaY= f (U )danU=g (X )makat urunanYt erhadapX: t a k g n it n u p a p a r e b / g n a r a b m e s k u t n u u k a lr e b i n i p i s n ir P . n a k n u r u t i d g n a y i s g n u f n a k u m e j a m e k h o t n o C : a) .Y = (3X ) 4 10 Y ’=10 (3X– ) 4 9 .3 = 30 (3X– ) 4 9 = Y . ) b √X2+4X 7 = (X2+4X ) 7 ½ Y d = (2X+4 .)½ (X2 +4X ) 7 --½ = (X+2 .) (X2+4X– ) 7 -- ½ d X dY dY dU = . atau Y’ (X )=Y’ (U ) .U’ ( X) dX dU dX
7 1 Turunan (Dfierensiasi Fungs i )I mpilsti Jika Y = X2 + 5X + 6 ;Y t erde ifnisikan sepenuhnya oleh X , Y a k a m disebu tsebaga ifungs i “ekspilsti ”dar i X .Tetap iada X n a g n e d Y n a k h a s i m e m ) u lr e p k a d it ( t a p a d k a d it a ti k a y n a l a k m a l a d rumus yang berbeda misalnya pada bentuk : X2 +2XY +3Y2= 4 .Dalamha lsemacam i n idikatakan Ysebaga i ) X ( f = Y k u t n e b m a l a d n a g n u b u h a n e r a k , X i r a d t i s il p m i i s g n u f . a y n m a l a d i d t a ri s r e t i p a t e t g n u s g n a l a r a c e s k a p m a t k a d it Y d h o t n o C :Tentukanlah dar if ungsi-fungs ibe irkuti n.i d X a X) . 2 Y+ 2 =100 )b X . 2 Y+ 2 2 X 6Y+5 = 0 b a w a J : )a X. 2 Y+ 2=100 d Y 2X+2Y 0= d X d Y 2Y = X2 Xd dY X 2 X = = - d X Y 2 Y b X.) 2 Y+ 2 – 2 – X 6X+5=0 dY dY 2X+2Y – 2 – 6 0= dX dX d Y (2Y– )6 = – X2 2 d X dY 2– 2X 1 – X = = - dX 2Y– 6 Y – 3
8 1 c .Rangkuman 1 : . ) 1 Pengeritan danNotas iDfierensiasi Fungsi. Deferensias i (De irva itve /Turunan ) suatu fungs i f(X) a y n i a li n g n a y ) ” X n e s k a f “ : a c a b ( ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f h a l a d a b m e s a d a p arang blianganXadalah: (fX+h )– )(f X ’f( X )= ilmi t h o 0 h JikaY f = )( X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t dY df u ti d ils Y ‘=f ' ( X) atau dengannotas iLeibniz :--- -- atau d X d X 2) .DfierensiasiFungs iAjlabar Jika Y=f ( X ) ;U=g( X ) ;V=h( X) dan Y '= f('X) sedang li ir n a g n a li b = n ; a t n a t s n o k = C makabe lrakur umusdasar: .) a Y=C Y '=0 . ) b Y=CX Y '=C . ) c Y=Xn Y '=nX n - 1 . ) d Y=kXn Y '=knXn - 1 . ) e Y=U+V Y '=U '+V' . )f Y=U– V Y '=U '– 'V . ) g Y=U .V Y '=U'V+UV' U U – 'V U V' . ) h Y= Y '= V V2
9 1 3 ) .Dfierensiasi uF ngs iMajemuk danFungsiI mpilsti JikaY= f (U )danU=g (X )makat urunan Yt erhadapX: n a k u m e j a m e k t a k g n it g n a r a b m e s k u t n u u k a lr e b i n i p i s n ir P . Jika Y sebaga ifungs iimpilsi tdar iX ,karena hubungan g n a l a r a c e s k a p m a t k a d it ) X ( f = Y k u t n e b m a l a d sung tetap i n a g n e d i r a c i d X p a d a h r e t Y n a n u r u t a k a m a y n m a l a d i d t a ri s r e t . X p a d a h r e t t u b e s r e t n a a m a s r e p u k u s a u m e s n a k n u r u n e m d .Tugas1: h a l n a k u t n e T ut runanda irf ungsi-fungs id ibawahi n i : 1) .Y= X5 – X4 3+ 3X2 – 6X+10 3 3 – 2 X = Y . ) 2 X + – 3⅔ X 7) .Y= X 3 – X2 3 .) Y=( 3X2+4X– 3)(.5X– )7 8) .Y=5 (X2 – 3X+2) 3 4 .) Y= (4– 6X) 7 ( + –7X+4 )– 6 9) . (X2+2XY+3Y2 )=4 5) . (X–Y )3 – 3 (X+Y )=0 10) . X3 +Y3 +4XY2=5 6) . X3 Y+ 3 – X4 2Y+5X+6Y=8 e .Tesf ormatfi1 : 1 J) . elaskanpengeritandfierensiasif ungsil engkapdengan ! a y n i s a t o n 2 .)Tentukanlah Y ‘t(urunan) dairf ungsi–fungs ibe irkuti n i ! 5 X + 6 a ) .Y=2X4 – 6X3 + 7X2 – 9 1X 2 + e) .Y= - 1 – 4 X 7 b .) Y 4 = X – + ½5 X – 8 f .)Y 7 X= ( 2 2+ X – 3)5 X c .) Y= (7X2 – 3X 5+ ( ) 2 X – 4 ) d ) 4X . 3 + 2Y3 + 5 YX 2 – 3X2Y – 7 X – 6Y 9 = dY dY dU = . atau Y’ (X )=Y’ (U ) .U’ ( X) dX dU dX
0 2 .f Kunc iJawabTesFormatfi : 1 1) .Deferensias i(De irvaitve/Turunan) suatu f ungsi f(X) adalah X n a g n a li b g n a r a b m e s a d a p a y n i a li n g n a y ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f : h a l a d a (fX+h )– )(f X ’f( X )= ilmi t h o 0 h JikaY f = )( X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t dY df u ti d ils Y ‘=f ' ( X) taau dengannotas iLeibniz :--- -- atau dX d X 2 .) Turunanpe trama Y t erhadap X adalah Y‘ a .) Y‘ =8X3 – 81 X2 + 41 X – 9 b .) Y‘ = 4X–½ + 7X–2 + ½5 2 4 = ‘ Y . ) c X2 – 86 X+22 21 X2 – Y6 + YX 5 2 – 7 = ‘ Y . ) d 3 X2 – 10XY – +6 Y 6 2 9 .e) Y‘ = - ( – 1 4X) 2 f .) Y ’=(X2+2X– 3)4(70X2+70) 2 . KegiatanBelaja r2 : Dfierensiasi Fungs i– fungsi Transenden a .TujuanKegiatanBelaja r2 : M .) 1 ahasiswa dapa tmenyelesaikanpermasalahandfierensiasi i s g n u f t irgonomert idan i nversnya. . ) 2 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i s g n u f hiperboilk dani nversnya .
1 2 . ) 3 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i s g n u f eksponensial . . ) 4 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i s g n u f logartima . . ) 5 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi . k ir t e m a r a p n a a m a s r e p n a d k i m ti r a g o l i s g n u F i s a i s n e r e fi D : 2 ir e t a M n a i a r U . b – fungsi Transenden Dfierensiasi Fungs iT irgonometr i Sesua i dengan konsep dasa r penentuan dfierensias i n a k i a r u i d h a l e t a n a m i a g a b e s i s g n u f h a u b e s ) n a n u r u t( s u m u r h e l o r e p i d i rt e m o n o g ir t m a l a d i d a k a m , a y n m u l e b e s -rumus t u k ir e b i a g a b e s i rt e m o n o g ir t i s g n u f n a n u r u t r a s a d : 1). Y=sin X o ’Y =cos X 2). Y=cos X o ’Y = sin X 3). Y=t g X o ’Y =sec2 X 4). Y=cotg X o ’Y = cosec2 X 5). Y=sec X o ’Y =sec X. t g X 6). Y=cosec X o ’Y = cosec X .cotg X Dar ikeenam rumus dasart ersebut ,sebenarnya yang pe lru r o m o n n a d 1 r o m o n s u m u r h a l a y n a h a m a t u n a it a h r e p t a p a d n e m i r a d n a k n u r u ti d t a p a d a y n s u r e t e s n a d 3 r o m o n k u t n u b a b e s , 2 a r a t n a n a g n u b u h t a g n i g n e m n a g n e d u ti a y , 2 n a d 1 r o m o n i s g n u f -fungsit ersebu t ,misalnya : 1 X s o c X n i s 1 = X g t ; cotgX= - ; secX= ;dan cosecX=- --- X n i s X s o c cosX sinX
2 2 Selanjutnya untuk penyelesaian persoalan-persoalan yang r a b a jl a i s a r e p o i a g a b r e b n a k t a b il e m g n a y s k e l p m o k h i b e l i s g n u f n a d n a i g a b m e p , n a il a k r e p , n a g n a r u g n e p , n a h a l m u j n e p ( s u m u r a k a m , ) k u m e j a m -rumus yang terdapa t pada Bab II n a k a n u g i d t a p a d p a t e t ) r a b a jl A i s g n u F i s a i s n e r e fi D ( Contoh : 1 .) Jika Y = cosX+3sinX 4t gX ,maka d Y - = Y ’= sinX +3cos X 4sec2 X Xd X 5 ( n i s = Y . ) 2 3 X3 2 +4X 2 ) Y’ = (15X2 6X + 4) . cos (5X3 X3 2 +4X + 2 ) n i s = Y .) 3 5 X = 5 sin4 X .cos X 4) .Y = cos 3X .t gX Y d -= 3sin3X .t g2X + cos 3X .2sec2 X2 X d = – 3sin3X t.g 2X +2 cos 3X .sec22 X sin 5X 5) .Y = 4X + 1 5cos5X . (4X +1 )– 4 sin5X Y ‘= (4X + 1) 2 (20X+5) . cos5X 4sin 5X = (4X +1) 2
3 2 Dfierensias iInvers Fungs iT irgonomet ir Invers dar i fungs i t irgonome rt iY = sin X dapa t dtiuils i a g a b e s Y = sin 1X atau Y = arcus sin X yang biasa n i s i d gkat Y = arc .sin X , selanjutnya i nvers dar i Y = cos X s il u ti d Y = cos 1 X atau Y = arc .cos X dan invers da ir s il u ti d X . g t = Y Y= t g 1X atauY=arc.t g X Pada bentuk Y = sin X permasalahannya yatiu mencar i , a y n r a s e b i u h a t e k i d h a l e t g n a y t u d u s u t a u s i r a d s u n i s a g r a h r a s e b n a k u t n e n e m i tr a r e b X n i s c r a = Y a y n s r e v n i n a k g n a d e s . a y n s u n i s a g r a h i u h a t e k i d h a l e t g n a y t u d u s Adapunr umusuntukmenentukan turunannya adalah : dY 1 1) .Y=arcsinX o = - dX ( – X1 2) dY – 1 2). Y=arc.cos X o = - dX ( – X1 2) dY 1 3) .Y=arct.g X o = dX 1 + X2 Contoh : dY 5 .1 5 1 .Y=arc .sin 5Xo = = dX 1- (5X)2 1 – X25 2 dY 3 .– 1 – 3 2 .Y=arc.cos 3Xo = = - dX 1 – (3X)2 1 – X9 2 dY 4 4 3 .Y=arc.t g 4X o = = dX 1 + ( 4X)2 1 +16X2
4 2 Dfierensiasi Fungsi Hiperboilk Fungs i hiperboilk adalah fungs i yang mem ilik i sfiat-sfia t a d a p a d e b r e b i p a t e t , ir t e m o n o g ir t i s g n u f n a g n e d a p u r e s h a u b e s a y n n a r a s a s i rt e m o n o g ir t i s g n u f u a l a K . a y n a r a s a s p k il o b r e p i h i s g n u f n u m a n , n a r a k g n il ada sebuah hiperbola. Pada fungs it irgonomert idikena ladanya sinus ,cosinus , a y n a d a l a n e k i d a g u j k il o b r e p i h i s g n u f a d a p a k a m , n e g n a t n a d s u n i s -hiperboilk (sinh ) ,cosinus-hiperboilk (cosh ) ,dan t angent -a k i s i n if e d i d g n a y , ) h g t ( k il o b r e p i h n sebagai : eX – e–X eX e+ –X eX – e–X sinhX= ; coshX= nda tghX = 2 2 e X e+ –X Dengan demikian diperolehlah rumus-rumus dasa rturunan : t u k ir e b i a g a b e s k il o b r e p i h i s g n u f Y d 1) .JikaY=sinhX o = coshX X d Y d 2) .JikaY=coshX o = coshX X d d Y ) 3 .JikaY = t gh X o = sech2 X X d d Y h o t n o C :Tentukanlah da ir: Xd 1. Y=sinh3X+4coshX 2. Y=X2sinhX 3. Y=5cosh( 3X– )1
5 2 b a w a J : 1 .) Y = sinh3X+4coshX Yd =3cosh3X+4sinhX X d X = Y ) 2 2 . sinh X d Y =2XsinhX+X2coshX d X Y . ) 3 = 5cosh( 3X– )1 d Y = 5. 3sinh( 3X– )1 d X = 1 5sinh( 3X– )1 Dfierensias iI nversFungs iHiperboilk Sepe tr ihalnya padaf ungsit irgonome rt,if ungs ihiperboilkpun a g u j mempunya i i nvers . Jika Y = sinh X maka i nversnya h n i s = Y – 1X atau Y = arc sinh X , dan Y = cosh X a y n s r e v n i Y = arc .cosh X atau Y = cosh– 1X , dan . a y n n i a l k u t n e b k u t n u a y n s u r e t e s Adapunr umus– rumusdasart urunannyaadalah : dY 1 1) . Y=arcsinhX o = - dX (X2+1) dY 1 2) . Y=arc.coshX o = - dX X( 2 – )1 dY 1 3 .) Y=arct.gh X o = dX 1 – X2
