Materi Bahasan. Pemrograman Bilangan Bulat (Integer Programming) Pemrograman Bilangan Bulat. 1 Pengantar Pemrograman Bilangan Bulat

(1)

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Pemrograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

Kuliah 11-12

Materi Bahasan

① Pengantar pemrograman bilangan bulat

② Beberapa contoh model pemrograman

bilangan bulat

③ Metode pemecahan bilangan bulat

Metode cutting-plane

Metode branch-and-bound

Metode branch-and-bound untuk

pemrograman bilangan bulat biner

① Pengantar Pemrograman Bilangan

Bulat

Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman bilangan bulat (integer

programming) mensyaratkan bahwa beberapa

variabel keputusan harus mempunyai nilai

yang bulat (bukan pecahan)

• Pembahasan hanya ditujukan untuk masalah

pemrograman linier bilangan bulat (integer

(2)

Jenis Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman linier bilangan bulat murni,

(pure integer linear programming, PILP)

• Pemrograman linier bilangan bulat campuran,

(mixed integer linear programming, MILP)

• Pemrograman linier bilangan bulat biner,

(binary integer linear programming, BILP)

Fungsi Variabel Biner

• Penangangan pembatas either-or

• Penanganan nilai lebih dari satu yang mungkin

dari suatu pembatas

• Representasi bentuk lain dari variabel bilangan

bulat

Pembatas Either-Or

18

2

3 x

₁

+ x

₂

≤

16

4

₂ 1

+ x

≤

x

18

2

3 x

₁

+ x

₂

≤

M

x

₁

+

4

₂

≤

16 +

M

x

+

2 ≤

18 +

3

₁ ₂

16

4

₂ 1

+ x

≤

x

dan dan

My

x

+

2 ≤

18 +

3

₁ ₂

)

1 (

16

4

₂ 1

x

M

y

x

+

≤

+

−

atau atau

PL format:

{ }

0,1 = i y

Fungsi dengan N Nilai yang Mungkin (1)

(

x x xn

)

d d dN

f ₁, ₂,_L, = ₁atau ₂atau _Latau

(

)

_∑

= = N i i i n d y x x x f 1 2 1, ,L,

Perumusan PLBB:

1 1 =

∑

= N i i y

{ }

i N y_i = 0,1, =1,2,_L,

(3)

Fungsi dengan N Nilai yang Mungkin (2)

18 atau 12 atau 6 2 3x₁+ x₂ = 3 2 1 2 1 2 6 12 18 3x + x = y + y + y

Perumusan PLBB:

1 3 2 1+y +y = y

{ }

0,1, =1,2,3 = i y_i

Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (1)

u

x

≤

0

1

2

2 dimana

N

≤

u

≤

N+

Representasi biner:

∑

=

N i i i

y

x

0

2 { }

i

N

y

_i

=

0 ,

1 ,

=

1 ,

2 ,

L

,

Batas-batas untuk variabel x:

Representasi Biner untuk

Variabel Bilangan Bulat (2)

5

1

≤

x

Representasi biner:

5

4

2

₁ ₂ 0

+

y

+

y

≤

y

{ }

0 ,

1 ,

=

0 ,

1 ,

2 =

i

y

_i

30

3

2 x

₁

+ x

₂

≤

(

2

4 ) (

3

2

4

8 )

30

2 y

₀

+

y

₁

+

y

₂

+

w

₀

+

w

₁

+

w

₂

+

w

₃

≤

u untuk x

₁

= 5 Æ 2

2

≤ 5 ≤ 2

3

u untuk x

₂

= 10 Æ 2

3

≤ 10 ≤ 2

4

{ }

0 ,

1 ,

=

0 ,

1 ,

2 ,

3 =

i

w

_i

x

₁

, x

₂

bil. bulat

② Beberapa Contoh Model Pemrograman

(4)

Beberapa Contoh Model-model Pemrograman

Bilangan Bulat

• Fixed charge problem

• Knapsack problem

• Set covering problem

– Set Partitioning Problem

• Traveling salesman problem

• Job (Machine) scheduling problem

Fixed Charge Problem (1)

Misalkan terdapat n jenis produk

p_j = harga satuan produk j

K_j = biaya tetap untuk memproduksi produk j (independen terhadap jumlah produksi)

c_j = biaya variabel untuk memproduksi produk j (proporsional

terhadap jumlah produksi)

b_i = kapasitas sumber i (i = 1, …m)

a_ij = kebutuhan sumber i untuk per unit produk j

Fixed Charge Problem (2)

Permasalahan :

Menentukan produk mana yang perlu diproduksi dan jumlah produksinya masing-masing agar diperoleh profit (selisih penjualan dengan biaya tetap dan variabel) total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi:

- ketersediaan kapasitas

- jika suatu produk diputuskan untuk tidak diproduksi maka jumlah produksinya nol.

Variabel keputusan :

x_j = jumlah produk j yang diproduksi

y_j = keputusan untuk memproduksi atau tidak produk j;

y_j= 1 jika produk j diproduksi

y = 0 jika produk j tidak diproduksi

Fixed Charge Problem (3)

(

)

∑

= = + − = n j j j j j n j j jx K y c x p Z 1 1 Maksimasi dengan pembatas-pembatas: m i b x a _i n j j ij , 1, , 1 L = ≤

∑

= n j My x_j ≤ _j, =1,_L, n j x_j ≥0, =1,_L,

{ }

j n y_j = 0,1, =1,...,

(5)

Knapsack Problem (1)

Misalkan terdapat n item.

w_j = berat item j

v_j = nilai item j

W = kapasitas muatan (berat) dari kantong Permasalahan :

Menentukan jumlah item yang perlu dimasukkan ke dalam kantong agar diperoleh nilai total yang maksimum dengan memperhatikan kondisi kapasitas muatan (berat) dari kantong Variabel keputusan :

x_j = jumlah item yang dimasukkan ke kantong

Knapsack Problem (2)

∑

=

n j j j

x

v

Z

1

Maksimasi

dengan pembatas-pembatas:

W

x

w

n j j j

≤

∑

=1

bulat

bilangan

dan

0 ≥

j

x

Set Covering Problem (1)

Jalan C Jalan D Jalan B Jalan A Jalan E Jala nF Jalan G Jalan K Jalan J Jalan I Jalan H 1 2 6 7 4 8 5 3

Contoh masalah set covering problem dalam menentukan

lokasi pendirian pos siskamling

Set Covering Problem (2)

Misalkan terdapat n lokasi pendirian pos dan m jalan.

c_j = biaya mendirikan pos di lokasi j a_ij = konstanta biner (0-1)

a_ij= 1 jika jalan i dilayani oleh pos yang berlokasi di j

a_ij= 0 jika sebaliknya Pertanyaan:

Menentukan lokasi pendirian pos dimana tiap jalan dapat dilayani minimal oleh satu pos sehingga diperoleh biaya total pendirian yang minimum

Variabel keputusan

x_j = variabel biner (0-1) yang menentukan keputusan untuk

mendirikan pos di lokasi j (x_j= 1 jika pos dididikan di lokasi j, x_j= 0 sebaliknya)

(6)

Set covering problem (3)

∑

=

n j j j

x

c

Z

1

Minimasi

dengan pembatas-pembatas:

m

i

x

a

n j j ij

1 ,

1 ,...,

1

=

≥

∑

=

{ }

j

n

x

_j

=

0 ,

1 ,

=

1 ,...,

Set Partitioning Problem

∑

=

n j j j

x

c

Z

1

Minimasi

dengan pembatas-pembatas:

m

i

x

a

n j j ij

1 ,

1 ,...,

1

=

∑

=

{ }

j

n

x

_j

=

0 ,

1 ,

=

1 ,...,

Tiap jalan

tepat dilayani

oleh satu pos

Traveling Salesman Problem (1)

1 2 3 4 5 5 6 3 4 3 8 2 6 1 7 (jarak)

Traveling Salesman Problem (2)

Misalkan terdapat n titik.

c_ij = jarak antara titik i ke titik j (c_ij= ∞ untuk i = j)

Permasalahan

Menentukan rute salesman yang berangkat dari suatu titik dan mengunjungi setiap titik yang lain paling banyak sekali, serta kembali ke titik asal agar diperoleh jarak total yang minimum Variabel keputusan

x_ij = keputusan untuk melintasi atau tidak busur (i, j)

x_ij= 1 jika busur (i, j) dilintasi

(7)

Traveling Salesman Problem (3)

∑∑

= = = n j n j ij ijx c Z 1 1 Minimasi dengan pembatas-pembatas: n i x n j ij 1, 1, , 1 L = =

∑

= n j x n i ij 1, 1, , 1 L = =

∑

= j i n j n i n nx u u_i − _j + _ij ≤ −1, =2,_L, ; =2,_L, ; ≠

{ }

i n j n x_ij = 0,1, =1,_L, ; =1,_L n i ui ≥0, =1,..., Subtour breaking constraint

Traveling Salesman Problem (4)

1 2 3 4 5

Subtour

Subtour breaking constraint bertujuan untuk mengeliminasi

terjadinya solusi subtour

Traveling Salesman Problem (5)

1 2 3 4 5

Tour

Suatu solusi traveling salesman problem yang layak (terbentuknya suatu tour).

Job Scheduling Problem (1)

Misalkan

-terdapat n job dengan operasi-tunggal -terdapat satu mesin tunggal

p_j = waktu pengerjaan job j

w_j = bobot kepentingan job j Permasalahan:

Menentukan saat awal (juga secara implisit menentukan saat akhir) pengerjaan job agar diperoleh waktu penyelesaian

tertimbang total (total weighted completion time) yang minimum dengan memperhatikan bahwa pada suatu saat mesin hanya dapat mengerjakan satu operasi (job)

(8)

Job Scheduling Problem (2)

Variabel keputusan:

B_j = saat awal pengerjaan job j

C_j = saat akhir pengerjaan job j

y_ij = keputusan apakah job i mendahului job j y_ij= 1 jika job i mendahului job j

y_ij= 0 jika sebaliknya

0

3

1

4

5

2

p₃ p₁ p₄ p₅ p₂

Suatu solusi (jadwal) pengerjaan job yang layak

Job Scheduling Problem (3)

∑

= = n j j jC w Z 1 Minimasi dengan pembatas-pembatas: n i p C_j ≥ _j, =1,_L,

(

y

)

p i n j n i j M C Cj − i + 1− ij ≥ i, =1,L, ; =1,L , ≠ n i Cj ≥0, =1,..., j i n j n i p My C Ci − j + ij ≥ j, =1,L, ; =1,L ; ≠

{ }

i n j n yij = 0,1, =1,..., , =1,L n i p C B_j = _j − _j, =1,_L, Disjunctive constraint (Either-or constraint)

③ Metode Pemecahan Model

Pemrograman Bilangan Bulat

Metode Pemecahan Model Pemrograman

Bilangan Bulat

• Cutting method

– Cutting Plane

• Search method

(9)

Algoritma Cutting Plane

• Dikembangkan oleh R.E. Gomory

• Algoritma

– Fractional algorithm untuk masalah pemrograman

bilangan bulat murni (PILP)

– Mixed algorithm untuk masalah pemrograman

bilangan bulat campuran (MILP)

Ilustrasi Suatu Masalah PLBB

Maximasi Z = 7x₁ + 9x₂ dengan pembatas-pembatas:

–x₁+ 3x₂ ≤ 6 7x₁+ x₂≤ 35

x₁, x₂≥ 0 dan bilangan bulat

Daerah layak

x

₂

x

₁

Solusi Optimal Kontinyu

(dengan mengabaikan kondisi integralitas)

x

₂

x

₁

(

)

63

3 ,

4 )

,

(

1₂ 2 1 2 1

=

Z

x

(10)

Ide Dasar dari Cutting Plane

• Mengubah convex set dari daerah ruang

pemecahan (solution space) sehingga titik

ekstrem menjadi bilangan bulat

• Perubahan dibuat tanpa men-slicing off daerah

layak dari masalah awal.

• Perubahan dilakukan dengan penambahan

beberapa secondary constraint.

Penambahan Pembatas Sekunder

x

₂

x

₁ secondary constraint

( )

55

3 ,

4 )

,

(

₁ ₂

=

Z

x

Fractional Algorithm (1)

• Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat murni (PILP).

• Mensyaratkan bahwa semua koefisien teknologi dan

konstanta ruas kanan adalah bilangan bulat.

• Pada awalnya, masalah PILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan kondisi

integralitas.

2 13 3 1 2 1+ x ≤ x 6x₁+ x2 ₂ ≤39

Fractional Algorithm (2)

β0 0 0 0 βm αmn αmj αm1 1 0 0 x_m βn αin αij αi1 0 1 0 x_i β1 α1n α1j α11 0 0 1 x₁ Solusi w_n w_j w₁ x_m x_i x₁ Basis j c c₁ cj cn

(11)

Fractional Algorithm (3)

Variabel x

_i

(i = 1, …, m) menunjukkan variabel basis

Variabel w

_j

(j = 1, …, n) menunjukkan variabel non basis

Misalkan persamaan ke-i dimana variabel x

_i

diasumsikan

bernilai bilangan bulat

bulat

bilangan

bukan

,

_i 1

β

α

β

∑

=

−

=

n j j j i i i

w

x

(baris sumber)

Fractional Algorithm (4)

Misal:

β

_i

=

[ ]

β

_i

+

f

_i

[ ]

ij j i j i

=

α

+

f

α

dimana

N = [a] adalah bilangan bulat terbesar sehingga N

≤ a

0 < f

_i

< 1

0 ≤ f

_ij

< 1

Fractional Algorithm (5)

Dari baris sumber diperoleh:

[ ]

_∑

[ ]

∑

= = + − = − n j j j i i i n j i ij i f w x w f 1 1

α

β

Agar semua x

_i

dan w

_j

adalah bilangan bulat,

maka ruas kanan dari persamaan harus bilangan bulat

Æ Akibatnya, ruas kiri harus bilangan bulat

Fractional Algorithm (6)

Untuk f

_ij

≥ 0 dan w

_j

≥ 0 untuk semua i dan j maka

0

1

≥

∑

= n j j ij

w

f

Akibatnya

i n j j ij i

f

w

f

−

∑

≤

=1

(12)

Fractional Algorithm (7)

1

<

−

∑

= n j j ij i

f

w

f

Karena f

_i

< 1 maka

Karena ruas kiri harus bilangan bulat, maka syarat perlu

untuk memenuhi integralitas adalah:

0

1

≤

−

∑

= n j j ij i

f

w

f

Fractional Algorithm (8)

Pertidaksamaan terakhir dapat dijadikan sebagai pembatas

dalam bentuk:

i n j j ij i

f

w

f

S

=

∑

−

=1

(fractional cut)

Fractional Algorithm (9)

0 1 0 0 0 S_i -f_i -f_im -f_ij -f_i1 0 0 0 S_i β₀ 0 0 0 βm αmn αmj αm1 1 0 0 x_m β_n α_in α_ij α_i1 0 1 0 x_i β₁ α₁n α₁j α₁1 0 0 1 x₁ Solusi w_n w_j w₁ x_m x_i x₁ Basis j c c₁ cj cn

Tabel setelah penambahan fractional cut

Fractional Algorithm (10)

• Dengan penambahan fractional cut, tabel

terakhir menjadi tidak layak walaupun optimal

sehingga metode dual simplex diterapkan

untuk meniadakan ketidaklayakan.

• Algoritma berhenti jika solusi optimal

(13)

Fractional Algorithm (11)

i n j j ij

w

f

≥

∑

=1 k n j j kj

w

f

≥

∑

=1

Cut (1) dikatakan lebih kuat dari cut (2) jika

f

_i

≥ f

_k

dan f

_ij

≤ f

_kj

untuk semua j dengan strict inequality

terpenuhi paling sedikit satu

Kekuatan fractional cut

Fractional Algorithm (12)

Aturan :

{ }

_i i

f

max

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∑

= n j ij i i

f

1

max

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (1)

Maximasi Z = 7x₁+ 9x₂ dengan pembatas-pembatas:

–x₁+ 3x₂ ≤ 6 7x₁+ x₂≤ 35

x₁, x₂≥ 0 dan bilangan bulat

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (2)

Z = 63

-15/11

-28/11

0

0 c

_j

– z

_j

4

1

_/

2

3/22

-1/22

0

1 x

₁

3

1

_/

2

1/22

7/22

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

(14)

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (3)

2 7 22 1 22 7 4 3 2+ x + x = x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 1 3 22 1 0 22 7 0 ₃ ₄ 2 x x x 2 1 22 1 22 7 4 3 1− x − x =− S

Fractional cut:

Baris sumber Æ persamaan-x

₂

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (4)

0

1

0

0 S

₁

-15/11

-28/11

0

0 c

_j

– z

_j

-1/2

-1/22

-7/22

0

0 S

₁

9/2

3/22

-1/22

0

1 x

₁

7/2

1/22

7/22

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

Tabel setelah penambahan fractional cut

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (5)

-8

-22/7

-1/7

1 S

₁

Z = 59

-1

0

0 c

_j

– z

_j

1

4

_/

7

1/7

1

0

0 x

₃

4

_/

7

1/7

0

1 x

₁

3

0

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (6)

7 4 4 7 1 7 1 1 4 1+ x − S = x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₊ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 7 4 4 7 6 1 7 1 0 ₄ ₁ 1 x S x 7 4 7 6 7 1 1 4 2− x − S =− S

Fractional cut:

(15)

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (7)

0 1 0 0 0 S₂ -4/7 -6/7 -1/7 0 0 0 S₂ -8 -22/7 -1/7 1 S₁ -1 0 0 0 c_j– z_j 1 4_/ 7 1/7 1 0 0 x₃ 4 4_/ 7 1/7 0 0 1 x₁ 3 0 0 1 0 x₂ Solusi x₄ x₃ x₂ x₁ Basis

Tabel setelah penambahan fractional cut

Contoh Penerapan Fractional Algorithm (8)

0 -7 1 1 0 S₂ 4 6 1 0 0 0 x₄ -7 -4 -1 1 S₁ Z = 55 -2 0 0 0 c_j– z_j 1 0 1 0 0 x₃ 4 0 0 0 1 x₁ 3 0 0 1 0 x₂ Solusi x₄ x₃ x₂ x₁ Basis

Solusi bilangan bulat optimal, x

₁

= 4, x

₂

= 3; Z = 55

Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

2 1 22 1 22 7 4 3 1− x − x =− S

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (1)

(

)

(

)

2 1 7 35 22 1 3 6 22 7 2 1 2 1 1− +x − x − − x −x =− S 3 2 1+ x = S 3 2 ≤ x

Fractional cut 1:

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (2)

x

₂

x

₁

3

2=

(16)

TI2231 Penelitian Operasional I 61 7 4 7 6 7 1 1 4 2− x − S =− S

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (3)

(

) (

)

7 4 3 7 6 7 35 7 1 2 2 1 2− − x −x − −x =− S 7 2 1 2+x +x = S 7 2 1+ x ≤ x

Fractional cut 2:

Ilustrasi Fractional Cut secara Grafis (4)

x

₂

x

₁ 3 2= x 7 2 1+ x = x

Mixed Algorithm (1)

• Digunakan untuk memecahkan masalah

pemrograman linier bilangan bulat campuran

(MILP)

• Pada awalnya, masalah MILP dipecahkan sebagai PL

reguler, yaitu dengan mengabaikan kondisi

integralitas.

Mixed Algorithm (3)

Maximasi Z = 7x₁+ 9x₂ dengan pembatas-pembatas: –x₁+ 3x₂ ≤ 6 7x₁+ x₂≤ 35

x₁≥ 0 dan bilangan bulat x₂≥ 0

(17)

Mixed Algorithm (3)

∑

= − = n j j j k k k w x 1 α β

Misal x

_k

adalah variabel bilangan bulat dari masalah MILP.

Persamaan-x

_k

dalam solusi kontinyu optimal

:

[ ]

_∑

= − + = n j j j k k k k f w x 1 α β

[ ]

_∑

= − = − n j j j k k k k f w x 1 α β

(baris sumber)

Mixed Algorithm (4)

Untuk x

_k

adalah bilangan bulat, maka

[ ]

atau

≥

[ ]

+

1 ≤

_k _k _k k

x

β

harus dipenuhi

k n j k j k

w

≥

f

∑

=1

α

Dari baris sumber, kondisi ini ekivalen dengan

1

−

≤

∑

= k n j k j k

w

f

α

(1)

(2)

Mixed Algorithm (5)

Misal

J

+

_{= himpunan subscripts j untuk}

α

kj

≥ 0

J

-

_{= himpunan subscripts j untuk}

α

kj

< 0

Dari (1) dan (2) diperoleh

k n J j k j k

w

≥

f

∑

₊ ∈

α

k n J j k j k k k

f

w

f

_≥

−

∑

_∈ −

α

1 (1)

(2)

Mixed Algorithm (6)

Karena (1) dan (2), tidak dapat terjadi secara simultan,

maka (3) dan (4) dapat digabungkan menjadi satu

pembatas dalam bentuk

k n J j k j k k k n J j k j k k

w

f

w

S

=

−

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

+

−

∑

− + _∈ ∈

α

1 (mixed cut)

(18)

Contoh Penerapan Mixed Algorithm (1)

Maximasi Z = 7x₁ + 9x₂ dengan pembatas-pembatas:

–x₁+ 3x₂ ≤ 6 7x₁+ x₂≤ 35

x₁≥ 0 dan bilangan bulat x₂≥ 0

Contoh Penerapan Mixed Algorithm (2)

Z = 63

-15/11

-28/11

0

0 c

_j

– z

_j

9/2

3/22

-1/22

0

1 x

₁

7/2

1/22

7/22

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

Tabel optimal kontinyu:

Contoh Penerapan Mixed Algorithm (3)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − 2 1 4 22 3 22 1 4 3 1 x x x 2 1 22 1 1 22 3 3 2 1 2 1 4 1 ⎟ =− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x S 2 1 22 3 22 1 4 3 1− x − x =− S

Mixed cut:

Baris sumber Æ persamaan-x

₁

{ }

1₂ 1

,

4 ,

3 =

=

+ −

f

J

Contoh Penerapan Mixed Algorithm (4)

0

1

0

0 S

₁

-15/11

-28/11

0

0 c

_j

– z

_j

-1/2

-3/22

-1/22

0

0 S

₁

9/2

3/22

-1/22

0

1 x

₁

7/2

1/22

7/22

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

(19)

Contoh Penerapan Mixed Algorithm (5)

0 -22/3

1 -1/3

S

₁

Z= 58

-10

-23/11

0

0 c

_j

– z

_j

11/3

1 1/3

0

0 x

₄

4

0 -1/11

0

1 x

₁

10/3

0 10/33

1

0 x

₂

Solusi

x

₄

x

₃

x

₂

x

₁

Basis

Tabel yang diperoleh dengan dual simplex:

Solusi optimal, x

₁

= 4, x

₂

= 10/3; Z = 55

Algoritma Branch-and-Bound (1)

• Metode yang paling banyak digunakan dalam

praktek untuk memecahkan masalah

pemrograman bilangan bulat baik murni

maupun campuran.

• Digunakan sebagian besar software komersial

• Pada dasarnya merupakan prosedur enumerasi

yang efisien untuk memeriksa semua solusi

layak yang mungkin.

Algoritma Branch-and-Bound (2)

• Algoritma BB untuk PLBB (Murni &

Campuran)

• Algoritma BB untuk PLBB Biner

Algoritma BB untuk PLBB (1)

Misalkan diberikan suatu masalah pemrograman

bilangan bulat sebagai berikut:

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x

≥ 0

x

_j

bilangan bulat untuk j ∈ I

(20)

Algoritma BB untuk PLBB (2)

• Langkah pertama adalah memecahkan masalah PLBB

sebagai PL dengan mengabaikan pembatas bilangan

bulat (bounding)

• Misalkan masalah PL dinyatakan sebagai PL-1 yang

mempunyai nilai optimal dari fungsi tujuan Z

₁

.

PL-1

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x

≥ 0

Algoritma BB untuk PLBB (3)

• Asumsikan bahwa solusi optimal dari PL-1

mengandung beberapa variabel bilangan bulat yang

mempunyai nilai pecahan.

• Oleh karena itu, solusi optimal bilangan bulat untuk

PLBB belum diperoleh dan Z

₁

menjadi batas atas

(upper bound) dari nilai maksimum Z untuk PLBB.

• Langkah berikutnya adalah mempartisi daerah layak

dari PL-1 dengan mencabangkan (branching) salah

satu variabel bilangan bulat yang nilainya pecahan

Algoritma BB untuk PLBB (4)

• Misalkan variabel x

_j

dipilih untuk dicabangkan

dengan nilai pecahan

β

_j

dalam PL-1.

• Misalkan dibuat dua masalah pemrograman

linier baru, PL-2 dan PL-3 dengan

memasukkan masing-masing pembatas baru

x

_j

≤ [

β

] dan x

_j

≥ [

β

]+1

Algoritma BB untuk PLBB (5)

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x

_j

≤ [

β

]

x

≥ 0

Maksimasi Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x

_j

≥ [

β

]+1

x

≥ 0

PL-2

PL-3

(21)

Algoritma BB untuk PLBB (6)

PL-1 PL-2 PL-2 Solusi pecahan Z₁ Solusi pecahan Z₂ ] [ _j j x ≤ β x_j≤[β_j]+1 Solusi pecahan Z₅

Algoritma BB untuk PLBB (7)

• Memecahkan (bounding) PL-2 dan PL-3

• Asumsikan solusi PL-2 dan PL-3 masih

pecahan

• Langkah berikutnya adalah memilih node

(masalah PL) yang akan dicabangkan.

Algoritma BB untuk PLBB (8)

• Setelah masalah PL dipilih untuk dicabangkan lebih

lanjut, langkahnya selanjutnya adalah

– memilih variabel bilangan bulat dengan nilai pecahan yang akan dicabangkan untuk membentuk dua masalah PL baru (proses branching)

– memecahkan masalah PL yang baru (proses bounding)

• Jika solusi bilangan bulat diperoleh dari suatu

masalah PL maka nilai Z-nya menjadi batas bawah

(lower bound) dari nilai maksimum Z untuk masalah

PLBB.

Algoritma BB untuk PLBB (9)

• Proses branching dan bounding berlanjut hingga

semua node dalam kondisi fathomed.

• Fathoming suatu node (masalah PL):

– Solusi optimal PL merupakan bilangan bulat – Masalah PL adalah tak layak

– Nilai optimal Z dari masalah PL tidak lebih baik daripada

• batas bawah (lower bound) saat ini untuk masalah maksimisasi • batas atas (upper bound) saat ini untuk masalah minimisasi

(22)

Algoritma BB untuk PLBB (10)

PL-1 PL-2 PL-3 Solusi pecahan Z₀= Z₁ Solusi pecahan Z₂ ] [ _j j x ≤ β x_j≤[β_j]+1 Solusi pecahan Z₅ PL-3 PL-4 Tidak layak Solusi bulat Z₄ ] [ _i i x ≤ β x_i≤[β_i]+1

Algoritma BB untuk PLBB (11)

PL-1 PL-2 PL-3 PL-4 PL-5 PL-6 PL-7 Solusi pecahan Z₀= Z₁ Solusi pecahan Z₂ Tidak layak Solusi bulat Z₄ Solusi pecahan Z₆< Z₄ ] [ _j j x ≤ β x_j ≤[β_j]+1 ] [ _i i x ≤ β x_i≤[β_i]+1 x_k ≤[β_k] x_k ≤[β_k]+1 Solusi pecahan Z₅ Solusi pecahan Z₇> Z₄

Algoritma BB untuk PLBB (12)

• Esensi dari algoritma BB

– Bounding

– Branching

– Fathoming

Contoh Penerapan Algoritma BB (1)

Maximasi Z = 2x₁+ 3x₂ dengan pembatas-pembatas:

5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36

(23)

PL0

X1

X2

PL1

Maximasi Z = 2x₁+ 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36 x₁, x₂≥ 0 6 12 1 17 2 17 8 17 3 , 2 14 x x Z = = =

Contoh Penerapan Algoritma BB (2)

PL-1 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x

PL2

Maximasi Z = 2x₁+ 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36 x₂ < 2 x₁, x₂≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 1 5 2 2 5 4 , 2 14 x x Z = = =

(24)

PL3

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36 x₂ > 3 x₁, x₂≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 1 4 2 1 2 2 , 3 13 x x Z = = =

Contoh Penerapan Algoritma BB (3)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x

PL4

Maximasi Z = 2x₁ + 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36 x₂ < 2 x₁ < 4 x₁, x₂≥ 0 Feasible Solution Area 7 9 4 5 X1 X2 0 1 4, 2 2 14 x x Z = = =

PL5

FSA 7 9 4 5 X1 X2 0 3 1 2 7 2 7 5, 1 14 x x Z = = = Maximasi Z = 2x₁+ 3x₂ dengan pembatas-pembatas: 5x₁+ 7x₂ ≤ 35 4x₁+ 9x₂≤ 36 x₂ < 2 x₁ > 5 x₁, x₂≥ 0

(25)

Contoh Penerapan Algoritma BB (4)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-4 PL-5 4 1≤ x x₁≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (5)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-4 PL-5 4 1≤ x x₁≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (6)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-4 PL-5 4 1≤ x x1≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (7)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-4 PL-5 4 1≤ x x1≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Fathomed karena perbedaan nilai Z dengan lower bound < 1 dan semua koefisien fungsi tujuan adalah bulat

Solusi bilangan bulat

optimal

x

₁

= 4, x

₂

= 2

(26)

Solusi Optimal

X1 X2 1 4, 2 2 14 x x Z = = =

Contoh Penerapan Algoritma BB (8)

PL-1 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x

Pencabangan

dari PL-3

Contoh Penerapan Algoritma BB (9)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (10)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x1≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x

(27)

Contoh Penerapan Algoritma BB (11)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x1≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (12)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x₁≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1 = = = Z x x 3 2≤ x x2≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (13)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x1≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1 = = = Z x x 3 2≤ x x₂≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (14)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x₁≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 2 1 = = = Z x x 3 2≤ x x₂≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x

(28)

Contoh Penerapan Algoritma BB (15)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x₁≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1 = = = Z x x 3 2≤ x x₂≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x PL-8 PL-9 4 1≤ x x₁≥5 14 2 , 4 2 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (16)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x₁≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 ₂ 1 = = = Z x x 3 2≤ x x₂≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x PL-8 PL-9 4 1≤ x x₁≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Contoh Penerapan Algoritma BB (17)

PL-1 PL-2 PL-3 17 8 17 6 2 17 12 1 14 2 , 3 = = = Z x x 2 2≤ x x2≥3 2 1 2 4 1 1 13 3 , 2 = = = Z x x 5 2 2 5 1 1 14 2 , 4 = = = Z x x PL-5 PL-4 2 1≤ x x₁≥3 Tidak layak 3 1 9 1 2 1 13 3 , 2 = = = Z x x PL-6 PL-7 13 3 , 2 2 1 = = = Z x x 3 2≤ x x₂≥4 12 4 , 0 ₂ 1 = = = Z x x PL-8 PL-9 4 1≤ x x₁≥5 14 2 , 4 ₂ 1 = = = Z x x 7 2 7 3 2 1 14 1 , 5 = = = Z x x

Fathomed karena perbedaan nilai Z dengan lower bound < 1 dan semua koefisien fungsi tujuan adalah bulat

Aturan Pencabangan (1)

• Aturan-aturan pencabangan variabel adalah sebagai

berikut:

– Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai nilai pecahan terbesar dalam solusi PL.

– Pilih variabel bilangan bulat yang mempunyai prioritas paling tinggi.

• Menunjukkan keputusan yang terpenting dalam model • Mempunyai koefisien profit/biaya paling besar

• Mempunyai nilai yang kritis yang didasarkan pengalaman pengguna

– Aturan pemilihan bebas, misal, pilih variabel bilangan bulat dengan indeks paling kecil

(29)

Aturan Pencabangan (2)

• Aturan penentuan masalah PL yang hendak

dicabangkan:

– Nilai optimal dari fungsi tujuan

– LIFO (Last-In First-Out), yaitu masalah PL yang

dipecahkan paling belakangan.

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (1)

Maximasi Z = 9x₁ + 5x₂+ 6x₃ + 4x₄ dengan pembatas-pembatas: 6x₁+ 3x₂+ 5x3 + 2x4 ≤ 10 x₃+ x₄≤ 1 -x1 + x3 + ≤ 0 -x2 + x4

≤

0 x₁, x₂, x₃, x₄= {0, 1}

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (2)

PL-1 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (3)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1

(30)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (4)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (5)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1 PL-4 _PL-5 0 2= x x₂=1

(

₅4

)

5 4_,₀_;₁₃ , 0 , 1

(

)

16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (6)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1 PL-4 _PL-5 0 2 = x x2=1

(

5

)

4 5 4_,₀_;₁₃ , 0 , 1

(

)

16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3= x x₃=1

(

1,1,0,₂1;16

)

Tidak layak

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (7)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1 PL-4 _PL-5 0 2= x x2=1

(

5

)

4 5 4_,₀_;₁₃ , 0 , 1

(

)

16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3= x x₃=1

(

1,1,0,₂1;16

)

Tidak layak PL-8 _PL-9

(

1,1,0,0;14

)

0 4= x x₄=1

(31)

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (8)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1 PL-4 _PL-5 0 2 = x x₂=1

(

₅4

)

5 4_,₀_;₁₃ , 0 , 1

(

)

16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3= x x₃=1

(

1,1,0,₂1;16

)

(

1,1,0,0;14

)

0 4= x x4 =1

Tidak layak TI2231 Penelitian Operasional I 122

Contoh Algoritma BB untuk PLBB Biner (9)

PL-1 PL-2 PL-3 ) ; , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ Z

(

2

)

1 6 5_,₁_,₀_,₁_;₁₆ 0 1= x 1 1= x

(

0,1,0,1;9

)

(

₅1

)

5 4 5 4_,₀_, _;₁₆ , 1 PL-4 _PL-5 0 2= x x₂=1

(

₅4

)

5 4_,₀_;₁₃ , 0 , 1

(

)

16 ; , 0 , 1 , 1 ₂1 PL-6 _PL-7 0 3= x x₃=1

(

1,1,0,₂1;16

)

(

1,1,0,0;14

)

0 4= x x4=1 Tidak layak

Materi Bahasan. Pemrograman Bilangan Bulat (Integer Programming) Pemrograman Bilangan Bulat. 1 Pengantar Pemrograman Bilangan Bulat

Pemrograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

Kuliah 11-12

Materi Bahasan

① Pengantar pemrograman bilangan bulat

② Beberapa contoh model pemrograman

bilangan bulat

③ Metode pemecahan bilangan bulat

 Metode cutting-plane

 Metode branch-and-bound

 Metode branch-and-bound untuk

pemrograman bilangan bulat biner

① Pengantar Pemrograman Bilangan

Bulat

Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman bilangan bulat (integer

programming) mensyaratkan bahwa beberapa

variabel keputusan harus mempunyai nilai

yang bulat (bukan pecahan)

• Pembahasan hanya ditujukan untuk masalah

pemrograman linier bilangan bulat (integer

Jenis Pemrograman Bilangan Bulat

• Pemrograman linier bilangan bulat murni,

(pure integer linear programming, PILP)

• Pemrograman linier bilangan bulat campuran,

(mixed integer linear programming, MILP)

• Pemrograman linier bilangan bulat biner,

(binary integer linear programming, BILP)

Fungsi Variabel Biner

• Penangangan pembatas either-or

• Penanganan nilai lebih dari satu yang mungkin

dari suatu pembatas

• Representasi bentuk lain dari variabel bilangan

bulat

Pembatas Either-Or

18

2

3

x

+ x

≤

16

4

+ x

≤

x

18

2

3

x

+ x

≤

M

x

x

+

4

≤

16

+

M

x

x

+

2

≤

18

+

3

16

4

+ x

≤

x

My

x

x

+

2

Metode cutting-plane

Metode branch-and-bound

Metode branch-and-bound untuk

_∑