Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 393–404
Approximation of values of hypergeometric
functions by restricted rationals
par
Carsten ELSNER, Takao KOMATSU
et
Iekata SHIOKAWA
R´esum´e. Nous calculons des bornes sup´erieures et inf´erieures pour l’approximation de fonctions hyperboliques aux points 1/s
(s = 1,2, . . .) par des rationnels x/y, tels que x, y satisfassent une ´equation quadratique. Par exemple, tous les entiers positifs
x, y avec y ≡ 0 (mod 2), solutions de l’´equation de Pythagore
x2 d’entiersx, y, premiers entre eux, tels que
|ysinh(1/s)−x| ≪log logy logy
et x2
+y2
=z2
soient r´ealis´es simultan´ement avec z entier. Une g´en´eralisation `a l’approximation de h(e1/s), pour h(t) fonction
rationnelle, est incluse.
Abstract. We compute upper and lower bounds for the approx-imation of hyperbolic functions at points 1/s (s = 1,2, . . .) by rationalsx/y, such thatx, ysatisfy a quadratic equation. For in-stance, all positive integersx, y with y ≡0 (mod 2) solving the Pythagorean equationx2
+y2 integersx, y, such that
|ysinh(1/s)−x| ≪log logy logy
andx2
+y2
=z2
hold simultaneously for some integer z. A gen-eralization to the approximation ofh(e1/s) for rational functions h(t) is included.
CarstenElsner
FHDW Hannover, University of Applied Sciences
394 CarstenElsner, TakaoKomatsu, IekataShiokawa
Freundallee 15
D-30173 Hannover, Germany
E-mail:[email protected]
TakaoKomatsu
Faculty of Science and Technology Hirosaki University
Hirosaki, 036-8561, Japan
E-mail:[email protected]
IekataShiokawa
Department of Mathematics Keio University
Hiyoshi 3-14-1
Yokohama, 223-8522, Japan
