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(1)

Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations

Proc. 8th Coll. QTDE, 2008, No.

3

1-13;

http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/

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t

→ ∞

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(2)

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t, x, ξ, ζ0,

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w, v1, v2

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(

ξ, ζ0, ζ, η0, η

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∈

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k

k2

(

v1

)k

L

1

(Q

T

)

k

v1

k

p

1

X

1

= 0

.

❥ ⑧❧

❥❣⑩❧ q✐

(

ωk

)

❖P❬❲❝❞❩❙❩❖❞

L

∞

(

QT

)

❦

ωk

→

ω

❘❜❙❜❖❞

QT

❘❞❩

uk

→

u

❯❙❘❪❤❭❖❞

X1

❦P❳❚❲❞❡❤❭❖❞

L

p

1

(

QT

)

❦✐❝❚❳◆❙❚❦

p

k

→

p

P❳❚❲❞❡❤❭❖❞

X2

❳◆❙❞

lim

k

→∞

k

ai

(·

, ωk

, uk, Duk

,

p

k, D

p

k

;

ωk

, uk,

p

k

)

−

ai

(·

, ωk, uk

, Duk,

p

k, D

p

k

;

ω, u,

p

)k

L

q

1

(Q

T

)

= 0

.

❥✁❵❧ ♦ ❲❚ ③

♥❙❩

(

w, v1, v2

)

∈

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

✐❝❞♠❳❖❲❞P

bi

:

QT

×

R

×

R

×

R

n+1

×

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

→

R

❥

i

= 0

, . . . , n

❧ ◆❘❨❙ ❳◆❙ Ú❘❚❘❳◆✔❲❩❲❚❭ ◗❚❲◗❙❚❳❭❦ ❖❜❙❜❦ ❳◆❙❭ ❘❚❙ ❱❙❘P❝❚❘❬❤❙ ❖❞

(

t, x

)

∈

QT

✐❲❚ ❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0, η0, η

)

∈

R

×

R

×

R

n+1

❘❞❩ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ❖❞

(

ξ, ζ0, η0, η

)

∈

R

×

R

×

R

n+1

✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❜

❥✁❴❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞

ˆ

c1

:

R

→

R

+

❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

ˆ

c

1

:

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

→

R

+

❦

ˆ

k1

:

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

→

L

q

2

(

QT

)

P❝♠◆ ❳◆❘❳

|

bi

(

t, x, ξ, ζ0, η0, η

;

w, v1, v2

)| ≤

ˆ

c

1

(

w, v1, v2

)ˆ

c1

(

ξ

)

|

η0

|

p

2

−

1

+

|

η

|

p

2

−

1

+

|

ζ0

|

p

1

q

2

+ [ˆ

k1

(

w, v1, v2

)](

t, x

)

✐❲❚❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

Q

T

❘❞❩❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ

0

, η

0

, η

)

∈

R

×

R

×

R

n+1

❦

(

w, v

1

, v

2

)

∈

L

∞

(

Q

T

)

×

X

1

×

X

2

❥

i

= 0

, . . . , n

❧❜

❥✁♣❧ ▼◆❙❚❙❙♥❖P❳P❘♠❲❞P❳❘❞❳

ˆ

C >

0

P❝♠◆❳◆❘❳✐❲❚❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❦❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0, η0, η

)

❦

(

ξ, ζ0,

η0,

˜

η

˜

)

∈

R

×

R

×

R

n+1

❘❞❩

(

w, v1, v2

)

∈

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

n

X

i=0

(

bi

(

t, x, ξ, ζ0, η0, η

;

w, v1, v2

)

−

bi

(

t, x, ξ, ζ0,

η0,

˜

η

˜

;

w, v1, v2

)) (

ηi

−

ηi

˜

)

≥

C

ˆ

·

(|

η0

−

η0

˜

|

p

2

+

|

η

−

η

˜

|

p

2

)

.

❥✁t❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞P❳❘❞❳

ˆ

c2

>

0

❦ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞

ˆ

γ

:

R

→

R

❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

ˆ

Γ :

L

∞

(

QT

)

→

L

∞

(

QT

)

❦

ˆ

k2

:

X2

→

L

1

(

QT

)

P❝♠◆ ❳◆❘❳

n

X

i=0

bi

(

t, x, ξ, ζ0, η0, η

;

w, v1, v2

)

ηi

≥

c2

ˆ

(|

η0

|

p

2

+

|

η

|

p

2

)

−

γ

ˆ

(

ξ

)[ˆ

Γ(

w

)](

t, x

)

|

ζ0

|

p

1

+ [ˆ

k2

(

v2

)](

t, x

)

✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❦ ❘❞❩ ❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0, η0, η

)

∈

R

×

R

×

R

n+1

❦

(

w, v1, v2

)

∈

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

❜ ♦❝❚❳◆❙❚❦

lim

k

v

2

k

X

2

→∞

k

k2

ˆ

(

v2

)k

L

1

(Q

T

)

k

v2

k

p

2

X

2

= 0

.

❥ ⑨❧

❥✁⑩❧ q✐

(

ωk

)

❖P❬❲❝❞❩❙❩❖❞

L

∞

(

QT

)

❦

ωk

→

ω

❘❜❙❜❖❞

QT

❘❞❩

uk

→

u

❯❙❘❪❤❭❖❞

X1

❦P❳❚❲❞❡❤❭❖❞

L

p

1

(

QT

)

❦✐❝❚❳◆❙❚❦

p

k

→

p

❯❙❘❪❤❭ ❖❞

X2

❳◆❙❞

lim

k

→∞

k

bi

(·

, ωk, uk

,

p

k, D

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k

;

ωk

, uk,

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)

−

bi

(·

, ωk

, uk,

p

k

, D

p

k

;

ω, u,

p

)k

L

q

2

(Q

T

)

= 0

.

❥♦❵❧ ♦ ❲❚③♥❙❩

v

∈

X1

✐❝❞♠❳❖❲❞

f

:

QT

×

R

2

×

L

∞

(

QT

)×

X1

→

R

❖P❘Ú❘❚❘❳◆✔❲❩❲❚❭✐❝❞♠❳❖❲❞❦❖❜❙❜❦❖❳❖P❱❙❘P❝❚❘❬❤❙ ❖❞

(

t, x

)

∈

QT

✐❲❚ ❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0

)

∈

R

2

❘❞❩ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ❖❞

(

ξ, ζ0

)

∈

R

2

✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❜ ♦ ❝❚❳◆❙❚❦ ❳◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚

K

1

:

X1

→

R

+

P❝♠◆ ❳◆❘❳ ❥❖❧ ✐❲❚ ❙❨❙❚❭ ❬❲❝❞❩❙❩ P❙❳

I

⊂

R

❳◆❙❚❙ ❖P ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞

K1

:

R

→

R

+

P❘❳❖P✐❭❖❞❡

|

K1

(

ζ0

)| ≤

d1

|

ζ0

|

p

q

1

2

+

d2

✐❲❚❙❨❙❚❭

ζ0

∈

R

❦❯❖❳◆ P❲❱❙ ❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙ ♠❲❞P❳❘❞❳P

d1, d2

❥❩❙◗❙❞❩❖❞❡ ❲❞

I

❧❦ ❥❖❖❧ ✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❦❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0

)

,

( ˜

ξ, ζ0

)

∈

I

×

R

❘❞❩ ❙❨❙❚❭

v

∈

X1

❦

|

f

(

t, x, ξ, ζ0

;

v

)

−

f

(

t, x,

ξ, ζ0

˜

;

v

)| ≤

K

1

(

v

)

K1

(

ζ0

)

· |

ξ

−

ξ

˜

|

.

❥♦❴❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚

K

2

:

X1

→

R

+

❘❞❩ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P✐❝❞♠❳❖❲❞

K2

:

R

→

R

+

P❝♠◆ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❦ ❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0

)

,

(

ξ,

ζ0

˜

)

∈

R

2

❘❞❩

v

∈

X1

|

f

(

t, x, ξ, ζ0

;

v

)

−

f

(

t, x, ξ,

ζ0

˜

;

v

)| ≤

K

2

(

v

)

K2

(

ξ

)

· |

ζ0

−

ζ0

˜

|

.

❥♦♣❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P

ω

∗

∈

L

∞

(Ω)

P❝♠◆ ❳◆❘❳✐❲❚❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

QT

❦❙❨❙❚❭

(

ξ, ζ0

)

∈

R

2

❘❞❩

v

∈

X1

❦

(

ξ

−

ω

∗

(

x

))

·

f

(

t, x, ξ, ζ0

;

v

)

≤

0

.

❥♦t❧ q✐

(

ωk

)

❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞

L

∞

(

QT

)

❘❞❩

uk

→

u

P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞

L

p

1

(

QT

)

❳◆❙❞

lim

(4)

q✐❳◆❙❘❬❲❨❙❘PP❝❱◗❳❖❲❞P❘❚❙P❘❳❖P③❙❩ ❯❙❱❘❭❩❙③❞❙❲◗❙❚❘❳❲❚P

A

:

L

∞

(

QT

)×

X1

×

X2

→

X

∗

1

❦

B

:

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

→

X

2

∗

❬❭s

[

A

(

ω, u,

p

)

, v1

] :=

Z

Q

T

n

X

i=1

ai

(

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(

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)

, u

(

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)

, Du

(

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,

p

(

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)

, D

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(

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);

ω, u,

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Div1

(

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dt dx

+

Z

Q

T

a0

(

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(

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)

, u

(

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)

, Du

(

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,

p

(

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)

, D

p

(

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);

ω, u,

p

)

v1

(

t, x

)

dt dx,

❥❵Û❧

[

B

(

ω, u,

p

)

, v2

] :=

Z

Q

T

n

X

i=1

bi

(

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(

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)

, u

(

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,

p

(

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, D

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(

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);

ω, u,

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Di

v2

(

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dt dx

+

Z

Q

T

b0

(

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(

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)

, u

(

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,

p

(

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)

, D

p

(

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);

ω, u,

p

)

v2

(

t, x

)

dt dx,

❥❵❵❧

✐❲❚

v1

∈

X1

❘❞❩

v2

∈

X2

❜q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞❦❤❙❳ ❝P ❖❞❳❚❲❩❝♠❙ ❳◆❙ ❤❖❞❙❘❚❲◗❙❚❘❳❲❚

L

:

D

(

L

)

→

X

1

∗

❬❭

D

(

L

) =

{

u

∈

X1

:

Dtu

∈

X

1

∗

, u

(0) = 0}

,

Lu

=

Dtu.

❥❵❴❧

✁❭ ❳◆❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ❘❬❲❨❙❯❙ ❱❘❭❩ ❙③

❞❙❳◆❙❯❙❘❪ ✐❲❚❱ ❲✐ P❭P❳❙❱ ❥⑩❧✍❥⑦❧❘P

ω

(

t, x

) =

ω

0

(

x

) +

Z

t

0

f

(

s, x, ω

(

s, x

)

, u

(

s, x

);

u

)

ds

✐❲❚ ❘❜❘❜

(

t, x

)

∈

Q

T

❥❵♣❧

Lu

+

A

(

ω, u,

p

) =

G

❥❵t❧

B

(

ω, u,

p

) =

H

❥❵⑩❧

❯◆❙❚❙

G

∈

X

1

∗

❘❞❩

H

∈

X

2

∗

❘❚❙❡❖❨❙❞ ❬❭

[

G, v1

] =

Z

Q

T

g

(

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)

v1

(

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)

dt dx,

[

H, v2

] =

Z

Q

T

h

(

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)

v2

(

t, x

)

dt dx

❯◆❙❚❙

vi

∈

Xi

❥

i

= 1

,

2

❧❜ q❳ ❖P ❯❙❤❤ ❪❞❲❯❞ ❥P❙❙❦ ❙❜❡❜❦ ❫❴Û❛❧ ❳◆❘❳ ❲❞❙ ❲❬❳❘❖❞P ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❯❙❘❪ ✐❲❚❱ ❬❭ ❳❘❪❖❞❡ P❝⑥♠❖❙❞❳❤❭ P❱❲❲❳◆ P❲❤❝❳❖❲❞P❦ ❝P❖❞❡ ✄❚❙❙❞☎P ❳◆❙❲❚❙❱ ❘❞❩

③

❞❘❤❤❭ ♠❲❞P❖❩❙❚❖❞❡ ❳◆❙ ❯◆❲❤❙ P❭P❳❙❱ ❖❞ ❳◆❙ P◗❘♠❙

L

p

(0

, T

;

V

)

❜Ú❤❙❘❚❤❭❦❖✐❳◆❙❬❲❝❞❩❘❚❭♠❲❞❩❖❳❖❲❞❖P◆❲❱❲❡❙❞❙❲❝P⑤❙❝❱❘❞❞❳◆❙❞

V

=

W

1,p

(Ω)

❥ P❖❞♠❙❳◆❙❬❲❝❞❩❘❚❭ ❳❙❚❱ ❨❘❞❖P◆❙P❖❞ ✄❚❙❙❞☎P ❳◆❙❲❚❙❱❧❘❞❩❖✐❯❙◆❘❨❙◆❲❱❲❡❙❞❙❲❝P➀❖❚❖♠◆❤❙❳❬❲❝❞❩❘❚❭♠❲❞❩❖❳❖❲❞❳◆❙❞

V

=

W

₀

1,p

(Ω)

❥❖❞ ❲❚❩❙❚❳❲ ❙❤❖❱❖❞❘❳❙❳◆❙❬❲❝❞❩❘❚❭❳❙❚❱ ❖❞ ✄❚❙❙❞☎P❳◆❙❲❚❙❱❧❜♦ ❝❚❳◆❙❚❦❖✐❯❙◆❘❨❙❘ ◗❘❚❳❖❳❖❲❞❦✐❲❚❙♥❘❱◗❤❙❖❞❲❞❙

❩❖❱❙❞P❖❲❞ ❯❖❳◆ ◆❲❱❲❡❙❞❲❝P ➀❖❚❖♠◆❤❙❳ ❘❞❩ ⑤❙❝❱❘❞❞ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❳◆❙❞

V

=

{

v

∈

W

1,p

1

(0

,

1) :

v

(0) =

0

, Dxv

(1) = 0}

❜

✆ ✝✞▲✟❋✠❊❑✠ ❍✡ ✟❍☛❏❋▲❍❊✟

q❞ ❳◆❖P P❙♠❳❖❲❞ ❯❙◗❚❲❨❙

☞✌✍✎✏✍✑ ✒✓ ✔✕ ✖✖✗✘✙ ✚✛✜✚ ✢✗✣✤✥✚✥✗✣✘

✦✧★✩✪✦✧✫✩✬ ✦✭

★✩✪ ✦✭

✫✩✬ ✦✮

★✩✪ ✦✮

✯✩ ✜✰✙ ✱

✕✲✳

✲✲✙✤✴ ✵✛✙✣ ✱✗✰ ✙✶✙✰✷

ω0

∈

L

∞

(Ω)

✬

G

∈

X

∗

1

✜✣✤

H

∈

X

∗

2

✚✛✙✰✙ ✙ ✸✥✘✚✘ ✜ ✘✗✲✕✚✥✗✣

ω

∈

L

∞

(

QT

)

, u

∈

D

(

L

)

,

p

∈

L

p

2

(0

, T

;

V2

)

✗✱ ✖✰✗✹✲✙✺

❥❵♣ ❧✪❥❵⑩

❧✴

♦❖❚P❳ ❯❙ ✐❲❚❱❝❤❘❳❙ P❲❱❙ P❳❘❳❙❱❙❞❳P ❚❙❤❘❳❙❩ ❳❲ ❳◆❙ P❲❤❨❘❬❖❤❖❳❭ ❲✐❳◆❙ ❘❬❲❨❙❙✈❝❘❳❖❲❞P ❥❵♣❧ ✍❥❵⑩❧❜

✻✏✎✼✎✽✾✿✾✎❀ ❁✓ ✧✘✘✕✺✙ ✚✛✜✚ ✢✗✣✤✥✚✥✗✣✘ ✦✮ ★✩✬

✦✮ ❂✩

✜✰✙ ✘✜✚✥✘✳✙✤✴ ✵✛✙✣✱✗✰ ✙✶✙✰✷✳✸✙✤

u

∈

L

p

1

(

QT

)

✜✣✤

ω0

∈

L

∞

(

QT

)

✚✛✙✰✙ ✙ ✸✥✘✚✘ ✜ ✕✣✥❃✕✙ ✘✗✲✕✚✥✗✣

ω

∈

L

∞

(

QT

)

✗✱ ✚✛✙ ✥✣✚✙ ❄

✰✜✲ ✙❃✕✜✚✥✗✣ ❥❵♣❧✬

✱✕✰✚✛ ✙✰✬

✱✗✰ ✚✛✙ ✘✗✲✕✚✥✗✣

ω

✬

✙✘✚✥✺✜✚✙

k

ω

k

L

∞

(Q

T

)

≤ k

ω0

k

L

∞

(Ω)

+

k

ω

∗

k

L

∞

(Ω)

✛✗✲✤✘✴

❅✰✗✗✱✴ q❱❱❙❩❖❘❳❙❤❭✐❲❤❤❲❯P✐❚❲❱ Ù❚❲◗❲P❖❳❖❲❞ ❴❜♣ ❖❞ ❫r❛ P❖❞♠❙ ✐❲❚ ③♥

❙❩ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❨❘❚❖❘❬❤❙

u

❦ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥ ♦❵❧ ❖P❳◆❙ P❘❱❙ ❘P ❖❞ ❳◆❙♠❖❳❙❩ ◗❘◗❙❚❜

✻✏✎✼✎✽✾✿✾✎❀ ❆✓ ✧

✘✘✕✺✙✦✮ ★✩✪

✦✮ ✯✩

✜✣✤ ✲✙✚

(

u

k

)

⊂

L

p

1

(

Q

T

)

✬ ✱✕✰✚✛

✙✰✬ ✲✙✚

ω

k

✹✙✚✛✙✘✗✲✕✚✥✗✣ ✗✱ ❥❵♣❧✢✗✰✰✙✘✖✗✣✤✥✣ ❄

✚✗

u

k

✴❇✱

u

k

→

u

✥✣

L

p

1

(

Q

T

)

✚✛✙✣

ω

k

→

ω

✜✴✙✴ ✥✣

Q

T

❈ ✛✙✰✙

ω

✥✘ ✚✛✙ ✘✗✲✕✚✥✗✣ ✗✱ ❥❵♣❧ ✢✗✰✰✙✘✖✗✣✤✥✣ ❄

✚✗

(5)

❅✰✗✗✱✴ ✂❙ ❱❘❭ ❘PP❝❱❙ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘❜❘❜

x

∈

Ω

❦

uk

(·

, x

)

→

u

(·

, x

)

❜ ♦❖♥ P❝♠◆ ❘ ◗❲❖❞❳

x

∈

Ω

❜ Ú❲❞P❖❩❙❚ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ❙P❳❖❱❘❳❙s

|

ωk

(

t, x

)

−

ω

(

t, x

)| ≤

Z

t

0

|

f

(

s, x, ωk

(

s, x

)

, uk

(

s, x

);

uk

)

−

f

(

s, x, ωk

(

s, x

)

, uk

(

s, x

);

u

)|

ds

+

Z

t

0

|

f

(

s, x, ωk

(

s, x

)

, uk

(

s, x

);

u

)

−

f

(

s, x, ω

(

s, x

)

, u

(

s, x

);

u

)|

ds.

▼◆❙ ③❚P❳ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ♠❲❞❨❙❚❡❙P❳❲ Û ✐❲❚ ❘❜❘❜

x

∈

Ω

❬❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥♦t❧❦✐❝❚❳◆❙❚❦❬❭ ❥♦❵❧❦ ❥♦❴❧❖❳ ❖P ❙❘P❭ ❳❲ P◆❲❯ ❳◆❘❳ ❳◆❙ P❙♠❲❞❩ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ❖P ❤❙PP❳◆❙❞

const

·

Z

t

0

|

ωk

(

s, x

)

−

ω

(

s, x

)|

p

2

ds

1/p

2

+ const

·

Z

T

0

|

uk

(

s, x

)

−

u

(

s, x

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ds.

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(

t, x

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−

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(

t, x

)|

p

2

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const

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Z

t

0

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ωk

(

s, x

)

−

ω

(

s, x

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p

2

ds

+

r

(

uk, ωk

)

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r

(

uk, ωk

)

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k

→ ∞

❜▼◆❝P ✄❚❲❞❯❘❤❤☎P ❤❙❱❱❘ ❭❖❙❤❩P

|

ωk

(

t, x

)

−

ω

(

t, x

)| ≤

const

·

r

(

uk

)

→

0

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(

ωk

)

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ω

∈

L

∞

(

QT

)

✬

p

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X2

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G

∈

X

1

∗

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u

∈

D

(

L

)

✗✱ ✖✰✗✹✲✙✺

Lu

+

A

(

ω, u,

p

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G

✴

❅✰✗✗✱✴ ▼◆❙ ◗❚❲❲✐ ✐❲❤❤❲❯P ✐❚❲❱ ▼◆❙❲❚❙❱ ❵❜❵ ❖❞ ❫❴❴❛ ❥❬❘P❙❩ ❲❞ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❭ ❲✐ ❱❲❞❲❳❲❞❙ ❳❭◗❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P❦ P❙❙ ❫t❛❧

P❖❞♠❙ ✐❲❚ ③♥❙❩

ω

∈

L

∞

(

QT

)

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p

∈

X2

♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❥❣❵❧✍❥❣⑩❧❖❱◗❤❭ ❳◆❘❳ ❲◗❙❚❘❳❲❚

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(

ω,

·

,

p

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X1

→

X

1

∗

✐❝❤③❤P

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✻

✏✎✼✎✽✾✿✾✎❀ ✂✓ ✔✕ ✖✖✗✘✙ ✚✛✜✚ ✦✭

★✩✪ ✦✭

✫✩

✛✗✲✤✴ ✵✛✙✣ ✱✗✰ ✙✶✙✰✷ ✳

✸✙✤

ω

∈

L

∞

(

QT

)

✬

u

∈

X1

✜✣✤

H

∈

X

∗

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✚✛✙✰✙

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p

∈

X2

✗✱ ✖✰✗✹✲✙✺

B

(

ω, u,

p

) =

H

✴

❅✰✗✗✱✴ ▼◆❙ P❳❘❳❙❱❙❞❳ ✐❲❤❤❲❯P ✐❚❲❱ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❭ ❲✐ ❱❲❞❲❳❲❞❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ❥P❙❙ ❫ ❴⑦❛❧ P❖❞♠❙ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❥ ✁❵❧✍❥✁⑩❧

❖❱◗❤❭ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP❦❩❙❱❖♠❲❞❳❖❞❝❖❳❭❦◗P❙❝❩❲❱❲❞❲❳❲❞❖♠❖❳❭❘❞❩ ♠❲❙❚♠❖❨❙❞❙PP ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚

B

(

ω, u,

·) :

X2

→

X

2

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ω

∈

L

∞

(

QT

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, u

∈

X1

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❅

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✴

▼◆❙❖❩❙❘❖PP❖❱❖❤❘❚❘P❖❞ ❫r❛❜✂❙❩❙③❞❙P❙✈❝❙❞♠❙P❲✐❘◗◗❚❲♥❖❱❘❳❙P❲❤❝❳❖❲❞P❲✐◗❚❲❬❤❙❱ ❥❵♣❧✍

❥❵⑩❧ ❘❞❩ ❯❙ P◆❲❯ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙P❙ P❙✈❝❙❞♠❙P❜ ✁❭ ❝P❖❞❡ ❳◆❙ ❩❖❘❡❲❞❘❤ ❱❙❳◆❲❩ ❯❙ ❯❖❤❤ ♠◆❲❲P❙ ❯❙❘❤❪❭

♠❲❞❨❙❚❡❙❞❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❘❞❩ ❯❙ ❨❙❚❖✐❭ ❳◆❘❳ ❳◆❙ ❯❙❘❪ ❤❖❱❖❳P ❲✐ ❳◆❙ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❘❚❙ P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ❳◆❙ ◗❚❲❬❤❙❱❜

♦❲❚ P❖❱◗❤❖♠❖❳❭❦❖❞ ❳◆❙◗❚❲❲✐ ❯❙❲❱❖❳ ❳◆❙ ❨❘❚❖❘❬❤❙

(

t, x

)

❲✐✐❝❞♠❳❖❲❞P

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❦

bi

❖✐ ❖❳ ❖P ❞❲❳ ♠❲❞✐❝P❖❞❡❜ ✔✚✙✖

★✄

✜✖✖✰✗✸✥✺✜✚✥✗✣✴

➀❙③❞❙❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P

(

ωk

)

,

(

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)

,

(

p

k

)

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(

t, x

)

≡

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(

t, x

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≡

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t, x

)

≡

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t, x

)

∈

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k

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,

1

, . . .

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p

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(

t, x

) =

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(

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s, x

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(

s, x

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,

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❥❵⑧❧

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ωk+1

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L

∞

(

QT

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p

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ωk

)

⊂

L

∞

(

QT

)

,

(

uk

)

⊂

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(

p

k

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⊂

X2

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ω0

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L

∞

(Ω)

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L

∞

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L

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L

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∞

(

QT

)

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v

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❖❞ ❥❵⑦❧ ❘❞❩ ❬❭ ❝P❖❞❡ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥❣t❧ ❘❞❩ ❳◆❙ ❱❲❞❲❳❲❞❖♠❖❳❭ ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚

L

❯❙ ❲❬❳❘❖❞

[

G, uk+1

] = [

Luk+1, uk+1

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p

k

)

, uk+1

]

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|

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|

p

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(

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)Γ(

ωk

)

k2

(

uk+1

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≥

c2

k

uk+1

k

X

1

k

uk+1

k

p

1

−

1

X

1

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γ

(

ωk

)Γ(

ωk

)k

L

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T

)

·

k

k2

(

uk+1

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L

1

(Q

T

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k

uk+1

k

X

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.

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(

ωk

)

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k

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k

p

1

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1

X

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·

k

k2

(

uk+1

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L

1

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T

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k

uk+1

k

p

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1

(6)

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(

uk

)

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X1

❜ ▼◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐

(

p

k

)

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X2

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(

ωk

)

❦

(

uk

)

❜

✂❙ ❞❙❙❩ ❘❤P❲ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙

(

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)

❖❞

X

∗

1

❜✁❭ ❶ ❤❩❙❚☎P❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭

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(

ωk

, uk+1,

p

k

)

, v

]| ≤

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X

i=0

k

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(

ωk, uk+1, Duk+1,

p

k

, D

p

k

;

ωk, uk+1,

p

k

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L

q

1

(Q

T

)

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· k

v

k

X

1

.

❘❞❩ ✐❚❲❱ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥❣❴❧ ❖❳✐❲❤❤❲❯P❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘❤❤

i

k

ai

(

ωk

, uk+1, Duk+1,

p

k

, D

p

k

;

ωk, uk+1,

p

k

)k

L

q

1

(Q

T

)

≤

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·

c1

(

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)

c

1

(

ωk

, uk+1,

p

k

)

k

uk+1

k

p

1

X

1

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k

p

k

p

2

X

2

+

k

k1

(

ωk

, uk+1,

p

k

)k

L

q

1

(Q

T

)

.

▼◆❙❚❙✐❲❚❙❬❭ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P

(

ωk

)

,

(

uk

)

,

(

p

k

)

❘❞❩ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

c1,

c

1, k2

❯❙

♠❲❞♠❤❝❩❙

|[

Luk+1, v

]|

=

|[

A

(

ωk

, uk+1,

p

k

) +

G, v

]| ≤

const

· k

v

k

X

1

P❲

(

Luk

)

❖P ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ P❙✈❝❙❞♠❙❖❞

X

1

∗

❜

✔✚✙✖ ❂✄

✢✗✣✶✙✰ ❄

✙✣✢✙✴ ➀❝❙❳❲❳◆❙❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP❲✐❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P

(

uk

)

,

(

Luk

)

,

(

p

k

)

❥❖❞ ❚❙❢❙♥❖❨❙✁❘❞❘♠◆ P◗❘♠❙P❧

❙❘♠◆ ◆❘P ❘ ❯❙❘❪❤❭ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦ ❬❭ ❘◗◗❤❭❖❞❡ ❘ ❯❙❤❤ ❪❞❲❯❞ ❙❱❬❙❩❩❖❞❡ ❳◆❙❲❚❙❱ ❥P❙❙ ❫ ❴Û❛❧

❖❳ ✐❲❤❤❲❯P ❳◆❘❳ ❳◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❥❯◆❖♠◆ ❯❖❤❤ ❬❙ ❩❙❞❲❳❙❩ P❘❱❙ ❘P ❳◆❙ ❲❚❖❡❖❞❘❤ P❙✈❝❙❞♠❙P❧ ❘❞❩ ✐❝❞♠❳❖❲❞P

ω

∈

L

∞

(

QT

)

❦

u

∈

X1

❦

p

∈

X2

P❝♠◆ ❳◆❘❳

uk

→

u

❯❙❘❪❤❭❖❞

X1,

P❳❚❲❞❡❤❭❖❞

L

p

1

(

QT

)

,

❘❜❙❜❖❞

QT

;

Luk

→

Lu

❯❙❘❪❤❭ ❖❞

X

1

∗

;

p

k

→

p

❯❙❘❪❤❭❖❞

X2.

q❞ ❯◆❘❳✐❲❤❤❲❯P❦❯❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳

ω, u,

p

❘❚❙P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ◗❚❲❬❤❙❱ ❥❵♣❧ ✍❥❵⑩❧❜

①❖❞♠❙

uk

→

u

❖❞

L

p

1

(

QT

)

❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦

ωk+1

❖P ❳◆❙ P❲❤❝❳❖❲❞ ❲✐ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵r❧❦ ❬❭ Ù❚❲◗❲P❖❳❖❲❞ ♣ ❖❳ ✐❲❤❤❲❯P ❳◆❘❳

ωk

→

ω

❘❜❙❜ ❖❞

QT

❘❞❩ ✐❝❞♠❳❖❲❞P

ω, u

P❘❳❖P✐❭ ❳◆❙ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵♣❧❜ ⑤❲❯ ❤❙❳ ❝P ♠❲❞P❖❩❙❚❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵⑧❧❜♦❖❚P❳ ❯❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳

p

k

→

p

❖❞

X2

❜ ▼❲ ❳◆❖P ❙❞❩❦❤❙❳ ❝P ❖❞❳❚❲❩❝♠❙❲◗❙❚❘❳❲❚

˜

B

:

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

×

L

∞

(

QT

)

×

X1

×

X2

→

X

2

∗

❬❭

[ ˜

B

(

ω, u,

p

;

w, v1, v2

)

, z2

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Z

Q

T

n

X

i=1

bi

(

t, x, ω

(

t, x

)

, u

(

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,

p

(

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)

, D

p

(

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);

w, v1

, v2

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(

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dt dx

+

Z

Q

T

b0

(

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(

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)

, u

(

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,

p

(

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)

, D

p

(

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);

w, v1

, v2

)

z2

(

t, x

)

dt dx

❥❵⑨❧

✐❲❚

z2

∈

X2

❜ ✉❬P❙❚❨❙

B

(

ω, u,

p

) = ˜

B

(

ω, u,

p

;

ω, u,

p

)

❜✁❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥ ✁♣❧❯❙◆❘❨❙

[ ˜

B

(

ωk, uk,

p

k+1

;

ω, u,

p

)

−

B

˜

(

ωk, uk,

p

;

ω, u,

p

)

,

p

k+1

−

p

]

≥

C

ˆ

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p

k+1

−

p

k

p

X

2

.

❥❴Û❧

✉❞ ❳◆❙ ❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙❲✐❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭ ❯❙ ◆❘❨❙❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ❩❙♠❲❱◗❲P❖❳❖❲❞s

[ ˜

B

(

ωk

, uk,

p

k+1

;

ω, u,

p

)

−

B

˜

(

ωk, uk,

p

;

ω, u,

p

)

,

p

k+1

−

p

] = [ ˜

B

(

ωk, uk

,

p

k+1

;

ωk

, uk,

p

k+1

)

,

p

k+1

−

p

]+

+ [ ˜

B

(

ωk, uk

,

p

k+1

;

ω, u,

p

)

−

B

˜

(

ωk, uk,

p

k+1

;

ωk, uk,

p

k+1

)

,

p

k+1

−

p

]+

+ [ ˜

B

(

ω, u,

p

;

ω, u,

p

)

−

B

˜

(

ωk, uk,

p

;

ω, u,

p

)

,

p

k+1

−

p

]

−

[ ˜

B

(

ω, u,

p

;

ω, u,

p

)

,

p

k+1

−

p

]

.

❥❴❵❧

✂❙P◆❲❯❳◆❘❳❙❘♠◆❳❙❚❱ ❲❞❳◆❙❚❖❡◆❳◆❘❞❩P❖❩❙❳❙❞❩P❳❲ Û❜✁❭❚❙♠❝❚❚❙❞♠❙❥❵⑧❧❦

˜

B

(

ωk

, uk,

p

k+1

;

ωk, uk

,

p

k+1

) =

H

❦

✐❝❚❳◆❙❚❦

p

k+1

→

p

❯❙❘❪❤❭❖❞

X2

❯◆❖♠◆ ❖❱◗❤❖❙P❳◆❙♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙❲✐ ❳◆❙ ③❚P❳

❘❞❩ ❳◆❙ ❤❘P❳ ❳❙❚❱❜▼◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙

❲✐ ❳◆❙ P❙♠❲❞❩ ❳❙❚❱ ✐❲❤❤❲❯P ✐❚❲❱ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁⑩❧❜ q❞ ❲❚❩❙❚ ❳❲ ❨❙❚❖✐❭ ❳◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙ ❲✐ ❳◆❙ ❳◆❖❚❩ ❳❙❚❱❦ ❲❬P❙❚❨❙

❳◆❘❳

|[ ˜

B

(

ωk, uk,

p

;

ω, u,

p

)

−

B

˜

(

ω, u,

p

;

ω, u,

p

)

,

p

k+1

−

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]| ≤

≤

n

X

i=0

k

bi

(

ωk

, uk,

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, D

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;

ω, u,

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)

−

bi

(

ω, u,

p

, D

p

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ω, u,

p

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L

q

2

(Q

T

)

· k

p

k+1

−

p

k

X

2

❥❴❴❧

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|

bi

(

ωk, uk

,

p

, D

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;

ω, u,

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)

−

bi

(

ω, u,

p

, D

p

;

ω, u,

p

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q

2

≤

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ˆ

c

1

(

ω, u,

p

)

·

(|ˆ

c1

(

ωk

)|

q

2

+

|ˆ

c1

(

ω

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q

2

)

|

p

|

p

2

+

|

D

p

|

p

2

+

|

uk

|

p

1

+

|

u

|

p

1

+

|

ˆ

k1

(

ω, u,

p

)|

q

2

(7)

➀❝❙ ❳❲ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐

(

ωk

)

❖❞

L

∞

(

QT

)

❘❞❩ ❳◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙❲✐

(

uk

)

❖❞

L

p

1

(

QT

)

❳◆❙ ❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ❲✐ ❳◆❙

❘❬❲❨❙❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭❖P❙✈❝❖ ❖❞❳❙❡❚❘❬❤❙ ❥P❙❙❫❵Û❛❧❦❖❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞❦❖❳ ❘❜❙❜♠❲❞❨❙❚❡❙P❳❲ Û❦❳◆❙❚❙✐❲❚❙❬❭✁❖❳❘❤❖☎P❳◆❙❲❚❙❱ ❳◆❙

❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙P ❖❞

L

1

(

QT

)

❳❲ ❳◆❙ ④❙❚❲ ✐❝❞♠❳❖❲❞❜ ▼◆❝P ❥❬❙♠❘❝P❙ ❲✐ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐

(

p

k

)

❧ ❳◆❙ ❚❖❡◆❳

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❖❱◗❤❖❙P

p

k+1

→

p

❖❞

X2

❜

⑤❲❯ ❬❭ ❝P❖❞❡ ❳◆❙ P❘❱❙ ❘❚❡❝❱❙❞❳P ❘P ❖❞ ❫r❛ ❲❞❙ ❲❬❳❘❖❞P❳◆❘❳

˜

B

(

ωk, uk

,

p

k+1

;

ω, u,

p

)

→

B

˜

(

ω, u,

p

;

ω, u,

p

) =

B

(

ω, u,

p

)

❯❙❘❪❤❭ ❖❞

X

2

∗

❜ ♦ ❝❚❳◆❙❚❦ ❬❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥ ✁⑩❧ ❖❳ ❖P ❞❲❳ ❩❖⑥♠❝❤❳ ❳❲ P❙❙ ❳◆❘❳

˜

B

(

ωk, uk,

p

k+1

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B

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π, ϕ, ψ, P, Q

❜

❬❧ ✉◗❙❚❘❳❲❚P

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π,

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L

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(

QT

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→

L

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QT

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1

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1

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v1

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→

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C

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κ, λ, ϑ, R, S

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❖P ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P❦ ✐❝❞♠❳❖❲❞

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R

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X

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2

−

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p

2

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r

2

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k

v2

k

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.

✻✏✎✼✎✽✾✿✾✎❀ ☎✓ ✧

✘✘✕✺✙ ✚✛✜✚ ✆ ★✝✆

☎ ✛ ✗✲✤✬

✚✛✙✣✱✕✣✢✚✥✗✣✘ ❥❴♣ ❧✪

❥❴⑩❧✱ ✕✲✳

✲ ✢✗✣✤✥✚✥✗✣✘

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✫✩ ✴

✁❭ ❝P❖❞❡ ✞❲❝❞❡☎P ❘❞❩ ❶ ❤❩❙❚☎P ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❖❙P❖❳ ❖P❞❲❳ ❩❖⑥♠❝❤❳ ❳❲ ◗❚❲❨❙❳◆❙ ❘❬❲❨❙ P❳❘❳❙❱❙❞❳❦❘ ❩❙❳❘❖❤❙❩ ◗❚❲❲✐

♠❘❞ ❬❙✐❲❝❞❩ ❖❞ ❫ ⑩❛�