GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE :Aplikasi Pada Peramalan Penjualan Speedy di Bandung Barat.

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Data yang mempunyai keterkaitan dengan kejadian-kejadian sebelumnya seringkali dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Data semacam ini disebut data runtun waktu atau time series yang umumnya terdiri atas pengamatan dari beberapa variabel atau yang dikenal dengan runtun waktu multivariat (Box dkk.,1994).

Perkembangan mengenai analisis runtun waktu memunculkan pemikiran bahwa beberapa data dari suatu kejadian tidak hanya mempunyai keterkaitan dari kejadian-kejadian pada waktu sebelumnya tetapi juga mempunyai keterkaitan dengan lokasi yang disebut dengan data space-time. Model space-time adalah salah satu model yang menggabungkan faktor waktu dan lokasi pada data runtun waktu multivariate yang pertama kali diperkenalkan oleh Pfeifer dan Deutsch (1980). Contoh data runtun waktu dan lokasi adalah data kejahatan pada 14 wilayah di Negara Bagian Boston Tenggara (Preifer dan Deutsch, 1980) dan data produksi minyak bumi (Ruchjana, 2002). Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan kasus data runtun waktu dan lokasi adalah model Space-Time

Autoregressive (STAR) yang menggabungkan faktor waktu dan lokasi pada suatu

Model STAR pertama kali diperkenalkan oleh Preifer dan Deutsch dan telah digunakan untuk meramalkan tingkat kejahatan pada 14 wilayah di Negara Bagian Boston Tenggara pada tahun 1980 dan beberapa penelitian pada tahun-tahun berikutnya. Model STAR memiliki kelemahan yaitu dari segi aplikasi, model ini lebih sesuai untuk lokasi-lokasi dengan karakteristik serba sama (homogen), karena model STAR mengasumsikan parameter autoregressive dan parameter space-time bernilai sama untuk semua lokasi. Pada prakteknya lebih sering ditemukan fenomena lokasi dengan sifat heterogen, sehingga kelemahan model ini telah direvisi oleh Borovkova dkk.(2002) melalui suatu model yang dikenal dengan model Generalized Space-Time Autoregressive (GSTAR) dengan parameter-parameter yang tidak harus sama untuk faktor waktu maupun lokasi.

Untuk model yang umum, misalnya orde p dalam time dan orde

l=0,1,…,λ_{k dalam space, notasi GSTAR(p;l) dituliskan sebagai:}

( )

φ :Parameter AR pada lag time ke-k dan lag spasial ke-l

( )l

W : Matriks bobot N×N untuk spasial orde ke-l

( )t

ε : Galat berdistribusi normal untuk lokasi i~N(0,σ2₎

Data yang akan digunakan sebagai studi kasus pada tugas akhir ini adalah

3

dengan faktor waktu dan lokasi. Oleh karena itu data ini dapat diselesaikan dengan model STAR. Namun penjualan speedy memiliki keheterogenan yang cukup tinggi, diantaranya disebabkan oleh sinyal yang tidak stabil dan jaringan

fiber optic yang tidak merata di setiap lokasi sehingga mengakibatkan jumlah

penjualan speedy pada dua lokasi yang berdekatan dapat berbeda, dengan demikian model STAR dengan asumsi parameter autoregressive dan parameter

space-time bernilai sama untuk semua lokasi, tidak sesuai untuk kasus ini. Model

yang sesuai untuk menyelesaikan kasus ini adalah model GSTAR.

Salah satu permasalahan pada model GSTAR adalah pemilihan dan penentuan bobot lokasi. Pada tugas akhir ini akan dilakukan penerapan GSTAR dengan dua bobot lokasi, yaitu bobot seragam dan bobot dengan normalisasi korelasi silang antar lokasi pada lag waktu yang sesuai.

Oleh karena itu, tugas akhir ini diberi judul “GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE (Aplikasi Pada Peramalan Penjualan Speedy di Bandung Barat)”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, permasalahan yang akan diangkat dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana cara menaksir parameter pada model GSTAR? 2. Bagaimana cara menguji kecocokan model GSTAR?

4. Bagaimana cara melakukan peramalan terhadap Penjualan Speedy di Bandung Barat beberapa waktu mendatang?

1.3 Batasan Masalah

Pada penulisan tugas akhir ini identifikasi hanya dibatasi untuk model GSTAR(11), Generalized Space Time Autoregressive untuk lag time t=1 dan

spasial lag l=1 dengan menggunakan matriks bobot seragam dan matriks dengan normalisasi korelasi silang. Sebagai studi kasus akan diidentifikasi model GSTAR yang cocok untuk data penjualan speedy di Bandung Barat.

1.4. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan pembuatan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Menaksir parameter pada model GSTAR. 2. Melakukan uji kecocokan model GSTAR.

3. Menentukan model GSTAR dengan dua bobot lokasi yang sesuai untuk peramalan penjualan speedy di Bandung Barat.

5

1.5. Manfaat Penulisan 1.5.1. Manfaat Praktis

Tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan informasi pada perusahaan dalam peramalan penjualan speedy sehingga diharapkan menunjang manajemen pengelolaan.

1.5.2 Manfaat Teoritis

Bagi dunia akademik manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas akhir ini adalah memperoleh pemahaman yang lebih mendalam baik bagi penulis maupun bagi pembaca yang berkaitan dengan penerapan model GSTAR pada peramalan data runtun waktu dan lokasi.

1.6 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan studi literatur tentang Generalized Space Time Autoregressive 2. Identifikasi model yang tersedia

3. Menaksir parameter model GSTAR 4. Menguji kecocokan dari model GSTAR

1.7 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan pada pembahasan ini adalah: BAB I Pendahuluan

BAB II Landasan Teori

Mengemukakan landasan teori yang mendukung Bab III, diantaranya menjelaskan konsep-konsep dasar runtun waktu, model STAR dan model VAR.

BAB III Generalized Space Time Autoregressive

Membahas tentang model GSTAR, taksiran parameter, dan penentuan bobot lokasi optimal.

BAB IV Studi Kasus

Pembahasan mengenai simulasi untuk model generalized space time

autoregressive, diagnosis model dan peramalan.

BAB V Kesimpulan dan Saran

Mencoba merangkum keseluruhan hasil pembahasan dalam bentuk kesimpulan dan saran.

DAFTAR PUSTAKA

22

BAB III

GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE

3.1 Indeks Gini

Model GSTAR adalah salah satu model yang banyak digunakan untuk memodelkan dan meramalkan data deret waktu dan lokasi. Model ini merupakan pengembangan model STAR yang diperkenalkan oleh Pfeifer dan Deutsch. Karena model STAR hanya dapat digunakan untuk lokasi-lokasi yang serba homogen, maka untuk lokasi-lokasi yang heterogen, Ruchjana (2002) mengembangkan model STAR menjadi GSTAR.

Untuk mengkaji keheterogenan lokasi diperkenalkan suatu indeks (Indeks Gini) oleh seorang statistikawan Italia, Corrado Gini (1884-1965) yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu perubahan dari periode ke periode atau dari lokasi ke lokasi, sehingga data yang digunakan dapat berupa data time series atau data spasial (lokasi).

Indeks Gini adalah suatu koefisien yang menunjukkan tingkat ketidakmerataan suatu distribusi. Untuk mengkuantifikasi ketidakmerataan suatu pengamatan.

a. Perumusan Hipotesis

H0 : Lokasi Homogen (kemerataan sempurna)

b. Besaran yamg digunakan

y : nilai variabel yang diamati

: rata-rata nilai variabel yang diamati

n : ukuran sampel

N : banyak variabel yang diamati

i : indeks sampel c. Statistik Uji

= 1 +1−₍ 2 _{) ×} (3.1)

d. Kriteria Pengujian

Tolak H0 jika indeks Gini mempunyai nilai 1 (satu). e. Kesimpulan

H0 ditolak atau diterima.

3.2 Model Generalized Space Time Autoregressive Orde 1

24

dari model STAR sehingga kajian GSTAR(11) juga perluasan dari model

STAR(11).

Model GSTAR(11) untuk setiap lokasi i = 1,2,…,N dan waktu t dinyatakan oleh

( ) = ( ) ( − 1) + ( ) ( − 1) + ( ) (3.2)

Dalam notasi matriks, model di atas dinyatakan sebagai:

( ) = + ( − 1) + !( ) (3.3)

3.3 Kestasioneran Model GSTAR(11)

Model GSTAR, khususnya GSTAR(11) merupakan model versi terbatas dari

Teorema

Jika ϕ(*) dan ϕ(*) memenuhi +ϕ(*)+ ϕ(*)+ ≤ 1 dan +ϕ(*)− ϕ(*)+ ≤ 1 untuk setiap i=1,2,…,N maka GSTAR(11) stasioner.

Teorema ini memberikan syarat cukup kestasioneran model GSTAR(11)

(Ruchjana, 2002).

Bukti:

Bentuk VAR(1) dari model GSTAR(11) dinyatakan dalam persamaan

( ) = + ( − 1) + !( ) (3.4)

Dapat direpresentasikan dalam model VAR(1) yaitu

( ) = ( − 1) + !( )

Dengan

= + (3.5)

Sehingga jika solusi dari / yang memenuhi persamaan

|12/3− + | = 0 (3.6)

Terletak dalam lingkaran satuan (|/| < 1), maka GSTAR(11) stasioner.

Jika / adalah solusi dari persamaan di atas, maka paling sedikit untuk satu lokasi

6 ∈ 81,2, … , ;< berlaku:

+/ − ( )+ ≤ + ( )+ (3.7)

Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan di atas diperoleh:

26

/ − 2/ ( )+ > ( )? − > ( )? ≤ 0

Dengan

/ , =

2 ( )@>2 ( )_{? − 4 A>} ( )_{? − >} ( )_{? B}

2

Atau

/ , = ( )± ( )

Karena |/| ≤ 1, maka + ( )± ( )+ ≤ 1. Sehingga untuk setiap i=1,2,…,N berlaku

+ ( )+ ( )+ ≤ 1 dan + ( )− ( )+ ≤ 1 (3.8)

Ini merupakan syarat cukup GSTAR(11) stasioner.

3.4 Fungsi Autokorelasi GSTAR(11)

Karakteristik fungsi autokorelasi model GSTAR(11) adalah sama dengan

model STAR(11), yaitu menurun secara signifikan (tail off).

Berikut ini adalah autokorelasi GSTAR(11) pada berbagai lag:

Untuk k=0 dan l=0

E( )(1) = F Γ(1)

H F Γ(0) F Γ(0) I

= F J

( )_K

L1 + ( )KL1 M+ KN(O)1P

E( )(2) = F Γ(2) H F Γ(0) F Γ(0) I

= FJ

( )_{Γ(1) +} ( )_{Γ(1) ′P}

H F Γ(0) F Γ(0) I

= 1

; FJ ( )Γ(1)P + 1; FJ ( )Γ(1) ′P

1

; F JKN(O)P

= ( )R (1) +_{R (0)}( )R (1)

dan seterusnya. Secara umum ditulis

E( )(S) = T U V U

W R (1)

R (0) ; Y YZ S = 1

( )_{R (S − 1) +} ( )_{R (S − 1)}

R (0) ; Y YZ S = 2,3, … ,

[ (3.9)

Untuk k = 0 dan ] =1

E( )(1) = F WΓ(1)

H F W′WΓ(0) F Γ(0) I

= ( )(1)

(R (0)R (0))

E( )(2) = F WΓ(2)

28

= ( )R (1) + ( )R (1)

(R (0)R (0))

dan seterusnya. Secara umum ditulis

E( )(S) =

T U V U

W _{R (0)R (0) ; Y YZ S = 1}R (1)

( )_{R (S − 1) +} ( )_{R (S − 1)}

_R (0)R (0)` ; Y YZ S = 2, … ,

[ (3.10)

Untuk k = 1 dan ] =1

E( )(1) = F W′WΓ(1)

H F W′WΓ(0) I

= R (1)_{R (0)}

E( )(1) = F W′WΓ(2)

H F W′WΓ(0) I

= R (2)_{R (0)}

dan seterusnya. Secara umum ditulis

3.5 Fungsi Autokorelasi Parsial GSTAR(11)

Karakteristik fungsi autokorelasi model GSTAR(11) adalah sama dengan

model STAR(11), yaitu terputus (cut off) pada selang waktu s=1 dan spasial lag l=1.

Berikut ini adalah fungsi autokorelasi parsial GSTAR(11):

Spasial lag = 0

Untuk s = 1, R (1) = R (0)

( )= R_R00(1)

00(0) (3.12)

Spasial lag = 1

untuk s = 1, R (1) = ₁₀(6)R (0) + ₁₁(6)R (0)

( )R10(1)−

( )_R 10(0)

R₁₁(0) (3.13)

3.6 Penaksiran Parameter

Penaksiran parameter model GSTAR dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dengan meminimumkan jumlah kuadrat galatnya.

Persamaan

( ) = ( ) ( − 1) + ( ) ( − 1) + ( )

Untuk t = 1,2,…,T memberikan model linear lokasi i = 1,2,…,N sebagai:

30

Sehingga untuk keseluruhan lokasi memiliki bentuk linier sebagai berikut:

n

Bentuk di atas disederhanakan menjadi:

d( i× )= e( i× )f( × )+ g( i× ) (3.16)

Penaksir dari f yaitu ft = ( u( ), u( ), … , u( ), u( ))′. Kuadrat terkecil parameter

ft diberikan oleh persamaan

Sehingga

ft = (eM_e)y _{e′ vwx (3.18)}

Yang memiliki solusi tunggal apabila matriks eMe adalah matriks non singular.

3.7 Bobot Lokasi

Karakteristik model space time adalah adanya korelasi dalam waktu maupun lokasi. Korelasi antar lokasi direpresentasikan melalui matriks bobot W. Para peneliti model space time biasanya menentukan bobot berdasarkan karakterisrik fisik, misalnya : luas wilayah, kepadatan penduduk, batas antara dua lokasi dan sarana transportasi. Umumnya dilakukan standarisasi, sehingga salah satu syarat dari matriks bobot adalah jumlah semua entri pada setiap baris sama dengan satu dan diasumsikan bahwa bobot suatu lokasi terhadap dirinya sendiri bernilai nol.

Salah satu permasalahan pada model GSTAR adalah pemilihan dan penentuan bobot lokasi. Beberapa cara penentuan bobot lokasi yang telah digunakan dalam aplikasi model GSTAR adalah (Borovkova dkk.,2002; dalam Ruchjana, 2002) yaitu bobot seragam, bobot biner, bobot inverse jarak, dan bobot normalisasi korelasi silang. Pada Tugas akhir ini hanya akan digunakan dua buah bobot yaitu:

a. Bobot Seragam

Bobot ini ditentukan berdasarkan banyaknya tetangga terdekat dalam suatu kelompok lokasi tertentu (lag spasial). Secara matematis dinyatakan:

z({) =₂

O

32

b. Bobot dengan Normalisasi Korelasi Silang

Bobot ini menggunakan hasil normalisasi korelasi silang antara lokasi pada lag waktu yang bersesuaian (Suhartono, 2007:116).

Secara umum korelasi silang antara dua variabel atau antar lokasi ke-i dan ke-j Taksiran dari korelasi silang ini pada data sampel adalah:

Selanjutnya, metode penentuan bobot lokasi baru yang diperkenalkan Suhartono dan Subanar (2006b) adalah melalui normalisasi dari besaran-besaran korelasi silang antar lokasi pada waktu yang bersesuaian. Proses ini secara umum menghasilkan bobot lokasi untuk model GSTAR(11) seperti berikut:

3.8 Kecocokan Model

Untuk mencegah galat peramalan yang terlalu besar, harus dilakukan pengecekan terlebih dahulu terhadap model tersebut apakah sudah cocok atau belum untuk data tersebut. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:

1. Uji Serentak dengan Uji-F a. Perumusan hipotesis

€ : ( ) = ( )= 0

€ : sekurang − kurangnya ada _~{( ) ≠ 0 dengan Z = 1, • = 0,1 dan

6 = 1,2, … , ;

b. Besaran-besaran yang diperlukan

Ž•• (Mean squared residual) = rata-rata kuadrat residual

Ž•‘ (Mean squared error) =1∑_{•=1 •+1}(h)−“_•(h) (3.21)

dengan n merupakan banyak ramalan yang dilakukan. c. Statistik uji

”• –—2˜=Ž••_{Ž•‘ (3.22)}

d. Kriteria pengujian

Dengan mengambil taraf nyata α_{, dk pembilang = N×N, dan dk penyebut = n,} maka dari tabel distribusi F diperoleh Fα_;(N×N,n)

Jika ”_{• –—2˜}> ”_–š›œ{, maka€ ditolak. e. Kesimpulan

34

2. Uji Individu dengan Uji-t

a. Perumusan hipotesis

€ : _1•(6)= 0 (parameter tidak signifikan)

€ : _1•(6) ≠ 0 (parameter signifikan)

dengan • = 0,1 dan 6 = 1,2, … , ;

b. Besaran-besaran yang diperlukan

•> ( )? = • _{∑ ( ( ) − ̅ ( ))2}∑ ( ( ))2(

( Ÿ × K (3.23)

•> ( )? = •_{∑ ( ( ) − ̅ ( ))2} K

( Ÿ (3.24)

Dimana {

( ) _{= parameter dengan l=0,1 dan i=1,2,…,N}

•( ( )_{ ) = standar error untuk parameter dengan l=0,1 dan i=1,2,…,N c. Statistik uji

• –—2˜ =

+ ( )_{+

•( ( )_{) (3.25)

d. Kriteria pengujian

Dengan mengambil taraf nyata α _{dan dk = n, maka dari tabel distribusi t} diperoleh _yb

¡¢;2.

jika _{• –—2˜}> _–š›œ{, maka € ditolak.

e. Kesimpulan

49 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya adalah sebagai berikut:

1. Penaksiran parameter dari model GSTAR menggunakan metode kuadrat terkecil, parameternya adalah

= ( ) ′

2. Uji kecocokan model GSTAR menggunakan a. Uji Serentak dengan Uji F

Fhitung= = _,, =7,924149

Dengan taraf nyata α_{= 5%, dk pembilang= 9, dan dk penyebut= 258, dari tabel} distribusi F diperoleh F0,05;(9,258)=0,998. Karena 7,924149 > 0,998, maka H0 ditolak. Artinya parameter dalam model secara bersama-sama berarti.

b. Uji Individu dengan Uji-t

!"# = $%&'

(()_$

(%_&'(())

Taksiran Parameter Model GSTAR(11) yang Signifikan

Parameter Nilai Taksiran _!"# Kriteria Pegujian

50

3. Penerapan model GSTAR dengan dua bobot lokasi, yaitu dilakukan terhadap penjualan speedy di Bandung Barat dengan bobot seragam yaitu

+ ( ) = )( )+ ( − 1) + )( )/ +₀( − 1) *

01

+ 2 ( )

dan model GSTAR dengan bobot normalisasi korelasi silang yaitu

+ ( ) = )( )+ ( − 1) + )( )/ 30+0( − 1) *

01

+ 2 ( )

Hasil penaksiran parameternya dilakukan dengan bobot normalisasi korelasi silang, diperoleh )( )= -0,06074069, )( ) = 0,5231092, )(*) = 0,658496,

5.2 Saran

Untuk pengembangan selanjutnya, disarankan:

1. Mengkaji lebih lanjut tentang kestasioneran dan fungsi autokorelasi serta autokorelasi parsial model GSTAR

2. Mengembangkan penelitian untuk model GSTAR yang lainnya.

52

DAFTAR PUSTAKA

Adnyana, M. O dan Rita N. S. (2008). Penerapan Indeks Gini Untuk

Mengindentifikasi Tingkat Pemerataan Pendapatan Dan Pengeluaran Rumah Tangga Pedesaan Di Wilayah Jawa Dan Bali. Bogor. Puslitbang

Sosek, Departemen Pertanian.

Borovkova, S.A., Lopuhaa, H.P. and Ruchjana, B.N. (2002). Generalized STAR

Model with Experimental Weights. In M Stasinopoulos & G Touloumi (Eds.), Proceeding of the 17th International Workshop on Statistical Modeling, Chania-Greece, pp. 139-147.

Box, G.E.P. (1994). Time Series Analysis: Forcasting and Control. 3rd edition, Englewood Cliffs: Prentice Hall.

Makridakis, dkk. (1993). Forecasting: Methods and Application. New York: John Willey and Son.

Mukhaiyar, Utriweni. (2004). Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil

pada Model Space Time GSTAR(11) melalui Proses Beda Maringale. Thesis Jurusan Matematika ITB (tidak diterbitkan).

Pfeifer, P.E. and Deutsch, S.J. (1980b). Identification and Interpretation of First

Order Space-Time ARMA Models. Technometrics, Vol.22, No.1, 397-408.

Rosmanicke, R.A. (2009). Peramalan Indeks Harga Konsumen 4 Kota Di Jawa Timur Menggunakan Model Generalized Space Time Autoregressive.

From http://digilib.its.ac.id, 14 Desember 2010.

Ruchjana, B.N. (2002). Pemodelan Kurva Produksi Minyak Bumi Menggunakan

Model Generalisasi S-TAR1, 15 Januari 2011.

Ruchjana, B.N. (2005). Karakterisasi Reservoir Minyak Bumi Melalui

Pendekatan Spatio-temporal. Bandung: Kementrian Riset dan Teknologi

Ruchjana, B.N. (2006). Studi Pengembangan Model Spatio Temporal dan

Aplikasinya dalam Lingkungan Hidup. Bandung: Universitas Padjajaran.

Soejoeti, Z. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunika, Universitas Terbuka.

Sudjana. (1989). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

Suhartono. (2007). Feedforward Neural Networks Untuk Pemodelan Runtun

Waktu. Yogyakarta: UGM.

W. W. S. Wei. (1990). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate

Methods. USA: Addison-Wesley Publishing Co..

Yenfitri, W. (2005). Space Time Moving Average (STMA). Tugas Akhir Jurusan Pendidikan Matematika. UPI(tidak diterbitkan)