SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED DENGAN DUA
PENYAKIT
Wisnu Wardana, Respatiwulan, dan Hasih Pratiwi Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRAK. Pola penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dalam model
matematika. Model matematika telah banyak dikembangkan, salah satunya adalah modelsusceptible infected recovered (SIR). Model epidemiSI Ryang mengikuti proses Markov dan ditinjau dalam waktu diskrit disebut model rantai Markov waktu diskrit (RMWD) SI R. Model ini dikembangkan menjadi model epidemi RMWD SI R de-ngan dua penyakit karena terdapat kemungkinan ada lebih dari satu penyakit yang menyebar. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model epidemi RMWDSI Rdengan dua penyakit. Model RMWDSI R dengan dua penya-kit berupa probabilitas transisi. Penerapan mengacu pada Kirupaharan dan diper-oleh bahwa dalam waktut= 250 individu susceptible berkurang bersamaan dengan bertambahnya individuinfected. Saat individuinfected berkurang, individurecovered
bertambah. Setelaht= 218 banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak lagi mengalami perubahan.
Kata Kunci: model epidemi, rantai Markov waktu diskrit, SIR, dua penyakit
1. Pendahuluan
Kesehatan merupakan hal yang sangat penting dalam menunjang akti-vitas manusia, tetapi kesehatan manusia bisa terganggu karena serangan penya-kit. Penyakit adalah sesuatu yang menyebabkan gangguan pada makhluk hidup. Salah satu jenis penyakit adalah penyakit menular. Penyakit menular disebabkan oleh bakteri, virus, atau jamur melalui kontak antar individu baik secara lang-sung maupun tidak langlang-sung. Penyebaran penyakit menular yang tidak dapat dikendalikan dalam waktu yang cukup lama dapat menyebabkan epidemi.
Menurut Hethcote [4], penyebaran penyakit dapat dinyatakan dengan model epidemi SIR. Kondisi individu dalam suatu populasi pada model SIR dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu susceptible (S) adalah kelompok individu sehat yang rentan tertular penyakit, infected (I) adalah individu yang sudah terinfeksi penyakit, dan recovered (R) adalah kelompok individu yang sudah sembuh dan memiliki kekebalan permanen. Setiap individu susceptible dapat terinfeksi oleh penyakit apabila melakukan kontak dengan individu infected. Kemudian indi-vidu infected akan mengalami kesembuhan secara alami ataupun dengan bantu-an medis menjadi individu recovered. Setelah sembuh, individu ini tidak dapat terinfeksi kembali oleh penyakit yang sama karena mempunyai kekebalan yang permanen.
kejadian random dan bergantung pada waktu sehingga disebut proses stokastik. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu tn
diasum-sikan hanya dipengaruhi oleh banyaknya individu susceptible, infected, dan reco-vered pada waktutn−1 sehingga mengikuti proses Markov. Penyebaran penyakit
ini ditinjau dalam waktu diskrit. Ackleh dan Allen [1] mengembangkan model RMWD SIR dengan multi penyakit yang menyebar dalam suatu wilayah. Pa-da penelitian ini dikonstruksikan ulang model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit dan diterapkan model RMWD SIR dengan dua penyakit.
2. Proses Stokastik
Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada proses penye-baran penyakit dapat dipandang sebagai proses stokastik. Menurut Allen [3], pro-ses stokastik merupakan himpunan dari beberapa variabel random {X(t;h)|t ∈ T, h∈H}, denganT sebagai himpunan waktu danHruang sampel. Suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskrit jikaT =. {0,1,2,3, . . .}, dan proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu kontinu jika T =. [0,∞). Pada model epidemi RMWD SIR, S(t), I(t), dan R(t) merupakan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktut.
3. Rantai Markov Waktu Diskrit
Menurut Parzen [7], suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses Markov
{X(t), t ≥ 0} jika diberikan nilai t1 < t2 <...< tn dengan t1, t2, . . . , tn ∈ t,
ma-ka X(tn) hanya dipengaruhi oleh X(tn−1) atau probabilitas dari beberapa
keja-dian yang akan datang hanya dipengaruhi oleh kejakeja-dian sebelumnya dan tidak dipengaruhi kejadian waktu lampau. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov dengan ruang sampel berhingga dan waktu diskrit T = {0,1,2,3, . . .}. Berikut definisi rantai Markov waktu diskrit dan probabilitas transisi menurut Allen [2].
Definisi 3.1. Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit{Xt}dikatakan memenuhi
sifat Markov jika
P{Xt=it|X0 =i0, . . . , Xt−1 =it−1}=P{Xt=it|Xt−1 =it−1}.
Proses ini disebut rantai Markov, atau lebih spesifik lagi disebut rantai Markov waktu diskrit.
Definisi 3.2. Probabilitas transisi satu langkah dari state i pada waktu t ke state j lada waktu t+1 yang dinyatakan sebagai pij(t) didefinisikan sebagai
4. Model Epidemi RMWD SIR
Model epidemi SIR pertama kali diperkenalkan tahun 1927 oleh Kermack dan McKendrik [5]. Allen [2] pada tahun 2003 menjelaskan tentang lima asumsi model epidemi RMWD SIR yaitu
(1) ukuran populasi konstan sebesarN,
(2) laju kelahiran sama dengan laju kematian, (3) populasi homogen,
(4) individu yang lahir adalah individu sehat yang rentan terhadap penyakit, dan
(5) individu yang sudah sembuh mempunyai kekebalan yang permanen.
Berdasarkan asumsi ukuran populasi konstan sebesar N, berarti S(t) +
I(t) +R(t) = N. Jika dimisalkan S(t) = s dan I(t) = i, maka S(t) dan I(t) mempunyai fungsi probabilitas bersama
p(s,i)(∆t) = P{S(t) =s, I(t) = i},
dengan s, i= 1,2, ..., N dan t = 0,∆t,2∆t, . . ..
Perubahan banyaknya individu susceptible, infected dan recovered dalam selang waktu ∆t disebut transisi. Dipilih ∆t cukup kecil sehingga dalam selang waktu ∆t paling banyak terjadi satu individu yang bertransisi. Jika perubahan banyaknya individu S pada selang waktu ∆t yaitu y dan perubahan banyaknya individuI pada selang waktu ∆tyaituz dengany, z =−1,0,1 maka probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s+y, i+z) adalah
p(s+y,i+z),(s,i)(∆t) =P{(∆S,∆I) = (y, z)|(S(t), I(t)) = (s, i)},
dengan ∆S = S(t+ ∆t)−S(t) dan ∆I =I(t+ ∆t)−I(t). Menurut Allen [3], model epidemi RMWD SIR yaitu
p(s+y,i+z),(s,i)(∆t) =
β i
Ns∆t, (y, z) = (−1,1)
γi∆t, (y, z) = (0,−1)
bi∆t, (y, z) = (1,−1)
b(N −s−i)∆t, (y, z) = (1,0)
1−((βNi s∆t) +(
γi+b(N −s))
∆t), (y, z) = (0,0)
0, yang lain,
denganβ adalah laju kontak,b adalah laju kematian yang nilainya sama dengan laju kelahiran, dan γ adalah laju penyembuhan.
5. Hasil dan Pembahasan
SIR. Konstruksi model RMWD SIR dengan dua penyakit mengacu pada Allen
[3], dengan memberikan asumsi tambahan yaitu terdapat cross immunity. Cross immunity adalah suatu kondisi jika individu sudah terinfeksi suatu penyakit maka individu tersebut tidak bisa terinfeksi oleh penyakit yang lain dalam waktu yang sama.
Variabel random pada model RMWD SIR dengan dua penyakit ada tiga, yaituS(t) yang menunjukkan banyaknya individu susceptible pada waktut,Ik(t)
yang menunjukkan banyaknya individuinfected oleh penyakit 1 dan 2 pada wak-tu t, dan R(t) yang menunjukkan banyaknya individu recovered pada waktu t. Ukuran populasi pada model RMWD SIR diasumsikan konstan sehingga total individu pada masing-masing kelompok pada waktu tertentu sama dengan N
atau S(t) +I1(t) +I2(t) +R(t) =N. Jika S(t) =s dank adalahIk(t) =ik, maka
probabilitas bersama S(t) dan Ik(t) yaitu
p(s,ik)(∆t) =P{S(t) =s, Ik(t) = ik},
dengan s, ik = 1,2, ..., N dan t= 0,∆t,2∆t, ....
Jika perubahan banyaknya individu s pada selang waktu ∆t yaitu y dan perubahan banyaknya individu ik pada selang waktu ∆t yaitu z, maka
perpin-dahan dari state (s, i) ke state (s+y, i+z) pada selang waktu ∆t mempunyai probabilitas transisi
p(s+y,ik+z),(s,ik)(∆t) =P{(S(t+∆t), Ik(t+∆t)) = (s+y, ik+z)|(S(t), Ik(t)) = (s, ik)}.
Saat individu susceptible terinfeksi oleh penyakit k berarti terjadi transisi dari state (s, ik) kestate (s−1, ik+ 1). Jika dalam suatu populasiN terdapat ik
individu yang terinfeksi penyakitk, maka probabilitas individuinfected penyakit
k melakukan kontak dengan individu susceptible sebesar ikN. Laju kontak untuk penyakit k dinyatakan sebagai βk. Probabilitas transisi daristate (s, ik) ke state
(s−1, ik+ 1) adalah
p(s−1,ik+1),(s,ik)(∆t) =βk
ik
Ns∆t.
Saat individu infected penyakit k mengalami kesembuhan, terjadi transisi dari state (s, ik) ke state (s, ik − 1). Jika γk diasumsikan sebagai besar laju
kesembuhan untuk penyakit k, maka probabilitas transisi dari state (s, ik) ke
state (s, ik−1) adalah
p(s,ik−1),(s,ik)(∆t) = γkik∆t.
Jika kelompok individuinfected terjadi pengurangan, maka terdapat penam-bahan pada individususceptible. Berarti terjadi perpindahan dari state (s, ik) ke
kelompok individuinfected, karena ukuran populasi diasumsikan konstan berarti terdapat satu kelahiran pada kelompok individu susceptible. Jika bk adalah laju
kematian, maka probabilitas transisi daristate(s, ik) kestate (s+1, ik−1) adalah
p(s+1,ik−1),(s,ik)(∆t) = bkik∆t.
Jika terdapat satu kelahiran maka terjadi perpindahan dari state (s, ik) ke
state (s+ 1, ik). Ukuran populasi konstan berarti terdapat satu kematian, dalam
hal ini kematian terjadi pada kelompok individu recovered. Jika laju kelahiran yang nilainya sama dengan laju kematian dinyatakan sebagai bk, maka
probabil-itas transisi dari state (s, ik) ke state (s+ 1, ik) adalah
p(s+1,ik),(s,ik)(∆t) = bk(N −s−ik)∆t.
Jika tidak terjadi perubahan banyaknya individu pada masing-masing kelom-pok dalam selang waktu ∆t, maka tidak terjadi perpindahan state. Probabilitas transisi dari state (s, ik) ke state (s, ik) adalah
p(s,ik),(s,ik)(∆t) = 1−
( β1
i1
Ns∆t+β2 i2 Ns∆t+
(
γ1i1+b1(N−s)+γ2i2+b2(N−s)
)
∆t).
Jadi, model RMWD SIR dengan dua penyakit adalah
p(s+y,ik+z),(s,ik)(∆t) =
βkikNs∆t, (y, z) = (−1,1)
γkik∆t, (y, z) = (0,−1)
bkik∆t, (y, z) = (1,−1)
bk(N −s−ik)∆t, (y, z) = (1,0)
1−(β1iN1s∆t+β2iN2s∆t+
(
γ1i1+b1(N −s) +γ2i2+b2(N −s)
)
∆t), (y, z) = (0,0)
0, yang lain.
(5.1)
5.2. Penerapan. Pada penerapan model epidemi RMWD SIR ini nilai para-meter yang diberikan mengacu pada Kirupaharan [6]. Terdapat dua penyakit menyebar dalam suatu populasi dan dapat dimodelkan dengan model epidemi
SIR. Diasumsikan terdapat cross immunity sehingga satu individu tidak bisa terkena dua penyakit pada waktu yang sama. Ukuran populasi N=100, nilai awal I1(0) = I2(0) = 1 dan S(0) = 98, laju kontak β1 = 0.01, β2 = 0.01, laju
penyembuhan penyakit γ1 = 0.005, γ2 = 0.0066, dan laju kelahiran serta laju ke-matian untuk kedua penyakit b1 =b2 = 0. Dari penyelesaian model (5.1) dengan parameter dan nilai awal tersebut diperoleh nilai probabilitas transisi. Dengan diketahuinya probabilitas transisi, diketahui pula transisi yang terjadi dari state (s, ik) ke state (s+y, ik+z) sehingga diperoleh banyaknya individu susceptible,
dan recovered untuk t yang lebih besar ditentukan dengan menggunakan algo-ritme Allen [2] yang telah dimodifikasi. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered dalam 250 satuan waktu pertama ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Banyaknya individususceptible, infected, dan recovered dalam 250 satuan waktu pertama pada model RMWD SIR dengan dua penyakit
Banyaknya individu susceptible yang ditunjukkan dengan grafik berwarna biru mengalami penurunan karena terinfeksi penyakit satu dan penyakit dua. Penurunan individu susceptible dari nilai awal sebanyak 98 menjadi 16 individu pada t = 218. Bersamaan dengan penurunan banyaknya individu susceptible, banyaknya individu infected penyakit satu dan individu infected penyakit dua mengalami kenaikan. Banyaknya individu yang terinfeksi penyakit satu yang digambarkan dengan grafik berwarna merah mengalami kenaikan dari nilai awal sampai ke puncak epidemi padat= 112 sebanyak 26 individu, setelah itu kembali menurun hingga tidak ada lagi yang terinfeksi penyakit satu pada waktu t= 218. Individu yang terinfeksi penyakit dua digambarkan dengan grafik berwarna ungu naik dari nilai awal 1 menjadi 11 individu saat t= 158, setelah itu menurun dan kembali mengalami kenaikan menjadi 11 saat t= 183 kemudian turun menjadi 0 saat t= 215. Sedangkan banyaknya individurecovered yang ditunjukkan dengan grafik berwarna hijau mengalami kenaikan dari nilai awal 0 menjadi 84 individu saat t = 218.
yang berarti setelah t= 218 tidak ada lagi individu infected yang dapat mengin-feksi individu susceptible. Karena perubahan banyaknya individu pada masing-masing kelompok dipengaruhi oleh individu infected dan sudah tidak ada lagi individuinfected yang menyebar dalam populasi, maka banyaknya individu pada masing-masing kelompok individu tidak lagi mengalami perubahan.
Dari Gambar 1 dapat dilihat jika setiap individu infected mengalami ke-naikan maka banyaknya individususceptible mengalami penurunan. Jika individu infected mengalami penurunan maka banyaknya individu recovered akan meng-alami kenaikan. Artinya perubahan banyaknya individu pada masing-masing kelompok dipengaruhi oleh individu infected. Untuk mempermudah mengamati perubahan banyaknya individu, ditampilkan tabel perubahan individu selama 10 satuan waktu pertama yang dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Perubahan banyaknya individu S, I1, I2,
dan R selama 10 satuan waktu pertama
t S I1 I2 R
1 98 1 1 0 2 97 1 2 0 3 97 1 1 1 4 97 1 1 1 5 96 1 2 1 6 96 1 1 2 7 96 1 1 2 8 96 1 1 2 9 95 2 1 2 10 95 2 1 2
Dari Tabel 1 dapat dilihat perubahan banyaknya individu infected dari
I2(1) = 1 ke I2(2) = 2, artinya dalam selang waktu ∆t = 1 terjadi satu transisi
yaitu terdapat satu individususceptible terinfeksi penyakit dua. Dengan dihitung menggunakan model (5.1), probabilitas transisi dariI2(1) = 1 keI2(2) = 2 sebesar
0.0098. Saat t = 5 banyaknya individu I2 = 2 dan banyaknya individu R = 1,
sedangkan pada saat t = 6 banyaknya individu I2 = 1 dan banyaknya individu R = 2. Berarti dalam selang waktu ∆t terdapat satu transisi yaitu individu
I2 mengalami kesembuhan. Probabilitas transisi dari I2(5) = 2 ke I2(6) = 1
6. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
(1) Model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit yaitu
p(s+y,ik+z),(s,ik)(∆t) =
βkikNs∆t, (y, z) = (−1,1)
γkik∆t, (y, z) = (0,−1)
bkik∆t, (y, z) = (1,−1)
bk(N −s−ik)∆t, (y, z) = (1,0)
1−(β1iN1s∆t+β2iN2s∆t+
(
γ1i1+b1(N −s) +γ2i2+b2(N −s))
∆t), (y, z) = (0,0)
0, yang lain.
(2) Penerapan yang mengacu pada Kirupaharan menunjukkan individu sus-ceptible mengalami penurunan seiring dengan bertambahnya jumlah in-dividu infected. Saat individu infected mengalami penurunan, individu recovered mengalami kenaikan. Epidemi untuk penyakit satu berakhir
pada t = 218 sedangkan epidemi untuk penyakit dua berakhir pada
t = 215. Setelah epidemi kedua penyakit berakhir, banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak lagi mengalami perubahan.
Daftar Pustaka
1. Ackleh, A.S. and L.J.S. Allen, Competitive Exclusion in SIS and SIR Epidemic Models with Total Cross Immunity and Density-Dependent Host Mortality, Discrete and Continuous Dynamical System5(2005), 175–188.
2. Allen, L. J. S.,An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2003.
3. Allen, L. J. S.,An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Texas Tech University, Texas, 2008.
4. Hethcote, H. W.,The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review42(2000), 599–653.
5. Kermack, W. O. and A. G. McKendrick, A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceeding of the Royal Society of London, Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 115(1927), 700–721.
6. Kirupaharan, N.,Deterministic and Stochastic Epidemic Models with Multiple Pathogens, A Dissertation in Mathematics, Texas Tech University, Texas, 2003.
