Mirza Nur Hidayat
Free to use for non commercial purposes
© 2022 Penulis. Hak cipta dilindungi undang-undang
Ebook ini juga telah diupload di archive.org
Pengantar
# 1 Qubit 1
# 2 Gerbang X 9
# 3 Gerbang H 13
# 4 Sistem 2-Qubit 19
# 5 Proyek Koding Kuantum 27 Referensi 29
Salam Adik-adik, selamat datang di Koding Kuantum!
Bagi kamu yang ingin mengenal dan mem- pelajari apa itu koding kuantum, ebook ini cocok buat kamu.
Ebook berisi materi dasar koding kuantum, lengkap dengan contoh dan latihannya.
Selamat membaca ya, Kukusan, 23 Juni 2022 Mirza Nur Hidayat
Qubit
Qubit, vektor, superposisi, probabilitas, normalisasi, matriks, bola Bloch, sirkuit kuantum
Qubit merupakan komponen dasar dalam koding kuantum. Qubit adalah singkatan dari quantum bit. Qubit terdiri atas qubit 0, qubit 1, dan qubit superposisi.
Qubit 0 ditulis sebagai |0⟩ –dibaca vektor nol atau ket nol dan qubit 1 sebagai |1⟩.
1
Qubit superposisi dapat disimbolkan seba- gai |ψ⟩ –dibaca vektor psi. Qubit superpo- sisi mempunyai persamaan
|ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ (1.1) Nilai kuadrat absolut a atau ditulis sebagai
|a|2 merupakan probabilitas menemukan |ψ⟩
di vektor |0⟩. Begitu juga b, nilai |b|2 adalah probabilitas menemukan |ψ⟩ di vektor |1⟩.
Nilai a dan b memiliki kaidah
|a|2 + |b|2 = 1 (1.2) Kaidah pada persamaan (1.2) di atas dike- nal sebagai kaidah normalisasi.
▷ Contoh 1.1.
Diberikan vektor |ψ1⟩ =
√3
2 |0⟩ + 12|1⟩. Ceri- takan vektor superposisi ini.
Vektor di atas memiliki nilai a =
√3
2 dan ni- lai b = 12 sehingga |a|2 + |b|2 = 34 + 14 = 1. Nilai ini memenuhi kaidah normalisasi seperti pada (1.2). Besar probabilitas di qubit 0 adalah 34 dan di qubit 1 sebesar 14. ◁
▷ Contoh 1.2.
Diberikan vektor |ψ2⟩ =
√2
2 |0⟩+12|1⟩. Jelaskan vektor ini?
Vektor di atas memiliki nilai a =
√2
2 dan
b = 12 sehingga |a|2 + |b|2 = 24 + 14 = 34 ̸= 1. Ni- lai ini tidak memenuhi kaidah normalisasi seperti pada (1.2) sehingga bukan meru- pakan vektor superposisi dan tidak dapat
digunakan dalam koding kuantum. ◁
Berikutnya, vektor |0⟩ dapat ditulis dalam bentuk matriks dengan dimensi dua baris satu kolom yaitu
|0⟩ = 1 0
!
(1.3) dan vektor |1⟩ sebagai
|1⟩ = 0 1
!
(1.4) Dari (1.3) dan (1.4) maka dapat ditulis juga representasi vektor |ψ⟩ pada (1.1) yaitu
|ψ⟩ = a 1 0
!
+ b 0 1
!
= a b
!
(1.5) Bahasan selanjutnya ialah bola Bloch. Se- buah qubit dalam koding kuantum dapat
Gambar 1.1: Bola Bloch dari vektor |ψ1⟩ =
√ 3
2 |0⟩ + 12|1⟩
divisualisasikan dalam bentuk bola Bloch atau Bloch sphere.
Bola Bloch pada Gambar 1.1 merupakan visualisasi dari vektor |ψ1⟩ =
√3
2 |0⟩ + 12|1⟩.
Terlihat anak panah warna merah muda dalam bola yang menunjukkan arah vek- tor. Arah vektor ini ada di antara vektor |0⟩
dan vektor |1⟩ dan cenderung mengarah ke vektor |0⟩.
Gambar 1.2: Sirkuit kuantum
Sebagai catatan, vektor |0⟩ memiliki arah anak panah yang tepat mengarah ke atas atau kutub utara (north pole) dan vektor |1⟩
tepat mengarah ke bawah atau kutub sela- tan (south pole).
Terakhir di bab ini adalah sirkuit kuantum.
Koding kuantum dalam implementasinya dapat disajikan dalam bentuk sirkuit dan dikenal sebagai sirkuit kuantum.
Gambar 1.2 menunjukkan sebuah sirkuit kuantum. Disana ada sebuah qubit q[0]
dan garis mendatar di sebelah kanannya.
Qubit q[0] merupakan qubit yang pertama dari sebuah sirkuit kuantum. Koding kuan- tum umumnya dimulai dengan qubit q[0]
dan bukan qubit q[1]. Qubit q[0] memiliki vektor |0⟩.
Adapun garis mendatar di sebelah kanan adalah tempat untuk menaruh komponen lain dari sirkuit kuantum seperti yang akan disajikan pada bab-bab berikutnya.
• Latihan
1.1. Diketahui vektor |ϕ⟩ = 23|0⟩+
√5
3 |1⟩. Ceri- takan vektor ini.
1.2. Diberikan vektor |φ⟩ = 12|0⟩+|1⟩. Bagai- mana vektor ini?
1.3. Tentukan representasi matriks dari vektor pada Latihan 1.1.
Gerbang X
Operator, gerbang X, perkalian matriks
Operator merupakan sebuah mathematical rule. Jika diterapkan pada sebuah vektor, akan mengubah atau menjadikan vektor tersebut menjadi vektor yang lain.
Operator dalam koding kuantum dikenal sebagai gerbang kuantum –quantum gate.
Salah satu contoh gerbang kuantum yang fundamental ialah gerbang X.
9
Gerbang X memiliki matriks dengan orde dua baris dua kolom yaitu
X = 0 1 1 0
!
(2.1) Jika gerbang X diterapkan pada sebuah vek- tor, misalnya adalah vektor |0⟩, maka dapat ditulis sebagai X|0⟩.
Lalu apakah hasil dari X|0⟩? Pertanyaan ini dapat dijawab dengan cara perkalian ma- triks, yaitu
X|0⟩ = 0 1 1 0
! 1 0
!
= 0 1
!
(2.2) Dari (2.2) terlihat bahwa aplikasi gerbang X pada vektor |0⟩ akan mengubahnya men- jadi vektor |1⟩ atau ditulis X|0⟩ = |1⟩.
Gambar 2.1: Sirkuit kuantum X|0⟩
Adapun sirkuit kuantum dari operasi X|0⟩
disajikan dalam Gambar 2.1. Terlihat ada dua buah blok atau komponen yaitu q[0]
dan blok lingkaran biru dengan tanda + di tengahnya.
Komponen q[0] seperti telah dijelaskan di bab sebelumnya merupakan sebuah qubit dan memiliki vektor |0⟩.
Blok lingkaran warna biru dengan tanda + di tengah adalah gerbang X.
Catatan: Tanda + ini bagi sebagian yang
lain tetap ditulis dengan huruf X di dalam sirkuit kuantumnya.
• Latihan
2.1. Diberikan operasi X|1⟩. Bagaimana- kah perhitungan matriksnya? Apa hasil dari operasi tersebut?
2.2. Disajikan operasi XX|0⟩. Tentukan perhitungan matriksnya. Apa hasil dari op- erasi XX|0⟩ tersebut?
2.3. Buatlah sketsa sirkuit kuantum dari operasi XX|0⟩.
Gerbang H
Gerbang H, vektor |+⟩, vektor |−⟩
Gerbang H atau gerbang Hadamard adalah termasuk salah satu gerbang fundamental dalam koding kuantum.
Gerbang H mengubah vektor |0⟩ menjadi vektor |+⟩ serta mengubah vektor |1⟩ men- jadi vektor |−⟩.
Apa itu vektor |+⟩ dan vektor |−⟩? Berikut
13
adalah penjelasannya.
Gerbang H memiliki matriks sebagai berikut
H = 1
√2
1 1 1 −1
!
(3.1) Jika gerbang H diterapkan pada vektor |0⟩
atau ditulis sebagai H|0⟩ maka perhitung- an matriksnya adalah
H|0⟩ = 1
√2
1 1 1 −1
! 1 0
!
= 1
√2 1 1
!
(3.2) Nilai akhir pada (3.2) dapat ditulis dalam bentuk
H|0⟩ = 1
√2 1 0
!
+ 1
√2 0 1
!
(3.3) sehingga
Gambar 3.1: Sirkuit kuantum H|0⟩
H|0⟩ = 1
√2|0⟩ + 1
√2|1⟩ (3.4) Nilai pada (3.4) dikenal sebagai vektor |+⟩.
Dengan demikian, vektor |+⟩ dapat ditulis sebagai
|+⟩ = 1
√2 (|0⟩ + |1⟩) (3.5) Sirkuit kuantum dari operasi H|0⟩ disajikan dalam Gambar 3.1. Terlihat ada qubit q[0]
dan gerbang H di sirkuit kuantum terse- but.
Adapun visualisasi bola Bloch dari vektor
|+⟩ ditunjukkan dalam Gambar 3.2.
Gambar 3.2: Bola Bloch vektor |+⟩
Terlihat dalam bola Bloch pada Gambar 3.2 sebuah anak panah yang mengarah ke de- pan atau sumbu x positif. Arah ini tepat di tengah-tengah vektor |0⟩ dan vektor |1⟩.
• Latihan
3.1. Operasi H|1⟩ akan menghasilkan vek- tor |−⟩. Bagaimanakah perhitungan ma- triksnya? Ceritakan apa itu vektor |−⟩?
3.2. Vektor |−⟩ mempunyai arah yang berla- wanan dengan vektor |+⟩. Buatlah sketsa bola Bloch dari vektor |−⟩.
3.3. Diketahui operasi HH|0⟩. Apa hasil dari operasi ini?
Sistem 2-Qubit
Sistem 2-qubit, produk tensor
Bahasan koding kuantum pada tiga bab sebelumnya merupakan sistem kuantum 1-qubit. Sistem kuantum 1-qubit ini meli- batkan satu buah qubit yaitu q[0].
Pada bab empat ini akan disajikan uraian tentang sistem kuantum 2-qubit.
Sistem kuantum 2-qubit atau selanjutnya
19
ditulis sebagai sistem 2-qubit, melibatkan dua buah qubit yaitu q[0] dan q[1]. Qubit q[0] merupakan qubit kesatu dan qubit q[1]
adalah qubit kedua.
Sistem 2-qubit mempunyai persamaan vek- tor
|ψ⟩ = c|00⟩ + d|01⟩ + e|10⟩ + f |11⟩ (4.1) dengan |c|2, |d|2, |e|2, dan |f |2 berturut-turut merupakan besar probabilitas menemukan
|ψ⟩ di vektor |00⟩, |01⟩, |10⟩, dan |11⟩.
Nilai c, d, e, dan f memenuhi kaidah
|c|2 + |d|2 + |e|2 + |f |2 = 1 (4.2) Perhatikan beberapa contoh berikut.
▷ Contoh 4.1.
Diberikan vektor |ψe⟩ = |10⟩. Jelaskan vek- tor ini?
Vektor |ψe⟩ = |10⟩ dapat juga ditulis sebagai
|ψe⟩ = 0|00⟩ + 0|01⟩ + 1|10⟩ + 0|11⟩ (4.3) Hal ini berarti vektor |ψe⟩ mempunyai nilai c = 0, d = 0, e = 1 dan f = 0 sehingga prob- abilitas menemukan |ψe⟩ adalah sebesar 1 di vektor |10⟩ dan bernilai 0 di ketiga vektor lainnya.
Vektor |ψe⟩ melibatkan 2 buah qubit, yaitu q[0] dan q[1]. Qubit q[0] bernilai |0⟩ dan qubit q[1] bernilai |1⟩.
Sirkuit kuantum vektor |ψe⟩ = |10⟩ disajikan
Gambar 4.1: Siskuit kuantum vektor |ψe⟩ = |10⟩
dalam Gambar 4.1.
Terlihat pada Gambar 4.1 ada dua buah qubit yaitu q[0] dan q[1]. Qubit pertama q[0] berada di urutan pertama atau bagian atas sirkuit, kemudian baru qubit kedua q[1] menyusul di bawahnya.
Vektor |10⟩ merupakan produk tensor dari vektor |1⟩ dan vektor |0⟩.
Produk tensor disimbolkan sebagai ⊗ se- hingga
|ψe⟩ = |q[1]⟩ ⊗ |q[0]⟩ (4.4) maka
|ψe⟩ = |1⟩ ⊗ |0⟩ = |10⟩ (4.5) Catatan: Perlu diperhatikan bahwa dalam operasi produk tensor, qubit pertama q[0]
selalu diletakkan di paling belakang atau paling kanan dalam operasi perhitungan- nya. ◁
▷ Contoh 4.2.
Diberikan sirkuit kuantum sistem 2-qubit sebagaimana disajikan dalam Gambar 4.2.
Ceritakan sistem 2-qubit ini.
Gambar 4.2: Sirkuit kuantum vektor |ψ0H⟩ = |0⟩ ⊗ H|0⟩
Gambar 4.2 menunjukkan bahwa qubit q[1]
bernilai |0⟩ dan qubit q[0] mempunyai nilai H|0⟩ sehingga
|ψ0H⟩ = |0⟩ ⊗ H|0⟩ (4.6) Telah dijelaskan di bab sebelumnya bahwa vektor H|0⟩ = |+⟩ = √12 (|0⟩ + |1⟩) maka (4.6) menjadi
|ψ0H⟩ = |0⟩ ⊗ 1
√2 (|0⟩ + |1⟩) (4.7) atau
|ψ0H⟩ = 1
√2 (|00⟩ + |01⟩) (4.8) Vektor |ψ0H⟩ pada (4.8) mempunyai nilai c = d = √1
2 dan nilai e = f = 0. Hal ini me- nunjukkan probabilitas menemukan |ψ0H⟩ adalah sebesar |√12|2 = 12 di vektor |00⟩ dan
|01⟩ serta bernilai nol di vektor |10⟩ dan |11⟩.
Cukup mudah bukan? ◁
• Latihan
4.1. Buatlah sirkuit kuantum serta per- samaan vektor dari operasi produk tensor
|0⟩ ⊗ |0⟩. Ceritakan vektor tersebut.
4.2. Dengan soal yang sama seperti pada Latihan 4.1. namun dengan produk tensor H|0⟩ ⊗ H|0⟩.
Proyek Koding Kuantum
Proyek 1 – Perhatikan sirkuit kuantum sis- tem 2-qubit pada Gambar 5.1. Tentukan persamaan vektor |ψ⟩ dan buktikan bahwa probabilitas menemukan vektor |ψ⟩ adalah masing-masing sebesar 12 di vektor |00⟩ dan vektor |01⟩.
Gambar 5.1: Sirkuit kuantum Proyek 1 27
Gambar 5.2: Sirkuit kuantum Proyek 2
Proyek 2 – Cermati sirkuit kuantum pada Gambar 5.2. Tentukan hasil dari sirkuit kuantum tersebut. Hasil yang dimaksud adalah berupa persamaan vektor beserta probabilitasnya.
– viel Gl ¨uck –
—–
Qiskit-Textbook,
Penulis : Amira Abbas, et al.,
Judul : Learn Quantum Computation using Qiskit
Tahun : 2022
URL : https://qiskit.org/textbook
—–
Sirkuit kuantum, IBM Quantum Composer
29
