BAB III ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL REGRESI ORDINAL DUA LEVEL. banyak bidang penelitian, karena seringkali subjek penelitian diklasifikasikan

BAB III

ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL REGRESI ORDINAL DUA LEVEL

Model untuk variabel respon berskala ordinal sangat diperlukan pada banyak bidang penelitian, karena seringkali subjek penelitian diklasifikasikan atau mungkin memberikan respon berskala ordinal. Sebagai contoh dalam bidang pendidikan, siswa mungkin memberikan respon untuk suatu item kuesioner: sangat tidak setuju, tidak setuju, netral, setuju, sangat setuju.

Contoh lainnya dalam studi biomedis, subjek pasien diklasifikasikan terhadap suatu penyakit dalam kategori: parah, tidak terlalu parah, tidak menunjukkan gejala penyakit. Pada individu atau subjek amatan, seringkali subjek-subjek yang diamati bersarang dalam cluster-cluster (seperti siswa dalam sekolah, pasien dalam klinik, dll.), atau subjek diamati berulang kali pada periode waktu tertentu.

Pada bab 2 telah dibahas mengenai model regresi dua level untuk data hirarki atau bersarang dengan variabel respon kontinu y. Dalam bab ini akan dibahas mengenai pengembangan model regresi dua level untuk variabel respon berskala ordinal, biasa dikenal dengan model regresi ordinal dua level, serta membahas mengenai estimasi parameter pada model

tersebut dengan menggunakan metode estimasi maximum marginal likelihood.

3.1 MODEL REGRESI ORDINAL DUA LEVEL

3.1.1 Konsep Threshold

Dalam menjelaskan model regresi dua level untuk variabel respon berskala ordinal, digunakan konsep threshold, yaitu diasumsikan bahwa variabel respon ordinal yang diketahui dibentuk dari suatu variabel laten kontinu yang tidak diketahui nilainya dengan memberikan nilai batas kategorik (threshold) tertentu.

Misalkan Y merupakan variabel ordinal dengan C kategori terurut, dimana c = 1, ..., C. Maka, terdapat C+1 nilai threshold γ₀,γ₁,γ₂,...,γ_C, dengan γ₀ =−∞, γ_C =+∞, dan γ₀ ≤γ₁≤γ₂ ≤…≤γ_C. Nilai γ_c, c = 1,..., C , didefinisikan sebagai batas antara interval yang bersesuaian dengan kategori c-1 dan c. Untuk identifikasi, diasumsikan γ₁ = . 0

Berdasarkan konsep threshold, variabel respon laten kontinu (y) dan variabel respon ordinal (Y) didefinisikan sebagai berikut:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∞

<

<

≤

<

≤

<

∞

−

=

− y

C

y y Y

C 1

2 1

1

jika ,

jika , 2

jika , 1

γ

γ γ

γ

(3.1.1.1)

Dengan perkataan lain, variabel ordinal Y akan berada pada kategori c (Y = c), c = 1, 2, ..., C, jika y lebih besar dari nilai threshold γ_c−1, tapi tidak

melebihi nilai threshold γ_c.

3.1.2 Model Regresi Ordinal Dua Level melalui Pendekatan Variabel Laten Kontinu

Berdasarkan pendefinisian hubungan antara variabel respon ordinal Y dan variabel laten kontinu y pada subbab 3.1.1 di atas, selanjutnya ingin dilihat hubungan antara variabel respon laten kontinu y dengan variabel- variabel penjelas di setiap level. Misalkan notasi i = 1, 2, … , N menyatakan unit-unit di level dua dan k = 1, 2, … , ni menyatakan unit-unit di level satu yang bersarang dalam tiap unit level-2. Secara umum, model regresi dua level untuk variabel respon laten kontinu y dapat ditulis sebagai berikut: _ik

• Untuk model level-1:

ik ik

i ik

yik = x′₍₁₎ b +w′₍₁₎ α₍₁₎ +ε (3.1.2.2)

( ) ( )

0 1 1

0 1 2

1 1 1 1 1 1 2 1

1

1

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) i

i

ik Rik ik ik Sik ik

Ri S

b

x x b w w w

b

α

α ε

α

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan,

yik = variabel respon laten kontinu untuk unit ke-k level-1 dalam unit ke-i level-2, i= 1,..., N, k = 1,...,ni.

b = vektor ukuran (R+1) x 1 dari koefisien random yang tidak diketahui _i untuk unit ke-i level 2.

α = vektor ukuran S x 1 yang berisi koefisien dari variabel penjelas _{( )1} level satu, diasumsikan mempunyai nilai yang fixed untuk setiap unit level dua.

( )ik1

x′ = vektor ukuran 1 x (R+1), berisi variabel penjelas fixed level satu yang mempunyai efek yang berbeda untuk setiap unit ke-i level dua.

( )ik1

w′ = vektor ukuran 1 x S, berisi variabel penjelas fixed level satu yang mempunyai efek yang fixed untuk setiap unit level dua.

ε_ik= error dari model level-1 ke-ik, i = 1, 2,..., N; k = 1, 2, ..., ni.

• Untuk model level-2:

^{bi =μ+w′(2)iα(2) +δi} (3.1.2.3)

( )

0 0 0

2 1

1 1 1

2 1 2

2

0

( )

( ) ( )

( )

, r ,1,...,R

i i

r

i i

i Qi

rQ

Ri R Ri

b

b w w

b

μ δ

μ α δ

μ α δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜= ⎟+ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan,

μ = vektor ukuran (R+1) x 1 berisi intercept level-2

α = vektor ukuran Q x 1 berisi koefisien dari variabel penjelas level _{( )2} dua diasumsikan bernilai fixed.

w′_{( )i2} = vektor ukuran 1 x Q berisi fixed kovariat atau variabel penjelas fixed level-2 .

δ = vektor ukuran 1 x (R+1) berisi efek random. _i Asumsi: - ε_ik berdistribusi iid ( ,N 0σ²)

- δ_i berdistribusi multivariat normal N_R+1

(

0,Σ_δ

)

- Vektor δ dan residual level-1 _i ε_ik saling bebas

Model (3.1.2.2) dan (3.1.2.3) dapat digabung menjadi combined model sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

1 2 2 1 1

0 2 1 0 1 1

1 2 1 2 1 1 1

2 1

1

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

( )

ik ik i ik ik

r i

Rik i Qi ik Sik ik

R rQ Ri S

y

x w w w w

x

ε

μ α δ α

ε

μ α δ α

′ ′ ′

= + + + +

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞

⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ⎜ ⎟+

⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

=

x μ w α δi w α

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0 2 1

2 1 2 1 2 1 2

2

0 1 1

1 1 1 1

1

0

1 2

1

1

1 1

( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

r

Rik i Qi Rik i Qi

R rQ

i

Rik ik Sik ik

Ri S

Rik

R

w w x w w

x w w

x

μ α

μ α

δ α

ε

δ α

μ

μ

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎡ ⎤

+ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

′

= ⎜ ⎟+ ⋅

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

w

( )

( )

2 1 0

1 2 1

2

1 1

1 1 1

1

1

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

r i

i Rik i Rik

rQ Ri

ik Sik ik

S

x x

w w

α δ

α δ

α ε α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

′

⎡ ⋅ ⎤⎜ ⎟+ ⎜ ⎟

⎣ ⎦⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ ⎜ ⎟+

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

w

( )

( ) ( )

( )

1 1 2 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1

2

1 1 2 1

1

ik ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

y

ik ik i ik ik ik

ik ik i ik ik

ik ik i ik ik

ε ε ε

′ ′ ′ ′ ′

= + ⊗ + + +

′ ′ ′ ′

= + + ⊗ + +

⎡ ⎤

′ ⎡ ′ ′ ′ ⎤ ⎢ ⎥

= + +⎣ ⊗ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦+

i i

i

x μ x w α x δ w α

x μ δ x w α w α

x μ δ x w w α

α

dengan,

1 2

( )ik ( )i

′ ⊗ ′

x w merupakan kronecker product dari vektor x_{( )ik}′₁ dan w_{( )i}′₂ .

1 2 1

( )ik ( )i ( )ik

′ ′ ′

⎡ ⊗ ⎤

⎣x w w ⎦ merupakan partisi vektor x′_{( )1ik} ⊗w_{( )}′_2i dan w_{( )ik}′₁ .

2

1 ( )

( )

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

α

α merupakan partisi vektor α dan _{( )2} α . _{( )1}

Untuk memperingkas penulisan, model regresi ordinal dua level di atas juga dapat dinyatakan dalam:

ik ik i ik

yik =x′β +w′α+ε (3.1.2.5)

( ) ( )

0 1

1 2

1 1 2

1

i i

ik Rik ik ik Pik ik

Ri P

x x w w w

β α

β α

ε

β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan, x′ = design vector untuk R + 1 efek random _ik w′ = vektor ukuran 1x P berisi fixed kovariat. _ik

β = vektor ukuran (R+1) x 1 dari efek random yang tidak diketahui _i untuk unit ke-i level-2, i = 1, ..., N, diasumsikan berdistribusi

( )

R 1

N ₊ μ,Σ_δ

(3.1.2.4) )

α = vektor ukuran P x 1 dari fixed koefisien regresi yang tidak diketahui

ε_ik = residual model level-1 ke-ik, i = 1, 2,..., N; k = 1, 2, ..., ni,, diasumsikan berdistribusi iid N(0,σ²)

Hubungan antara model (3.1.2.4) dan (3.1.2.5) adalah :

ik ik x(1)

x′ = ′

i

i μ δ

β = +

w′ik =

[

x(′1)ik ⊗w(′2)i w(′1)ik

]

² _{2 1}

1 ( )

( ) ( )

( )

⎡ ⎤

′ ′

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢⎣ ⎥⎦= ⎣ ⎦

α α α α

α

Dari model (3.1.1.1) dan (3.1.2.5), maka dapat dicari probabilitas bahwa variabel respon kategorik Yik akan berada pada kategori c (c = 1, ..., C), bersyarat pada β dan α , adalah sebagai berikut:

Pr(Y_ik =c| , ) β α = Pr(γ_c−1 <y_ik < γ _c)

= Pr(γ_c−1 < x β′_{ik i} +w α_ik′ +ε_ik < γ_c)

= Pr

(

γ_c−1 − (x β^′_{ik i} +w α^′_ik ) < ε_ik < γ_c − (x β^′_{ik i} +w α ^′_ik )

)

= ¹ ( ) ( )

Pr γ^{c ik i ik} ε^ik γ^{c ik i ik}

σ σ σ

− − ′ + ′ − ′ + ′

⎛ < < ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

x β w α x β w α

= ( ) ¹ ( )

Pr ε^ik γ^{c ik i ik} Pr ε^ik γ^{c ik i ik}

σ σ σ ⁻ σ

′ ′ ′ ′

− + − +

⎛ < ⎞ − ⎛ < ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x β w α x β w α

Karena ε_ik diasumsikan berdistribusi normal, maka pertidaksamaan di atas dapat dituliskan:

Pr( _ik | , ) ^c z^{ik c} 1 z^ik

Y c γ γ

σ ⁻σ

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= β α = Φ⎢⎣ ⎥⎦ − Φ⎢⎣ ⎥⎦

di mana, z_ik =x′_ikβ_i +w′_ikα (3.1.2.7) Φ(⋅) menyatakan fungsi distribusi kumulatif normal standar.

Tanpa menghilangkan sifat keumuman, jika diasumsikan bahwa σ =1, maka model (3.1.2.6) menjadi:

Pr(Yik =c|β ,α) = Φ

[

γc −zik

]

− Φ

[

γc₋₁−zik

]

(3.1.2.8)

3.2 ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL REGRESI ORDINAL DUA LEVEL

3.2.1 Metode Estimasi Maximum Marginal Likelihood

Misalkan Yi , i = 1,...,N menyatakan vektor dari variabel respon ordinal dari unit ke-i level-2, untuk ni unit level-1 yang bersarang di dalamnya.

1 2 _i

i = ⎣⎡Yi Yi Yin ⎤⎦

Y

Karena variabel respon Y ordinal, maka variabel Y juga dapat dinyatakan sebagai barisan dari variabel dummy (McKelvey and Zavoina, 1975).

Dengan perkataan lain, dapat didefinisikan

(3.1.2.6)

⎩⎨

⎧

≠

= =

c d_ikc c

ik ik

Y jika 0

Y jika 1

untuk c = 1, 2, …, C. Jadi, vektor Yi di atas dapat ditulis kembali menjadi:

11 12 1 21 22 2 1 2

1 2

i i i

i

i i i i C i i i C in in in C

i c i c in c

d d d d d d d d d

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

Y

d d d

Dari persamaan (3.1.2.8), maka probabilitas bersama dari ni variabel respon level-1 dalam sembarang unit ke-i level-2 , i = 1,...,N., bersyarat pada β dan α , adalah sebagai berikut:

( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

1 2

1 2

1 1 2

1 1 2

1 2

1 1 2

C ikc c=1

d !

| , Pr( | , ) Pr( | , ) Pr( | , )

! ! !

! Pr( | , ) Pr( | , ) Pr

! ! !

i

ik ik ikC

i

ik ik

n d d d

i ik ik ik

k ik ik ikC

n d d

ik ik

k ik ik ikC

Y Y Y C

d d d

Y Y

d d d

=

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= = ⋅ = ⋅ ⋅

∏ ∑

∏

Y β α β α β α β α

β α β α

[ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1

1 0 2 1 1

1

1 2

( | , )

Pr( | , ) Pr( | , ) Pr( | , )

ikC

i

ik ik ikC

i

ik ik

d ik

n d d d

ik ik ik

k

n d d

ik ik ik ik C ik C

k

Y C

Y Y Y C

z z z z z

γ γ γ γ γ γ

=

−

=

=

= = ⋅ = ⋅ ⋅ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣Φ − − Φ − ⎦ ⋅ Φ −⎣ − Φ − ⎦ ⋅ ⋅ Φ − − Φ −

∏

∏

β α

β α β α β α

(

zik

)

^dikC

⎡ ⎤

⎣ ⎦

Secara umum, persamaan di atas dapat ditulis:

(

| ,

) ( ) (

1

)

ni C

k 1 c 1

₋

= =

=

∏ ∏

⎡⎣ Φ − − Φ − ⎤⎦

Y β α_i γ_c z_ik γ_c z_ik ^dikc (3.2.1.9)

Persamaan (3.2.1.9) merupakan fungsi likelihood bersyarat untuk sembarang unit level dua ke-i.

P.d.f marginal dari Yi dinyatakan sebagai berikut :

(

^{Y β α}

)

^{β β}

Y β g d

h( _i) ⁼

∫

_i | , ( ) (3.2.1.10)

di mana, ( )g β merupakan p.d.f dari vektor β .

Umumnya fungsi distribusi dari efek random diasumsikan merupakan fungsi distribusi normal standar (Johnson and Albert, 1999). Oleh karena itu, vektor β yang berdistribusi NR₊1

(

μ,Σ_δ

)

akan distandarisasi menjadi vektor θ yang berdistribusi multivariat normal standar NR₊1

( )

0, I dengan cara

melakukan transformasi berikut:

β=Tθ+μ

( )

⁻1

= −

= −

Tθ β μ

θ T β μ

dimana T T ′=Σ_δadalah dekomposisi Cholesky dari Σ_δ.

( ) ( ) ^{( )} ( ) ( )

0

1 0 1 0 1 0

0 0

0 1 0

1

1 0 0 1 1

0 0

0 0

1 0 1 0

0

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

0 0 0

0

R R

R R R R

R

δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ

σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

σ σ σ σ σ

σ

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜ − ⎜⎛⎜⎝ ⎞⎟⎟⎠ − + + + ⎟⎟⎟⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

T

Dapat ditunjukkan bahwa vektor θ berdistribusi multivariat normal standar

( )

R 1

N ₊ 0, I . (Bukti dapat dilihat di lampiran 3)

Berdasarkan transformasi ini, maka persamaan (3.1.2.7) menjadi

( )

ik ik ik

z = x′ Tθ μ+ + w α ′ (3.2.1.11) dan p.d.f marginal pada (3.2.1.10) menjadi:

( )

( ) (

1

)

ni C

k 1 c 1

h( ) | , ( )

^ikc ( )

i i

d

c ik c ik

g d

z z g d

γ γ ₋

= =

=

⎛ ⎞

⎡ ⎤

= ⎜ ⎣Φ − − Φ − ⎦ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫ ∏ ∏

θ

θ

Y Y θ α θ θ

θ θ

(3.2.1.12)

di mana, ^g

( )

θ = p.d.f multivariat normal standar.

Konsekuensi dari mentransformasi dari β ke θ yaitu bahwa parameter dalam model yang akan diestimasi adalah faktor cholesky T dan bukan matriks kovariansi Σ_δ.

Misalkan ^ν

( )

T adalah vektor ukuran (R+1)(R+2) / 2 × yang berisi 1 elemen-elemen di diagonal utama dan elemen-elemen di bawah diagonal utama dari matriks segitiga bawah T. Untuk mempermudah notasi, misalkan

( )

ν T =

[

t00 t10 tRR

]

′, dengan t_RR adalah elemen ke (R+1)(R+2)/2.

Jadi, berdasarkan pendefinisian vektor ^ν

( )

^T di atas, dan berdasarkan persamaan (3.2.1.11) dan (3.2.1.12), terlihat bahwa parameter-parameter dalam model yang akan diestimasi adalah γc

(

c =^2,...,C−¹

)

^,

[

μ μ0 1 μ_R

]

^′,

=

μ α=

[

α α1 2 α_P

]

^′, dan ν

( )

T =

[

t00 t10 tRR

]

^′.

Untuk mencari estimasi atau taksiran parameter-parameter tersebut, diperlukan suatu metode estimasi. Dalam tugas akhir ini, metode estimasi yang diperlukan adalah metode estimasi Maximum Marginal Likelihood (MMLE). Prinsip dari metode ini adalah mencari taksiran parameter

( )

, , , dan

γc α μ ν T yang memaksimumkan fungsi marginal likelihood. Fungsi

marginal likelihood untuk keseluruhan N unit level dua diperoleh sebagai hasil kali dari p.d.f marginal setiap unit level dua, atau dapat ditulis:

( )

1

1

L h( )

| , ( )

N i i N

i i

g d

=

=

=

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

∏

∏ ∫

θ

Y

Y θ α θ θ (3.2.1.13)

Untuk mempermudah perhitungan dalam mendapatkan taksiran maximum marginal likelihood dari parameter γc^{, , ,} α μ ^dan ν

( )

T digunakan bentuk logaritma dari fungsi marginal likelihood pada persamaan (3.2.1.13), yaitu:

( )

1

1 2

1 2

1

log L log h( )

log h( ) h( ) h( )

log h( ) log h( ) log h( ) log h( )

N i i

N

N N

i i

=

=

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅

= + + +

=

∏

∑

Y

Y Y Y

Y Y Y

Y

Persamaan (3.2.1.14) disebut juga fungsi marginal log-likelihood.

Taksiran maximum marginal likelihood dari parameter γc^{, , , dan} α μ ν

( )

T diperoleh dari turunan parsial pertama fungsi marginal log-likelihood terhadap parameter γc^{, , ,} α μ ^dan ν

( )

T , dan kemudian menyamakannya dengan nol.

Misalkan ,

( )

^{1 ( )2 2}

2

c zik

c −zik = e^{−γ −}

φ γ π

dan,

(3.2.1.14)

1 0

jika c jika c

cc

c

′ c

= ′

= ⎨⎧⎪

≠ ′ δ ⎪⎩

Maka,

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )

( )

( )

( )

,

c ik c ik c ik

c c

c ik c ik ik

c

c

c ik

c

c ik cc

z z z

z

z

z

γ φ γ γ

γ γ

φ γ γ

γ φ γ γ

γ

φ γ δ

′ ′

′

′

′

⎡ ⎤

∂ ∂

• ∂ Φ − = − ⎢⎣∂ − ⎥⎦

⎡ ∂ ′ ′ ⎤

= − ⎢⎣∂ − + + ⎥⎦

= − ∂

∂

= −

x Tθ μ w α

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

⁰

2 1

' '

'

'

c, ,...,

( )

c ik c ik ik

r r

ik ik

c ik

r

R rik r r

ik

c ik c ik

r

c C

z z z

z

x

z z

γ φ γ

μ μ

φ γ μ

μ

φ γ φ γ

μ

=

′ = −

⎡ ⎤

∂ ∂

• ∂ Φ − = − − ⎢⎣∂ − ⎥⎦

′ ′

∂ + +

= − −

∂

∂ ⎜⎛

∂ ′ ⎝

= − − = − −

∂

∑

x Tθ μ w α

x μ

( )

( )

1

0 1

'

'

'

, bernilai 1 jika r r' , ' , ,...,

r R

r

c ik jik

r r

c ik r ik

z x

z x r R

μ φ γ μ

μ φ γ

=

⎞⎟

⎠

∂

= − − ∂ =

∂

= − − =

∑

(3.2.1.15)

(3.2.1.16)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1

*

( )

, berni

ik ik

c ik c ik

p p

P pik p ik p

c ik c ik

p p

P

p

c ik pik

p p

z z

w

z z

z w

γ φ γ

α α

α

φ γ φ γ

α α

φ γ α

α

′

=

′ ′

= ′

′ ′

∂ + +

• ∂ Φ − = − −

∂ ∂

⎛ ⎞

∂⎜ ⎟

∂ ′ ⎝ ⎠

= − − = − −

∂ ∂

= − − ∂

∂

∑

∑

x Tθ μ w α

w α

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

00

10 11

1

0 1

1 2

0 0

1 0

lai 1 jika p = p

, , ,...,

c ik p ik

ik

c ik c ik

rh rh

c ik ik Rik

rh

R R

z w p P

z z

t t

t

t t

z x x

t

t t

φ γ

γ φ γ

φ γ

′

′

= − − ′=

∂ ′

• ∂ Φ − = − −

∂ ∂

= − − ∂

∂ x Tθ

( )

(

( ) ( )

)

( )

0 1

00 0 1 10 0 11 1 0 0 1 1

00 0 10 1 0

RR R

c ik ik Rik R R RR R

rh

c ik ik R

rh

t

z t x t t x t t t

t

z t t x t

t

θ θ

θ

φ γ θ θ θ θ θ θ

φ γ θ θ

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎞

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟

⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

= − − ∂ + + + + + + +

∂

= − − ∂ + + +

∂ ( )

( )

0 0 11 1 1 1 1 1

, 0

Rik ik R ik RR Rik R

c ik h rik

x t x t x t x

z x h r R

θ θ θ θ

φ γ θ

+ + + + +

= − − ≤ ≤ ≤

Selanjutnya, dari persamaan (3.2.1.9) dan dari sifat perkalian logaritma, diperoleh:

(3.2.1.17)

(3.2.1.18)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1

1

1 1 0 1 1 0

2 1 2 1

ni C

k 1 c 1

log | , log

log

ikc

i ini

i i

d

i c ik c ik

d d

i i in in

i i

z z

z z z z

z z

γ γ

γ γ γ γ

γ γ

= = −

⎡ ⎤

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣Φ − − Φ − ⎦ ⎥

⎣ ⎦

⎡⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎞

= ⎢ ⎣⎣⎜⎝ Φ − −Φ − ⎦ ⎣Φ − −Φ − ⎦ ⎠⎟

⎡ ⎤

⋅ Φ⎣ − −Φ − ⎦

∏ ∏

Y θ α

( ) ( )

( ) ( )

( ^{( ) ( )}

( ) ( )

( ( )

12 2

1

2 2

1 1 1 1

11 1 1 0 1 1 1 0

log

i ini

i i

in Ci i C

i i

i i

d d

in in

d d

C i C i C in C in

i i i in in

z z

z z z z

d z z d z

γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ γ

− −

⎛ ⎡Φ − −Φ − ⎤ ⎞⎟

⎜ ⎣ ⎦ ⎠

⎝

⎞⎤

⎡ ⎤

⎡Φ − −Φ − ⎤ Φ − −Φ − ⎟

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠⎦⎥

⎡ ⎤

= ⎣Φ − −Φ − ⎦+ + Φ − −Φ

( ) )

( )

( ^{( )} ( ) ( ) )

( ) ( )

( ( ) ( ) )

12 2 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1

log log

i

i i i

i i i

in

i i i in in in

i C C i C i in C C in C in

ikc

z

d z z d z z

d z z d z z

d

γ γ γ γ

γ γ ₋ γ γ

⎡ − ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎡ ⎤

+ ⎣ Φ − −Φ − ⎦+ + ⎣Φ − −Φ − ⎦ +

⎡ ⎤

⎡ ⎤

+ ⎣Φ − −Φ − ⎦+ + ⎣Φ − −Φ − ⎦

=

( ) (

1

)

1 1

log

ni C

c ik c ik

k C

z z

γ γ ₋

= =

⎡Φ − −Φ − ⎤

⎣ ⎦

∑∑

Persamaan (3.2.1.15), (3.2.1.16), (3.2.1.17), (3.2.1.18), dan (3.2.19) dapat digunakan untuk mencari turunan parsial pertama fungsi log L terhadap parameter-parameter ^γ_c′

(

^c'=^2,...,C−¹

)

^{, 'μ}_r′

(

^r =^{0 1, ...,R}

)

^{, 'α}_p′

(

^p =^1,...,P

)

^,

(

⁰

)

dan t_rh ≤ ≤ ≤h r R . Jadi, berdasarkan persamaan-persamaan tersebut, diperoleh turunan parsial pertama fungsi marginal log likelihood terhadap parameter-parameter di atas adalah:

(3.2.1.19)

( )

( )

( )

( )

1

1

1

i

-1 i i

-1 i

-1 i

log L

log h( )

h( ) h ( )

h ( ) | , ( )

h ( ) log | ,

N

c i c

N

i c

N

i

i c

i i

c

g d

γ γ

γ

γ

γ

′ = ′

= ′

= ′

′

∂ ∂

• =

∂ ∂

= ∂

∂

⎛ ∂ ⎡ ⎤⎞

= ⎜⎝∂ ⎣ ⎦⎟⎠

⎛ ∂ ⎞

⎡ ⎤

= ⎜⎝∂ ⎣ ⎦⎟⎠

∑

∑

∑ ∫

θ

Y

Y Y

Y Y θ α θ θ

Y Y θ α

(

Y

)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1

1 1 1

1

1 1

-1 i

-1 i

| , ( )

h ( ) log | , ( )

h ( ) log

i

i

N

i

N n C

ikc c ik c ik i

i c k c

n C

ikc c ik c ik

k c c

g d

d z z g d

d z z

γ γ

γ

γ γ

γ

=

−

= ′ = =

= = ′ −

⎛ ∂ ⎡ ⎡ ⎤⎤⎞

= ⎜⎜⎝∂ ⎣⎢ ⎣Φ − −Φ − ⎦⎥⎦⎟⎟⎠

∂ ⎡ ⎤

= ∂ ⎣Φ − −Φ − ⎦

∑ ∫

∑ ∫ ∑∑

∑∑

θ

θ

θ α θ θ

Y Y θ α θ θ

Y

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 1 1 1

-1 i

-1 i

| , ( )

h ( ) | , ( )

h ( )

i

N

i i

c ik c ik

N n C

c

ikc i

i k c c ik c ik

c c ikc

g d

z z

d g d

z z

d

γ γ

γ

γ γ

γ γ

=

−

′

= = = −

′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎛ ∂ ⎡Φ − −Φ − ⎤ ⎞⎞

⎜ ⎜∂ ⎣ ⎦ ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎟⎟

= ⎜ ⎜ Φ − −Φ − ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

∂ Φ −

= ∂

∑ ∫

∑ ∫ ∑∑

θ

θ

Y θ α θ θ

Y Y θ α θ θ

Y

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

, -1

i

| , ( )

h ( )

i

i

ik c ik

N n C

c

i

i k c c ik c ik

n C

c ik cc c ik c c

ikc

k c c ik c ik

z z

g d

z z

z z

d z z

γ γ

γ γ

φ γ δ φ γ δ

γ γ

−

′

= = = −

′ − − ′

= = −

⎛⎜⎜ ⎛⎜⎜ ⎡⎣ ⎤⎦−∂∂ ⎡⎣Φ − ⎤⎦⎞⎟⎟⎞⎟⎟

Φ − −Φ −

⎜ ⎜ ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎛ − − − ⎞⎞

= ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ Φ − −Φ − ⎟⎟⎠

∑ ∫ ∑∑

∑∑

θ Y θ α θ θ

Y

( )

1

| , ( ) 0

N

i i

g d

=

⎟⎟ =

∑ ∫

θ ⎠ Y θ α θ θ

Untuk c'=2,...,C− . 1

(3.2.1.20)