15
BAB III
PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN
FLUIDA
3.1 Deskripsi Masalah
Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah dinding vertikal. Fluida tersebut diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak kental dan tak termampatkan. Aliran fluida dimodelkan ke dalam model 2-D, seperti yang terlihat pada gambar 3.1, karena fluida tersebut memiliki aliran irrotational dan dalam keadaan steady.
Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi
Bagian kiri dari gambar adalah fluida dengan ketinggian yang relatif jauh dari dasar. Sementara di bagian kanan dari gambar merupakan sebuah dinding vertikal dengan ketinggian tertentu dari dasar. Dengan beberapa batasan masalah seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, Tugas akhir ini akan mengamati bagaimana pola aliran permukaan bebas fluida pada daerah sekitar celah dinding vertikal.
16
Pada permasalahan aliran fluida tersebut, fluida memiliki aliran irrotational. Oleh sebab itu pada domain fluida berlaku persamaan Laplace
Persamaan Laplace hanya dapat diselesaikan jika ada nilai batas. Batas yang ada disini memenuhi 2 kondisi batas yaitu batas kaku dan batas bebas. Batas kaku memenuhi kondisi batas kinematik. Sedangkan batas bebas memenuhi kondisi batas kinematik dan dinamik. Batas kinematik sendiri terkait dengan permukaan atau dasar. Pada batas kinematik, partikel di batas akan tetap berada di batas. Sementara batas dinamik terkait dengan pertemuan antara suatu fluida dengan fluida lainnya. Pada kasus ini, tekanan udara diambil sebagai tekanan referensi .
Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang
17
Berdasarkan gambaran aliran fluida tersebut, maka akan kita tentukan batas kinematik dan batas dinamiknya. Batas kinematik didapat dari permukaan dasar , dinding vertikal , dan pada permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal . Sedangkan untuk batas dinamik didapat hanya dari permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal .
Batas Kinematik
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi . Turunan total dari S adalah
Dengan asumsi awal bahwa aliran fluida adalah steady maka waktu tidak berpengaruh terhadap aliran fluida. Hal tersebut menyebabkan turunan terhadap waktu akan sam dengan nol. Dan dengan mengaitkan kondisi batas ini dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi . Dengan melihat turunan total dari S, aliran fluida fluida steady, serta mengaitkan kondisi batas dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi . Sama seperti sebelumnya, maka diperoleh
Batas Dinamik
Pada , untuk .
18
karena . Dan karena fluida dalam keadaan steady, maka persamaan (3.6) dapat dituliskan menjadi
disebabkan waktu tidak berpengaruh pada aliran fluida.
Setelah diperoleh kondisi batas baik itu kinematik maupun dinamik, lalu dilakukan pengskalaan dengan tujuan untuk mengurangi parameter. Dengan D adalah unit satuan panjang dan Q adalah unit satuan fluks, maka kita dapatkan hubungan
sehingga diperoleh
Substitusikan (3.9), (3.10), (3.11), dan (3.12) pada kondisi batas kinematik dan dinamik sehingga didapatkan batas kinematik dan dinamik yang telah diskalakan yaitu
Batas Kinematik
19 Pada dinding vertikal, kita peroleh
Pada permukaan bebas fluida, kita peroleh
Batas Dinamik
Pada permukaan bebas fluida, kita dapatkan persamaan Bernoulli (3.7) menjadi
Lalu dengan membagi kedua ruas dengan , maka diperoleh persamaan
dengan
.
Dengan pengskalaan tersebut, bidang aliran fluida mengalami perubahan secara geometris. Bidang aliran fluida dapat digambarkan pada bidang seperti yang terlihat pada gambar 3.3.
A B C
f
y
D E 1 020
Semua variabel memiliki satuan yang sama. Fluks fluida yang awalnya sebesar , kini menjadi 1 satuan. Dari gambar 3.3 terlihat bahwa garis AB merupakan dinding dasar. Garis DE merupakan dinding vertikal dan garis DC merupakan permukaan bebas aliran fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Titik-titik A, B, C, dan E menuju tak hingga.
3.3 Transformasi Pada Domain Fluida
Setelah di subbab sebelumnya kita merubah bidang aliran fluida dari bidang-z ke bidang-f seperti yang terlihat pada gambar 3.2 dan gambar 3.3, maka di bab ini kita akan melakukan perubahan dari bidang-f ke bidang- . Untuk itu diperlukan transformasi Schwarz-Christoffel. Transformasi Schwarz-Christoffel akan diterapkan pada domain fluida yang berbentuk poligon.
Transformasi Schwarz-Christoffel akan menyatukan B dan C pada satu titik. Lalu garis AB akan ditarik dan dibuka secara berlawanan arah jarum jam. Kita juga akan melihat titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dengan nilai R yang cukup besar. Daerah hasil transformasi tersebut adalah bidang .
A B C
f
y
D E 1 0 g b (R,1) (R,0)21
dengan dan adalah sudut interior yang dibentuk seperti yang terlihat pada gambar 3.4. Titik (R,0) dan (R,1) akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta K melalui hasil pemetaannya pada bidang- .
BC (-e, 0) ( , 0)e
E D A
Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang-
Dari gambar 3.5 terlihat bahwa titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dipetakan secara berturut-turut ke dan pada bidang- . Pada transformasi
Schwarz-Christoffel ini kita dapat memilih sebuah titik pada daerah asal dan memetakannya
ke sebarang titik pada daerah hasil. Untuk itu dapat dipilih titik D (0,1) pada daerah asal (bidang-f) yang dipetakan ke titik D (-1,0) pada daerah hasil (bidang- ). Sedangkan titik B dan C pada f, keduanya dipetakan ke titik nol pada
bidang-. Sudut interior dan yaitu , sehingga kita dapat tuliskan transformasi
Schwarz-Christoffel yaitu
Kita integralkan persamaan (3.20) terhadap sehingga kita dapatkan
22
berturut-turut ke dan pada bidang- . Sehingga fungsi
pemetaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut
dan
Kita substitusi (3.22) pada (3.23) sehingga kita peroleh nilai K yaitu untuk R menuju tak hingga. Maka persamaan (3.21) menjadi
Sedangkan untuk mendapatkan nilai L, kita perhatikan titik D (0,1) pada bidang-f yang dipetakan ke titik D pada bidang- . Kita masukkan pada persamaan (3.24) sehingga menjadi
dan diperoleh . Diperoleh nilai dan yang kita masukkan ke dalam persamaan (3.21) sehingga menjadi
yang merupakan pemetaan dari bidang-f ke bidang- .
3.4 Variabel Hodograf
23
Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline Vektor kecepatan partikel yang terkait dengan kompleks potensial adalah
Maka berdasarkan (3.27) dan (3.28), persamaan (3.29) dapat dituliskan menjadi
dengan yang dikenal sebagai variabel hodograf. Kondisi batas kinematik dan dinamik yang telah diperoleh pada subbab sebelumnya, dapat dinyatakan ke dalam variabel hodograf tersebut.
Batas Kinematik
Pada dinding dasar, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai yang memenuhi adalah .
Pada dinding vertikal, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai yang memenuhi adalah . Tanda negatif berarti arah aliran fluida yang mempunyai arah aliran dari atas ke bawah.
u
v q
24
Pada permukaan bebas fluida, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
yang merupakan kemiringan kurva . Maka yang tidak diketahui tersebut yang memenuhi nilai pada permukaan bebas fluida. Batas Dinamik
Pada kondisi batas dinamik, dipenuhi oleh persamaan (3.17) yaitu
.
Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
dengan
.
Merubah Variabel dan ke .
Pada kondisi batas dinamik (3.34) terdapat dua buah variabel yang tidak diketahui yaitu dan . Kedua variabel tersebut akan dinyatakan ke dalam .
Pertama kita akan merubah variabel ke dalam variabel . Kita perhatikan hubungan
25
Untuk mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan bagian imajiner dari persamaan (3.36) yaitu
Persamaan (3.37) tersebut kita integralkan pada selang karena kita mengamati bagian permukaan bebas aliran fluida.
Nilai dari , maka kita peroleh persamaan
Setelah itu, kita akan merubah ke dalam . Untuk menyatakan ke dalam , fungsi diintegralkan mengikuti lintasan setengah lingkaran bawah dan garis lurus dari titik –M sampai titik M secara searah jarum jam. Titik M dan –M diambil menuju tak hingga.
-1 0
-M M
0
x
Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida
26
Titik disini merupakan titik singular. Untuk menghindari titik singular tersebut maka dibuat lintasan integral berupa setengah lingkaran yang melompati titik seperti yang terlihat pada gambar 3.8.
-1 0
-M x0 M
Gambar 3.8 Singularitas pada bidang-
Persamaan (3.40) dapat dihitung bagian per bagian dengan melihat lintasan C1 yaitu setengah lingkaran besar, C2 yaitu setengah lingkaran kecil, dan garis lurus dari titik –M sampai titik M.
Pada integral tersebut terdapat PV (Principal Value) yang memiliki arti pada selang integral tersebut terdapat titik yang menyebabkan nilai integral tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, persamaan integralnya bernilai 0 untuk . Namun pada kasus ini, syarat tersebut tidak dipenuhi karena .
Untuk itu dibutuhkan sebuah variabel baru yaitu . Diharapkan variabel untuk . Konstruksi dari dapat dituliskan sebagai
27
Kita cek persamaan (3.43) dengan menggunakan sebuah titik pada bidang- misalkan titik . Argumen adalah – dan yang memenuhi kondisi batas titik adalah . Lalu dengan mensubstitusikan nilai dan ke bagian imanjiner dari persamaan (3.43) maka kita dapatlan nilai menuju 0. Karena untuk , maka kemudian diterapkan pada persamaan (3.41) menjadi
Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, nilai integralnya akan bernilai 0. Maka (3.44) menjadi
Telah kita ketahui sebelumnya bahwa , maka
persamaan (3.45) dapat dituliskan sebagai
Karena disini kita ingin mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan bagian riil dari persamaan (3.46) yaitu
Untuk menghitung persamaan integral tersebut, akan dilakukan partisi terhadap selang integral menjadi 3 bagian yaitu , , dan . Pada setiap selang, kita akan melihat nilai dari dan pada titik yang berada pada selang tersebut.
28
kita dapat memilih sebarang titik pada selang tersebut, misalkan titik , sehingga kita peroleh nilai .
Selang pada daerah asal merupakan permukaan bebas fluida dimana nilai disini belum diketahui. Pada selang ini nilai sama dengan
selang yaitu – .
Selang pada daerah asal merupakan dinding dasar dimana nilai nilai yang memenuhi adalah . Dan untuk menentukan nilai , kita pilih titik
, sehingga kita peroleh nilai .
Nilai-nilai dan yang telah didapat, kita substitusikan ke dalam (3.47) sehingga diperoleh
Nilai dari . Maka persamaan (3.48) dapat
dituliskan menjadi
Kita telah mendapatkan sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak diketahui yaitu
