Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 [email protected]
Abstrak
Aljabar merupakan suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu operator bilinier, yaitu suatu operator yang linier pada masing-masing argumennya. Suatu aljabar dikatakan sebagai aljabar simetris kiri jika asosiator dari sembarang ketiga vektornya simetrik pada kedua argumen pertamanya. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai konstruksi aljabar simetris kiri melalui fungsi linier. Pertama-tama akan dibahas mengenai konstruksi aljabar secara umum dimana pendefinisian operator bilinier pada aljabar akan melibatkan fungsi-fungsi linier. Selanjutnya akan diberikan syarat bagi fungsi linier tersebut sedemikian sehingga aljabar yang telah dikonstruksi merupakan suatu aljabar simetris kiri.
Kata Kunci : aljabar, aljabar simetris kiri, fungsi linier, operator bilinier
1. PENDAHULUAN
Secara umum aljabar dikenal sebagai suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut dan sesuai dengan aturan-aturan tertentu (Webster's II New College Dictionary, 1999). Akan tetapi, ada juga yang mendefinisikan aljabar sebagai suatu ruang vektor atas suatu lapangan yang dilengkapi dengan operator bilinier dan memenuhi sifat-sifat tertentu. Definisi aljabar inilah yang selanjutnya akan digunakan dalam skripsi ini.
Karena aljabar adalah suatu ruang vektor dengan operasi bilinier, pembahasan aljabar tak luput dari istilah-istilah yang digunakan saat mempelajari ruang vektor contohnya seperti basis, transformasi linier, subruang, dan direct sum. Salah satu contoh aljabar yang cukup dikenal ialah aljabar simetris kiri. Aljabar simetris kiri ialah aljabar yang asosiator dari sembarang ketiga vektornya simetris pada kedua argumen pertamanya. Secara umum aljabar simetris kiri merupakan kelas dari aljabar yang nonasosiatif yang muncul dari beberapa studi, salah satunya studi mengenai Aljabar Lie. Seringkali pendefinisian aljabar simetris kiri melibatkan struktur yang tidak linier. Dikarenakan nonasosiatif dan bentuknya yang secara umum tidak linier, mempelajari aljabar simetris kiri tidaklah mudah (Bai, 2004). Oleh karena itu,
masalah yang sering muncul ialah bagaimana cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri tertentu untuk kemudian dipelajari sifat-sifatnya. Untuk mempermudah, aljabar simetris kiri akan dikonstruksi dengan menghilangkan struktur yang tidak linier.
Salah satu caranya ialah dengan melibatkan hanya fungsi-fungsi linier pada pendefinisian operator bilinier pada aljabar. Dalam makalah ini akan dipelajari bagaimana cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri melalui fungsi linier.
2. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan ialah studi literatur mengenai aljabar linier, fungsional linier, aljabar, Aljabar Lie dan aljabar simetris kiri.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam makalah ini akan dibahas mengenai konstruksi aljabar simetris kiri. Namun sebelum membahas cara mengkonstruksi aljabar simetris kiri berikut akan diberikan definisi dari aljabar simetris kiri. Sebagian besar definisi dan teorema yang digunakan dalam makalah ini mengacu pada Bai (2004).
Definisi 3.1 Suatu aljabar A dikatakan aljabar simetris kiri jika untuk sembarang ∈ A, asosiator
simetrik pada , yaitu:
atau ekivalen dengan
(Bai, 2004).
Misalkan merupakan suatu aljabar berdimensi dan merupakan operator bilinier pada . Karena merupakan operator bilinier pada maka untuk sembarang dua buah vektor di , produk kedua vektor juga merupakan anggota dari sehingga produk kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.
Perhatikan bahwa skalar-skalar pada kombinasi linier tersebut merupakan anggota lapangan, sehingga skalar-skalar tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil peta dari fungsi yang bergantung pada kedua vektor yang bersangkutan. Ini berarti bahwa untuk sembarang ∈ , produk dapat dinyatakan sebagai
(3.1) dimana merupakan fungsi bilinier.
Karena merupakan operasi bilinier dan merupakan fungsi bilinier mengakibatkan adanya evaluasi daerah definisi pada dan seperti yang akan dijelaskan pada lema di bawah ini
Lema 3.2 Misalkan A merupakan aljabar dengan operator bilinier . Misalkan pula untuk sembarang ∈ , produk dapat dinyatakan sebagai
dengan . Maka hanya bergantung pada dan hanya bergantung pada .
Bukti. Pembuktian akan dilakukan dengan pemilihan kasus-kasus yang mengandaikan bukan merupakan
fungsi yang hanya bergantung pada atau bukan merupakan fungsi yang hanya bergantung pada dan berakhir pada kontradiksi.
Andaikan untuk , dan masing-masing bergantung pada dan . Perhatikan bahwa untuk sembarang ∈ berlaku
Karena merupakan operator bilinier maka untuk setiap ∈ dan ∈ , berlaku sehingga
.
Persamaan di atas hanya berlaku jika atau atau atau . Hal ini kontradiksi dengan dan pemilihan dan yang sembarang. Bukti untuk kasus lainnya similar sehingga haruslah Maka hanya bergantung pada dan hanya bergantung pada .
Dari lema di atas terlihat bahwa untuk sembarang ∈ , produk dapat dinyatakan sebagai
(3.2) dimana merupakan fungsi linier. Setelah mendapatkan representasi dari produk sembarang dua buah vektor pada aljabar melalui fungsi linier, maka selanjutnya, melalui Teorema 3.2 berikut akan didefinisikan kriteria fungsi linier yang akan mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri.
Teorema 3.3 Misalkan A adalah ruang vektor berdimensi , merupakan dua buah fungsi linier. Untuk setiap ∈ , produk
mendefinisikan aljabar simetris kiri jika dan hanya jika atau . Lebih jauh lagi, saat atau , Persamaan mendefinisikan suatu aljabar yang asosiatif. (Bai, 2004).
Bukti. Perhatikan asosiator dan terlebih dahulu
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
.
.
Jika atau maka untuk setiap ∈ , atau dengan kata lain terbukti bahwa merupakan aljabar simetris kiri.
Sekarang tinggal dibuktikan jika aljabar simetris kiri maka atau . Atau secara ekivalen akan ditunjukan , untuk setiap ∈ . Misalkan untuk sembarang berlaku atau dengan kata lain berlaku , maka untuk berlaku
( ) . Jika maka persamaan terbukti benar. Sekarang akan dibuktikan untuk berlaku untuk setiap ∈ .
Misalkan maka { } merupakan himpunan vektor yang bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema Perluasan Basis, selalu dapat ditemukan ∈ dengan sedemikian sehingga { } merupakan himpunan vektor-vektor yang saling bebas linier, sehingga untuk sembarang ∈ ,
( ) mengakibatkan
dan Karena untuk sembarang ∈ , dapat disimpulkan bahwa
∈ sehingga . Jelas bahwa sehingga dapat disimpulkan bahwa .
Karena maka untuk setiap berlaku sehingga terbukti bahwa atau .
Berdasarkan teorema di atas, terlihat bahwa atau merupakan syarat cukup dan syarat perlu bagi untuk dapat didefinisikan sebagai suatu aljabar simetris kiri. Selanjutnya, pada Akibat 3.5 dan Akibat 3.6 berikut akan dibahas sifat aljabar simetris kiri yang telah diperoleh berdasarkan Teorema 3.3 di atas dan isomorfisma dari Aljabar Lie Subadjacent dari . Namun sebelumnya tinjau Lema berikut:
Lema 3.4 Misalkan A merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan kompleks berdimensi . Jika merupakan fungsional linier tak nol maka terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk
.
Bukti. Karena linier dan , maka . Berdasarkan rank plus nullity theorem diperoleh ( ) , sehingga dapat dinyatakan sebagai ⨁ dengan { } subruang dari dan .
Misalkan { } merupakan basis dari maka tanpa mengurangi keumuman misalkan { } merupakan basis dari dan { } basis dari . Perhatikan dan untuk .
Pilih { } sebagai basis baru dari sehingga
( ) dan
( ) untuk .
Akibat 3.5 Misalkan merupakan aljabar berdimensi , dengan definisi produk
untuk setiap ∈ dimana merupakan dua buah fungsi linier. Didefinisikan , dan untuk setiap ∈ . Maka berlaku
1. Jika maka terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga
.
2. Jika maka terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga
.
3. Jika maka A adalah aljabar trivial, yaitu aljabar yang seluruh produknya bernilai nol.
(Bai, 2004)
Bukti. Ambil sembarang ∈ . Berikut akan dibuktikan ketiga poin di atas satu persatu
1. Karena linier dan maka berdasarkan Lema 3..4 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk , sehingga
2. Karena linier dan , maka
berdasarkan Akibat 2.2.4 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk , sehingga ,
3. Jika maka untuk sembarang
∈ berlaku
sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan aljabar trivial.
Akibat 3.6 Misalkan merupakan aljabar yang asosiatif berdimensi , dengan definisi produk untuk setiap ∈ dimana dua fungsi linier. Aljabar Lie Sub- adjacent dari A dengan , atau
isomorfik dengan Aljabar Lie 2-step solvable berikut :
〈 [ ] 〉. (3.3) Dimana { } merupakan basis dari (Bai, 2004)
Bukti. Misalkan merupakan Aljabar Lie Sub- adjacent dari akan dibuktikan bahwa terdapat suatu pemetaan linier bijektif sedemikian sehingga untuk setiap ∈ berlaku
[ ] [ ] Kasus 1.
Pilih
∑ ∑
dimana { } merupakan basis dari sedemikian sehingga berlaku Akibat 3.5 dan { } merupakan basis dari . Perhatikan bahwa bijektif sehingga untuk sembarang ∈ dengan ∑ , ∑ berlaku [ ]
[∑ ∑ ]
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ , [ ]
[∑ ∑ ]
[ ∑ ] [∑ ∑ ] [ ∑ ] [∑ ∑ ]
[ ] [ ∑ ] [ ∑ ] [∑ ∑ ]
∑ ∑ ∑ ∑ .
Terbukti bahwa [ ] [ ] sehingga dapat disimpulkan bahwa isomorfik dengan .
Kasus 2.
Pilih
∑ ∑
dimana { } merupakan basis dari sedemikian sehingga berlaku Akibat 3.5 dan { } merupakan basis dari . Perhatikan bahwa bijektif sehingga untuk sembarang ∈ dengan ∑ , ∑ berlaku [ ]
[∑ ∑ ]
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
)
∑ , [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ∑ ∑
∑ .
Terbukti bahwa merupakan pemetaan homomorfisma.
Karena telah terbukti bahwa terdapat isomorfisma antara dengan maka dikatakan isomorfis dengan .
Teorema 3.7 Misalkan adalah aljabar dengan operasi bilinier [ ] yang didefinisikan sebagai berikut
[ ]
Maka merupakan Aljabar Lie jika dan hanya jika untuk setiap ∈ berlaku
(Bai, 2004).
Bukti.
Misalkan merupakan Aljabar Lie, maka berdasarkan sifat [ ] , untuk sembarang diperoleh
Sedangkan bukti untuk arah sebaliknya dapat langsung diperoleh dengan mudah.
Perhatikan bahwa aljabar simetris kiri hasil konstruksi pada Teorema 3.3, merupakan aljabar simetris kiri yang asosiatif padahal aljabar simetris kiri secara umum merupakan anggota dari kelas aljabar yang nonasosiatif. Oleh karena itu, untuk memperoleh aljabar simetris kiri yang nonasosiatif, konstruksi di atas perlu diperluas. Perluasan sederhana yang dapat dilakukan ialah menambahkan suatu vektor tertentu tak nol pada Persamaan (3.2) sehingga untuk setiap ∈
. (3.4) Dimana merupakan fungsi bilinier tak nol.
Sebelum membahas syarat perlu dan syarat cukup agar aljabar dengan definisi produk seperti yang tertera pada Persamaan (3.4) merupakan aljabar simetris kiri, terlebih dahulu akan dibahas beberapa lema yang dapat menjadi alat bantu untuk membahas syarat perlu dan syarat cukup tersebut.
Lema 3.8 Misalkan merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan kompleks berdimensi dan merupakan fungsi bilinier. Jika dan { } merupakan basis dari maka terdapat ∈ { } sedemikian sehingga ( ) .
Bukti. Pembuktian lema ini akan menggunakan kontradiksi.
Andaikan untuk setiap ∈ { } berlaku ( ) . Ambil sembarang ∈ dengan ∑ dan ∑ , maka
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
karena untuk sembarang ∈ berlaku maka dapat disimpulkan bahwa . Hal ini kontradiksi dengan premis yang menyatakan
sehingga haruslah terdapat ∈ { } sedemikian sehingga ( ) .
Lema 3.9 Misalkan merupakan ruang vektor berdimensi , merupakan dua buah fungsi linier dan merupakan fungsi bilinier yang simetris
1. Jika untuk sembarang ∈ berlaku maka atau atau dan terdapat ∈ , sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ .
2. Jika untuk sembarang ∈ berlaku maka atau atau , dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ ; dan ( ) untuk
, . . Bukti.
1. Karena linier dan maka berdasarkan Akibat 3.4 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga , untuk . Karena untuk setiap ∈ berlaku
maka diperoleh , untuk . Hal ini mengakibatkan untuk sembarang ∈ dan ∈ berlaku
dengan .
2. Karena maka berdasarkan Akibat 3.4 terdapat { } basis dari sedemikian sehingga dan untuk . Karena untuk setiap ∈ berlaku
dan berdasarkan Lema 3.8 dapat diperoleh dan ( ) untuk
, , sehingga dengan .
Lema 3.10 Misalkan merupakan aljabar berdimensi , dengan definisi produk
untuk setiap ∈ dimana merupakan dua buah fungsi linier dan
merupakan fungsi bilinier simetrik dengan . Jika merupakan aljabar simetris kiri maka untuk setiap ∈ berlaku
, (3.5)
, (3.6) . (3.7) Bukti. Pembuktian akan dilakukan dengan
kontrapositif, yaitu jika terdapat suatu ∈ sedemikian sehingga Persamaan (3.5) atau (3.6) atau (3.7) tidak berlaku maka bukan merupakan aljabar simetris kiri. Atau dengan kata lain akan ditunjukan untuk suatu ∈ berlaku
[ ] [ ] [ ]
[ ]
.
Perhatikan bahwa jika merupakan fungsi linier tak nol maka dapat dinyatakan sebagai ⨁ atau ⨁ dengan { } dan { }.
Kasus 1.Misalkan merupakan dua buah fungsi linier sedemikian sehingga
untuk suatu ∈ . Perhatikan bahwa dan untuk suatu ∈ . Misalkan { }
merupakan basis di dengan { } merupakan basis bagi dan { } merupakan basis bagi .
Pilih ∈ dengan dan , ∑ , dengan , , , sehingga
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
Jika koefisien dari pada persamaan di atas sama dengan nol maka persamaan diatas menjadi
[ ] . Namun, jika koefisien dari pada persamaan di atas sama dengan suatu konstanta tak nol, sebut saja , maka karena dan c saling bebas linier persamaan di atas menjadi
[ ] . Bukti untuk kasus lainnya similar.
Teorema 3.11 Misalkan merupakan aljabar berdimensi , dengan definisi produk
untuk setiap ∈ dimana merupakan dua buah fungsi linier dan merupakan fungsi bilinier simetrik dengan . Maka merupakan aljabar simetris kiri jika dan hanya jika salah satu dari 7 kondisi berikut dipenuhi :
1. untuk setiap ∈ .
2. dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga ( ) ,
dan ∑ dimana . 3. untuk setiap ∈ . 4. dan terdapat ∈ , dan
suatu basis { } di sedemikian sehingga
, dan ∑ dimana . 5. untuk setiap ∈
dan .
6. , untuk setiap ∈ , dan terdapat ∈ , dan suatu basis { } di sedemikian sehingga
, , .
7. dan terdapat ∈ , sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ .
8. (Bai, 2004)
Bukti. Pertama akan dibuktikan jika merupakan aljabar simetris kiri maka salah satu dari 7 kondisi dipenuhi. Berdasarkan Lema 3.10, diperoleh Persamaan (3.5), (3.6), (3.7). Kemudian berdasarkan Lema 3.9 dan Persamaan (3.5) maka atau atau dan terdapat ∈ , sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ .
Kasus 1. Jika
Maka berdasarkan Persamaan (3.6), untuk setiap ∈ diperoleh
karena tetap maka dapat dimisalkan untuk setiap ∈ sehingga persamaan di atas berubah menjadi
Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di
sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ ;
, Karena maka kemungkinan yang ada ialah
1. .
Jika maka untuk setiap ∈ berlaku atau .
(Kondisi 1 pada teorema dipenuhi).
2. dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga
untuk setiap ∈ ; , Pilih dengan
∑ . (Kondisi 2 pada teorema dipenuhi).
Kasus 2. Jika , .
Pada kasus ini Persamaan (3.6) menjadi
( )
( )
.
Dengan memisalkan untuk setiap ∈ maka persamaan di atas menjadi
( ) ( ) Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ ; , Karena maka kemungkinan yang ada ialah
1. .
Jika , maka untuk setiap ∈ , ( atau
.
(Kondisi 3 pada teorema dipenuhi).
2. dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ∈ ;
, . Perhatikan bahwa
atau ekuivalen dengan
Dengan untuk ∑ . (Kondisi 4 pada teorema dipenuhi).
Kasus 3. Jika .
Pada kasus ini Persamaan (3.6) menjadi
( ) ( ) Dengan memisalkan untuk setiap ∈ maka persamaan di atas menjadi
( ) ( ) Berdasarkan Lema 3.9 bagian 2 maka atau atau terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ∈ ; , Karena maka kemungkinan yang ada ialah
1.
Jika , maka untuk setiap ∈ berlaku ( atau
Perhatikan bahwa berdasarkan asumsi dan dan Persamaan (3.7) diperoleh . Karena untuk setiap ∈ , , maka
(Kondisi 5 pada teorema dipenuhi).
2. dan terdapat suatu basis { } di sedemikian sehingga untuk setiap ∈ ; , .
Pilih dengan
∑ Perhatikan bahwa
atau
Misalkan , sehingga
Berdasarkan asumsi dan dan Persamaan (3.7) diperoleh , sehingga dari persamaan di
atas diperoleh
atau .
Jika maka atau secara umum untuk setiap ∈ .
(Kondisi 6 pada teorema dipenuhi).
Jika maka untuk setiap ∈
Atau dengan kata lain . Hal ini kontradiksi dengan pemisalan , sehingga kasus ini tidak mungkin terjadi.
Kasus 4. Jika .
Berdasarkan Persamaan (3.5) dan Lema 3.9 bagian 1 untuk setiap ∈ terdapat ∈ , sedemikian sehingga . Berdasarkan Persamaan (3.7) maka untuk sembarang ∈ berlaku
.
Jika maka untuk sembarang ∈ berlaku
Hal ini kontradiksi dengan asumsi sehingga haruslah . Hal ini mengakibatkan untuk untuk setiap ∈ berlaku
(Kondisi 7 pada teorema dipenuhi).
Pembuktian untuk arah sebaliknya dapat langsung diperoleh dengan mensubstitusikan ketujuh kondisi sedemikian sehingga .
Secara umum aljabar simetris kiri tergolong dalam kelas aljabar yang nonasosiatif. Namun akibat berikut akan menunjukan bahwa terdapat kondisi dimana suatu aljabar simetris kiri akan asosiatif.
Selain itu akibat berikut juga akan memberikan kondisi dimana aljabar simetris kiri akan komutatif..
Akibat 3.12 Misalkan merupakan aljabar simetris kiri yang didefinisikan pada Teorema 3.11. Maka pernyataan berikut ekivalen
a. merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif dan asosiatif.
b. Aljabar Lie Subadjacent dari abelian.
c. Kondisi (1), (2), (7) dengan pada Teorema 3.11 dipenuhi.
(Bai, 2004)
Bukti. Pola pembuktian pada akibat ini adalah . Namun bukti untuk pola , , dapat langsung diperoleh dengan mudah. Sekarang tinjau bukti . Pembuktian akan dilakukan secara kontrapositif yaitu, misalkan kondisi (1) atau (2) atau (7) dengan tidak dipenuhi maka akan dibuktikan bahwa bukan merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif atau bukan merupakan aljabar simetris kiri yang asosiatif.
Karena merupakan aljabar simetris kiri dan kasus (1) atau (2) atau (7) dengan tidak dipenuhi maka berdasarkan Teorema 3.11, merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi (3) atau (4) atau (5) atau (6) atau (7) dengan .
Perhatikan bahwa jika merupakan fungsi linier tak nol maka dapat dinyatakan sebagai ⨁ atau
⨁ dengan { } dan { }.
Kasus 1. Misalkan kondisi (3) pada Teorema 3.8 dipenuhi, yaitu , untuk setiap ∈ . Ambil sembarang ∈ dengan , berdasarkan Teorema Perluasan Basis terdapat ∈ yang bebas linier dengan . Perhatikan bahwa ∈ sehingga
.
Terbukti bahwa bukan merupakan aljabar simetris kiri yang komutatif.
Selanjutnya misalkan { } merupakan basis di dengan { } merupakan basis bagi . Pilih ∈ dengan dan
∑ , dengan sehingga [ ] [ ]
[ ] [ ]
.
Terbukti bahwa merupakan aljabar simetris kiri yang nonasosiatif.
Bukti untuk kasus lainnya similar.
Pada Akibat 3.13 hingga 3.15 berikut akan dibahas mengenai sifat- sifat khusus dari sebagai akibat dari aljabar simetris kiri yang diperoleh berdasarkan hasil konstruksi pada Teorema 3.11.
Akibat 3.13 Jika merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi (1), (2), (4), (6), (7) pada Teorema 3.11 maka untuk fungsi bilinier yang bersesuaian berlaku
(Bai, 2004).
Akibat 3.14 Jika merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi pada Teorema 3.11 maka untuk fungsi bilinier yang bersesuaian invariant terhadap
yaitu untuk setiap ∈
( ) .
Akibat 3.15 Jika merupakan aljabar simetris kiri yang memenuhi kondisi pada Teorema 3,11 maka untuk fungsi bilinier yang bersesuaian berlaku
.
4. KESIMPULAN
Dalam skripsi ini telah dipelajari bahwa untuk mengkonstruksi aljabar simetris kiri, hal pertama yang harus dilakukan ialah mengkonstruksi aljabar dengan mendefinisikan operator bilinier pada ruang vektor.
Berdasarkan Lema 3.1, jika merupakan suatu aljabar dengan operator bilinier maka untuk sembarang ∈ , secara umum produk dapat dinyatakan sebagai
(3.2) dimana merupakan fungsi linier tak nol.
Kemudian, Teorema 3.2 memberikan kriteria fungsi linier dan yang akan mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri, yaitu atau . Namun pada Teorema 3.2 juga dijelaskan bahwa aljabar simetris kiri yang didefinisikan melalui fungsi linier atau merupakan aljabar simetris kiri yang termasuk dalam kelas aljabar yang asosiatif, padahal aljabar simetris kiri secara umum merupakan anggota dari kelas aljabar yang nonasosiatif. Untuk itu, konstruksi di atas perlu diperluas.
Perluasan sederhana yang dapat dilakukan untuk memperoleh aljabar simetris kiri yang tergolong dalam kelas aljabar yang nonasosiatif ialah dengan memberikan definisi baru bagi operator bilinier ,
yaitu dengan menambahkan suatu vektor tertentu tak nol pada Persamaan (3.2) sehingga untuk setiap ∈ berlaku
(3.4) dengan merupakan fungsi bilinier tak nol. Kemudian, Teorema 3.8 memberikan kriteria fungsi linier dan yang mendefinisikan sebagai aljabar simetris kiri, yaitu
1. untuk setiap ∈ . 2. dan terdapat suatu basis
{ } di sedemikian sehingga ( ) ,
dan ∑ dimana . 3. untuk setiap ∈ . 4. dan terdapat ∈ , dan
suatu basis { } di sedemikian sehingga
, dan ∑ dimana . 5. untuk setiap ∈
dan .
6. , untuk setiap ∈ , dan terdapat ∈ , dan suatu basis { } di sedemikian sehingga
, , .
7. dan terdapat ∈ , sedemikian sehingga , untuk setiap ∈ .
Walaupun secara umum aljabar simetris kiri hasil konstruksi pada Teorema 3.11 merupakan aljabar yang nonasosiatif, pada Akibat 3.12 ditunjukkan bahwa terdapat kondisi dimana suatu aljabar simetris kiri akan asosiatif, yaitu saat kondisi (1), (2), atau (7) dengan pada Teorema 3.11 dipenuhi. Selain asosiatif, jika kondisi (1), (2), atau (7) dengan pada Teorema 3.11 dipenuhi aljabar simetris kiri hasil konstruksi juga merupakan aljabar yang komutatif.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima Kasih kepada Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.
Tech dan bapak Arie Wibowo, S.Si, M.Siyang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk mengarahkan serta membimbing penulis hingga akhirnya penelitian ini dapat terselesaikan
DAFTAR ACUAN
Webster's II New College Dictionary. (1999).
Houghton Mifflin Company.
Bai, C. (2004). Left-Symmetric Algebras from Linear Functions. Journal of Algebra 281, 651-665.
Bai, C. (2011,Agustus 9). Lie Analogues of Loday algebras and Successors of Operads.April 18,2012, 07:16 WIB. Chern Institue of Mathematics, Nankai University.
http://math.univlyon1.fr/~guiraud/or2011/trans parents/ChengmingBai.pdf
Burde, D., & Dekimpe, K. (2006). Novikov Structures on Solvable Lie Algebras. Journal of Geometry and Physics, 1837-1855.
Erdmann, K., & Wildon, M. J. (2006). Introduction to Aljabar Lie. California : Springer.
Herstein, I.N (1999). Absract Algebra (3 ed.). John Wiley & Sons, Inc.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra. W.H Freeman and Company.
Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons, Inc.
Roman, S. (2008). Advance Linear Algebra.
California: Springer.
