KESULITAN BELAJAR DAN PEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN. bukan matematika yang terkait. Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa banyak

KESULITAN BELAJAR DAN PEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN A. PENDAHULUAN

Konsep pecahan dan operasinya merupakan konsep yang sangat penting untuk dikuasai sebagai bekal untuk mempelajari bahan matematika berikutnya dan bahan bukan matematika yang terkait. Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa banyak siswa baik di Sekolah Dasar (SD) maupun di SMP mengalami kesulitan memahami pecahan dan operasinya, dan banyak guru menyatakan mengalami kesulitan untuk mengajarkan pecahan. Para guru cenderung menggunakan cara yang mekanistik, yaitu memberikan aturan secara langsung untuk dihafal, diingat, dan diterapkan. Perubahan cara mengajar tidak banyak dilakukan oleh para guru karena mungkin pengetahuan yang masih terbatas sehingga mereka selalu menggunakan cara yang sama dari waktu ke waktu.

Memang tidak mudah membawa para siswa mampu memahami konsep dan makna pecahan. Ini berarti bahwa pembelajaran pecahan memerlukan perhatian, kesungguhan, keseriusan, ketekunan, dan kemampuan profesional. Mengingat secara alami tingkat berpikir yang dominan dapat meniadakan kesulitan para siswa, maka pembelajaran pecahan dapat menggunakan dan memanfaatkan benda-benda manipulatif dan keadaan realistik di sekitar kehidupan dan lingkungan siswa. Benda atau bahan manipulatif adalah bahan-bahan yang dapat dipegang, dipindah-pindah, dipasang, dibolak-balik, diatur/ditata, dilipat/dipotong dan dapat dimain-mainkan oleh siswa. Dengan benda-benda manipulatif tersebut diharapkan para siswa mempunyai pengalaman memanipulasikan sendiri benda-benda itu untuk memahami konsep dan makna, sehingga mereka akan lebih mendalami dan menghayati bahan matematis yang sedang mereka pelajari. Dengan pengalaman yang realistik, sesuai dengan

matematis yang diberikan mempunyai kaitan nyata dan manfaat dengan situasi yang mereka alami setiap hari.

B. PEMBAHASAN

Beberapa kesulitan siswa dalam memahami konsep dan makna pecahan dan usaha mengatasi kesulitan tersebut akan dibahas sebagai berikut :

1. Kesulitan memahami makna dari pecahan 2 1 , 3 2 , dan 4 3

Pecahan pada prinsipnya menyatakan beberapa bagian dari sejumlah bagian yang sama. Seluruh jumlah bagian yang sama tersebut bersama-sama membentuk satuan (unit). Dua macam keadaan yang perlu penekanan adalah konsep keseluruhan sebagai satuan konsep sama. Kedua konsep ini dapat dikaitkan dengan panjang, luas, volume, dan hitungan atau cacah. Kaitan masing-masing dapat ditunjukkan dengan menggunakan benda-benda manipulatif, misalnya kertas, karton, kelereng, kerikil, manik-manik, mata uang, buku, pensil atau butiran dan lain sebagainya.

Gambar Lipatan Kertas

Uraian

Pecahan

1 bagian dari 4

bagian yang sama.

4

1

2 bagian dari 4

bagian yang sama.

4

2

3 bagian dari 4

bagian yang sama.

4

3

4 bagian dari 4

bagian yang sama.

4

4

1

4 4 4 3

4

2

Pada pecahan 4

3_{, angka 3 disebut pembilang dan angka 4 disebut penyebut.} Sebagian kalangan berpendapat bahwa angka 3 (bilangan yang terletak di bagian atas pecahan) disebut pembilang karena kita harus membilang atau mencacah ada berapa bagian yang sama, sedangkan angka 4 (bilangan yang terletak di bagian bawah pecahan) disebut dengan penyebut karena angka 4 selalu disebut yang mencirikan pecahannya. Secara umum, pecahan

b a

, b ¹ 0, a disebut pembilang dan b disebut dengan penyebut.

Untuk lebih memantapkan pemahaman siswa, perlu disediakan potongan karton atau kertas dengan berbagai warna dan bentuk. Misalnya bentuk persegipanjang, persegi, segitiga sama sisi, lingkaran dan lain-lain.

2. Kesulitan memahami perkalian bilangan asli dengan pecahan.

Untuk mengatasi kesulitan siswa terhadap masalah ini, antara lain dapat dilakukan kegiatan berikut :

Ambil 10 potong karton berukuran (1 cm ´ 10 cm) dengan warna yang berbeda. Satu potong karton dengan warna tertentu ditentukan sebagai satuan, potongan karton yang lain dipotong-potong menjadi perduaan, pertigaan, perempatan, perlimaan, perenaman, pertujuhan, perdelapanan, persembilanan, dan persepuluhan, kemudian diatur potongan-potongan karton tersebut sebagai berikut :

4

1

4

1

4

1

4

1

2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1

Dari potongan-potongan karton tersebut di atas, dikembangkan antara lain ditunjukkan fakta-fakta berikut :

a. 3 potongan dari 4 potongan sama nilainya dengan 4 3 . Artinya 4 3 terdiri dari 3 potongan, masing-masing bernilai

4 1 , atau 4 3 ₌ 4 1 + 4 1 + 4 1 . Sesuai dengan prinsip perkalian, maka

4 1 + 4 1 + 4

1 _{dapat dituliskan sebagai 3´} 4 1 , jadi 3 ´ 4 1 = 4 3 .

b. 5 potong dari 7 potongan menyatakan bentuk pecahan 7 5 . Artinya 7 5 terdiri dari 5 potongan, masing-masing bernilai

7 1 , atau 7 5 = 7 1 + 7 1 + 7 1 + 7 1 + 7 1 .

Sesuai dengan prinsip perkalian, maka 7 1 + 7 1 + 7 1 + 7 1 + 7 1 dapat dituliskan sebagai 5 ´ 7 1_{, jadi 5 ´} 7 1 = 7 5 .

c. Berdasarkan fakta-fakta atau kasus yang telah disampaikan, dapat disimpulkan bahawa : p ´

q 1 ₌

q

p_{; q ¹ 0}

d. Setelah sejumlah latihan diberikan dan dirasa cukup memadai, pengembangan berikutnya antara lain :

* 7 3 + 7 3 = 7 6 = 7 3 2´ Jadi 2 ´ 7 3 = 7 3 2´ * 9 2 + 9 2 + 9 2 = 9 6 = 9 2 3´

e. Berdasarkan fakta-fakta atau kasus yang telah disampaikan, dapat disimpulkan bahawa : p ´ r q = r q p´ _{; r ¹ 0}

3. Kesulitan memahami pecahan-pecahan yang senilai.

Untuk membantu pemahaman siswa terhadap masalah ini, tetap dapat menggunakan potongan-potongan karton yang tersedia. Dari potongan-potongan karton tersebut, antara lain dikembangkan fakta-fakta :

a. Karton dengan nilai dua perempat tepat dapat menutup karton dengan nilai setengahan/satu perdua. Karton dengan nilai tiga perenam tepat dapat menutup karton dengan nilai dua perempatan. Karton dengan nilai empat perdelapan tepat dapat menutup karton dengan nilai tiga perenaman. Karton dengan nilai lima persepuluhan tepat dapat menutup karton dengan nilai empat perdelapan. Keadaan-keadaan yang lain dapat digambarkan dengan memanipulasikan potongan-potongan karton tadi untuk pecahan-pecahan lain yang senilai. * 2 1 = 4 2 = 2 2 2 1 ´ ´

* 2 1 = 4 2 = 6 3 = 3 2 3 1 ´ ´ * 2 1 = 4 2 = 6 3 = 8 4 = 4 2 4 1 ´ ´

b.

Dengan mengambil potongan kertas yang lain, didapat : * 3 1 = 6 2 = 2 3 2 1 ´ ´ _; 3 1 = 6 2 = 9 3 = 3 3 3 1 ´ ´ _; 3 1 = 6 2 = 9 3 = 12 4 = 4 3 4 1 ´ ´ * 3 2 = 6 4 = 2 3 2 2 ´ ´ _; 3 2 = 6 4 = 9 6 = 3 3 3 2 ´ ´ _; 3 2 = 6 4 = 9 6 = 12 8 = 4 3 4 2 ´ ´

c.

Berdasarkan fakta-fakta atau kasus-kasus yang tersedia, siswa diajak untuk melihat pola, sehingga sampai pada kesimpulan bahwa :

r q r p q p ´ ´

= , artinya perkalian oleh bilangan yang sama terhadap pembilang dan

penyebut suatu pecahan akan menghasilkan pecahan-pecahan yang senilai (sama)

4.

Kesulitan dalam membandingkan dan mengurutkan pecahan.

Kesulitan ini dapat diatasi dengan menggunakan potongan-potongan karton yang telah dibuat sebelumnya, yaitu dengan jalan menutup potongan karton dengan nilai pecahan tertentu terhadap potongan ksrton lainnya, atau membariskan dua potongan karton tersebut menurut sisi panjangnya sehingga akan terlihat potongan karton yang lebih panjang.

Misalnya kita ingin membandingkan pecahan 3 1 terhadap 2 1 dan 3 2 terhadap 4 3 . Langkah-langkahnya adalah :

a. Pecahan 3 1 dan 2 1 .

Ambil potongan karton dengan nilai 1 satuan, 2 1 satuan dan 3 1 satuan.

Himpitkan atau dampingkan kedua karton tersebut menurut sisi panjangnya. Kemudian perhatikan bahwa ternyata potongan karton dengan nilai pecahan

2 1

terlihat lebih panjang bila dibandingkan dengan pecahan 3 1 . Artinya, 2 1 > 3 1 . 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 b. Pecahan 3 2 dan 4 3 .

Ambil potongan karton dengan nilai 1 satuan, potongan karton bernilai pecahan

3

1 _{satuan sebanyak dua buah, kemudian dampingkan untuk menunjukkan}

pecahan 3 2

. Ambil pula potongan-potongan karton bernilai pecahan 4 1

satuan

sebanyak tiga buah, kemudian dampingkan untuk menunjukkan pecahan 4 3_.

Himpitkan atau dampingkan karton pecahan 3 2

dengan karton pecahan 4 3

tersebut

menurut sisi panjangnya. Kemudian perhatikan bahwa ternyata potongan karton dengan nilai pecahan

4 3

terlihat lebih panjang bila dibandingkan dengan pecahan 3 2

2 1 1 3 1 3 1 3 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 3 3 2 4 3 3 2

Pada tahap berikutnya, pada pecahan 3 2 dan 4 3 , kalikan bilangan-bilangan

yang terdapat pada pecahan secara silang, kemudian tentukan hasil kali antara bilangan-bilangan penyebutnya. Yaitu 2 ´ 4 = 8 dan 3 ´ 3 = 9, sedangkan hasil kali bilangan-bilangan penyebutnya adalah 3 ´ 4 = 12.

Berati 3 2 = 12 8 dan 4 3 = 12 9 . Bandingkan 12 8 dan 12 9

. Dari bentuk ini menunjukkan

bahwa 12 8 < 12 9 , atau 3 2 < 4 3 atau 4 3 > 3 2 .

Setelah beberapa kasus, dapat ditemukan pola bahwa dari bilangan-bilangan pecahan q p dan s r dengan p, q, r, dan s > 0, * Jika p ´ s < q ´ r, maka q p _< s r , atau * Jika p ´ s > q ´ r, maka q p > s r .

5. Kesulitan memahami makna pecahan q p _± s r . Contoh : 2 1 + 3 1

4

1

4

1

6 1 6 1 6 1 2 1

4

1

4

1

6 1 6 1 6 1 2 1 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1

Untuk membantu mengatasi kesulitan menjumlahkan pecahan, terlebih dahulu harus diingat kembali tentang pecahan yang senilai.

Karton dengan nilai dua perempat tepat dapat menutup karton dengan nilai setengahan/satu perdua. Karton dengan nilai tiga perenam tepat dapat menutup karton dengan nilai dua perempatan, artinya

2 1 = 4 2 = 6 3 (lihat gambar).

Karton dengan nilai dua perenaman tepat dapat menutup karton dengan nilai satu pertigaan. Karton dengan nilai tiga persembilanan tepat dapat menutup karton dengan nilai dua perenaman, artinya

3 1 = 6 2 = 9 3 (lihat gambar). Jadi 2 1 + 3 1 = 6 3 + 6 2 = 6 5

(ada 5 potong pecahan 6 1

3 3 2

6

6. Kesulitan memahami makna perkalian bilangan pecahan dengan pecahan Contoh 1 :

2 1 _´

3 1

Untuk mengatasi kesulitan ini, terlebih dahulu harus dipahami pembagian bilangan asli dengan bilangan asli. Misalnya 6 : 2 = 3

Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa 6 kotak dibagi ke dalam dua bagian yang sama banyak masing-masing berisi 3.

6 : 2 = 2 6 = 2 1 _{´ 6}

Jadi prinsip pembagian artinya adalah ada berapa anggota masing-masing bagian setelah dibagi ke dalam banyaknya bagian tertentu.

Sedangkan 2 1 _´ 3 1 = 2 3 1

, artinya berapa anggota bagian masing-masing dari pecahan

3

1 _{setelah dibagi menjadi dua bagian yang sama banyak. Perhatikan} gambar berikut! 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

Dari gambar terlihat bahwa terdapat masing-masing satu kotak setelah pecahan 3 1

dibagi menjadi dua bagian. Satu kotak tersebut adalah satu kotak dari 6 kotak

keseluruhan, artinya 2 1 _´ 3 1 = 2 3 1 = 6 1 Contoh 2 : 5 2 _´ 7 3 Terlebih dahulu 5 2 _´ 7 3

diuraikan ke dalam bentuk yang sudah dipahami

sebelumya, yaitu : 5 2 _´ 7 3 _{= 2 ´} 5 1 _´ 7 3 = 2 ´ 5 7 3 5 7 3

artinya berapa anggota bagian masing-masing dari pecahan 7 3

setelah dibagi

menjadi lima bagian yang sama banyak. Perhatikan gambar berikut!

7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1

Dari gambar di atas terlihat bahwa terdapat masing-masing tiga kotak dalam tiap bagian setelah pecahan

7

3 _{dibagi menjadi lima bagian. Tiga kotak tersebut adalah}

tiga kotak dari 35 kotak keseluruhan, artinya 5 7 3 = 35 3 Jadi 5 2 _´ 7 3 _{= 2 ´} 5 1 _´ 7 3 = 2 ´ 5 7 3 = 2 ´ 35 3 = 2 ´ 3 ´ 35 1 = 6 ´ 35 1 = 35 6 .

7. Kesulitan memahami makna pembagian bilangan asli dengan pecahan. a. 1 bagi pecahan 2 1 ( 1 : 2 1 )

Untuk mengatasi kesulitan memahami makna pembagian di atas, gunakan potongan-potongan karton sesuai keperluan.

Untuk menjelaskan 1 : 2 1

, gunakan potongan karton perduaan dengan cara

sebagai berikut : Mencari hasil dari 1 :

2

1 _{sama artinya dengan mencari banyaknya nilai perduaan}

2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1

Pada gambar di atas, terlihat adanya dua buah karton perduaan dalam satu satuan. Hal ini menunjukkan bahwa 1 :

2 1 = 2. b. 2 bagi pecahan 3 1 ( 2 : 3 1 ) 2 : 3 1

, sama artinya mencari banyaknya pecahan 3 1

dalam dua satuan. Hal ini

dapat ditunjukkan dengan dua potongan karton satuan yang terpisah dengan masing-masing memuat potongan karton pertigaan (lihat gambar).

Dari gambar di atas, terlihat adanya 6 buah karton pertigaan dalam dua satuan. Hal ini menunjukkan bahwa 2 :

3 1

= 6. Perhatikan bahwa ada dua satuan dan

masing-masing satuan dibagi tiga, sehigga 2 : 3

1 _{= 2 ´ (1 :} 3

1_{) = 2 ´ 3 = 6.}

Dengan demikian dapat dicari : * 2 : 4 1 _{= 2 ´ (1 :} 4 1_{) = 2 ´ 4 = 8.} * 3 : 5 1 _{= 3 ´ (1 :} 5 1_{) = 3 ´ 5 = 15.} c. 1 bagi pecahan 3 2 ( 1 : 3 2 )

Untuk mengatasi kesulitan memahami arti 1 : 3 2

3 1 1 3 1 3 1

1 potong dua pertigaan potong dua pertigaan 2 1 1 : 3 2

sama artinya dengan mencari banyaknya 3 2

dalam satu satuan (lihat

gambar).

Dari gambar di atas, terlihat adanya satu buah karton dengan nilai dua pertigaan dan sisanya satu buah karton dengan nilai satu pertigaan. Satu buah karton dengan nilai satu pertigaan adalah setengah dari karton dua pertigaan, sehingga potongan karton satu pertigaan (sisa) bernilai

2 1 . Jadi 1 : 3 2_{= 1 +} 2 1 _{= 1} 2 1 ₌ 2 3

Setelah beberapa kasus, dapat ditemukan pola umum yang memberlakukan bahwa 1 :

q p ₌

p q_.

8. Kesulitan memahami makna pembagian bilangan pecahan dengan pecahan. Contoh : 4 3_bagi 3 2 ₍ 4 3 _: 3 2₎

Untuk mengatasi kesulitan memahami arti 4 3 _:

3

2_{, dapat dijelaskan dengan}

menggunakan gambar sebagai berikut : * Makna dari 4 3 : 3 2

artinya mencari berapa pecahan 3 2 pada pecahan 4 3 .

4 3 Gambar 1 3 2 Gambar 2

8 petak = 1 dua pertigaan

Gambar 3

1 petak sisa = dua pertigaan

8 1 Gambarkan pecahan 4 3 * Gambar pecahan 3 2

pada gambar 1 di atas.

Pada gambar 2 terlihat bahwa ada 8 potongan (kotak) yang senilai dengan pecahan

3 2

.

* Hitung dua pertigaan pada tiga perempatan (warna biru)

Pada gambar 3 di atas terlihat adanya 1 dua pertigaan dan sisanya 8 1 dua pertigaan. Artinya 4 3 _: 3 2 _{= 1 +} 8 1 _{= 1} 8 1 ₌ 8 9

Setelah beberapa kasus, dapat ditemukan pola bahwa q p : s r = q p _{´ 1 :} s r = q p _{´ (1 :} s r ) = q p _´ r s . Jadi q p : s r = q p _´ r s .

C. KESIMPULAN

Memang diakui bahwa tidak mudah membawa para siswa mampu memahami konsep dan makna pecahan. Apa yang kami paparkan pada makalah ini adalah salah satu upaya untuk mengatasi kesulitan siswa dalam memahami konsep dan makna pecahan. Untuk itu kepada teman-teman seprofesi, kami harapkan apa yang kami tulis ini dapat dikembangkan atau diperbaiki jika ada yang masih kurang pas dalam mengatasi kesulitan siswa memahami konsep dan makna pecahan.

DAFTAR PUSTAKA

Muhsetyo, Gatot,dkk. 2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas Terbuka.