BAB 1. FUNGSI DUA PEUBAH

BAB 1.

FUNGSI DUA PEUBAH

1.1 PENDAHULUAN

Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, anda seharusnya dapat:

- Menentukan domain dan range fungsi dua peubah atau lebih - Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah

- Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua peubah.

1.2 FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH

Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik eksplisit maupun implisit.

Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah A B

x • • y = f(x) • •

• •

Range f, Domain f, Df dinotasikan Rf

Pada fungsi satu peubah, f : A → B

A ⊂ R dan B ⊂ R dengan R = himpunan semua bilangan real

Grafik fungsi f = {(x,y) y = f(x), x ∈ Df},berupa himpunan titik di R², dapat berupa garis lurus atau lengkung.

Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan kita bahas lanjutannya yaitu tentang fungsi dengan dua variabel atau lebih.

Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f(x), dalam hal ini x merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas.

Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:

A B

• (x,y) • z = f(x,y) • •

• • range f,R f

Domain f, Df

Pada fungsi dua peubah, f : A → B

A ⊂ R × R dan B ⊂ R

Grafik fungsi f = {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) ∈ Df}, berupa himpunan titik di R³, dapat berupa luasan di R³.

( ) ( )

(

_{1 2 3 4}

)

_{1 2 3 4}

2 2

4 2

, , ,

2 , ,

2 ,

x x x x x

x x x h

xe z

y x g

y x y x f

yz

+ +

−

=

= +

=

Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.

Fungsi z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah bebas x and y, serta z sebagai peubah tak bebas.

Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. peubah x, y dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas.

Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan dengan memasukkan nilai-nilai x dan y:

Contoh 1.1 :

Definisi 1.1. Fungsi dua peubah adalah suatu fungsi dari dua peubah x dan y adalah suatu aturan yang mengawankan (x, y) di dalam suatu himpunan D ( D disebut domain) dengan suatu nilai tunggal (unique value) dari f , yang dinyatakan dengan f(x,y).

Secara sama dapat didefinisikan fungsi dengan lebih dari dua peubah.

Operasi-operasi pada fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi dengan dua peubah atau lebih.Misalnya, untuk fungsi dengan dua peubah f dan g:

( )

( )

2,3 2 2 3 2 4 9 17 2

,

2 2

2 2

= +

⋅

= +

⋅

=

+

= f

y x y x f

(

4,−3

)

=2⋅4² +

( )

−3 ² =2⋅16+9=41 f

( )

5,y 2 5² y² 2 25 y² 50 y²

f = ⋅ + = ⋅ + = +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

, asalkan

( )

, 0 ,

, ,

, ,

,

, ,

,

≠

=

⋅

=

⋅

±

=

±

y x y g

x g

y x y f

g x f

y x g y x f y x g f

y x g y x f y x g f

Domain fungsi dua peubah

Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi.

Misal, perhatikan fungsi

Domain dari f(x,y) adalah seluruh titik di bidang XY. Setiap pasangan (x,y) akan memberikan nilai real bagi f.

Domain g(x,y) adalah himpunan (x,y) di bidang XY sedemikian sehingga perkalian xy lebih dari 0. Jadi domainnya adalah semua titik di kuadran I dan III.

Contoh 1.2 : Tentukan domain fungsi:

Penyelesaian: Domain f(x,y) adalah himpunan semua titik yang memenuhi:

atau

Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di dalam lingkaran:

Contoh 1.3: Tentukan domain dari fungsi:

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga domainnya tidak berada dalam bidang XY , tetapi di sistem koordinat tiga dimensi.

( ) ( )

y xy x g y

x y x

f 1

, and

3

, = ² + ² =

( )

x,y 25 x² y²

f = − −

0 25−x² −y² ≥

2

25≥ x +2 y

2 25

2 + y = x

(

x,y,z

)

= x² + y² +z² −16 g

Fungsi akan terdefinisi jika:

Dengan demikian domainnya berupa himpunan pasangan terurut (x,y,z) yang memenuhi .

Contoh 1.4: Tentukan domain fungsi:

Penyelesaian:

Kita tahu bahwa argument dari fungsi logaritma harus lebih besar dari 0, maka

Ini akan terjadi di kuadran I dan III. Catat bahwa titik-titik di sepanjang sumbu x dan sumbu y tidak termasuk dalan domain tersebut.

( )

x y

( )

xy h , =ln

>0

⋅ y x

16 atau

0

16 ^{2 2 2}

2 2

2+ y +z − ≥ x + y +z ≥

x

.

2 16

2

2 +y +z ≥ x

Grafik fungsi dua peubah atau lebih

Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memehami suatu fungsi. Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai representasi visual dari suatu persamaan.

Grafik dari fungsi dengan dua peubah f dengan domain D adalah himpunan semua titik (x, y, z) di R³ sedemikian sehingga z = f(x,y) dan (x,y) berada di D.

Grafik dari fungsi z = f(x,y) adalah luasan permukaan dalam ruang dimensi 3. Sedangkan grafik dari fungsi tiga peubah, w = f(x, y, z) akan berupa himpunan titik-titik (x, y, z, w) yang dalam hal ini (x, y, z) adalah sebagai domainnya.

Grafik dari fungsi w = f(x, y, z) adalah dalam ruang dimensi 4.

Kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah tetapi kita tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah atau lebih.

Contoh 1.5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian sketsakan grafiknya.

Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa himpunan titik-titik pada dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 5, yaitu himpunan titik-titik yang memenuhi pertaksamaan:

Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.

Range ini harus non negatif, karean z adalah akar-akar prinsip dengan domain:

Nilai dalam akar bervariasai antara 0 dan 25.

Jadi range-nya adalah

2 25

2 + y ≤ x

2 25

2 + y ≤ x

( )

x,y 25 x² y² f

z = = − −

5 0≤ z ≤

Perhatikan bahwa dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan:

Diperoleh:

atau

Kita tahu bahwa ini akan berupa bola dengan jari-jari 5.

Tetapi perhatikan bahwa fungsi:

dan persamaan:

tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu fungsi dari x dan y , artinya setiap (x,y) tidak memberikan nilai tunggal untuk z.

Bahwa fungsi di atas mempunyai range , berarti bahwa fungsi ini berupa bagian setengah atas dari bola.

Selanjutnya untuk menggambarkan grafiknya, terlebih dahulu kita akan menggambarkan jejak-jejak di bidang koordinat.

1. Jejak di bidang xy (jadi dalam hal ini z = 0), adalah:

Merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari-jari 5 di bidang xy.

2. Jejak di bidang yz (x = 0), adalah:

Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 pada bidang yz.

2

25 x2 y

z = − −

2 2

2 25 x y

z = − −

2 25

2

2 + y +z = x

5 0≤ z≤

2

25 x2 y

z = − −

2 25

2

2 + y + z = x

25 atau

25

0= −x² − y² x² + y² =

25 atau

25− ^{2 2}+ ² =

= y y z

z

3. Jejak di bidang xz (y = 0), adalah:

Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 di bidang xz.

Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

4. Untuk z = 3:

Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingkaran berpusat di (0,0,3) dengan jari-jari 4.

5. Untuk z = 4:

Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingkaran berpusat di (0,0,4) dengan jari-jari 3.

Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:

25 atau

25− ^{2 2} + ² =

= x x z

z

2 16 atau 2

2 25 2

3= −x − y x +y =

9 atau

25

4 = − x

²

− y

²

x

²

+ y

²

=

LATIHAN 1.2

Sketsakan grafik ( luasan permukaan) dari fungsi:

1.

2.

1.3. LIMIT FUNGSI

Limit dan kekontinuan fungsi dua peubah atau lebih pada dasarnya tidak jauh berbeda dengan limit dan kekontinan fungsi satu peubah.Definisi limit diberikan sebagai berikut.

Definisi 1.2 : Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan terbuka D di R² dan (a,b) ∈ D,

L y x f

b a y x

→ ( , )=

lim

) , ( ) , (

jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap (x,y) ∈ D yang memenuhi

0 < (x−a)² +(y−b)²< δ berlaku f(x,y) – L< ε.

-4 -2

0 2

4

-4 -2 0 2 4 2.5 3 3.5 4 4.5 5

grafik z=sqrt(25-y²-x²)

1. _{2 2}

3 3 ) 0 , 0 ( ) , (

lim 2

y x

y x

y

x +

−

→ = 0.

2. y b

b a y x

→( , ) =

) ,

( lim

Sifat 1.1 :

Jika ₂

) , ( ) , 1 (

) , ( ) ,

( lim ( , ) dan lim ( , )

0 0 0

0

L y x g L

y x f

y x y x y

x y x

=

= →

→

maka

(i) _{1 2}

) , ( ) ,

( lim [ ( , ) ( , )]

0 0

L L y x g y x f

y x y x

+

=

→ + ,

(ii) _{1 2}

) , ( ) ,

( lim [ ( , ) ( , )]

0 0

L L y x g y x f

y x y x

−

=

→ − ,

(iii) _{1 2}

) , ( ) ,

( lim [ ( , ) ( , )]

0 0

L L y x g y x f

y x y x

→ = ,

(iv) K f x y K L k

y x y

x lim [ ( , )] ₁,

) , ( ) ,

( _{0 0}

→ = konstanta

(v)

2 1 )

, ( ) ,

( ( , )

) , lim (

0

0 L

L y x g

y x f

y x y x

→ = if L2 ≠ 0.

Catatan: Dalam konsep limit ini:

1. f tidak harus terdefinisi di (a,b)

2. Jika f x y L

b a y x

→ ( , )=

lim

) , ( ) ,

( ada maka bagaimanapun

caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai f(x,y) selalu mendekati L.

Contoh 1.7 : Jika

2 2

2 2

) ,

( x y

y y x

x

f +

= − maka lim ( , )

) 0 , 0 ( ) , (

y x f

y

x → tidak ada.

Tunjukkan!

Penyelesaian :

Titik (x, y) dapat mendekati (0,0) melalui tak hingga banyak arah.

Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x, sumbu y. dan garis y = mx .

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi y = 0 , maka

1 0 lim

lim 0

lim lim

2 2 2 0

2 2 2 0

2 2

2 2 ) 0 0 ( ) ( )

0 0 ( ) (

= + =

= −

+

= −

→

→

→

→

x x x

x

y x

y y) x

(x, f

x x

, y x, ,

y x,

Di sisi lain, (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu y (x = 0), maka

1 0 lim

lim 0

lim lim

2 2 2 0

2 2 2 0

2 2

2 2 ) 0 0 ( ) ( )

0 0 ( ) (

−

− = + =

= −

+

= −

→

→

→

→

y y y

y

y x

y y) x

(x, f

x y

, y x, ,

y x,

Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai yang berbeda, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) → (0, 0).

Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari limit f dari arah lain, karena dari dua arah sudah didapatkan nilai yang berbeda, sehingga dapat segera disimpulkan bahwa limitnya tidak ada.

Jika dari dua arah tersebut nilainya sama, perlu dicari dari arah lainnya, misal arah y = mx.

Latihan 1.3 :

Tentukan nilai limit fungsi berikut jika ada.

1. 2 2

2 ) 2 , 3 ( ) ,

( lim

y x

y x

y

x +

+

−

→

2. x y

y xy x

y

x 2

2 lim 3

2 2

) 1 , 2 ( ) ,

( +

+ +

−

→

3. x y

y x

− +

→

2 ) 2 , 3 ( ) ,

( lim 4.

2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim

y x

x

y

x ^→ +

5. 2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim

y x

y

y

x ^→ +

6. _{4 2}

2 ) 0 , 0 ( ) ,

( lim

y x

y x

y

x ^→ +

7. _{2 2}

) 0 , 0 ( ) , ( lim

y x

xy

y

x ^→ +

1.4 KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan fungsi dua peubah diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 1.3: Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D ⊂ R² dan (a,b) ∈ D, maka f dikatakan kontinu di (a,b) jika

) , ( ) , ( lim

) , ( ) , (

b a f y x f

b a y x

→ = .

Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D.

Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a,b) harus ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi.

i. f (a,b) ada

ii. lim ( , )

) , ( ) , (

y x f

b a y

x → ada

iii. lim ( , ) ( , )

) , ( ) , (

b a f y x f

b a y x

→ =

Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi maka f tidak kontinu di (a,b).

Sifat 1.2 : Jika f dan g keduanya kontinu di (a,b) maka 1) f + g kontinu di (a,b)

2) f – g kontinu di (a,b) 3) f g kontinu di (a,b)

4) f / g kontinu di (a,b) asalkan g(a,b) ≠ 0.

Contoh 1.8 :

Tentukan apakah f kontinu di (0,0)

= + ≠

=

0) (0, ) ( jika 0,

0) (0, ) ( ) jika

( ^{2 2}

2

y x,

y y x,

x y x y

x, f

Penyelesaian:

Menggunakan tes kontinuitas di (0,0):

(i) f (0,0) = 0 (ada)

(ii) Kita selidiki apakah limit f(x,y) ada untuk (x,y) (0,0) Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi y = 0 , maka

0 0 0 lim

lim 0

lim lim

0 2 2

2 2 0

2 2

2 ) 0 0 ( ) ( )

0 0 ( ) (

= + =

=

= +

→

→

→

→

x x

x

y x

y y) x

(x, f

x x

, y x, ,

y x,

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu y (x = 0), maka

0 0 0 lim

lim 0

lim lim

0 2 2

2 2 0

2 2

2 ) 0 0 ( ) ( )

0 0 ( ) (

= + =

=

= +

→

→

→

→

y y

y

y x

y y) x

(x, f

x y

, y x, ,

y x,

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) y = x , maka

2 0 2 lim

lim lim

lim lim

2 0 3 2 0

2 2 0

2 2

2 ) 0 0 ( ) ( )

0 0 ( ) (

=

= + =

=

= +

→

→

→

→

→

x x

x x

x x x

y x

y y) x

(x, f

x x

x

, y x, ,

y x,

Dapat disimpulkan bahwa _{2 2}

2 ) 0 0 ( )

( lim

y x

y x

, y

x, ^→ + = 0

(iii)

2 2

2 ) 0 0 ( )

( lim

y x

y x

, y

x, ^→ + = 0 = f (0,0)

Jadi f kontinu di (0,0)

Latihan 1.4:

1. Diberikan

y x

y y x

x f

2 ) 2

,

( ₂

2

−

= + dan _{2 2}

4 4

2 ) 4

,

( x y

y y x

x

g +

= − .

Tunjukkan bahwa :

a. lim f(x, y)untuk (x,y)→(2,2) tidak ada.

b. limg(x,y)untuk (x,y)→(0,0) sama dengan nol.

c. Jika g(0,0)=0, apakah g(x,y) kontinu di (0,0) 2. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:

3. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:

= + ≠

=

).

0 0 ( ) ( jika 1

) 0 0 ( ) ( ) jika

( ^{2 2}

, y

x, ,

, y

x, ,

y x

y x y

x, f

= + ≠

−

=

) , ( y x, ,

) , ( y x, y ,

x y x y

x, f

0 0 ) ( jika 0

0 0 ) ( 2 jika

) (