Ilustrasi. Statistik dan Statistika. Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu semester ganjil tahun 2008:

(1)

1. Populasi dan Sampel 2. Statistik dan Statistika 3. Jenis‐jenis Observasi

Statdas, Februari 2009

4. Statistika Deskriptif

•Sari Numerik

•Penyajian Data

Ilustrasi

Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu semester ganjil tahun 2008:

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

Berapa rata‐

rata nilai Seberapa

menyebarnya

Apakah rata‐rata nilai tahun ini

2

ujian? menyebarnya

kemampuan dari mahasiswa?

lebih baik daripada tahun lalu?

Adakah mahasiswa yang

perlu perhatian

khusus? Inferensi

statistik Statistika

deskriptif

Statistik dan Statistika

Statistik : nilai-nilai ukuran data yang mudah dimengerti.

Contoh : statistik liga sepak bola Indonesia

Statistika : ilmu yang berkaitan dengan cara

pengumpulan, pengolahan, analisis dan pernarikan kesimpulan atas data.

Jenis‐jenis Statistika

1.

Statistika deskriptif: metode yang berkaitan

1.

Statistika deskriptif: metode yang berkaitan

dengan pengumpulan dan penyajian data.

2.

Statistika inferensi: metode yang berkaitan dengan analisis sampel untuk penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi.

(Pokok Bahasan/Bab 9-12)

(2)

Populasi dan Sampel

Populasi

Sampel

setiap obyek populasi memiliki kemungkinan/kesempatan yang

sama untuk terpilih

Sampel Acak

p

hasil pengukuran atau pengamatan

Data

Jenis‐jenis Observasi

OBSERVASI / DATA

KUALITATIF KUANTITATIF

Nominal Ordinal/Rank Diskrit Kontinu

B h b d Didasarkan pada suatu

Tidak mengenal urutan dan operasi

aritmatika

Mengenal urutan dan operasi aritmatika

Berhubungan dengan

‘proses menghitung’, dan pengamatan atas himpunan terhitung.

Didasarkan pada suatu selang/interval sehingga meliputi semua

bilangan riil Warna batuan (abu-

abu, hitam, putih, coklat, dll), jenis

kelamin , dll

Ukuran baju (S, M, L, XL), ukuran kepuasan (tidak suka sama sekali,

tidak suka, biasa saja, suka, sangat suka)

Banyaknya pekerja yang dibutuhkan dalam suatu area pertambangan, jarak yang dilangkahi seseorang (bisa mundur, bisa maju) per 0,5 meter

Berat batuan, luas area pertambangan,

jarak tempuh truk pengangkut, suhu,

dll 6

Statistika Deskriptif

Metode yang berkaitan dengan pengolahan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan

informasi yang berguna.

bentuk distribusi data

Karakteristik Distribusi

1. PARAMETER DISTRIBUSI

Ukuran Pemusatan

Uk

mean, median, modus, kuartil atas, kuartil

bawah, dll Range, simpangan baku,

2. BENTUK DISTRIBUSI Simetris Ukuran Penyebaran Kemencengan

Kelancipan

Range, simpangan baku, variansi, jangkauan

antar kuartil, dll skewness

kurtosis

mean = median Menceng/skew

Positif Menceng/skew

Negatif Berpuncak

Tunggal Berpuncak

Jamak

mean > median

mean < median

# modus > 1 # modus = 1

(3)

CONTOH KASUS

Berikut adalah data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu. (n = 15) g ( )

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

x

₁

x

₂

x

₉

x

₁₂

x

₁₅

Data yang diurutkan:

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 x

₍₁₎

x

₍₂₎

x

₍₉₎

x

₍₁₂₎

x

₍₁₅₎

Adakah perbedaan dari penyajian kedua data di atas?

minimum maksimum

Ukuran Pemusatan Data

1.

Mean (rata-rata)

n

x n x

_i

i n

=

∑

=

1

1 2

...

15

x x x

x = + + +

Contoh :

15 87 37 ... 46

67, 60 15

+ + +

= =

50% data ( 50% data (akhir akhir)) 50 % data (

50 % data (awal awal))

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 x

₍₈₎ ^{3 x} ^{2 x} ^{2 x}

2. Median

Nilai tengah yang membagi dua kelompok data sama banyak.

med = x

₍₈₎

= 76 3. Modus

Nilai yang paling sering muncul.

mod = 83

25 %

25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 4. Kuartil

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95

Kuartil bawah (q

₁

) :

q

₁

q

₂

= med q

₃

1 15 1 (4)

4

46 q x

_⎛ ₊ _⎞

x

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

2 2(n 1) n 1

q x

_⎛ ₊ _⎞

x

_⎛ ₊ _⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= =

1 1

4

q x

_⎛n₊ _⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

Kuartil tengah (q

₂

) :

3 3(15 1) (12)

4

87 q x

_⎛ ₊ _⎞

x

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

2 15 1 (8)

2

76 q x

_⎛ ₊ _⎞

x

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = =

( )

4 2

n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3( 1)

4

q x

_⎛ n₊ _⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= g (q

₂

)

Kuartil atas (q

₃

) :

(4)

5. Persentil

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 p

₂₅

p

₅₀

= med p

₇₅

p

₂₅

p

₅₀

med p

₇₅

• Persentil ke-i :

• Persentil ke-50 :

₅₀₍ ₁₎ ₁

100 2

n n

x

_⎛ ₊ _⎞

x

_⎛ ₊ _⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

( 1) 100

x

_⎛i n₊ _⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

median

kuartil atas kuartil bawah

• Persentil ke-25 dan Persentil ke-75?

Ukuran Penyebaran Data

1. Jangkauan data (Range)

R = data

_max

– data

_min

R = 95 – 26 = 69

2

2 2 2 1

1 1

( )

1 1

n

n n i

i

i i

x

s x x x

n n n

=

= =

⎛ ⎞

⎛ ⎜ ⎟ ⎞

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

= − − = − ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

∑ ∑ ∑ s

²

= 529, 2571

2. Variansi

JK

529, 2571 23, 01

s = =

3. Simpangan Baku (standard deviation) s = √s

²

4. Jangkauan antar kuartil dq = q

₃

– q

₁

JK_XX

dq = q

₃

– q

₁

= 87 – 46 = 41

14

Data Pencilan

Data yang nilainya berbeda jauh dari kelompok data yang lain.

Pilih nilai k = 3/2 (tidak mutlak) y g

Bagaimana mendeteksi data pencilan ??

1. Hitung dq

2. Hitung BBP = q

₁

– k.dq dq = 41

BBP = 46 – (1,5)(41) = -15,5

3. Hitung BAP = q

₃

+ k.dq 4. Pencilan bawah < BBP 5. Pencilan atas > BAP

BAP = 87 + (1,5)(41) = 148,5 tidak ada pencilan bawah tidak ada pencilan atas

SARI NUMERIK Count (banyak data, n) 15

Sum (jumlah data) 1014

Average (rata-rata) 67.6

Median (kuartil tengah) 76 mean < median

Mode (modus) 83

Minimum 26

Maximum 95

Range 69

Standard Deviation 23.01

Variance 529.2571

Skewness -0.50*

Menceng kiri

Kurtosis -1.23*

25th Percentile (persentil-25) 46 50th Percentile (persentil-50) 76 75th Percentile (persentil-75) 87 Interquartile Range (dk) 41

* Perhitungan dengan Mic. Excel

(5)

Penyajian Data

1 Pie Chart 1. Pie Chart 2. Dot Plot 3. Histogram

4. Diagram Batang – Daun (stem ‐ leaf) 5. Diagram Kotak – Titik (box plot)

6. dll…

Penyajian data dalam bentuk grafik dapat dilakukan secara manual maupun menggunakan software-software statistik seperti Microsoft Excel, SPSS, SAS, S-Plus, Minitab dan lainnya.

Skala penggambaran harus diperhatikan dalam penyajian data dalam bentuk grafik.

Pie Chart

9%

23% 58%

10%

9

Pi h t k fik b b t k li k

18

y Pie chart merupakan grafik yang berbentuk lingkaran yang mana setiap potongannya mewakili proporsi atau persentase suatu komponen dari sebuah kelompok data (100%).

y Pemakaian pie chart hanya cocok ketika menyatakan data dalam bentuk proporsi dari satu kelompok data.

Dot Plot

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 20 40 60 80 100

frekuensi

nilai

y

Cara menggambarkan data dalam bentuk titik, dengan memperhatikan frekuensi dari data yang

bersangkutan

y

Titik ditumpuk diatas nilai data yang digambarkan.

Histogram

y Histogram adalah gambar berdasarkan distribusi frekuensi

y Setiap frekuensi dipresentasikan oleh suatu segi empat (rectangle).

y Daerah setiap rectangle sebanding dengan frekuensinya.

(6)

Diagram Batang-Daun (Stem-Leaf)

y Stem atau batang, mirip dengan grup data pada histogram, g g g g sedangkan leaf atau daun, mirip dengan frekuensi.

y Stem atau batang adalah digit pertama yang terpenting yang ada dalam bilangan yang membentuk harga data, sedangkan digit di belakangnya akan merupakan leaf atau daun.

y Melalui stem-Leaf masih dapat dilihat nilai data mentahnya.

Diagram Kotak‐Titik (Box‐Plot)

85 95

90

100 max

q₃

B Pl t di k t k lidiki di t ib i t

26

47.5 85 76

0 10 20 30 40 50 60 70 80

min

q₁ q₂

q₃ mean

y Box Plot digunakan untuk menyelidiki distribusi tanpa menggunakan grup data seperti pada histogram dan diagram batang daun.

y Box Plot terdiri dari: data_min, q₁, q₂(median), q₃, dan data_maxyang disusun secara terurut dengan membentuk

kotak. 22

Pencilan pada Box Plot

* pencilan atas

max kedua

q₁ q₂

q₃ mean

* pencilan atas

min ketiga

** pencilan bawah

Kelemahan dan Keunggulan

KELEMAHAN KEUNGGULAN

DOT PLOT Tidak efektif untuk ukuran data yang besar

Cepat

Nil i d li d di ki k data yang besar Nilai data asli dapat diperkirakan

HISTOGRAM Lama

Banyak perhitungan Nilai data tidak nampak

Histogram peluang dapat memberi gambaran tentang distribusi populasi Tidak menuntut ketelitian dalam mencatat setiap nilai data

BATANG‐DAUN Menuntut ketelitian mencatat daun

Cepat

Tidak memerlukan perhitungan Nilai data asli dapat dilihat

daun p

Memudahkan perhitungan berbagai parameter

BOX PLOT

Membutuhkan perhitungan yang panjang

Terdiri dari parameter‐

parameter dari data yang sudah diurutkan

Box plot dapat memberi gambaran tentang bentuk distribusi populasi Efektif untuk membandingkan bentuk distribusi beberapa kelompok data sekaligus

(7)

Bentuk Distribusi Ideal Normal

mean = median

Memiliki bentuk distribusi yang simetris, yaitu :

Skewness = 0

Kurtosis = 3, (dalam software tertentu kurtosis normal = 0

Transformasi Data

y

Transformasi dilakukan untuk mendapatkan bentuk Transformasi dilakukan untuk mendapatkan bentuk distribusi yang lebih simetris.

y

Transformasi Tangga Tukey

-1/x² -1/x √x log (x) x x² x³ 10^x

data awal untuk bentuk distribusi : untuk bentuk distribusi : data awal

skewness negatif skewness positif

Data contoh kasus : skewness = -0,5 (menceng kiri), maka transformasi yang mungkin adalah x², x³, dan 10^x.

Transformasi Data Contoh Kasus

87

x

7569

y = x²

Lebih mendekati simetris (skew = 0) dibanding sebelum transformasi 37

59 49 69 95 83 87 39

9 1369 3481 2401 4761 9025 6889 7569 1521

skew = -0,18

dibanding sebelum transformasi (skew = -0,5)

39 95 83 76 83 26 46

1521 9025 6889 5776 6889 676 transformasi 2116

** Ketika data ditransformasi, maka satuan dari data juga akan berubah

Referensi

y Djauhari, M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis Data.j y Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

y Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

Penerbit ITB, 1995.

y Walpole, Ronald E. et.al, Probability and Statistics for Engineers and Scientist, 8th Ed., New Jersey: Pearson-Prentice Hall 2007.

y Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

y Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Ilustrasi. Statistik dan Statistika. Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu semester ganjil tahun 2008:

Ilustrasi

Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu semester ganjil tahun 2008:

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

Statistik dan Statistika

Statistik : nilai-nilai ukuran data yang mudah dimengerti.

Contoh : statistik liga sepak bola Indonesia

Statistika : ilmu yang berkaitan dengan cara

pengumpulan, pengolahan, analisis dan pernarikan kesimpulan atas data.

Jenis‐jenis Statistika

Statistika deskriptif: metode yang berkaitan

Statistika deskriptif: metode yang berkaitan

dengan pengumpulan dan penyajian data.

Statistika inferensi: metode yang berkaitan dengan analisis sampel untuk penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi.

(Pokok Bahasan/Bab 9-12)

Populasi dan Sampel

Populasi

Sampel

Sampel Acak

Data

Jenis‐jenis Observasi

Statistika Deskriptif

Metode yang berkaitan dengan pengolahan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan

informasi yang berguna.

bentuk distribusi data

Karakteristik Distribusi

CONTOH KASUS

Berikut adalah data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu. (n = 15) g ( )

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

x

x

x

x

x

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 x

x

x

x

x

Ukuran Pemusatan Data

Mean (rata-rata)

x n x

=

∑

1

...

x x x

x = + + +

Contoh :

15 87 37 ... 46

67, 60 15

+ + +

= =

50% data ( 50% data (akhir akhir)) 50 % data (

50 % data (awal awal))

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 x

2. Median

Nilai tengah yang membagi dua kelompok data sama banyak.

med = x

= 76 3. Modus

Nilai yang paling sering muncul.

mod = 83

25 %

25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 25 % 4. Kuartil

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95

 Kuartil bawah (q

) :

q

q

= med q

46 q x

x

= = =

q x

x

= =

q x

=

 Kuartil tengah (q

) :

Kuartil bawah (q

Kuartil tengah (q

Kuartil atas (q