Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)

Pertemuan V

Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)

 Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

 Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.

 Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu

memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.

 Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi Wilayah fungsi

S1 .S2 . S3 .S4 . S5 .S6.

X(ei)

. 0 . 1

 Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang contoh!

 Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang kejadian

 Diskret

 Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

 Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

 Kontinu

 Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)

 Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval

 Misalkan X = tinggi badan (cm)

 Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

 Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut

 Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

 Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang

membentuk sembarang kejadian tersebut

 Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang setimbang

SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul

Kejadian S₁ S₂ S₃ S₄ S₅ S₆ Peluang

kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 0 1 0 1 0 1

x 0 1

P(X=x) 1/2 1/2

X 0 1

Dua buah mata uang dilempar bersama-sama.

Jika masing-masing memiliki sisi yang

seimbang, senaraikanlah ruang contohnya.

Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan peubah acak tersebut. Lengkapi dengan

sebaran peluang dari peubah acak tersebut.

 Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai

peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

 Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:



_





ⁿ

i

x

x

p x

i

X )

1

( ), jika X p.a diskret

(

 Jika c konstanta maka E(c ) = c

 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)

 Jika X dan Y peubah acak

maka E(XY) = E(X)  E(Y)

 Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))²

= E(X²) – [E(X)] ² tunjukkan !

 Sifat-sifat dari ragam

 Jika c konstanta maka V(c ) = 0

 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c² V(X)

 Jika X dan Y peubah acak maka, V(XY) = V(X) + V(Y)  Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

 Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah

 Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=x_I) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X_ip(x_i) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)²

= 55/6 - 225/36 = 105/36

 Bernoulli

 Binomial

 Poisson

 Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

 Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

 Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(x,p)=p

^x

q

^(1-x)

, x=0,1

 E(X) = p var(X)= p(1-p)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring

sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

 Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

 Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

 Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)p

^x

q

^(n-x)

, x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

 E(X) =np var(X)=np(1-p)

Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

G S G

S G G

G G S

S S G

S G S

G S S

S S S x=3

x=2

x=1

2 3 2(1 ) 2

) 3 2

(   ^





 p p

X P

3 3 3(1 ) 3

) 3 3

(   ^





 p p

X P

1 3 1(1 ) 1

) 3 1

(   ^





 p p

X P

G G G x=0 0 ⁰(1 )^{3 0}

) 3 0

(   ^





 p p

X P

Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p

Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan

satu hari dalam satu minggu?

 Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

 Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang

 Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1

 Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

 Normal

 Weibull

 Gamma

 Beta

 Bentuk sebaran simetrik

 Mean, median dan modus berada dalam satu titik

 Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai berikut:

 Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

 P ( -  < x <  +  ) = 0.683

 P ( - 2 < x <  + 2 ) = 0.954

 Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (²)

menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, ²)

2

21 2

2 ) 1

, ,

(  ^{  }



 



^{e x}

x f



^{ }





 ^b

a

a F b

F dx x f b

x a

p( ) ( ) ( ) ( )

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

X

Data

Percent

36 24

12 0

-12 -24

-36 60

50 40 30 20 10 0

Variable ragam 1 ragam 3 ragam - 5 ragam -10

Semakin besar ragam dari sebaran normal maka semakin landai bentuk sebarannya

 Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang

 Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:











 ( X ) x

_i

f ( x

_i

) dx , jika X p.a kontinu

 Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit

 Lakukan transformasi dari X  N( , ²) menjadi peubah acak normal baku Z  N(0 , 1) dengan menggunakan

fungsi transformasi

 Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z  N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku

  

 X

Z

 Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

 Nilai peluang didalam

tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k

(P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03 -2.6 0.005 0.005 0.004 0.004 -2.5 0.006 0.006 0.006 0.006 -2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.42)=0.008

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan

ragam 25 mm². Hitunglah,

1.

Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

2.

Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm?

3.

Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

4.

Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang

10% curah hujan tertinggi, berapa batas

curah hujan tersebut!

 Dalam suatu bagian terdapat tiga orang karyawan laki-laki dan dua orang karyawan wanita. Manajer ingin memutasi dua orang karyawan dari bagian tersebut. Jika didefinisikan peubah acak X sebagai banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :

 Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X tersebut!

 Tentukan E(X)!

 Tentukan V(X)!

 Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak:

 Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?

 Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai 3,2 juta?

 Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi, tentukan batas bawah dari range tersebut!