ESTIMASI INTERVAL. (INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada

(1)

ESTIMASI INTERVAL

(INTERVAL ESTIMATION) Minggu ke 8-10

Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc.

Universitas Gadjah Mada

2014

Minggu 8 : Interval Konfidensi Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Outline

1 Minggu 8 : Interval Konfidensi

Minggu 8 : Interval Konfidensi Metode Kuantitas Pivotal

2 _{Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal} Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal

3 Minggu 10 : Kasus Dua Sampel Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

(2)

Outline

1 _{Minggu 8 : Interval Konfidensi}

2 _{Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal}

Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal

3 _{Minggu 10 : Kasus Dua Sampel} Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Outline

1 Minggu 8 : Interval Konfidensi

2 _{Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal}

3 Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

(3)

Minggu 8 : Interval Konfidensi

Untuk mengetahui seberapa dekat estimasi dengan nilai sebenarnya dapat diketahui dengan nilai dari variansi atau MSE, atau dengan estimasi interval

Misalkan X1, · · · , Xn memiliki pdf bersama f (x1, · · · , xn; θ), θ ∈ Ω

dengan Ω adalah sebuah interval. Misalkan L = l (X1, · · · , Xn) dan

U = u(X1, · · · , Xn). Jika sebuah eksperimen menghasilkan data

x₁, · · · , x_n, maka diperoleh nilai observasi l (x₁, · · · , x_n) dan u(x₁, · · · , x_n)

Definisi Interval Konfidensi

Sebuah interval (l (x1, · · · , xn), u(x1, · · · , xn)) disebut interval

konfidensi 100_γ untuk θ jika

P[l (x1, · · · , xn) < θ < u(x1, · · · , xn)] = γ

dengan 0 < γ < 1. Nilai dari observasi l (x1, · · · , xn) dan

u(x1, · · · , xn) masing-masing disebut sebagai batas bawah dan

batas atas konfidensi.

Minggu 8 : Interval Konfidensi

Interval Konfidensi

Definisi Batas Konfidensi Satu Sisi

1 Jika

P[l (x1, · · · , xn) < θ] = γ

maka l (x ) = l (x₁, · · · , x_n) disebut batas bawah konfidensi satu sisi 100γ untuk θ.

2 Jika

P[θ < u(x1, · · · , xn)] = γ

maka u(x ) = u(x₁, · · · , x_n disebut batas atas konfidensi satu sisi 100_γ untuk θ.

(4)

Metode Kuantitas Pivotal

Misalkan X1, · · · , Xn memilik pdf bersama f (x1, · · · , xn; θ), dan

menghasilkan batas konfidensi untuk θ dimana

parameter-parameter sulit yang tidak diketahui juga ditampilkan.

Definisi Kuantitas Pivotal

Jika Q = q(X₁, · · · , X_n; θ) adalah variabel acak yang merupakan fungsi hanya dari X1, · · · , Xn dan θ, maka Q disebut kuantitas

pivotal jika distribusinya tidak bergantung pada θ atau parameter yang tidak diketahui.

Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal

Teorema

Misalkan X1, · · · , Xn merupakan sampel acak dari distribusi

dengan pdf f (x , θ) untuk θ ∈ Ω dan diasumsikan MLE dariˆθ ada.

1 Jika θ adalah parameter lokasi, maka Q = ˆθ − θ adalah

kuantitas pivotal.

2 Jika θ adalah parameter skala, maka Q = θˆ

θ adalah kuantitas

(5)

Lanjutan Metode Kuantitas Pivotal

Teorema

Misalkan X1, · · · , Xn merupakan sampel acak dari distribusi

dengan parameter skala lokasi f (x ; θ1, θ2) = 1 θ2 f0( x − θ1 θ2 )

Jika MLE dari ˆθ1 dan ˆθ2 ada, maka ( ˆθ1−θ_ˆ 1) θ2

dan θˆ2

θ2 masing-masing

merupakan kuantitas pivotal untuk θ₁ dan θ₂ .

Metode Umum

Jika kuantitas pivotal tidak tersedia, maka masih mungkin untuk menghitung daerah konfidensi untuk parameter θ jika sebuah statistik ada dengan distribusi bergantung pada θ, tetapi tidak pada semua parameter-parameter sulit yang tidak diketahui. Secara khusus, diberikan X₁, · · · , X_n memilik pdf bersama

f (x₁, · · · , x_n; θ) dan S = s(X₁, · · · , X_n_{) ∼ g (s; θ). Untuk setiap} nilai dari θ yang mungkin, asumsikan bahwa akan ditemukan nilai dari h1(θ) dan h2(θ), sehingga

(6)

Metode Umum

Jika S = s, maka himpunan dari nilai-nilai θ ∈ Ω yang memenuhi h1(θ) < s < h2(θ) membentuk sebuah daerah konfidensi

100(1 − α). Dengan kata lain, jika θ₀ adalah nilai yang sebenarnya

dari θ, maka θ₀ akan berada didalam daerah konfidensi jika hanya

jika h1(θ) < s < h2(θ) yang mana memiliki tingkat konfidensi

100(1 − α), karena Persamaan (1) menggunakan θ = θ0 dalam

kasus ini. Sangat sering h1(θ) dan h2(θ) akan menjadi fungsi dari

θ yang naik monoton dan hasil dari daerah konfidensi akan menjadi interval.

Metode Umum

Teorema

Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G (s; θ), dan h1(θ) dan

h2(θ) merupakan fungsi yang memenuhi

G (h1(θ); θ) = α1

dan

G (h₂(θ); θ) = 1 − α₂

untuk suatu θ ∈ Ω, dengan 0 < α1 < 1 dan 0 < α2 < 1. Diberikan

s nilai observasi dari S . Jika h1(θ) dan h2(θ) merupakan fungsi

(7)

Lanjutan Teorema

1 Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 − α₂), θ_L adalah solusi

dari

h2(θL) = s

2 Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 − α₁), θ_U adalah solusi

dari

h₁(θ_U) = s

3 Jika α = α₁+ α₂ dan 0 < α < 1, maka (θ_L, θ_U) adalah

interval konfidensi 100(1 − α) untuk θ.

Teorema

Diberikan statistik S kontinu dengan CDF G (s; θ), dan misalkan s nilai observasi dari S . Jika G (s; θ) adalah fungsi turun dari θ, maka:

1 Batas bawah konfidensi satu sisi 100(1 − α₂), θ_L adalah solusi

dengan syarat

G (s; θL) = 1 − α2

2 Batas atas konfidensi satu sisi 100(1 − α₁), θ_U adalah solusi

dengan syarat

G (s; θ_U) = α₁

3 Jika α = α₁+ α₂ dan 0 < α < 1, maka (θ_L, θ_U) adalah

(8)

Definisi

Observasi interval konfidensi [θ_L, θ_U] disebut interval konfidensi konservatif 100(1 − α) untuk θ jika hubungan interval acak mengandung nilai sebenarnya dari θ dengan peluang 1 − α

Teorema

Misalkan S statistik dengan CDF G (s; θ), dan misalkan h1(θ) dan

h2(θ) fungsi yang memenuhi G (h1(θ); θ) = α1 dan

P[S < h2(θ); θ] = 1 − α2]

dengan 0 < α₁ < 1 dan 0 < α₂ < 1.

Jika h1(θ) dan h2(θ) merupakan fungsi naik, maka batas

bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α2) untuk θ,

berdasarkan nilai observasi s dari S , adalah solusi dari h₂(θ_L) = s atau θ = θ_L, sehingga

P[S < s; θ_L] = 1 − α₂

Batas atas konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α1) adalah

(9)

Lanjutan Teorema

Jika h₁(θ) dan h₂(θ) merupakan fungsi turun, maka batas

bawah konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α₁) adalah

solusi dari h1(θL) = s atau G (s; θL) = α1. Batas atas

konfidensi konservatif satu sisi 100(1 − α2) adalah solusi dari

h2(θU) = s atau θ = θU, sehingga

P[S < s; θ_U] = 1 − α₂

Pada kasus tertentu, jika α = α1+ α2 dan 0 < α < 1, maka

(θL, θU) adalah interval konfidensi konservatif 100(1 − α)

untuk θ

Minggu 8 : Interval Konfidensi Minggu 9 : Metode Kuantitas Pivotal Minggu 10 : Kasus Dua Sampel Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Kasus Dua Sampel

1 Dua Sampel Normal

Prosedur untuk Variansi

Prosedur untuk Rata-rata(Mean)

2 Sampel Berpasangan

(10)

Minggu 10 : Kasus Dua Sampel

Dua Sampel Binomial

Misalkan X₁ ∼ BIN(n1, p1) dan X2 ∼ BIN(n2, p2). ˆp1 = X1/n1

dan ˆp₂ = X₂/n₂, dari BAB.7 diperoleh

ˆ

p₂− ˆp₁ − (p2− p1)

pˆp1(1 − ˆp1)/n1+ ˆp2(1 − ˆp2)/n2 d

→ Z ∼ N(0, 1)

Bisa saja pendekatan batas konfidensi sampel besar untuk p₂ − p1

dapat diperoleh dengan cara yang sama dalam kasus satu sampel, yaitu ˆ p₂− hatp1± z1−α/2 s ˆ p₁(1 − ˆp₁) n₁ + ˆ p₂(1 − ˆp₂) n₂