Phasor dan Impedans. Slide-09. Ir. Agus Arif, MT. Semester Gasal 2016/2017

(1)

Phasor dan Impedans

Slide-09

Ir. Agus Arif, MT

(2)

Materi Kuliah

1 Phasor Frekuensi Komplex Definisi Phasor Transformasi Phasor Hubungan Tegangan-Arus Hukum Ohm dan Kirchhoff Rangkaian RL dan RLC 2 Impedans

Definisi Impedans

Impedans Seri dan Paralel Reaktans

Admitans

(3)

Frekuensi Komplex

Berdasarkan pengalaman menerapkan sumber sinusoidal komplex pd suatu rangkaian linear utk mendapatkan tanggapan ajeg yg komplex:

Faktor ejωt sempatdilenyapkan dr kedua sisi persamaan utk menyederhanakan persamaan aljabar yg dihasilkan

Faktor ejωt kemudian disertakankembali sebelum menentukan bagian real dr tanggapan yg komplex

Stp tegangan dan arus dlm suatu rangkaian pasif mengandung faktor ejωt ygsama dgn frekuensi ygtidak berubahselama proses analisis

Oleh krn itu, frekuensi sudut ω dpt diperlakukan sbg suatu besaran yg implisit(tersembunyi)

(4)

Definisi Phasor

Demi memperoleh bentuk yg ringkas, besaran komplex dpt dinyatakan dlm bentukpolar drpd dlm bentuk exponensial

Suatu sumber tegangan sinusoidal

v (t) = Vmcos ωt = Vmcos (ωt + 0◦) dpt dinyatakan dlm bentuk komplex:

Vm∠ 0◦ Dan arus tanggapannya:

i (t) = Imcos (ωt + φ) dpt juga dinyatakan dlm bentuk komplex:

Im∠ φ Bentuk komplex yg ringkas ini disebutphasor

(5)

Transformasi Phasor [1]

Suatu arus sinusoidal yg real

i (t) = Imcos (ωt + φ)

dinyatakan sbg bagian real dr besaran komplex

i (t) = Re{Imej(ωt+φ)} Dgn melenyapkan operator Re{} dan melenyapkan faktor ej(ωt):

I = Imej φ

serta menuliskannya dlm bentuk polar:

(6)

Transformasi Phasor [2]

Bentuk ringkas I = Im∠ φ adalah representasi phasor phasor = besaran komplex yg tidak gayut waktu

phasor hanya mengandung info amplitudo dan sudut fase

i (t) = representasi lingkup-waktu

I = representasi lingkup-frekuensi (walau frekuensi dinyatakan

scr implisit)

Contoh: Tegangan phasor V = 115 ∠ − 45◦ dan frekuensi ω = 500 rad/s adalah setara dgn tegangan lingkup-waktu:

v (t) = 115 cos(500t − 45◦) atau

v (t) = 115 sin(500t + 45◦)

Berikutnya, penyederhanaan hubungan v-i dr resistor, induktor dan kapasitor

(7)

Resistor [1]

Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku

v (t) = R i (t)

Jk pd resistor diterapkan sumber tegangan komplex:

v (t) = Vmcos(ωt + θ) + j Vmsin(ωt + θ) = Vmej(ωt+θ) maka dihasilkan tanggapan arus komplex:

(8)

Resistor [2]

dgn hubungan v-i di antara keduanya:

Vmej(ωt+θ)= R Imej(ωt+φ)

Pembagian faktor ejωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan:

Vmejθ = R Imejφ atau Vm∠ θ = R Im∠ φ yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan

V = R I

Sudut fase θ = φ shg tegangan & arus selalusefasepd resistor

(9)

Induktor [1]

v (t) = Ld i (t) dt

Setelah penyulihan tegangan komplex dan arus komplex diperoleh:

Vmej(ωt+θ)= L d dt h Imej(ωt+φ) i

Penjabaran derivatif menghasilkan:

(10)

Induktor [2]

Pembagian faktor ejωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan:

Vmejθ = jωL Imejφ atau Vm∠ θ = jωL Im∠ φ yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan

V = jωL I

Sudut fase dr faktor jωL adalahtepat +90◦ shg I selalu tertinggal dr V sebesar 90◦ pd induktor

(11)

Kapasitor

i (t) = C d v (t) dt

Stlh penyulihan tegangan dan arus komplex, penjabaran derivatif, pembagian faktor ejωt, dan pemakaian bentuk phasor diperoleh:

I = jωC V atau V = 1

jωC I

(12)

Lingkup-Waktu vs Lingkup-Frekuensi

Hubungan v-i dlm lingkup-frekuensi disebut jg sbg Hukum Ohm:

Hukum Tegangan Kirchhoff (KVL) dlm lingkup-waktu:

v1(t) + v2(t) + · · · + vN(t) = 0

dpt diolah spt sebelumnya pd komponen pasif shg menghasilkan:

V1+ V2+ · · · + VN = 0

Hal serupa juga dpt dijabarkan bagi Hukum Arus Kirchhoff (KCL) 12 / 23

(13)

Rangkaian RL [1]

Rangkaian RL yg telah dibahas pd kuliah sebelumnya dpt digambarkan dgn menggunakan besaran2 phasor:

Penerapan KVL menghasilkan:

VR + VL= Vs

Pemanfaatan hubungan v-i komponen2 _{pasif membuat:}

(14)

Rangkaian RL [2]

Dgn demikian, arus phasor dijabarkan trhdp tegangan sumber:

I = Vs R + jωL

Dianggap amplitudo sumber tegangan adl Vm dgn sudut fase 0◦:

I = Vm∠ 0

◦

R + jωL

Berikutnya, arus phasor dpt dinyatakan dlm bentuk polar:

I = √ Vm

R2_{+ ω}2_L2 ∠ h

− tan−1(ωL/R)i dan ditransformasikan mjd bentuk real:

i (t) = √ Vm R2_{+ ω}2_L2cos ωt − tan−1ωL R 14 / 23

(15)

Contoh #1: Rangkaian RLC [1]

Utk rangkaian RLC berikut, tentukan Is dan is(t) jk kedua sumber bekerja pd ω = 2 rad/s dan diketahui IC = 2 ∠ 28◦

Jawab: Krn IC diketahui mk KCL dpt diterapkan pd simpul yg menghubungkan sumber arus sinudoidal Is, resistor 2 Ω dan kapasitor 1 F shg tegangan kapasitor:

VC = 1 jωC IC = −j ωC IC = −j 2 (2 ∠ 28 ◦₎ = (0.5 ∠ − 90◦)(2 ∠ 28◦) = 1 ∠ − 62◦ V

(16)

Contoh #1: Rangkaian RLC [2]

Tegangan ini juga yg berada di ujung-ujung resistor 2 Ω shg arus resistor tsb:

IR2= 1

2VC = 0.5 ∠ − 62 ◦ _A Berdasarkan KCL, sumber arus dlm bentuk phasor:

Is = IR2+ IC = 0.5 ∠ − 62◦+ 2 ∠ 28◦ = (0.25 − j 0.44) + (1.77 + j 0.94) = 2.02 + j 0.5 = 2.08 ∠ 13.09◦ A

Alhasil, dgn diketahui frekuensi ω, dpt ditentukan kuat sumber arus sinusoidal yg real:

is(t) = 2.08 cos(2 t + 13.09◦) A

(17)

Definisi Impedans

Hubungan v-i dr ketiga komponen pasif pd lingkup-frekuensi:

V = R I V = jωL I V = I

jωC

yg dpt ditulis sbg rasio antara phasor tegangan dan phasor arus:

V I = R V I = jωL V I = 1 jωC

Impedans= rasio antara phasor tegangan dan phasor arus:

ZR = R ZL= jωL ZC = 1

jωC

besaran komplex dgn dimensi ohm (Ω)

bukan fasor shg tidak dpt ditransformasikan dgn faktor ejωt besaran lingkup-frekuensi dan bukan lingkup-waktu

(18)

Impedans Seri

Krn KVL dan KCL berlaku pd lingkup-frekuensi mk impedans dpt dikombinasikan scr seri dan paralel menurut aturan yg sama spt pd resistor:

Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung seri dgn suatu kapasitor 100µF

ZL= jωL = j 50 Ω ZC = 1 jωC = −j ωC = −j 1 Ω

Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen:

Zeq= ZL+ ZC = j 50 − j 1 = j 49 Ω

Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s 18 / 23

(19)

Impedans Paralel

Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung paralel dgn suatu kapasitor 100µF

ZL= jωL = j 50 Ω ZC = 1 jωC = −j ωC = −j 1 Ω

Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen:

Zeq = ZL× ZC ZL+ ZC = (j 50)(−j 1) j 50 − j 1 = 50 j 49 = −j 1.020 Ω

Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s Pd frekuensi yg berbeda, misalnya: ω = 5000 rad/s, impedans paralel ekivalen adl −j 2.17 Ω

(20)

Reaktans

Kombinasi impedans dpt dinyatakan dlm bentuk rectangular dan polar:

Z = R + j X Z = |Z| ∠ Θ

Dlm bentuk rectangular,

bagian real impedans terbentuk hanya dr resistans murni R bagian imajiner impedans, disebut reaktansX , terbentuk dr

komponen2 penyimpan tenaga

resistans dan reaktans memiliki satuan ohm (Ω), tp hanya reaktans yg gayut pd frekuensi ω

resistor ideal memiliki reaktans nol dan induktor/kapasitor ideal sepenuhnya bersifat reaktif (dicirikan oleh resistans nol) Pertanyaan: Mungkinkah suatu kombinasi paralel atau seri dr kapasitor dan induktor menghasilkan reaktans nol?

(21)

Definisi Admitans

Admitans Y dr komponen pasif = rasio antar phasor arus dan phasor tegangan ataukebalikandr impedans:

YR = 1

R YL=

1

jωL YC = jωC

Bagian real dr admitans =konduktans(G ) dan bagian imajiner dr admitans =suseptans (B), ketiga2nya bersatuan siemens (S)

Y = G + j B = 1

Z =

1

R + j X

Perhatian: persamaan tsb menyatakan bhw konduktans bukan kebalikan dr resistans suseptans bukan kebalikan dr reaktans

(22)

Contoh #2: Impedans Ekivalen [1]

Tentukan impedans ekivalen yg setara dgn rangkaian berikut, jk diketahui frekuensi kerjanya adl 5 rad/s

Jawab: Mula2 stp komponen pasif diubah mjd impedans-nya masing2 shg rangkaian berubah mjd:

(23)

Contoh #2: Impedans Ekivalen [2]

Impedans 6 Ω terhubung paralel dgn −j 0.4 Ω shg (6)(−j 0.4)

6 − j 0.4 = 0.02655 − j 0.3982 Ω

yg kemudian terhubung seri dgn kedua2 impedans −j Ω dan j 10 Ω shg

0.02655 − j 0.3982 − j + j 10 = 0.02655 + j 8.602 Ω Impedans baru ini lalu terhubung paralel dgn resistor 10 Ω shg impedans ekivalen adl

10 k (0.02655+j 8.602) = (10)(0.02655 + j 8.602)

10 + 0.02655 + j 8.602 = 4.255+j 4.929 Ω Atau impedans ekivalen dpt jg dinyatakan dlm bentuk polar: