1 BAB I PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dijumpai sesuatu hal yang banyak melibatkan sejumlah variabel yang antar variabel saling berpengaruh, hal semacam ini akan lebih mudah diinterpretasikan jika kita menggunakan analisis multivariat. Secara umum, Analisis Multivariat atau Metode Multivariat berhubungan dengan metode -metode statistik yang secara bersama –sama (simultan) melakukan analisis terhadap lebih dari dua variabel pada setiap objek atau orang (Santoso(2004) dalam Mulyani, 2006).
Biplot adalah salah satu upaya menggambarkan data -data yang ada pada tabel ringkasan dalam grafik berdimensi dua. Biplot ini pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada 1971 dan telah diperbaharui oleh Gower dan Hand pada 1996. Kata Bi - menunjukkan dua jenis informasi yang terdapat dalam matriks. Baris menunjukkan sampel atau unit sampel, sedangkan kolom menunjukkan variabel.
Analisis ini digunakan untuk menggambarkan baris dan kolom yang terdapat dalam matriks dalam grafik tunggal. Nilai -nilai yang terdapat dalam matriks ini diperoleh dari Singular Value Decomposition (SVD) dari matriks awal. Analisis ini telah digunakan untuk menggambarkan hubungan antara objek dan variabel dalam grafik tunggal.
Analisis biplot bersifat deskriptif dengan dimensi dua yang dapat menyajikan secara visual segugus objek dan variabel dalam satu grafik. Grafik yang di hasilkan dari Biplot ini merupakan grafik yang berbentuk bidang datar. Dengan penyajian seperti ini, ciri –ciri variabel dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek pengamatan dengan variabel dapat dianalisis (Jollife (1986) dan Rowling (1988) dalam Sartono dkk, 2003). Informasi yang diberikan oleh Biplot meliputi objek dan variabel. Beberapa informasi penting yang bisa didapatkan dari tampilan Biplot adalah sebagai berikut (anonim, 2003).
2
Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain. Penafsiran ini mungkin akan berbeda untuk setiap bidang terapan, namun inti dari penafsiran ini adalah bahwa dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua titik dengan posisi yang berdekatan.
2. Keragaman variabel.
Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada variabel yang mempunyai nilai keragaman yang hampir sama untuk setiap objek. Dengan informasi ini, bisa diperkirakan pada variabel mana strategi tertentu harus ditingkatkan, dan juga sebaliknya. Dalam Biplot, variabel yang mempunyai nilai keragaman yang kecil digambarkan sebagai vektor pendek sedangkan variable dengan nilai keragaman yang besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.
3. Hubungan atau korelasi antar variabel.
Dari informasi ini bisa diketahui bagaimana suatu variable mempengaruhi ataupun dipengaruhi variabel yang lain. Pada Biplot, variabel akan digambarkan sebagai garis berarah. Dua variabel yang memiliki nilai korelasi positif akan digambarkan sebagai dua buah garis dengan arah yang sama atau membentuk sudut sempit. Sementara itu, dua variable yang memiliki nilai korelasi negatif akan digambarkan dalam bentuk dua garis dengan arah yang berlawanan atau membentuk sudut lebar (tumpul). Sedangkan dua variabel yang tidak berkorelasi akan digambarkan dalam bentuk dua garis dengan sudut yang mendekati 900(siku-siku).
4. Nilai variabel pada suatu objek.
Dalam informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek. Objek yang terletak searah dengan arah vektor variabel dikatakan bahwa objek tersebut mempunyai nilai di atas rata-rata. Namun jika objek terletak berlawanan dengan arah dari vektor variabel tersebut, maka objek tersebut memiliki nilai di bawah rata-rata. Sedangkan objek yang hampir berada ditengah-tengah berarti objek tersebut memiliki nilai dekat dengan rata -rata.
3 BAB II PEMBAHASAN
Menurut Sartono, dkk (2003) analisis biplot didasarkan pada Singular Value Decomposition (SVD). Biplot dapat dibangun dari suatu matriks data, dengan masing-masing kolom mewakili suatu varibel, dan masing-masing-masing-masing baris mewakili objek penelitian (Udina:2005). X= ⋯ ⋯ ⋮ …⋮ ⋮
Matriks X adalah matriks yang memuat variabel-variabel yang akan diteliti sebanyak p dan objek penelitian sebanyak n. Pendekatan langsung untuk mendapatkan nilai singularnya, dengan persamaan yang digunakan adalah matriks X berukuran n x p yang berisi n objek dan p variabel yang dikoreksi terhadap rata-ratanya dan mempunyai rank r,dapat dituliskan menjadi
= nUr Lr rAp’ (1) dengan (r ≤ {n,p})
U dan A adalah matriks dengan kolom ortonormal (U’U=A’A= ) dan L adalah matriks
diagonal berukuran (rxr) dengan unsur-unsur diagonalnya adalah akar dari nilai eigen – nilai eigen X’X, yaitu ≥ ≥ ⋯ ≥ .
Unsur – unsur diagonal matriks L ini disebut nilai singular matriks X dan kolom-kolom matriks A adalah vektor eigen dari X’X. Kolom-kolom-kolom untuk matriks U diperoleh dari =
X, i=1,2,….r dengan adalah unsur-unsur mariks U, adalah unsur-unsur matriks A dan adalah nilai eigen ke-i.
4
Persamaan (1) dapat didefinisikan unsur – unsur diagonal matriks L disebut nilai singular dari matriks X. Kemudian didefinisikan dengan 0 ≤ α ≤ 1 adalah matriks diagonal berukuran x dengan unsur-unsur diagonalnya ≥ ≥…..≥ , dan definisi ini berlaku pula untuk ! dengan unsur-unsur digonalnya adalah ≥ ≥…..≥ .
Menurut Jollife (1986),misalkan G=U dan H’= !A’ dengan α besarnya 0 ≤ α ≤ 1. Persamaan (1) menjadi
" = # !$′ = %&′ (2)
Hal ini berarti unsur ke-(i,j) matriks X dapat dituliskan sebagai
'(= )′*(′ (3)
dengan )′, = 1,2 … / dan *(′, ( = 1,2 … 3 masing–masing merupakan baris matriks G
dan kolom matriks H. Pada ) dan *( mempunyai r dimensi. Jika X mempunyai rank dua, vektor baris ) dan vektor *( dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Jika X mempunyai rank lebih dua persamaan (1) menjadi
'(= ∑ = 5 5 5
6!(5 (4)
dengan 78 adalah elemen ke-(i,k) dari matriks U,!(5 adalah elemen ke-(j,k) dari matriks A dan 89: adalah elemen diagonal ke-k dari matriks L.
Himpunan data asal yang terdiri dari n objek dan p variabel tereduksi menjadi himpunan data yang terdiri dari n objek dengan m unsur pertama. Jika ada sebanyak m elemen unsure yang dipertahankan ,persamaan (3) dapat didekati dengan
; (<' ∑ = ;5 5 56!(5,; < (5) Persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut,
? @<> ∑?8<78( 8): 9 (8 ): 9 C@8 =∑?8< D8ℎ@8
5
dengan D∗′ dan ℎ@∗′ masing-masing berisi elemen unsur vektor ) dan *( Gabriel (1971) menyatakan m = 2 disebut biplot (Jollife,1986:76),sehingga persamaan (6) dapat dinyatakan sebagai
2'(=)∗′*(∗′ (6)
Dengan 2'( merupakan unsur pendektan matriks X pada dimensi dua, sedangkan )∗′ dan *
(
∗′ masing –masing mengandung dua unsur pertama vektor )
dan *(. Dari pendekatan matriks X pada dimensi dua diperoleh matriks G dan H sebagai berikut G= G H H H ID⋮ D D ⋮ D ⋮ ⋮ D D J K K K L dan H= G H H H ID⋮ D D ⋮ D ⋮ ⋮ D D J K K K L
Matriks G adalah titik-titik koordinat dari n objek dan matriks H adalah titik-titik koordinat dari p variabel.
Gabriel (1971) mengemukakan ukuran pendekatan matriks X dengan biplot dalam bentuk,
3 =(M9N M:)
∑POQ9MO (8)
dengan adalah nilai eigen terbesar ke-1, adalah nilai eigen terbesar ke-2 dan 8 ,k=1,2….r adalah nilai eigen ke-k .Apabila 3 mendekati nilai suatu , mka biplot memberikan penyajian yang semakin baik mengenai informasi data yang sebenarnya .
Menurut Jollife (1986) untuk mendeskripsikan biplot perlu mengambil nilai α dalam mendefinisikan G dan H.Pemilihan nilai α pada G =U ! dan H’= !A’ bersifat sebarang dengan syarat 0 ≤α≤ 1. Pengambilan nilai ekstrim α=0 dan α=1 berguna dalam interpretasi biplot.
Jika α=0 didapat G=U R=U dan H’= RA’=LA’ sehingga
X’X = (GH’)’(GH’)
6
=HG’GH’
=HU’UH’
=HH’
Matriks U ortonormal dan X’X = (n-1)S dengan n adalah banyaknya objek pengamatan dan S adalah matriks kovarian dari matriks X maka HH’=(n-1) S. Hasil kali ℎ@S ℎ8 adalah akan sama dengan (n-1) kali kovarian T@8 antara variabel ke-j dan variabel ke-k. Selanjutnya untuk mengetahui variansi variabel digunakan matriks.
H= G H H H Iℎ⋮ ℎ @ ℎ ⋮ ℎ @ ⋮ ⋮ ℎ ℎ J K K K L &&′ = G H H H Iℎ⋮ ℎ⋮ ℎ@ ℎ@ ⋮ ⋮ ℎ ℎ J K K K L Uℎℎ … ℎ@ … ℎ@ … ℎ … ℎ V = G H H H I ℎ + ℎ ⋮ ℎ@ℎ+ ℎ@ℎ ⋮ ℎ ℎ+ ℎ ℎ … ⋱ ⋮ ⋮… ℎℎ@+ ℎℎ@ ⋮ ℎ@ + ℎ@ ⋮ ℎ ℎ@+ ℎ ℎ@ … ⋮ ⋮ ⋱… ℎℎ + ℎℎ ⋮ ℎ@ℎ + ℎ@ℎ ⋮ ℎ + ℎ J K K K L
Diagonal utama pada matriks HH’, ℎ + ℎ , …, ℎ@ + ℎ@, … , ℎ + ℎ menggambarkan variansi dari variabel. Sedangkan ℎ@ + ℎ@ , j= 1,2,…,p menyatakan panjang vector variabel (dengan jarak Euclid dari titik O(0,0)). Sehingga dapat disimpulkan bahwa panjang vector variabel sebanding dengan variansi variabel.
Nilai cosinus sudut antara dua vector variabel menggambarkan korelasi kedua variable. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua variable maka
7
semakin tingggi korelasinya. Korelasi variable ke–j dan ke-k sama dengan nilai cosinus sudut vector hj dan hk .
*(. *5= Y*(Y‖*5‖ [\] ^ [\] ^ = *(. *5 Y*(Y‖*5‖= *(′. *5 Y*(Y‖*5‖= _(5 _((_55= _(5 _(_5= (5
Kedekatan antar obyek pada gambar biplot dapat dilihat dengan menggunakan jarak Euclid antara gi dan gj sebanding dengan jarak Mahalanobis antar objek pengamatan xi dan xj dalam dfata pengamatan sesungguhnya.
Jarak Mahalanobis antara dua pengamatan xi dan xj didefinisikan sebagai `6a', '(b = a'− '(b′d a'− '
(b
Jarak Euclid antara dua pengamatan ) dan )(didefinisikan sebagai e6a ), )(b = a )− )(b′
( )− )() (10)
Menurut Jollife (1986) `6a', '(b = (f − )e6a ), )(b. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.
Persamaan (3) dapat ditulis kembali sebagai '′ = )
&′, g = 1,2, … / dan disubsitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga menghasilkan
`6a', '(b = a h)− h) (b′d a h)− h)(b = (&a )− )(b)′d &( )− )() = a )− )(b′&d &( )− )() = a )− )(b′( $′)(f − )("′") $( ) − )() = (f − )( )− )()′( $′)("′") $( )− )() (11) Dengan &′ = $′(C = 0) dan d = (f − )("′")
Sedangkan
"′" = (# $′)′(# $′)
= $ #′# $′
8 Dan ("′") = j(# $′)′(# $′)k = (#′ $# $′) = ($ #′# $′) = $ 6$′ (13) Subsitusikan persamaan (12) dan (13) ke persamaan (11) menghasilkan `6a', '(b = (f − )( )− )
()′( $′)("′") $( )− )() = (f − )a )− )(b′ ($′$) 6($′$) ( )− )()
= (f − )a )− )(b′ 6 ( )− )() , ($ adalah ortogonal) =(n-1)()− )()′ ()− )()
=(f − )e6a), )( b.
Berarti dapat dilihat bahwa Mahalanobis sebanding dengan jarak Euclid.Hal ini menunjukan bahwa jarak Euclid mampu menggambarkan posisi objek pengamatan dalam data pengamatan sesungguhnya.
Jika α=1 maka G=UL dan H=A sehingga diperoleh
XX’=(GH’)(GH’)’ =GH’HG’ =GA’AG’ =GG’
Pada keadaan ini ,jarak Euclid antara ) dan )( akan sama dengan jarak Euclid antara objek pengamatan ' dan '(.Vektor baris ke-i sama dengan skor komponen utama untuk responden ke-i dari hasil analisis komponen utama.Untuk G=UL maka unsur ke-k dari ) adalah 5 5.Hasil tersebut sama dengan l5 yang merupakan skor komponen utama ke-k dari objek ke-i.Sedangkan H=A diperoleh bahwa vektor pengaruh kolom *( sama dengan !(.
9 BAB III CONTOH KASUS
Analisis Biplot Pengguna Beberapa Jenis Kartu Prabayar.
(Studi Kasus Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Bengkulu)
Sampel yang digunakan adalah cluster random sampling yaitu mahasiswa FMIPA Universitas Bengkulu yang berjumlah 84 orang. Variabel yang diamati adalah variabel yang berupa : variabel yang terkait dengan perbedaan individu yaitu jenis kelamin, pekerjaan sampingan (jika ada), dan kebiasaan yang terkait dalam menggunakan kartu prabayar.
Variabel persepsi terhadap berbagai atribut kartu prabayar seperti denominasi pulsa yang rendah dengan harga yang murah, tarif SMS yang murah, tarif telpon yang murah, banyak menawarkan bonus, banyak kenalan yang menggunakan kartu prabayar yang digunakan responden, sudah lama menggunakan kartu prabayar yang digunakan responden dan jaringan yang jarang mengalami gangguan. Data yang digunakan adalah data primer. Validitas dan reliabilitas dari kuisioner akan diuji dengan menggunakan SPSS. Menurut Nugroho (2005) dalam Agustina (2006), suatu butir pernyataan dari tabel, sedangkan reliabilitas suatu konstruk variable dikatakan baik jika memiliki nilai Cronbach alpha > 0.60
A. Validitas dan reliabilitas data
Penelitian ini menggunakan jumlah sampel n sebanyak 84 orang. Untuk n= 84 mempunyai df (degrees of freedom) = n – k = 84 - 1 = 83 dengan k adalah jumlah pertanyaan dalam suatu variable. Dengan nilai df= 83, maka diperoleh r-tabel = 0.217. jadi dengan membandingkan nilai dari corrected itemtotal correlation dengan r -tabel maka terlihat bahwa nilai dari corrected item-total correlation > r--tabel. Demikian juga dengan nila i dari Cronbach alpha > 0,60. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa semua butir pertanyaan dalam kuisioner adalah valid dan reliabel.
10
Pengolahan kuisioner yang menggunakan skala Likert dari deskripsi variabel penelitian diatas, menghasilkan matriks ber ikut ini.
= G H H H H I5 5 34 2 4 4 4 5 5 3 5 4 5 3 5 4 4 4 4 4 4 5 4 1 1 1 1 1 1 3 5 4 1 1 1 1 1 1 3 1 1JK K K K L
B. Analisis Biplot Pengguna Kartu Prabayar
Kenormalan dari data yang diperoleh dari penelitian ini telah diuji. Karena data ini mempunyai distribusi yang normal, maka data tidak perlu ditransformasi. Scree Plot berikut (Gambar 1) menunjukkan bahwa pada nilai akar ciri komponen utama pertama dan kedua terjadi penurunan nilai yang cukup tajam. Dengan demikian, penggunaan dua komponen utama tersebut dianggap mampu menerangkan keragaman data yang diwakilkan oleh kedua komponen utama tersebut.
Gambar 1. Scree Plot nilai Akar Ciri (Eigen Value)
11
daerah dalam Biplot tersebut dibagi menjadi empat kuadran, maka Mentari dan IM3 menempati kuadran pertama, Jempol dan Bebas menempati kuadran ketiga dan Kartu As dan simPATI menempati kuadran keempat. Pengelompokan ini menunjukkan bahwa setiap kelompok jenis kartu prabayar yang berada dalam satu kuadran memiliki persamaan yang cukup dekat dibandingkan dengan kartu prabayar yang berada pada kuadran lain.
Dari Biplot ini terlihat bahwa variabel jaringan yang jarang mengalami gang guan (Jaringan), variabel tarif telpon yang murah (TTP) dan variabel banyak kenalan yang menggunakan kartu prabayar yang digunakan responden (BKYM) mempunyai nilai keragaman yang paling kecil dari pada nilai keragaman dari variabel lain. Hal ini dikarenakan ketiga variabel tersebut mempunyai vektor variabel yang paling pendek. Ini berarti persentase penggunaan kartu prabayar karena jaringan yang jarang mengalami gangguan (Jaringan), tarif telpon yang murah (TTP) dan banyak kenalan yang menggunakan kartu prabayar yang digunakan responden (BKYM) untuk masing -masing kartu prabayar hampir sama besar.
Variabel-variabel yang diteliti dalam penelitian ini mempunyai korelasi yang positif. Korelasi ini positif karena sudut yang dibentuk oleh dua garis berarah dari variabel mempunyai sudut yang sempit (lancip). Ini berarti, semakin baik pelayanan yang diberikan oleh operator kartu prabayar maka akan semakin meningkat penggunaan suatu jenis kartu prabayar. Salah satu contoh adalah variabel Bonus dan Tarif SMS yang mur ah. Garis berarah dari kedua variabel tersebut membentuk sudut yang kecil (lancip). Oleh karena itu, korelasi antar variabel Bonus dan variabel Tarif SMS yang murah bernilai positif. Ini berarti, semakin banyak Bonus yang ditawarkan oleh operator kartu pra bayar akan mempunyai kecenderungan bahwa operator kartu prabayar tersebut akan menawarkan Tarif SMS yang murah (TSMS).
12
Gambar 2. Biplot pengguna kartu prabayar
Informasi lain yang bisa diperoleh dari Biplot adalah nilai variabel pada setiap objek. Dari gambar 2, terlihat bahwa kartu prabayar Bebas dan Jempol terletak berlawanan dengan arah dari semua vektor variabel. Ini berarti, kedua kartu prabayar tersebut mempunyai nilai dibawah rata -rata. Atau dengan kata lain, kedua kartu prabayar tersebut dianggap sebagai kartu prabayar terlemah untuk berbagai variabel, karena tidak satupun vektor peubah yang mengarah atau mendekati ke kedua kartu prabayar tersebut.
Dari gambar 2 terlihat bahwa garis dari semua variabel tidak mengarah pada suatu jenis kartu prabayar tertentu. Atau dapat dikatakan bahwa pengguna kartu prabayar tidak mempedulikan keungulan-keungulan dari setiap kartu prabayar. Hal ini dapat terjadi karena keunggulan dari setiap kartu prabayar hanya dapat digunakan untuk kartu prabayar dengan operator yang sama.
Namun demikian, kartu prabayar IM3 dan simPATI diposisikan oleh responden sebagai kartu prabayar yang terbaik untuk semua variabel yang ada. Ini berarti, persaingan antara kartu prabayar simPATI dan IM3 dalam memperebutkan pelanggan semakin ketat. Oleh karena itu, kedua kartu prabayar tersebut harus menetapkan suatu sistem pemasaran agar dapat mempertahankan image di mata
13 pengguna kartu prabayar.
Kartu prabayar Mentari, meskipun mempunyai posisi yang tidak terlalu baik untuk semua variabel, namun Mentari mempunyai image sebagai kartu prabayar yang menawarkan banyak bonus, jaringan yang jarang mengalami gangguan, denominasi pulsa yang rendah dengan harga yang murah, penggunaan Mentari karena sudah lama menggu nakan, dan tarif telpon yang murah. Keunggulan - keunggulan ini harus terus dipertahankan dan ditingkatkan lagi.
Seperti halnya Mentari, Kartu As juga mempunyai posisi yang tidak terlalu baik. Namun bagi pengguna, Kartu As mempunyai image sebagai kartu prab ayar yang mempunyai tarif SMS yang murah, kartu prabayar yang banyak digunakan oleh kenalan dari pengguna, denominasi pulsa yang rendah dengan harga yang murah, penggunaan Kartu As karena sudah lama menggunakan, dan tarif telpon yang murah. Keunggulan -keunggulan ini harus terus dipertahankan dan ditingkatkan lagi.
C. KESIMPULAN DAN SARAN
1. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis Biplot data yang diperoleh dari penyebaran kuisioner kepada 84 responden, diketahui hal -hal berikut.
Mentari dan IM3 menempati kuadran pertama , Jempol dan Bebas menempati kuadran ketiga dan Kartu As dan simPATI menempati kuadran keempat dalam Biplot.
Persentase penggunaan kartu prabayar karena jaringan yang jarang mengalami gangguan (Jaringan), tarif telpon yang murah (TTP) dan banyak kenalan ya ng menggunakan kartu prabayar yang digunakan responden (BKYM) untuk masing -masing kartu prabayar hampir sama besar.
Variabel dalam penelitian ini mempunyai korelasi yang positif karena sudut yang dibentuk oleh dua garis berarah dari variabel mempunyai sudu t yang sempit (lancip). Ini berarti, semakin baik pelayanan yang diberikan oleh operator
14
kartu prabayar maka akan semakin meningkat penggunaan suatu jenis kartu prabayar.
Bebas dan Jempol terletak berlawanan dengan arah dari semua vektor variabel. Berarti kedua kartu prabayar tersebut mempunyai nilai dibawah rata -rata. Atau dengan kata lain, kedua kartu prabayar tersebut dianggap sebagai kartu prabayar terlemah untuk berbagai variabel, karena tidak satupun vektor peubah yang mengarah atau mendekati ke kedua kartu prabayar tersebut.
IM3 dan simPATI diposisikan oleh responden sebagai kartu prabayar yang terbaik untuk semua variabel yang ada. Ini berarti, persaingan antara kartu prabayar simPATI dan IM3 dalam memperebutkan pelanggan semakin ketat.
Mentari mempunyai image sebagai kartu prabayar yang menawarkan banyak bonus, jaringan yang jarang mengalami gangguan, denominasi pulsa yang rendah dengan harga yang murah, penggunaan Mentari karena sudah lama menggunakan, dan tarif telpon yang murah.
Kartu As mempunyai image sebagai kartu prabayar yang mempunyai tarif SMS yang murah, kartu prabayar yang banyak digunakan oleh kenalan dari pengguna, denominasi pulsa yang rendah dengan harga yang murah, penggunaan Kartu As karena sudah lama menggunakan, dan tarif telpon ya ng murah.
2. SARAN
Untuk operator Indosat, agar lebih meningkatkan pelayanan kepada pengguna, meningkatkan sosialisasi penggunaan kartu prabayar dari Indosat dan meningkatkan sistem pemasaran dengan menetapkan tarif SMS yang lebih murah dari tarif SMS yang s ekarang.
Untuk operator Telkomsel, agar lebih meningkatkan pelayanan kepada pengguna, memperkuat jaringan dan memberikan meningkatkan sistem pemasaran dengan lebih banyak memberikan bonus. untuk operator Pro XL, agar lebih mensosialisasikan penggunaan kartu prabayar dari Pro XL dan meningkatkan sistem pemasaran agar dapat mengejar ketertinggalan.
15 BAB IV PENUTUP
KESIMPULAN
Kesimpulan yang diambil adalah :
1. Analisis biplot digunakan untuk menggambarkan baris dan kolom yang terdapat dalam matriks dalam grafik tunggal. Nilai -nilai yang terdapat dalam matriks ini diperoleh dari Singular Value Decomposition (SVD) dari matriks awal.
2. Biplot dapat dibangun dari suatu matriks data, dengan masing-masing kolom mewakili suatu varibel, dan masing-masing baris mewakili objek penelitian.
X= ⋯ ⋯ ⋮ …⋮ ⋮
3. Pendekatan langsung untuk mendapatkan nilai singularnya, dengan persamaan yang digunakan adalah matriks X berukuran n x p yang berisi n objek dan p variabel yang dikoreksi terhadap rata-ratanya dan mempunyai rank r,dapat dituliskan menjadi = nUr Lr rAp’
4. U dan A adalah matriks dengan kolom ortonormal (U’U=A’A= ) dan L adalah
matriks diagonal berukuran (rxr) dengan unsur-unsur diagonalnya adalah akar dari nilai eigen –nilai eigen X’X, yaitu ≥ ≥ ⋯ ≥ .
16 BAB V
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. and C. Rorres. 1997. Aljabar Linier Elementer. Alih bahasa Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. ITB. PT Erlangga, Jakarta.
Dwiningsih, Ita. 2009. Pemetaan Persepsi Mahasiswa UNS Terhadap Jenis Kartu Telepon Seluler dengan Analisis Biplot. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta.
Gabriel, K. R. 1971. The biplot graphic display of matrices with application to principal component analysis. Biometrika 58: 453-467. The origination of biplots.
