Penghilangan Rekursif Kiri

Aturan Produksi yang rekursif memiliki ruas kanan (hasil produksi) yang memuat simbol variabel.

Aturan Produksi Rekursif Kanan

Sebuah aturan produksi dalam bentuk:

A 



A

A : Variabel

 :(VT)* atau kumpulan symbol variabel dan terminal Aturan Produksi Rekursif Kiri

Aturan produksi dalam bentuk:

A  A



Contoh: S  Sd B  Bad

Produksi yang rekursif kanan menyebabkan pohon penurunan tumbuh ke kanan, sebaliknya produksi yang rekursif ke kiri menyebabkan pohon penurunan tumbuh ke kiri.

Contoh :

tata bahasa bebas konteks dengan aturan produksi: S  aAc A  Ab   S A a b A c A A b b

CFG mengandung aturan produksi yang rekursif kiri

Aturan produksi yang tidak rekursif

kiri

Aturan produksi yang rekursif kiri

Lakukan penggantian, munculkan aturan produksi baru dan symbol variabel baru CFG bebas dari aturan produksi yang rekursif kiri

Dalam banyak penerapan tata bahasa, rekursif kiri tak diinginkan. Untuk menghindari penurunan yang bisa mengakibatkan loop hilangkan sifat rekursif kiri dari aturan produksi.

Steps:

 Pisahkan aturan produksi yang rekursif kiri dan yang tidak.

Aturan produksi yang rekursif kiri diberi simbol _n setelah variabel:

A  A₁  A₂  A₃  ……..A_n

Aturan produksi yang tidak rekursif kiri (termasuk produksi ) diberi simbol _m

A  ₁  ₂  ₃ …….._m

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri, menjadi

sebagai berikut:

A  ₁Z  ₂Z  ………_mZ Z  ₁  ₂  ₃  ……_n

◦ Hasil akhir berupa aturan produksi pengganti ditambah dengan aturan produksi semula yang tidak rekursif kiri.

Contoh:

Lakukanlah penghilangan rekursif kiri untuk tata bahas bebas konteks dibawah:

1. S  Sab  aSc  dd  ff  Sbd 2. S  Sab  Sb  cA

1.



Aturan produksi yang rekursif kiri:

S  Sab



Sbd

Untuk symbol S



₁

= ab,



₂

= bd



Aturan produksi yang tidak rekursif kiri:

S  aSc



dd



ff

Untuk symbol S

₁ = ab, ₂ = bd & ₁ = aSc, ₂ = dd, ₃ = ff

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sbd, digantikan oleh:

₁ = ab, ₂ = bd & ₁ = aSc, ₂ = dd, ₃ = ff

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sbd, digantikan oleh:

◦ S  aScZ₁  dd Z₁  ff Z₁

◦ Z₁  ₁  ₂

₁ = ab, ₂ = bd & ₁ = aSc, ₂ = dd, ₃ = ff

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sbd, digantikan oleh:

◦ S  aScZ₁  dd Z₁  ff Z₁

◦ Z₁  ab  bd

₁ = ab, ₂ = bd & ₁ = aSc, ₂ = dd, ₃ = ff

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sbd, digantikan oleh:

◦ S  aScZ₁  dd Z₁  ff Z₁

◦ Z₁  ab  bd

◦ Z₁  ab Z₁  bd Z₁

Hasil akhir setelah penghilangan rekursif kiri adalah: S  aSc  dd  ff

S  aScZ₁  dd Z₁  ff Z₁ Z₁  ab  bd

2.



Aturan produksi yang rekursif kiri:

S  Sab



Sb

A  Aa

Untuk symbol S 



₁

= ab,



₂

= b

Untuk symbol A 



₁

= a



Aturan produksi yang tidak rekursif kiri:

S  cA

A  a



bd

Untuk symbol S 



₁

= cA

S  ₁ = ab, ₂ = b & ₁ = cA

A  ₁ = a & ₁ = a ₂ = bd

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sb, digantikan oleh:

◦ S  ₁ Z₁

◦ Z₁  ₁  ₂

◦ Z₁  ₁ Z₁  ₂ Z₁ A  Aa, digantikan oleh:

◦ A  ₁ Z₂  ₂ Z₂

◦ Z₂  ₁

S  ₁ = ab, ₂ = b & ₁ = cA

A  ₁ = a & ₁ = a, ₂ = bd

 Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri

S  Sab  Sb, digantikan oleh:

◦ S  cAZ₁

◦ Z₁  ab  b

◦ Z₁  ab Z₁  bZ₁

A  Aa, digantikan oleh:

◦ A  aZ₂  bdZ₂

◦ Z₂  a

Hasil akhir setelah penghilangan rekursif kiri adalah: S  cA A  a  bd S  cAZ₁ Z₁  ab  b Z₁  ab Z₁  bZ₁ A  aZ₂  bdZ₂ Z₂  a Z₂  aZ₂

Lakukanlah penghilangan rekursif kiri untuk tata bahas bebas konteks dibawah:

S  Sa



aAc



c





Suatu tata bahasa bebas konteks (CFG) dikatakan dalam bentuk normal Greibach (GNF) jika setiap aturan produksinya ada dalam bentuk:

A  a



a : symbol terminal (tunggal), a T

 : rangkaian symbol-simbol variabel (V*)

Contoh tata bahasa bebas konteks dalam bentuk normal Greibach:

S  a  aAB A  aB

Untuk dapat diubah ke dalam

bentuk normal Greibach,

tata

bahasa semula harus memenuhi syarat:

◦ Sudah dalam bentuk normal Chomsky (CNF) ◦ Tidak bersifat rekursif kiri

Ada 2 cara merubah Tata bahasa bebas konteks menjadi

GNF:

•Substitusi

Steps:

 Tentukan urutan symbol-simbol variabel  A₁, A₂ ,….. A_m

 Berdasarkan urutan symbol, seluruh aturan produksi yang ruas kanannya diawali

dengan symbol variabel dapat dituliskan dalam bentuk

A_h  A_i

dimana h </> i (rekursif kiri sudah dihilangkan),  berupa symbol-simbol variabel. ◦ Jika h < i, aturan produksi ini sudah benar (tidak perlu diubah)

◦ Jika h > i, aturan produksi belum benar. Ubah A_i pada produksi ini dengan ruas kanan produksi dari variabel A_i, sehingga diperoleh produksi dalam bentuk:

A_h  A_p (dimana h  p)

 h = p, lakukan penghilangan rekursif kiri  h < p, aturan produksi sudah benar

Steps - contd_:

 Lakukan penghilangan rekursif kiri bila

A_h  A_p (dimana h = p)

 Lakukan substitusi mundur mulai dari variabel A_m, lalu A_m-1, A_m-2,….Dengan

cara ini aturan produksi dalam bentuk A_x  A_y dapat diubah sehingga ruas kanannya dimulai dengan symbol terminal.

 Variabel baru yg didapat dari penghilangan rekursif kiri diubah dengan cara

Contoh:

Ubahlah Tata bahasa bebas konteks berikut (sudah dalam bentuk CNF) ke dalam GNF! S  CA A  a  d B  b C  DD D  AB Jawab:

 Tentukan urutan symbol variabel  S<A<B<C<D (bebas)

 Periksa aturan produksi , apakah sudah memenuhi ketentuan urutan

variabel:

S  CA ( sudah memenuhi karena S<C) C  DD ( sudah memenuhi karena C<D)

 Lakukan substitusi pada symbol variabel A, aturan produksi

menjadi:

D  AB  D  aB  dB

 Setelah semua aturan produksi memenuhi ketentuan urutan

variabel, lakukan substitusi mundur pada aturan produksi yang belum dalam GNF

C  DD  C  aBD  dBD S  CA  S  aBDA  dBDA

(Lakukan substitusi dari kanan ke kiri berdasarkan urutan variabel)

 Hasil akhir aturan produksi dalam GNF:

S  aBDA  dBDA A  a  d

B  b

C  aBD  dBD D  aB  dB

Ubahlah Tata bahasa bebas konteks berikut (sudah dalam bentuk CNF) ke dalam GNF! A  BC B  CA  b C  AB  a Jawab:

 Tentukan urutan symbol variabel  A<B<C (bebas)

 Periksa aturan produksi , apakah sudah memenuhi ketentuan

urutan variabel:

A  BC (sudah memenuhi karena A<B) B  CA (sudah memenuhi karena B<C) C  AB (tidak memenuhi karena C>A)

 Lakukan substitusi pada symbol variabel A, aturan produksi menjadi:

C  AB  C  BCB  C  CACB bCB

 Teradapat Rekursif kiri pada : C  CACB, maka lakukan penghilangan

rekursif kiri: C  CACB bCB | a (₁ = ACB & ₁ = bCB , ₂ = a) C  ₁ Z₁  ₂ Z₁ Z₁  ₁ Z₁  ₁ Z₁

 Lakukan substitusi pada symbol variabel A, aturan produksi menjadi:

C  AB  C  BCB  C  CACB bCB

 Teradapat Rekursif kiri pada : C  CACB, maka lakukan penghilangan

rekursif kiri: C  CACB bCB | a (₁ = ACB & ₁ = bCB , ₂ = a) C  bCBZ₁  aZ₁ Z₁  ACB Z₁  ACB Z₁

Variabel C yang sudah dalam bentuk normal Greibach: C  bCB Z₁ a Z₁ bCB a

 Setelah semua aturan produksi memenuhi ketentuan urutan variabel,

lakukan substitusi mundur pada aturan produksi yang belum dalam GNF

B  CA| b  B  bCB Z₁A a Z₁A bCBA aA | b A  BC  A  bCB Z₁AC a Z₁AC bCBAC aAC bC

(Lakukan substitusi dari kanan ke kiri berdasarkan urutan variabel)

 Variabel baru yg didapat dari penghilangan rekursif kiri diubah dengan

cara substusi untuk menjadi GNF

Z₁  ACB  Z₁  bCB Z₁ACCB a Z₁ACCB bCBACCB aACCB bCCB Z₁  ACB Z₁  Z₁  bCB Z₁ACCBZ₁ a Z₁ACCBZ₁ bCBACCBZ₁ aACCB Z₁ bCCBZ₁

 Hasil akhir aturan produksi dalam GNF:

A  bCB Z₁AC a Z₁AC bCBAC aAC bC B  bCB Z₁A a Z₁A bCBA aA b

C  bCB Z₁ a Z₁ bCB a

Z₁  bCB Z₁ACCB a Z₁ACCB bCBACCB aACCB bCCB

Z₁  bCB Z₁ACCBZ₁ a Z₁ACCBZ₁ bCBACCBZ₁ aACCB Z₁ bCCBZ₁

Ubahlah Tata bahasa bebas konteks berikut ke dalam GNF

(sudah dalam bentuk CNF) !

1.

S  AS | a

A  a

2.

S AA | d

A  SS | b

Kumpulan aturan produksi dapat dianggap sebagai sistem persamaan linear. Contoh:

A  BC B  CA  b C  AB  a Dapat dilihat sebagai:

A = BC B = CA + b C = AB + a Buat matriks dengan persamaan

V = VR + S

Dimana (n = banyaknya variable dalam tata bahasa) dan: V = vektor baris 1 x n (berisi simbol2 variabel)

R = matriks n x n berisi simbol terminal dan variabel (utk mengganti produksi yg diawali dengan variabel)

S = vektor baris 1 x n (berisi simbol terminal utk mengganti produksi yang diawali dengan terminal)

 Tentukan V,R dan S. V = [ A B C ] R = 0 0 B C 0 0 0 A 0 S = [ 0 b a ]

‣

Persamaan matriksnya. V = VR + S [ A B C ] = [ A B C ] 0 0 B C 0 0 0 A 0 + [ 0 b a ] A =

BC

B =

CA

+ b C =

AB

+ a

 Bentuk Persamaan Matriks Baru

V = SQ + S

Dimana Q = matriks n x n yang berisi simbol variabel2 baru

Q = D E F G H I J K L

‣

Matriksnya berupa: [ A B C ] = [ 0 b a ] + [ 0 b a ] D E F G H I J K L V = [ A B C ] S = [ 0 b a ]

 Dari hasil perkalian matriks didapat persamaan:

A = bG + aJ B = bH + aK + b

C = bI + aL + a

 Bentuk Persamaan Matriks Baru

Q= RQ + R

Dimana Q = matriks n x n yang berisi simbol variabel2 baru

Q = D E F G H I J K L

‣

Matriksnya berupa: R = 0 0 B C 0 0 0 A 0 D E F G H I J K L 0 0 B C 0 0 0 A 0 0 0 B C 0 0 0 A 0 + D E F G H I J K L =

 Dari hasil perkalian matriks didapat persamaan: D = BJ E = BK F = BL + B G = CD + C H = CE I = CF J = AG K = AH + A L = AI ……… persamaan (2)

 Substitusi persamaan (1) ke dalam persamaan (2) D =bHJ + aKJ + bJ E = bHK + aKK + bK F = bHL + aKL + bL + bH + aK + b G = bID + aLD + aD + bI + aL + a H = bIE + aLE + aE I = bIF + aLF + aF J = bGG + aJG K = bGH + aJH + bG + aJ L = bGI + aJI ……… persamaan (3)

 Hasil akhir aturan produksi dalam bentuk GNF adalah ( pers1 + pers 3): A = bG + aJ B = bH + aK + b C = bI + aL + a D =bHJ + aKJ + bJ E = bHK + aKK + bK F = bHL + aKL + bL + bH + aK + b G = bID + aLD + aD + bI + aL + a H = bIE + aLE + aE I = bIF + aLF + aF J = bGG + aJG K = bGH + aJH + bG + aJ L = bGI + aJI

Ubahlah Tata bahasa bebas konteks berikut ke dalam GNF dengan

menggunakan perkalian matriks.

(sudah dalam bentuk CNF) !

1.

S AA | d

A  SS | b

Buktikan bahwa string yang sama dapat di hasilkan oleh kedua

cara