1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Permasalahan
Salah satu formula dalam teori bunga telah diusulkan pada abad kesembilan belas oleh seorang aktuaris dan ahli matematika Inggris bernama William Makeham. Formula dari William Makeham tersebut menyatakan bahwa harga obligasi dapat dibagi menjadi dua komponen yaitu nilai sekarang dari pelunasan (present value of redemption value) dan nilai sekarang dari bunga (present value of interest), di mana nilai sekarang dari bunga tersebut merupakan rasio dari tingkat suku bunga kupon (atau tingkat suku bunga kupon yang dimodifikasi) dengan tingkat suku bunga valuasi yang kemudian dikalikan dengan selisih antara pelunasan dan nilai sekarang dari pelunasan (Makeham, 1874).
Formula Makeham tersebut sering digunakan di masa lalu (Hossack dan Taylor, 1975; Astrup Jensen, 1999), akan tetapi formula Makeham tersebut pada dasarnya diabaikan di bidang keuangan dan ilmu aktuaria dalam kasus tingkat suku bunga yang fluktuatif di setiap periode, meskipun formula tersebut secara langsung dapat menyediakan hubungan yang penting antara nilai aset, keseluruhan bunga dan profitabilitas ekonomi yang dinyatakan sebagai rasio dari tingkat suku bunga pengembalian dengan tingkat suku bunga valuasi. Penggunaan formula tersebut hanya mencakup pada aset dengan tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang konstan.
2
Formula yang lebih umum dari formula Makeham sangat dibutuhkan agar dapat diterapkan untuk kasus investasi berupa pinjaman perusahaan dengan tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi berfluktuasi secara periodik dan fluktuasi tersebut akan berpengaruh kuat terhadap nilai sekarang dari komponen bunga, dan pada akhirnya juga akan berpengaruh kuat terhadap nilai sekarang dari aliran arus kas dan nilai sekarang bersih (Net Present
Value). Selanjutnya tingkat suku bunga kupon obligasi dapat digantikan dengan
tingkat suku bunga pengembalian pinjaman dan selisih antara pelunasan dan nilai sekarang dari pelunasan obligasi digantikan dengan selisih antara jumlah yang dipinjamkan dan nilai sekarang dari pembayaran pokok (Kellison, 2009).
Dengan menggeneralisasikan formula Makeham, maka hubungan yang penting antara nilai aset, keseluruhan bunga dan profitabilitas ekonomi berlaku untuk investasi berupa pinjaman, sehingga dapat ditentukan seberapa besar profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan dan pada akhirnya seorang manajer keuangan dari suatu perusahaan yang mempunyai kelebihan dana dan akan menginvestasikan dana tersebut dalam bentuk pinjaman kepada perusahaan lain yang sedang membutuhkan kucuran dana dapat mengambil keputusan yang benar dalam memilih investasi yang akan memberikan keuntungan optimal bagi perusahaannya dari berbagai macam alternatif investasi berupa pinjaman yang ditawarkan.
Estimasi pergerakan tingkat suku bunga merupakan salah satu kunci yang terpenting dalam pengambilan keputusan investasi berupa pinjaman perusahaan karena perusahaan yang akan berinvestasi mengharapkan imbal hasil yang tinggi,
3
dan hal tersebut pasti dipengaruhi oleh tingkat suku bunga yang berlaku. Pada kenyataannya, seringkali pergerakan tingkat suku bunga yang fluktuatif di setiap periode merupakan proses stokastik sehingga untuk mengestimasinya diperlukan suatu model tingkat suku bunga stokastik.
Model tingkat suku bunga stokastik yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah model Cox-Ingersol-Ross (CIR) di mana model tersebut menjamin estimasi tingkat suku bunga yang tidak bernilai negatif. Model CIR merupakan model short rate yang bebas resiko. Model tersebut mempunyai sifat mean
reversion yang merupakan kecenderungan tingkat suku bunga untuk kembali
menuju rata-rata tingkat suku bunga dalam jangka waktu yang panjang.
Di dalam model CIR terdapat beberapa parameter yang harus diestimasi dengan menggunakan data historis sehingga akan didapatkan hasil estimasi yang mendekati data yang sebenarnya. Metode yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil bersyarat (conditional
least-squares estimation) dimana pada metode tersebut parameter model CIR
akan diestimasi dari observasi pada titik waktu yang berinterval sama. Selanjutnya hasil estimasi parameter model CIR tersebut digunakan untuk mengestimasi tingkat suku bunga sehingga seorang manajer keuangan dari perusahaan yang akan melakukan investasi berupa pinjaman perusahaan akan mendapatkan informasi yang dapat membantu untuk memilih tawaran investasi berupa pinjaman perusahaan yang dapat memberikan keuntungan paling optimal.
Berdasarkan latar belakang permasalahan tersebut, berikut ini penulis rumuskan beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu:
4
1. Bagaimana estimasi tingkat suku bunga model CIR.
2. Bagaimana konstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan tingkat suku bunga valuasi yang konstan.
3. Bagaimana konstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang berfluktuasi secara periodik.
4. Bagaimana aplikasi formula umum Makeham untuk memilih tawaran investasi berupa pinjaman perusahaan yang dapat memberikan keuntungan optimal bagi perusahaan.
1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengestimasi tingkat suku bunga model CIR dan menggeneralisasikan formula Makeham agar penggunaannya memungkinkan untuk investasi berupa pinjaman perusahaan dengan tingkat suku bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan tingkat suku bunga valuasi yang konstan serta tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang berfluktuasi secara periodik.
Penggeneralisasian formula Makeham tersebut diharapkan dapat digunakan untuk membantu seorang manajer keuangan dalam memilih tawaran investasi yang dapat memberikan keuntungan optimal bagi perusahaan.
Pada konteks akademik penelitian ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam meraih gelar Master bidang Matematika pada Program Studi S2
5
Matematika FMIPA UGM, sedangkan pada konteks praksis penelitian ini dimaksudkan untuk memperkaya khazanah riset bidang ilmu aktuaria dan keuangan di Indonesia.
1.3 Tinjauan Pustaka
Di dalam tulisan Astrup Jensen B. (1999), formula Makeham digunakan dalam perhitungan pada investasi obligasi, di mana laba atas investasi obligasi berasal dari tiga sumber, yaitu pembayaran bunga, keuntungan modal yang sudah diperoleh dan keuntungan modal yang masih harus dibayar. Diberikan deskripsi tentang bagaimana keuntungan modal dapat ditentukan berdasarkan hukum akuntansi untuk mengukur keuntungan modal yang sudah diperoleh dan sifat teoritis dari aturan tersebut.
Lee J. Bain dan Max Engelhardt (1992) menjelaskan tentang ekspektasi dan variansi dari variabel random serta ekspektasi dan variansi bersyarat dari variabel random. Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert (1991) menjelaskan tentang pengertian dari sebuah fungsi dan contoh dari fungsi.
Richard Brealey, Myers Stewart, dan Marcus Alan (2012) menjelaskan mengenai pengertian dari pemilihan investasi dan langkah-langkah yang digunakan dalam pengambilan keputusan investasi. Metode Net Present Value (NPV) dan Internal Rate of Return (IRR) diperkenalkan sebagai metode yang sering digunakan untuk menilai profitabilitas rencana investasi.
6
Irham Fahmi (2012) menjelaskan pengertian dari investasi, tujuan investasi, dan bentuk investasi yang dapat dipilih dalam aktivitas investasi yang meliputi investasi riil dan investasi keuangan.
Formula Makeham sering digunakan di masa lalu, diantaranya oleh I. B. Hossack dan G. C. Taylor (1974). Dalam tulisannya, mereka menggeneralisasi formula Makeham untuk valuasi dari sekuritas. Formula Makeham digeneralisasi dengan mempertimbangkan dampak dari pajak terhadap bunga dan dampak dari pajak keuntungan modal. Selain itu, formula Makeham digeneralisasi untuk pinjaman yang dilunasi dengan sinking funds kumulatif.
Stephen G. Kellison (2009) memperkenalkan konsep mengenai pengukuran tingkat bunga yang meliputi fungsi akumulasi dan jumlah, tingkat suku bunga efektif, bunga majemuk dan nilai sekarang dari investasi. Fima C. Klebaner (2005) menjelaskan tentang definisi dari suatu filtrasi, proses stokastik dan proses stokastik yang teradaptasi pada filtrasi.
Lawrence A. Klimko dan Paul E. Nelson (1978) menggunakan estimasi kuadrat terkecil bersyarat yang merupakan prosedur estimasi untuk observasi yang bersifat dependen berdasarkan pada minimalisasi jumlahan deviasi kuadrat yang mengenai ekspektasi bersyarat untuk permasalahan estimasi pada model stokastik.
Carlo Alberto Magni (2013) menggeneralisasikan formula Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang berfluktuasi di setiap periode. Average Interest Rate (AIR) dan Average Valuation
7
dari selisih antara AIR dan AVR yang mempunyai tanda sama dengan Net Present
Value (NPV).
W. C. Makeham (1874) menyatakan bahwa harga obligasi dapat dibagi menjadi dua komponen yaitu nilai sekarang dari pelunasan (present value of
redemption value) dan nilai sekarang dari bunga (present value of interest), di
mana nilai sekarang dari bunga tersebut merupakan rasio dari tingkat suku bunga kupon (atau tingkat suku bunga kupon yang dimodifikasi) dengan tingkat suku bunga valuasi yang kemudian dikalikan dengan selisih antara pelunasan dan nilai sekarang dari pelunasan.
Robert L. McDonald (2006) menjelaskan mengenai definisi dari proses Wiener (gerak Brown). Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997) menggunakan metode kuadrat terkecil bersyarat (conditional least-squares estimation) untuk mengestimasi parameter didalam model CIR, dimana model tersebut digunakan untuk mengestimasi tingkat suku bunga.
Robert S. Pindyck dan Daniel L. Rubinfeld (1991) menjelaskan bahwa pada proses autoregresif orde 1 (AR(1)) pengamatan 𝑦𝑡 dibentuk dari rata-rata tertimbang pengamatan-pengamatan masa lalu sebanyak 1 periode ke belakang dengan gangguan acak pada periode 𝑡.
Steven E. Shreve (2004) menjelaskan tentang definisi dari fungsi himpunan peluang, field, dan 𝜎-field. Selain itu, Shreve juga menjelaskan tentang pengertian dari variabel random yang meliputi variabel random diskrit dan variabel random kontinu.
8
1.4 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian Tesis ini adalah studi pustaka yang dilakukan dengan cara mengkaji literatur yang disajikan dalam bentuk buku serta jurnal baik yang diperoleh dari perpustakaan ataupun yang diambil dari internet yang berkaitan dengan paper Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997) dan Magni C. A. (2013). Dalam penelitian ini akan lebih difokuskan untuk menentukan estimasi dari tingkat suku bunga model CIR dengan terlebih dahulu menentukan parameter yang terdapat dalam model CIR yang terdapat dalam paper Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997) dan memberikan bukti secara mendetail dari proposisi yang terdapat dalam paper Magni C. A. (2013) serta memberikan contoh studi kasus perhitungan numeriknya.
Penelitian ini dimulai dengan menentukan ekspektasi, variansi, dan parameter model CIR. Selanjutnya kita mengkonstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan tingkat suku bunga valuasi yang konstan dan dilanjutkan dengan mengkonstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang berfluktuasi secara periodik. Bagian terakhir dalam penelitian ini adalah dengan memberikan contoh aplikasi perhitungan numerik dengan menggunakan formula umum Makeham untuk mengetahui seberapa besar profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan yang ditawarkan.
9
1.5 Sistematika Penulisan
Dalam Tesis ini hasil penelitian akan dibagi menjadi lima bab. BAB I memberikan penjelasan tentang pendahuluan yang berisi tentang latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. BAB II menyajikan teori-teori dasar mengenai fungsi, teori peluang, field, variabel random, proses stokastik, ekspektasi dan variansi, ekspektasi dan variansi bersyarat, estimasi kuadrat terkecil bersyarat, proses Wiener, persamaan diferensial stokastik, integral Ito, proses Markov, pengukuran tingkat bunga, model autoregresif 1, formula Makeham, investasi dan pemilihan investasi. BAB III berisi langkah-langkah untuk mendapatkan ekspektasi, variansi, dan parameter model tingkat suku bunga CIR dengan menggunakan metode kuadrat terkecil bersyarat dan proposisi dalam pengkonstruksian formula umum Makeham yang disertai dengan pembuktiannya serta definisi yang dapat mendukung pemahaman pembaca. BAB IV berisi estimasi parameter dan tingkat suku bunga model CIR dengan menggunakan data historis serta penggunaan formula umum Makeham untuk mengetahui seberapa besar profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan dalam sebuah studi kasus. BAB V berisi kesimpulan dan saran.
