Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 4 BAB I
PENDAHULUAN
Perkembangan ilmu pengetahuan yang semakin maju saat ini, semakin terlihat bahwa antara bahwa antara satu disiplin ilmu dengan ilmu lainnya saling berkaitan baik dengan ilmu sosial, tehnologi, eksakta, yang saling ketergantungan, saling mengisi, saling melengkapi dalam perkembangannya. Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu yang mandiri mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang lain, sehingga matematika berguna sebagai alat bantu dalam pemecahan aneka problem.
Matematika keuangan yang berguna sebagai alat bantu pemecahan berbagai persoalan dalam masalah keuangan, baik dalam perusahaan-perusahaan, asuransi, dan perbankan. Namun sesuai dengan peran matematika sebagai alat bantu dalam pembahasannya nanti tidaklah dilakukan pembahasan dalil-dalil / konsep-konsep secara mendetail, melainkan hanya pembahasan dalil-dalil/ konsep-konsep dari berbagai masalah keuangan secara singkat dan gamblang.
Singkatnya pendekatan matematis yang digunakan dalam memecahkan berbagai persoalan keuangan dan perusahaan memberikan beberapa keuntungan yaitu :
1. Bahasa yang dipergunakan lebih ringkas dan tepat.
2. Kaya akan dalil-dalil matematis sehingga mempermudah pemecahannya.
3. Mendorong kita untuk menyatakan asumsi-asumsi secara jelas sebagai suatu prasyarat untuk mempergunakan dalil-dalil matematis, agar terhindar dari asumsi-asumsi yang tidak diinginkan.
4. Memungkinkan kita untuk mempergunakan sebanyak n variabel.
Secara keseluruhan kita dapat menyamakan pendekatan matematis sebagai suatu “model transportasi” yang dapat membawa kita dari sekumpulan dalil (titik asal) ke sekumpulan kesimpulan (tujuan) dalam waktu singkat. Secara umum mengatakan kepada kita bahwa “bila anda bermaksud pergi kesuatu tempat sejauh 5 km, anda akan lebih senang untuk memilih naik kenderaan (naik mobil) dari pada berjalan kaki, kecuali jika anda memiliki banyak waktu atau ingin berolah raga” (Apha C. Chiang, 1989 : 4 ).
Dalam perkembangannya seperti yang dijelaskan diatas bahwa matematika telah masuk keberbagai aspek ilmu, kalau dulu kita mengenal matematika telah terbayang akan perhitungan aljabar, aritmetika, dan geometirka namun sekarang aplikasi matematika telah berkembang lebih luas lagi seperti ; dalam bidang ekonomi dikenal dengan matematika ekonomi atau matematika bisnis, dalam bidang keuangan dikenal dengan matematika keuangan, dan terdapat juga kombinasi ilmu matematika dengan ekonomi, statistik yang dikenal dengan ekonomitrik.
Dalam matematika dikenal adanya 1) operasi bilangan yang mencakup ; bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan nyata dalam bentuk desimal, bilangan irrasional dalam bentuk desimal, bilangan rasional mempunyai akhir, desimal bilangan rasional berulang. 2) sifat medan bilangan nyata. 3) sifat urutan bilangan nyata, dan lainnya.
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 5 1. Operasi Bilangan.
Bilangan sangat erat hubungannya dengan berhitung, atau bilangan merupakan unsur yang penting dalam berhitung, sedang berhitung merupakan cabang matematika. Dalam kehidupan sehari-hari bilangan berperan sebagai alat komunikasi dalam bidang atau kegiatan ekonomi dan kegiatan keuangan.
Sistem bilangan nyata (real) membahas unsur bilangan, struktur bilangan, dan sifat-sifat bilangan. Bilangan-bilangan nyata seluruhnya kita perlukan, tetapi dalam matematika yang dipergunakan tidak hanya bilangan-bilangan nyata, sebenarnya alasan untuk istilah nyata adalah karena ada juga bilangan khayal (imajiner) yang berhubungan dengan akar kuadrat bilangan negatif.
a. Bilangan Asli.
Disebut bilangan asli karena pertambahannya secara alami dan dipergunakan dalam proses menghitung, seperti : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1, … sehinga dalam matematika disederhanakan akan menjadi ; 1,2,3,4,5,6,...,. Kemudian penjumlahan dua bilangan asli selalu memberikan bilangan asli yang baru, dan penjumlahannya selalu memberikan hasil. Misal : 5 ditambah 7 sama dengan 12. Sebaliknya pada operasi pengurangan tidak dapat dilakukan setiap saat. Misal : 5 dikurang 7 karena disebelah kiri 5 hanya terdapat 4 bilangan. Jika pengurangan tidak selalu mungkin, maka disebelah kiri dari bilangan asli diletakan bilangan baru yang disebut bilangan bulat/asli negatif, sehingga pengurangan akan selalu mungkin. Lihat pola berikut :
3 bilangan asli positif 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 -2 Bilangan asli negatif -3
Sisi kiri Sisi kanan
b. Bilangan Bulat.
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan asli positid dan bilangan asli negatif. Misal ( -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ).
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 6 c. Bilangan Rasional.
Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan. Bilangan rasional juga dapat dinyatakan sebagai hasil antara bilangan bulat dengan bilangan asli. Contoh : bilangan rasional :
-3 2
, -1, 0, 2, 5 1
., kemudian dapat dilihat contoh dari bilangan rasional dalam desimal berulang seperti : 0,121212, 0,135135. Dan juga bilangan rasional dalam desimal berakhir seperti : 0,25, 3,75, 2,95.
d. Bilangan Irrasional
Adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang dan desimal berakhir. Contoh : 7 , 3 2 , log 4, 2 + log 2, , , dan sebagainya.
e. Bilangan Nyata (real)
Bilangan nyata adalah semua bilangan yang ada baik bilangan rasional maupun bilangan irrasional, contoh : 3, 2 - log 3, 7 , 4 - 7 , 0 , -3,
5 1
, dan sebagainya. Dengan demikian dari operasional-operasinal bilangan yang telah diuraikan diatas maka dapat dilihat polannya dalam struktur bilangan sebagai berikut :
Sumber : N. Nababan ( 2004 : 3 )
Bilangan Nyata
Bil. Irrasional Bil. Rasional
Bil. Pecahan Bilangan Bulat
Negatif Nol Asli
Komposit Prima
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 7 2. Bilangan Nyata Dalam Bentuk Desimal
Setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal yaitu dengan cara pembilang dibagi dengan penyebut, sehingga diperoleh suatu bilangan desimal.
Misal : 4 1 = 0,25 4 3 = 0,75 3 5 = 1,6666 8 3 = 0,375 3 1 = 0,333 5 2 = 0,400 a. Bilangan Irrasional Dalam Bentuk Desimal
Misal : = 3,1428., 17 = 4,123105, 2 = 1,4142, 3 = 1,73205 b. Desimal Bilangan Rasional Mempunyai Akhir
Misal : 4 1 = 0,25 4 3 = 0,75 9 7 = 0,77 c. Desimal Bilangan Rasional Berulang
Misal : 99 191 = 1,929292 999 123 = 0,123123123
3. Sifat Medan Bilangan Nyata.
Setiap bilangan nyata a, b, dan c harus memenuhi syarat atau sifat-sifat sebagai berikut :
1. Hukum Komutatif : a + b = b + a, ab = ba
2. Hukum Asosiatif : (a+b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc) 3. Hukum Distributif : a (b+c) = ab + ac, (a+b) c = ac + ab 4. Ada elemen identitas 0 dan 1 yang memenuhi a+0 = a, a . 1 = a
5. Ada elemen balikan (invers) –a dan a-1 yang memenuhi a+ (-a) = 0 dan a.a-1 =1 4. Sifat Urutan Bilangan Nyata
Setiap bilangan nyata a, b, dan c dapat diurutkan sebagai berikut :
1. Trikotomi, Yaitu antara bilangan nyata dan pasti berlaku salah satu diantara a > b, a = b, a < b.
2. Ketransitifikasi : a < b dan b < c, maka a < c 3. Penambahan : a < b menjadi a + c < b + c 4. Penggandaan : a < b menjadi ac < bc atau c > 0
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 8 5. Ratio
Ratio dari dua besaran dinyatakan dengan unit yang sama sebagai hasil baginya. Misal : Ratio 15 terhadap 105 = 15/105 = 1/7 = 1 : 7
136 terhadap 16 = 17/2 = 17 : 2 1.500.000 terhadap 500.000 = 1.500.000 / 500.000 = 3/1 = 3 : 1 Laba bersih = Rp 9.165.200 Total Assets = Rp 68.739.000 Ratio = 9.165.200 / 68.739.000 = 1 : 7,5 6. Penyusutan
Penyusutan adalah hilangnya nilai akhir dari aktiva tetap selama dipakai. Biaya yang dikeluarkan untuk ini disebut beban penyusutan (akumulasi depresiasi). Metoda dalam penyusutan ini ada beberapa metode yang dapat digunakan salah satunya adalah straigth line method.
Contoh :
Mesin dengan harga perolehan Rp. 2.000.000, umur ekonomis 6 tahun, dengan nilai sisa Rp 500.000. Tentukan penyusutan rata-rata tahunan, dan skedul penyusutan yang menunjukkan nilai buku.
Jawab :
Total nilai penyusutan = harga perolehan - nilai sisa = 2.000.000 - 500.000 = 1.500.000
Penyusutan rata-rata tahunan = 1.500.000 / 6 = 250.000
Umur Beban Penyusutan Jml Biaya Penyusutan Nilai buku 0 1 2 3 4 5 6 0 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 0 250.000 500.000 750.000 1.000.000 1.250.000 1.500.000 2.000.000 1.750.000 1.500.000 1.250.000 1.000.000 750.000 500.000
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 9 7. Persen
Bentuk dari persen dinyatakan dengan simbol % yang berarti perseratus Misal : 4 1 = 0,25 100 25 = 25 % 0,0525 = 5 4 1 % 2 1 = 0,50 = 50 % 8 1 = 0,125 = 12,5 % 4 11 = 2,75 = 275 % 3 = 3,00 = 300 % 8 9 = 1,125 = 112,5 % 75 % = 0,75 = 4 3 8 % = 0,08 8. Potongan Harga
Potongan harga adalah pengurangan dari harga tertulis dalam faktur (biasanya dalam %) dari harga bruto.
Misal :
Harga bruto dari sebuah mesin adalah Rp 350.000,-. Dan potongan harga yang diberikan adalah 40 %. Berapakah harga neto faktur ?
Jawab :
Potongan = 350.000 (0,40) = 140.000 Harga neto = 350.000 - 140.000 = 210.000 9. Harga Eceran
Adalah harga yang berlaku pada penjualan akhir terhadap konsumen. Latihan dan Penyelesaian
1. +7 + (+5) = + (7+5) = +12 dan -6 + (-9) = - (6+9) = -15 2. + 13 + (-5) = + (13 – 5 ) = + 8 dan + 4 + (- 18 ) = - (18 – 4 ) = - 14 3. 14 - ( -6 ) = 14 + 6 = 20 dan - 8 – (-9) = -8 + 9 = 1 - 8 – 7 = - 8 + (-7) = -15 3 (2) = 2+2+2 = 6 = 3+3 = 2(3) 4. 7 + (-3) + 2 – (-4) = 7 -3 + 2 + 4 = 10 5 – (-2) + 0 – 4 = 5 + 2 – 4 = 3 7 (-2) (5) = - ( 7 . 2. 5 ) = - 70 6 (-3) (4) (-2) = + ( 6.3.4.2 ) = 144 12 + ( -4) = 12 - 4 = 8 - 20 – ( + 5) = - ( 20 – 5 ) = - 15
Herispon, SE. M.Si Matematika Keuangan -- 2007 | 10 5. ( 5 – 4 ) + ( 6 + 3 ) – 10 = 1 + 9 – 10 = 0 6. 10 ( 6 – 7 ) + 3,5 20 = 10 (-1) + 3,5 = 20 = ( -10 + 3,5 ) 20 = - 6,5 x 20 = - 130 7. 13 11 5 6 5 3 7 2 = 13 5 5 11 13 6 5 7 7 3 5 2 x x x x x x = 65 133 55 31 65 55 78 35 21 10 = 1,8123 2275 4123 65 35 133 31 x x
8. Seorang Rentenir meminjam uang dari Bank sebesar Rp 2.000.000,- dengan bunga 2 % per bulan, kemudian uang itu dibungakan lagi kepada orang lain dengan bunga 5 % per bulan. Berapakah keuntungan setelah satu tahun ?.
Jawab :
Jumlah uang yang kembali ke Bank
= Rp 2.000.000 + 24/100 x 2.000.000 = 2.000.000 + 480.000 = Rp 2.480.000 Jumlah uang yang diterima rentenir
= Rp 2.000.000 + 60/100 x 2.000.000 = 2.000.000 + 1.200.000 = Rp 3.200.000 Keuntungan yang diperoleh rentenir
=Rp 3.200.000 - Rp 2.480.000 = Rp 720.000
Latihan :
Sederhanakanlah soal berikut. 1. ( 6 – 3 ) + 2 ( 5 – 2 1 ) 2. 3 5 10 10 6 4 2 3. 2 + 3 3 + 2
4. Apakah masing-masing soal dibawah ini benar atau salah
a. – 2 < 4 e. 7 2 < 8 2 b. 2 1 > 4 1 f. 2 < 2 1 c. – 4 > -6 g. 100 < 101 d. 100 1 < 101 1
