TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

(1)

TE 226 - Sistem Linier

Jimmy Hasugian

Electrical Engineering - Maranatha Christian University [email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

(2)

Pokok Bahasan

1 Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen

Solusi Khusus (Non-Homogen) Bentuk Umum

Diagram Blok

2 Respons Frekuensi

3 Response Impuls Konvolusi

Hubungan dengan Respons Step Menentukan Respons Impuls

Hubungan dengan Respons Frekuensi

4 Persamaan Ruang Keadaan

Solusi Persamaan Ruang Keadaan Respons Frekuensi

(3)

Pendahuluan

Metode matematika yang digunakan untuk menganalisis sebuah sistem liner yang tak-ubah-waktu (linear time invariant system - LTIS) dapat dilakukan secaratime/sequence domain atau secara transform domain. Pada bagian ini akan dipaparkan 3 (tiga) metode secaratime domain untuk sistem waktu-kontinu (continuous-time system), yaitu:

1 persamaan diferensial linier (linear differential equation) 2 fungsi respons impuls (impulse-response function) 3 formuliasi variabel-keadaan (state-variable formulation)

(4)

Persamaan Diferensial Linier

Secara dasar, sistem dapat direpresentasikan melalui persamaan diferensial linier biasa/PDB (ordinary linear differential equation).

Theorem (Linear Differential Equation)

Secara umum, sistem dapat dinyatakan melalui Persamaan Diferensial Biasa: bn dny (t) dtn + bn−1 dn−1y (t) dtn−1 + . . . + b1 dy (t) dt + y (t) = x (t) (1)

atau dapat juga ditulis sebagai:

(bnDn+ bn−1Dn−1+ . . . + b1D + 1)[y (t)] = x (t) (2) dengan D ≡ _dtd (differential operator)

(5)

Persamaan Diferensial Linier

Diperkenalkan linear operator L yang digunakan untuk menyatakan sistem

dalam persamaan diferensial:

L{y (t)} = x (t) (3)

dengan

L = bnDn+ bn−1Dn−1+ . . . + b1D + 1 (4)

Solusi Umum dari persamaan (1) dibagi menjadi dua komponen, yaitu:

1 solusi homogen → y_h(t)

disebut juga solusi transien, natural, tanpa-sumber

2 _{solusi khusus (karena adanya sumber x (t)) → yp(t)}

disebut juga solusi non-homogen, tunak (steady-state)

(6)

Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen

Solusi Homogen

Solusi homogen dari persamaan (1) diperoleh jika sistem tidak memiliki input, atau x (t) = 0, sehingga menjadi:

bnd n_{y (t)} dtn + bn−1 dn−1y (t) dtn−1 + . . . + b1 dy (t) dt + y (t) = 0

Solusi persamaan di atas diperoleh dengan mencari akar-akar dari persamaan (4)

L = bnDn+ bn−1Dn−1+ . . . + b1D + 1 = 0 atau dapat juga ditulis:

(7)

Solusi Homogen

Persamaan (5) adalah bentuk polinomial, dan akar-akar dari persamaan tersebut dibagi menjadi dua kondisi:

1 _{akar-akar beda (distinct roots)}

solusinya memilikibentuk: ert

2 _{akar-akar sama (multiple roots)}

misalkan ada sebanyak p kali akar-akar r , maka solusinya memilikibentuk: ert_{, te}rt_{, t}2_ert_{, . . . , t}p−1_ert

Akar-akar r dapat berupa bilangan ril ataupun kompleks. Khusus untuk bilangan pasangan-kompleks (complex-pair ) r = a ± jb, maka solusi dapat juga ditulis:

ert → e(a±jb)t → e(a+jb)t, e(a−jb)t eksponensial (6)

→ eatcos(bt) + eatsin(bt) trigonometri

(8)

Solusi Homogen

Solusi homogen dari persamaan L{y } = 0 dapat dituliskan sebagai:

yh(t) = y1(t) + y2(t) + . . . + yk(t) (7)

dengan y1(t), y2(t), . . . , yk(t) dapat memiliki bentuk seperti yang dijelaskan pada slide sebelumnya

Sebagai contoh:

Carilah solusi homogen untuk persamaan diferensial y000− y00+ y0− y = 0 Ubah ke dalam operator D menjadi: (D3− D2_{+ D − 1)[y ] = 0}

Sehingga persamaan untuk mencari akar-akar: f (r ) = r3− r2_{+ r − 1 = 0} diperoleh: r1= 1, r2= j , r3 = −j

Maka solusi homogen:

yh(t) = c1et+ c2ejt+ c3e−jt atau yh(t) = c1et+ c20cos(t) + c

0 3sin(t)

(9)

Persamaan Diferensial Linier Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi khusus ataupun non-homogen dicari apabila persamaan (1) memiliki input, atau x (t) 6= 0.

Untuk mengatasi hal ini, dapat menggunakan operator pemusnah

(annihilates operator ) LA sehingga memenuhi:

LA{x(t)} = 0 (8)

Beberapa operator pemusnah dapat dilihat pada tabel berikut:

Table: Operator Pemusnah

x (t) LA

tk Dk+1

eat (D − a)

α cos(bt) + β sin(bt) (D2+ b2)

(10)

Solusi Khusus (Non-Homogen)

Sifat Operator Pemusnah

Jika LA1 adalah operator pemusnah untuk x1(t) dan LA2 adalah operator

pemusnah untuk x2(t), maka LA1LA2 dapat“memusnahkan”

αx1(t) + βx2(t).

Apabila operator pemusnah untuk semua jenis input telah ditemukan, maka tinggal diterapkan untuk kedua sisi dalam persamaan diferensial untuk mendapatkan solusi homogen dan solusi non-homogen (khusus). Sehingga Solusi Umum (lengkap) dari persamaan diferensial seperti pada (1) adalah:

y (t) = yh(t) + yp(t) (9)

= c1y1(t) + c2y2(t) + . . . + cnyn(t)+

(11)

Contoh Soal

Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini:

1 y00(t) + y (t) = et

2 L{y (t)} = (D2+ 1)[y (t)] = sin(t), y (0) = 1, y0(0) = 0

Jawaban: Soal 1

Ubah dulu ke dalam operator D, sehingga menjadi: (D2+ 1)[y (t)] = et Karena memiliki input x (t) = et, maka operator pemusnahnya: (D − 1) Sehingga secara lengkap dapat dituliskan:

L{y (t)} = x (t) LAL{y (t)} = LAx (t) (D − 1)(D2+ 1)[y (t)] = (D − 1)et (D − 1)(D2+ 1)[y (t)] = 0

(12)

Contoh Soal

Nyatakan dalam bentuk polinomial:

f (r ) = (r − 1)(r2+ 1) = 0

Ingat, bahwa bentuk (r − 1) diperoleh dari operator pemusnah karena ada input x (t) = et, sehingga bagian ini akan memberikan solusi khusus (non-homogen).

Akar-akar dari persamaan di atas: (r2_{+ 1) → r}

1 = j , r2 = −j (r − 1) → r3= 1

Sehingga solusi dari persamaa diferensial tersebut adalah: y (t) = yh(t) + yp(t)

= c1ejt+ c2e−jt+ c3et

(13)

Contoh Soal

y (t) = yh(t) + yp(t)

= c1ejt+ c2e−jt+ c3et

Dalam soal ini, koefisien c1, c2 adalah berasal dari solusi homogen. Untuk mencari nilai koefisiendari Solusi Homogen, diperoleh dengan memasukkan syarat batas ataupun kondisi awal (initial condition). Biasanya hal inidiketahui dalam soal.

Dalam soal ini, koefisien c3 adalah berasal dari solusi khusus (non-homogen).

Untuk mencari nilai koefisiendari Solusi Khusus, diperoleh dengan men-substitusi bentuk solusi khusus ke dalam persamaan diferensial yang ditanya.

Dalam kasus ini, kita hanya bisa mencari koefisien dari solusi khusus (c3)

(14)

Contoh Soal

Substitusikan solusi khusus yp(t) = c3et ke dalam persamaan diferensial yang ditanya. y00(t) + y (t) = et → y_p00(t) + yp(t) = et Sehingga menjadi: c3et+ c3et= et 2c3et= et Dengan demikian: 2c3 = 1 → c3= 1₂

Sehingga solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah: y (t) = c1ejt+ c₂−jt+1

2e t

(15)

Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial dalam (1) dapat diperluas lagi sehingga memiliki bentuk umum menjadi:

bn dny (t) dtn + bn−1 dn−1y (t) dtn−1 + . . . + b1 dy (t) dt + y (t) = am dmx (t) dtm + am−1 dm−1x (t) dtm−1 + . . . + a1 dx (t) dt + a0x (t) (11)

atau dapat juga ditulis dengan menggunakan operator diferensial: (bnDn+ bn−1Dn−1+ . . . + b1D + 1)[y (t)]

= (amDm+ am−1Dm−1+ . . . + a1D + a0)[x (t)] (12)

atau dengan menggunakan operator L:

L{y (t)} = LD{x(t)} (13)

(16)

Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Misalkan:

ˆ

x (t) = LD{x(t)} (14)

sehingga persamaan (13) dapat ditulis sebagai:

L{y (t)} = ˆx (t) (15)

yang memiliki bentuk yang identik dengan persamaan (3).

Apabila sistem memiliki input x (t) 6= 0, maka operator pemusnah LA yang berlaku untuk x (t) juga berlaku untuk ˆx (t), persamaan (12) dan (13) dapat dikerjakan dengan:

LA.L{y (t)} = LA.LD{x(t)} (16)

(17)

Persamaan Diferensial Linier Diagram Blok

Diagram Blok

Salah satu kasus yang dihadapi adalah menurunkan model persamaan diferensial suatu sistem dari suatu diagram blok yang diberikan. Misalkan diketahui diagram blok sistem seperti berikut:

dimisalkan sinyal a sebelum blok integrasi pertama, dan sinyal b setelah blok integrasi kedua

R a = y → a = y0 R y = b Dapat diturunkan: a = x − b y0 = x −R y y00 = x0− y → y00+ y = x0 d2y (t) dt2 + y (t) = dx (t) dt

(18)

Respons Frekuensi

Respons (tanggapan) frekuensi dari sebuah sistem waktu-kontinu

ditentukan dari respons (tanggapan) tunak (steady state) terhadap input ej ωt. Output dari sistem yang linier dan time-invariant akan selalu

memiliki bentuk H(j ω)ej ωt. Dengan kata lain, output dari sistem memiliki

bentuk eksponensial kompleksyang sama dengan input, namun memiliki

amplitudo dan fase yang termodifikasi oleh fungsi sistem H(j ω).

Nilai |H(jω)| disebut sebagai respons amplitudo atau responsmagnitude, sementara arg[H(j ω)]disebut sebagai respons fasa.

(19)

Respons Frekuensi

Misalkan diketahui sebuah sistem yang dapat dinyatakan seperti persamaan (11) atau dapat dinyatakan seperti persamaan (12). Maka sesuai dengan penjelasan sebelumnya:

y (t) = H(j ω)ej ωt (17)

dengan H(j ω) = a0+ a1j ω + . . . + am(j ω) m

1 + b1j ω + . . . + bn(j ω)n (18)

Persamaan (17) adalahsatu-satunya solusi khusus (non-homogen).

Dengan demikian, H(j ω)ej ωt adalah solusi tunak (steady-state) yang unik untuk input x (t) = ej ωt.

Persamaan (18) adalah persamaan yang penting. Ternyata kita dapat menghitung H(j ω) secara langsung dari model persamaan diferensial suatu sistem. Namun perlu diingat, hal ini hanya berlaku untuk sistem yang linier dan time-invariant (LTIS)

(20)

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Diketahui suatu sistem rangkaian RC sederhana seperti gambar di atas. Misalkan input x (t) = ei(t) (sumber tegangan) dan output y (t) = eo(t) (tegangan pada kapasitor C ). Tentukanlah respons frekuensi dari sistem tersebut!

(21)

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Jawaban

Gunakan Hukum II Kirchoff, sehingga diperoleh: −e_i(t) + Ri (t) + eo(t) = 0 ei(t) = Ri (t) + eo(t) dengan eo(t) = 1 C Z t −∞ i (τ )d τ

Maka model persamaan diferensial untuk sistem di atas menjadi:

x (t) = Ri (t) + y (t) (19) x (t) = Ri (t) + 1 C Z t −∞ i (τ )d τ (20)

(22)

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Dari persamaan (19) dapat diperoleh:

i (t) = x (t) − y (t)

R (21)

Kita diferensialkan kedua sisi dari persamaan (20) untuk meniadakan unsur integral pada i (τ ), sehingga menjadi:

dx (t) dt = R di (t) dt + 1 Ci (t) (22)

Lalu substitusikan persamaan (21) ke dalam (22) sehingga diperoleh: dx (t) dt = R d dt x(t) − y (t) R + 1 C x(t) − y (t) R (23)

(23)

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Sederhanakan hasil yang diperoleh pada persamaan (23), sehingga membentuk model persamaan diferensial:

dy (t) dt + 1 RCy (t) = 1 RCx (t) (24)

Respons frekuensi sistem, sesuai persamaan (18) H(j ω) = 1 RC 1 RC + j ω = 1 1 + j ωRC = 1 − j ωRC 1 + (ωRC )2 (25)

(24)

Respons Frekuensi

Contoh Soal

Respons amplitudo: |H(jω)| = 1 + (ωRC )2 [1 + (ωRC )2_]2 1₂ = 1 1 + (ωRC )2 1₂ (26) Respons Fasa: arg[H(j ω)] = − tan−1(ωRC ) (27)

(25)

Response Impuls

Respons Impuls

Salah satu hal yang sangat penting dalam menganalisis suatu sistem

adalah mengetahuirespons impuls suatu sistem. Pada bagian sebelumnya

telah dibahas, bahwa respons frekuensi adalah output suatu sistem jika diberikan input x (t) = ej ωt.

Respons impuls adalah output suatu sistem jika diberikan input sinyal impuls x (t) = δ(t), dan diberi notasi h(t).

Telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa sinyal (fungsi) impuls memiliki karakteristik sebagai berikut:

1 δ(t) = 0 untuk t 6= 0

2 _{δ(t) tidak terdefinisi pada t = 0, dan} 3 R∞

−∞δ(t)dt = 1

(26)

Response Impuls Konvolusi

Konvolusi

Kita dapat menentukan karakteristik hubungan input-output dari suatu sitem linier, time-invariant (LTIS) dengan operasi konvolusi antara input dan respons impuls.

Respons impuls h(t) didefinisikan sebagai output suatu sistem jika diberikan input impuls δ(t), sehingga:

δ(t) → h(t) (28)

Karena sistem bersifat linier, dengan k suatu konstanta, maka berlaku:

kδ(t) → kh(t) (29)

Karena sistem bersifat time-invariant, maka berlaku:

(27)

Konvolusi

Secara sederhana, implikasi dari persamaan (28), (29), dan (30) dapat dilihat pada gambar berikut

(28)

Konvolusi

Konsep konvolusi di atas, memberikan implikasi bahwa, semua sinyal dapat direkonstruksi dari konvolusi sinyal tersebut dengan fungsi (sinyal) impuls. Misalnya sinyal x (t) dapat diperoleh dari:

x (t) =

Z ∞

−∞

x (τ )δ(t − τ )d τ (31)

x (t) = x (t) ∗ δ(t) (32)

Respons dari sebuah sistem yang diberikan sebarang input x (t) dapat diperoleh dari konvolusi input dengan respons impuls h(t) sistem tersebut. Hal ini dapat dituliskan:

y (t) = x (t) ∗ h(t) (33)

y (t) =

Z ∞

−∞

x (τ )h(t − τ )d τ (34)

(29)

Konvolusi

Seperti yang ditegaskan dalam persamaan (32), bahwa konvolusi suatu sinyal dengan sinyal impuls, δ(t) menghasilkan sinyal itu sendiri. Secara grafik dapat diilustrasikan sebagai berikut:

f (t) ∗ δ(t) =

Z ∞

−∞

f (τ )δ(t − τ )d τ = f (t)

(30)

Contoh Soal

Diketahui fungsi f (t) dan g (t) sebagai berikut. Hitunglah konvolusi f ∗ g f (t) = ( e−t, t ≥ 0 0, t < 0 g (t) = ( αe−αt, t ≥ 0 0, t < 0 Jawaban f ∗ g = Z ∞ −∞ f (τ )g (t − τ )d τ = Z t 0 e−τ αe−α(t−τ )d τ = αe−αt Z t 0 eτ (α−1)d τ Jika α 6= 1, maka f ∗ g = αe −αt α − 1e τ (α−1) t τ =0 = α α − 1e −t _{− e}−αt Jika α = 1 f ∗ g = e−t Z t 0 1 d τ = t e−t

(31)

Sifat Konvolusi

Proses integrasi konvolusi memiliki sifat:

1 Komutatif f (t) ∗ g (t) = g (t) ∗ f (t) (35) Z ∞ −∞ f (τ )g (t − τ )d τ = Z ∞ −∞ g (τ )f (t − τ )d τ 2 Asosiatif f (t) ∗ [g (t) ∗ h(t)] = [f (t) ∗ g (t)] ∗ h(t) (36) 3 _Distributif f (t) ∗ g (t) + f (t) ∗ h(t)] = f (t) ∗ [g (t) + h(t)] (37)

(32)

Prosedur Menghitung Integral Konvolusi

Integrasi konvolusi dinyatakan sebagai y (t) = x (t) ∗ h(t), y (t) =R∞

−∞x (τ )h(t − τ )d τ . Bagian integrannya sebagai ”sinyal antara”: wt(τ ) = x (τ )h(t − τ )

(33)

Response Impuls Hubungan dengan Respons Step

Respons Impuls & Respons Step

Respons step dari suatu sistem linier, disimbolkan dengan g (t) adalah output yang dihasilkan sistem jika diberi input step u(t). Dengan kata lain

g (t) = H{u(t)} (38)

Berdasarkan persamaan (33) maka respons step (sebagai output sebuah sistem) dapat dicari dengan:

g (t) = u(t) ∗ h(t) (39)

=

Z ∞

−∞

u(τ )h(t − τ )d τ (40)

Karena sinyal step u(t) bernilai nol pada t < 0, maka persamaan (40) dapat ditulis sebagai:

g (t) = Z ∞ 0 h(t − τ )d τ = Z t −∞ h(τ )d τ (41)

(34)

Respons Impuls & Respons Step

Persamaan (41) mengisyaratkan bahwa respons stepdari suatu sistem linier adalah integraldari respons impuls. Dan berlaku juga sebaliknya bahwa respons impuls adalah turunan (diferensial) dari respons step. Sebagai contoh,

Carilah respons sistem yang diwakili oleh diagram blok berikut, jika diberi input x (t) = a[u(t) − u(t − T )].

(35)

Contoh Soal

Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan langkah berikut:

1 Cari dulu hubungan antara input-output. Dari diagram blok dapat

dinyatakan bahwa y (t) =R_−∞t [x (τ ) − x (τ − T )]d τ

2 _{Cari respons impuls, dengan memasukkan x (t) = δ(t), sehingga:}

h(t) = Z t

−∞

[δ(τ ) − δ(τ − T )]d τ

Pada bagian sebelumnya, telah ditegaskan hubungan sinyal (fungsi) step dan sinyal (fungsi) impuls, yaitu: u(t) =R_−∞t δ(τ )d τ . Sehingga pada soal ini:

h(t) = u(t) − u(t − T )

3 _{Carilah output (respons sistem) dengan menggunakan prinsip}

konvolusi (34):

y (t) = Z t

−∞

x (τ )h(t − τ )d τ

(36)

Contoh Soal

Dari soal telah diketahui input x (t) = a[u(t) − u(t − T )] dan telah diperoleh bahwa h(t) = [u(t) − u(t − T )], maka

y (t) = Z t −∞ x (τ )h(t − τ )d τ = Z t 0

a[u(τ ) − u(τ − T )][u(t − τ ) − u(t − τ − T )]d τ Dari proses integrasi di atas diperoleh:

y (t) =      at 0 ≤ t < T a(2T − t) T ≤ t < 2T 0, lainnya

(37)

Response Impuls Menentukan Respons Impuls

Menentukan Respons Impuls

Ada 3 cara yang dapat dilakukan untuk mencari respons impuls suatu sistem:

Cara 1 - Melalui Diagram Blok

Apabila sistem dimodelkan dalam diagram blok, maka respons impuls

dapat dicari secara langsung dari diagram blok. Biasanya metode ini dapat dilakukan untuk sistem yang sangat sederhana, seperti contoh soal

sebelumnya.

(38)

Menentukan Respons Impuls

Cara 2 - Melalui Respons Step

Misalkan sistem dimodelkan dalam persamaan diferensial L{y (t)} = x (t), cari dulu respons step

L{g (t)} = (

1 t ≥ 0

0, t < 0

Dengan diberikannya syarat/kondisi awal (initial conditions), maka respons impuls diperoleh melalui:

h(t) = d

(39)

Menentukan Respons Impuls

Cara 3 - Melalui Solusi Homogen

Merupakan pendekatan yang sangat ampuh (powerful ) adalah dengan mencari solusi homogen dari L{y (t)} = x (t).

Respons Impuls dari sistem persamaan diferensial linier seperti dalam persamaan (2), dapat dicari apabila memenuhi solusi homogen:

L{h(t)} = 0 (43)

dengan syarat batas:

h(0) = h0(0) = . . . = h(n−2)(0) = 0, h(n−1)(0) = 1 (44)

(40)

Contoh Soal

Carilah respons impuls dari sistem berikut:

1 dy (t)

dt + y (t) = x (t)

2 y00(t) + y (t) = x (t)

3 (D2+ 2D + 2)[y (t)] = x (t) 4 _(D2− 1)(D2− 1)[y (t)] = x(t)

(41)

Menentukan Respons Impuls

Untuk mencari bentuk umum dalam menentukan respons impuls, misalkan suatu sistem linier dimodelkan dengan persamaan diferensial seperti pada (11), (13), yaitu melibatkan turunan dari input, sehingga:

L{y (t)} = LD{x(t)}

Untuk mengatasi hal ini, kita misalkan ada sebuah sistem dengan model:

L{ˆy (t)} = x (t) (45)

yang memiliki respons impuls ˆh(t), sehingga respons impuls untuk sistem semula diperoleh dengan:

h(t) = LD{ˆh(t)} (46)

(42)

Response Impuls Hubungan dengan Respons Frekuensi

Respons Impuls & Respons Frekuensi

Kita dapat mencari hubungan antara respons impuls h(t) degan respons frekuensi H(j ω). Secara umum, jika sebuah sistem diberikan input sebarang x (t), maka output sistem:

y (t) = x (t) ∗ h(t)

Jika diberi input x (t) = ej ωt, maka output yang diperoleh adalah H(j ω)ej ωt_{, sehingga dengan menghubungkan kedua persamaan tersebut,} diperoleh

H(j ω) =

Z ∞

−∞

h(τ )e−jωτd τ (47)

Hal ini berlaku untuk sistem yang dinyatakan dalam persamaan (11) atau (13).

(43)

Persamaan Ruang Keadaan

Telah disinggung di awal, bahwa salah satu cara merepresentasikan sistem secara time domain adalah melalui persamaan ruang keadaan

(state-space). Untuk memahami hal ini, misalkan persaman diferensial sebuah sistem dengan satu input u(t) dimodelkan sebagai berikut

(Dn+ bn−1Dn−1+ . . . + b1D + 1)[y (t)] = a0u(t) (48) Untuk mendapatkan gambaran mengenai variabel-keadaan (state-variable) pertama sekali ekspresikan sistem dalam sebuah diagram blok:

(44)

Persamaan Ruang Keadaan

Didefinisikan vektor keadaan (state vector ) x(t) sebagai: x1(t) = y (t) x2(t) = y0(t) = x₁0(t) x3(t) = y00(t) = x₂0(t) x4(t) = y(3)(t) = x30(t) .. . xn(t) = y(n−1)(t) = x_n−10 (t) (49)

(45)

Persamaan Ruang Keadaan

Dengan menyusun ulang persamaan (49) untuk mendapatkan ˙x(t) sebagai: x₁0(t) = x2(t) x₂0(t) = x3(t) x₃0(t) = x4(t) .. . x_n−10 (t) = xn(t) x_n0(t) = y(n)(t) = a0u(t) − x1(t) − . . . − bn−1xn(t) (50)

(46)

Persamaan Ruang Keadaan

Persamaan (50) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks

˙x(t) =        ˙ x1(t) ˙ x2(t) .. . ˙ xn−1(t) ˙ xn(t)        =        0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 .. . ... ... 0 0 0 . . . 1 −1 −b1 −b2 . . . −bn−1               x1(t) x2(t) .. . xn−1(t) xn(t)        +        0 0 .. . 0 a0        u(t) (51) atau ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) (52)

(47)

Persamaan Ruang Keadaan

Persamaan ruang keadaan untuk sistem waktu-kontinu dinyatakan sebagai turunan (derivative) dari vektor keadaan (state vector ). Kita juga dapat mengekspresikan output y (t) dalam x(t). Sehingga secara lengkap sebuah sistem dinyatakan dalam persamaan ruang keadaan:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y (t) = Cx(t) + Du(t) (53)

Apabila sistem memiliki multi-input sehingga berbentuk vektor, maka persamaan ruang keadaan di atas dapat ditulis menjadi:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y (t) = Cx(t) + Du(t) (54)

(48)

Contoh Soal

Untuk rangkaian listrik berikut ini, tentukanlah persamaan ruang keadaannya, dengan input adalah u1(t) dan u2(t) dan output y (t) (tegangan pada R2)

Jawaban

Pada soal ini, kita misalkan variabel keadaan (state variable) x1(t) dan

(49)

Contoh Soal

Dengan menerapkan Hukum I Kirchhoff (Kirchhoff’s Current Law ) pada simpul (node) antara R1 dan R2 serta antara R2 dan R3, maka kita akan mendapatkan persamaan: ˙ x1(t) = 1 C1 u1(t) − x1(t) R1 +x2(t) − x1(t) R2 ˙ x2(t) = 1 C2 u2(t) − x2(t) R3 +x1(t) − x2(t) R2

dan output y (t) adalah:

y (t) = x1(t) − x2(t)

(50)

Contoh Soal

Dengan demikian persamaan ruang keadaan dari rangkaian listrik tersebut adalah: ˙x(t) =     − 1 C1 1 R1 + 1 R2 1 R2C1 1 R2C2 − 1 C2 1 R2 + 1 R3     x(t) +    1 R1C1 0 0 1 R3C2   u(t) dan y (t) =1 −1 x(t)

(51)

Persamaan Ruang Keadaan Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Sekarang kita akan mencari solusi dari persamaan (52) dengan pertama sekali mencari respons alami (solusi homogen); yaitu dengan mengatur u(t) = 0, sehingga persamaan (52) disederhanakan menjadi:

˙x(t) = Ax(t) (55)

Dengan prinsip yang sama dalam mencari solusi homogen dalam persamaan diferensial, maka solusi persamaan di atas:

x(t) = eAtx(0) (56)

Bila kembali meninjau pelajaran mengenai Deret Taylor (atau MacLaurin), maka eAt dapat didefiniskan:

eAt = ∞ X k=0 tk k!A k ₍₅₇₎

(52)

Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Untuk mengevaluasi nilai x(0), gunakan persamaan (56) pada nilai x(t) yang diketahui saat t0:

x(t0) = eAt0_x(0) ₍₅₈₎

Sehingga akhirnya,solusi homogennya adalah: x(t) = eA(t−t0)_x(t

0) (59)

Untuk mencari solusi khusus (non-homogen), kita asumsikan solusinya memiliki bentuk:

xp(t) = eAtq(t) (60)

(53)

Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Mirip seperti dalam penyelesaian persamaan diferensial, maka bentuk solusi khusus dalam persamaan (60) disubstitusikan ke persamaan ruang keadaan (54), sehingga akan diperoleh:

q(t) = q(t0) + Z t

t0

e−AτBu(τ )d τ (61)

Substitusikan hasil ini ke dalam (60), sehingga akhirnya, solusi khusus adalah:

xp(t) = eAtq(t0) + Z t

t0

eA(t−τ )Bu(τ )d τ (62)

Dengan menggabungkan kedua jenis solusi, serta mengevaluasi nilai x(t) pada saat t0 sama dengan x(t0), maka diperoleh bahwa q(t0) = 0

(54)

Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Makasolusi lengkap (umum)untuk persamaan ruang keadaan (54) adalah: x(t) = eA(t−t0)_x(t

0) + Z t

t0

eA(t−τ )Bu(τ )d τ (63)

Dan output-nya adalah: y(t) = Cx(t) + Du(t)

= CeA(t−t0)_x(t

0) + Z t

t0

[CeA(t−τ )B + Dδ(t − τ )]u(τ )d τ (64)

Dari persamaan (64) di atas diperoleh respons impuls :

h(t) = (

CeAtB + Dδ(t), t ≥ 0

(55)

Solusi Persamaan Ruang Keadaan

Pada rumus respons impuls pada persamaan (65) terdapat unsur eAt yang

dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Caley-Hamilton, yaitu:

eAt = β0I + β1A + β2A2+ · · · + βn−1An−1 (66)

Dengan mencari nilai-eigen (eigenvalue) dari matriks A (λ1, λ2, . . . , λn), maka konstanta β0, β1, . . . dapat dievaluasi melalui persamaan:

eλ1t_{= β0}_{+ λ1β1}_{+ λ}2 1β2+ . . . + λn−11 βn−1 eλ2t_{= β0}_{+ λ2β1}_{+ λ}2 2β2+ . . . + λn−12 βn−1 .. . eλnt_{= β} 0+ λnβ1+ λ2nβ2+ . . . + λn−1n βn−1 (67) CATATAN: Sistem waktu-kontinu disebutstabil, jika dan hanya jika, semua nilai-eigen dari state matrix memiliki komponen rilyang kurang dari nol.

(56)

Contoh Soal

1 _{Evaluasilah nilai e}At _{untuk matriks}

A =   3 0 0 0 −2 1 0 4 1  

2 _{Dengan menggunakan metode persamaan ruang keadaan, carilah}

(57)

Persamaan Ruang Keadaan Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Kembali ditulis persamaan ruang keadaan (53) untuk input tunggal: ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y (t) = Cx(t) + Du(t)

Untuk mencari respons frekuensi, maka sistem diberi input u(t) = ej ωt dan akan menghasilkan output y (t) = H(j ω)ej ωt. Dengan

men-substitusikan ej ωt untuk u(t), X(j ω)ej ωt untuk x(t), dan H(j ω)ej ωt untuk y (t) maka diperoleh respons frekuensi:

H(j ω) = C(Ij ω − A)−1B + D (68)

(58)

Persamaan Ruang Keadaan Respons Frekuensi