Distribusi Poisson Tergeneralisasi Tak Terbatas dan Beberapa Sifat-Sifatnya ( Suatu pengembangan teori statistika matematika)

Distribusi Poisson Tergeneralisasi Tak Terbatas dan Beberapa Sifat-Sifatnya ( Suatu pengembangan teori statistika matematika)

Mutijah

Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Purwokerto Jl. A. Yani, No. 40A, Purwokerto.

Abstrak

Distribusi Poisson dikembangkan menjadi Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD), mempunyai dua model distribusi yaitu model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Terbatas dan model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Tak Terbatas. Untuk membuktikan bahwa kedua model distribusi tersebut merupakan suatu fungsi probabilitas, model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Tak Terbatas lebih sulit dibandingkan model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Terbatas. Model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Tak Terbatas tidak dapat dibuktikan secara langsung. Model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Tak Terbatas dapat dibuktikan secara tidak langsung dengan menggunakan formula Lagrange dan formula Beda Euler.

Model Distribusi Poisson Tergeneralisasi (GPD) Tak Terbatas memiliki beberapa sifat yang ditentukan oleh parameter kedua yaitu parameter λ. Beberapa sifat tersebut antara lain : rataan, variansi dan fungsi pembangkit momen naik jika λ naik, jumlahan N1+N2 dari dua variabel GP N1 dan N2 yang independen dengan parameter masing-masing (θ1,λ ) dan (θ2, λ) adalah variabel GP dengan parameter (θ1+θ2, λ), model GPD adalah unimodal untuk semua θ dan λ kecuali pada θ = e, λ = 1, menaiknya nilai λ akan menurunkan nilai probabilitas ekor kiri dan nilai probabilitas ekor kanan.

Kata kunci : Model GPD Tak Terbatas, Sifat-sifat GPD Tak Terbatas. 1. Pendahuluan

A. Latar Belakang.

Untuk suatu variabel acak N fungsi massa model distribusi Poisson tergeneralisasi (GPD) tak terbatas oleh Tuenter (2000) dituliskan sebagai berikut :

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < > = + = + lain. yang n untuk 0, 0. jika m, n untuk 0, ... 2, 1, 0, n , n! e ) n ( ) , ( P ) n ( -1 -n n λ λ θ θ λ θ λ θ , ………...………(A.1)

Untuk membuktikan bahwa model GPD (A.1) merupakan fungsi probabilitas yaitu membuktikan bahwa :

∑

∞ = = 0 n n 1 ) , ( P θ λ

secara langsung sangat sulit.

Model GPD (A.1) mempunyai beberapa sifat-sifat penting seperti mean, variansi naik apabila λ naik, nilai fungsi pembangkit probabilitas (pgf) akan naik jika λ naik dan beberapa sifat-sifat yang lainnya.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimanakah membuktikan Pn(θ, λ) merupakan fungsi probabilitas?

2. Bagaimanakah menentukan sifat-sifat dan atau membuktikan teorema-teorema yang merupakan sifat dari model GPD tak terbatas ?

C. Tujuan Penelitian.

1. Untuk membuktikan bahwa Pn(θ, λ) merupakan fungsi probabilitas.

2. Untuk menentukan sifat-sifat dan atau membuktikan teorema-teorema yang merupakan sifat dari model GPD tak terbatas.

D. Manfaat Penelitian.

Dapat memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas wawasan mengenai distribusi Poisson tergeneralisasi (GPD).

2. Pembahasan.

A. Fungsi model GPD Tak Terbatas dan Pembuktiannya.

Sebuah variabel random diskrit N dikatakan mempunyai model distribusi Poisson tergeneralisasi (GPD) tak terbatas jika mempunyai massa peluang :

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < > = + = + lain. yang n untuk 0, 0. jika m, n untuk 0, ... 2, 1, 0, n , n! e ) n ( ) , ( P ) n ( -1 -n n λ λ θ θ λ θ λ θ , ………...…....……(2.1)

dengan θ > 1, max(-1, -θ/m) < λ≤ 1, m (≥ 4) bilangan bulat positif terbesar dan untuk θ

+ mλ > 0 maka λ negatif. Simbol θ dan λ dikatakan parameter pertama dan parameter kedua.

Untuk membuktikan fungsi (2.1) merupakan fungsi probabilitas Consul dan Jain telah menunjukkan dengan menggunakan formula Lagrange sebagai berikut :

[

]

( )

n z n dz d _{f z} z n n f(z)z 0 1 n n! 1 _{( ( )) '(z)} (0) ) ( 1 1 = ∞ = − −

∑

+ =φ φ φ , ...(2.2)

dan diberikan _{φ( )=e}θz _{dan f(z)=e}λz _{sertau =ze}-λz.

z sehingga diperoleh : φ(0) =1, φ’(z) = θeθz, φ’(z) = θeθz, (f(n))n = enλz, (f(n))n. φ’(z) = enλz. θeθz = θe(θ + nλ)z ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ) ( ' . )) ( ( 1 1 z z f d d n n n φ = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − − z n n n e d d ( ) 1 1 (θ θ λ = θ(θ + nλ)n –1e(θ + nλ)z ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ) ( ' . )) ( ( 1 1 z z f d d _n n n φ 0 = z = θ(θ + nλ) n –1

Pernyataan (2.2) dapat disajikan sebagai berikut : eθz = 1 + n 1 n z z 1 -n e ue ) n ( n! 1

∑

∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + λ _λλ θ θ … ∑∞ = − − + = 0 n n! ) n ( e n z 1 -n ) n ( 1 θ θ λ θ λ z Sehingga ∑∞ = + + = 0 n n! ) n -( e 1 -n ) n ( 1 θ θ λ θ λ . ■

Pembuktian yang berbeda dilakukan oleh Tuenter(2000) dengan menggunakan formula Beda Euler yang dimulai dengan membuktikan persamaan :

( ) 0 n n! n ) n (θ λ θ nλ e− + ∑ ∞ = + ₌ λ − 1 1 , untuk -λo < λ < 1 ………...(2.3) dengan λo = 0,2784645428… adalah solusi dari λeλ = e-1. Untuk kepentingan selanjutnya

) ( 0 n n! n ) n (θ λ θ nλ e− + ∑ ∞ = +

Lemma 2.1

Untuk GPD dalam persamaan (2.1) dapat dibuktikan S(θ, λ) =

λ

− 1

1

untuk -λo < λ < 1 dengan λo = 0,2784645428… adalah solusi dari λeλ = e-1.

Bukti :

∑

∑

∞ = ∞ = + − + = 0 k k 0 n n k! ) n ( ) 1 ( n! ) n ( ) , (θ λ θ λ k θ λ S = … k! k! 1 k 0 k λ

∑

∞ = = = k 0 k λ

∑

∞ = 1 -λ 1 ■

Sekarang menunjukkan bahwa | λ | < λo. Bukti persamaan (2.3) bertumpu pada pemindahan order jumlahan dalam S(θ, λ) dan pemindahan itu diijinkan ketika jumlahan tersebut konvergen absolut. Nilai-nilai absolut yang diberikan dari jumlahan S(θ, λ) dengan mengusahakan untuk mereduksi e-|θ + nλ|.

Dengan menggunakan pendekatan formula Stirling’s n! ~ nn e-n 2πn dan aplikasi dari tes akar Cauchy diperoleh :

n | n | n -n n n n | n | n n _{n e 2 n} e | n | Sup Lim e n! | n | Sup Lim θ λ θ λ π λ θ λ θ + ∞ → + ∞ → + = + = …₌| _λ|e1+| λ| _<1 atau diinginkan |λ| < λo sebagai kriteria untuk konvergen absolut.

Aplikasi lain dari tes akar Cauchy menunjukkan bahwa ruas kiri dari persamaan (2.3) konvergen untuk |λe-λ| < e-1. Dari kondisi ini diperoleh λo sebagai berikut :

|λe-λ| < e-1, |λ|e|λ| < e-1, λeλ < e-1 ……….………...(2.4) Dengan menggunakan software Matlab 5.3 dari persamaan nonlinear (2.4) diperoleh

λo = 0,2784645428… .

Selanjutnya model GPD pada (2.1) merupakan fungsi probabilitas dapat dibuktikan: ) n ( -1 n 1 -n ) n ( -0 n n 0 n n e 1)! -(n ) n ( -e n! ) n ( ) , ( P θ λ θ λ θ λ λ ∞ θ λ θ+ λ = + ∞ = ∞ =

∑

∑

=

∑

+ + λ λ λ 1 -1 -1 1 = = λ λ -1 -1 = 1. ■

B. Beberapa Sifat Model GPD Tak Terbatas.

a. Mean dan variansi distribusi Poisson tergeneralisasi. 1). Penentuan mean dan variansi dengan metode khusus. Didefinisikan S(k, θ, λ) sebagai berikut :

... 2, 1, 0, k , n! e ) n ( ) , , ( 0 n ) n -( 1 -k n = + =

∑

∞ = + + θ λ λ θ λ θ k S

∑

∑

∞ = + + ∞ = + + ₊ + + = 1 n ) n -( 2 -k n 0 n ) n -( 2 -k n 1)! -(n e ) n ( n! e ) n ( θ λ θ λ _λ θ θ λ θ λ θ = θS(k-1, θ,λ) + λS(k, θ + λ, λ) ( i )S(k-1, i , ), k 1,2,... 0 i i _{+ + =} =

∑

∞ = λ λ θ λ θ λ Untuk k = 0 maka : θS(0 ,θ ,λ )=

∑

∞ = + + 0 n ) n ( -1 -n n! e ) n (θ λ θ λ θ =

∑

∞ = + + 0 n ) n -( 1 -n n! e ) n (θ λ θ λ =

∑

∞ . = = 0 n n( , ) 1 P θ λ Untuk k = 1 maka : S(1, θ, λ) =

∑

∞ = = 1 + λ + λ = + + 0 i i_{(θ i λ)S(0,θ i λ ,λ)} λ

∑

∞ =0 i i_.i λ

∑

∞ = = 0 n n λ 2 _{+ λ}3 _{+ …} λ -1 1 = . Untuk k = 2 maka : S(2, θ, λ) = ( i )S(1, i , ) 0 λ λ θ λ θ λ + +

∑

∞ = i i λ λ θ λ -1 1 ) i ( 0 i i

∑

∞ = + = = ( i ) -1 1 0 i i _{θ λ} λ λ

∑

+ ∞ = = { 2 3 4 ...} -1 1 _{θ +θλ+λ}2 _{+θ +θλ}2 _{+ λ}3 _+θλ3 _{+ λ}4 _+θλ4 _{+ λ}5 ₊ λ 3 2 2 _{(1 - )} ) -(1 λ λ λ θ ₊ = .

Penentuan mean dan variansi menggunakan hasil-hasil di atas adalah sebagai berikut :

∑

∞ = + − + = 1 n ) n ( 1 -n n! e ) n ( n ) ( λ θ λ θ θ N E =…=θS(1,θ +λ ,λ) λ θ -1 =

∑

∞ = + + = 1 n ) n -( 1 -n 2 2 n! e ) n ( n ) ( λ θ λ θ θ N E = … =θ{S(1,θ +λ ,λ )+S(2,θ + 2λ,λ)} = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + ₂ 2 ₃ ) -1 ( ) -(1 -1 1 λ λ λ θ λ θ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + + + + +(1 2 4 7 11 16 ... ) -(1 6 5 4 3 2 2 λ λ λ λ λ λ λ θ θ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ₃ 2 _{(1 - )} 1 ) -(1 λ λ θ θ 2 _{2 3} ) -(1 ) -(1 λ θ λ θ ₊ = .

Var(N) = E(N2) – [E(N)]2 = _{2 3}

2 ) -(1 ) -(1 λ θ λ θ ₊ = + 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −λ θ = ₃ ) -(1 λ θ . 2). Penentuan mean dan variansi menggunakan model GPD tak terbatas.

Diberikan μ(θ, λ) menotasikan mean dari model GPD tak terbatas maka :

∑

∞ = + + = 1 n ) n -( 1 -n n! e ) n ( n ) , (θ λ θ θ λ θ λ μ

∑

∞ = + + = 1 n ) n -( 1 -n n! e ) n n(θ λ θ λ θ = … =

∑

∞ = + + + + = 0 n n 2 ) , 2 ( P n 2λ θ λ λ θ θλ θλ θ =… = θ (1 + λ + λ2 _{+ λ}3 _{+ λ}4 _{+ …)=} λ θ − 1 .

Sekarang diberikan μ2(θ, λ) menotasikan momen kedua dari model GPD tak terbatas maka: : n! e ) n ( n n! e ) n ( n ) , ( 0 n ) n -( 1 -n 2 0 n ) n -( 1 -n 2 2

∑

∑

∞ = + ∞ = + ₊ = + = θ θ λ θ λ θ θ λ θ λ λ θ μ = … = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₊ − + + − + + − + + − + + − 1 ... 1 )] 5λ ( 3 [ 1 1 )] 4 ( 2 [ 1 1 )] 3 ( [ 1 1 ) 2 ( 1 1 λ θ λ λ λ θ λ λ λ θ λ λ λ θ λ θ = … = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − _{(1 )}2 1 1 1 . 1 1 λ λ θ λ θ 2 _{2 3} ) -(1 ) -(1 λ θ λ θ + = . Sehingga

[

]

2 2 2 ) , ( ) , (θ λ μ θ λ μ σ = − 2 3 2 2 1 ) -(1 ) -(1 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = λ θ λ θ λ θ 3 ) -(1 λ θ = 3) Jumlahan variabel random distribusi Poisson tergeneralisasi. Teorema 2.1

Apabila N1 adalah variabel random berdistribusi Poisson tergeneralisasi dengan parameter (θ1, λ) dan N2 variabel random yang berdistribusi Poisson tergeneralisasi dengan parameter (θ2, λ) yang masing-masing saling independen maka N1 + N2 berdistribusi Poisson tergeneralisasi dengan parameter (θ1+θ2, λ).

Bukti :

∑

∞ = + + 0 i ) i -( 1 -i i! e ) i ( θ λ θ λ θ = 1,

∑

∞ = − + 0 i -i 1 -i i! e ) i ( e θ θ θ λ λ =1,

∑

∞ = + = 0 i -i 1 -i i! e ) i ( eθ θ θ λ λ

Secara umum diketahui bahwa eθ1+θ2 =eθ1.eθ2 dan

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + +

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = − 0 j -j 1 -j 2 2 0 i -i 1 -i 1 1 0 n -n 1 2 1 2 1 j! e ) j ( i! e ) i ( n! e ) n ( ) (θ θ θ θ λ n λ θ θ λ λ θ θ λ λ = …

∑∑

∞ = = − − + + = 0 n n 0 i -n 1 2 1 -i 1 2 1 i)! -(n i! e ) i) -(n ( ) i (θ λ θ λ λ θ θ n i

Selanjutnya menurut definisi bahwa :

∑

= = = + n 0 j 2 j -n , 1 j 2 1 N n) P( )P ( , ) P(N θ λ θ λ j)! -(n e ) j) -(n ( . !j e ) j ( n-j-1 -( (n-j) ) 2 2 n 0 j ) -( 1 -j 1 1 1 2 λ θ λ θ _{θ θ λ} λ θ θ + = + ₊ + =

∑

j

∑

= + − + + = n 0 j -n 1 -j -n 2 1 -j 1 2 1 ) ( j)! -(n j! e ) j) -(n ( ) j ( 2 1 λ θ θ _{θ θ} θ λ θ λ e -(θ θ ) θ1 θ2 θ1 θ2 λ n-1 _e-nλ n! ) n ( ) ( e 1 2 + + + = + n! e ) n ( ) ( n-1 -( n ) 2 1 2 1 θ θ θ λ θ1 θ2 λ θ _{+ + +} + + = =P_n(θ₁ +θ₂ ,λ) ■

4) Fungsi pembangkit probabilitas distribusi Poisson tergeneralisasi.

Fungsi pembangkit probabilitas (pgf) suatu variabel N dari distribusi Poisson tergeneralisasi dinotasikan dengan GN(u) = E(uN). Pgf menggunakan formula Lagrange :

0 t t f(t) )) t ( g ( t ! k u f(0) ) t ( f k 1 -k 1 -k 1 k ⎥⎦ = ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ + =

∑

∞ = k …………....……….……...……...(2.5)

dan diberikan g(t) = eλ(t – 1) , f(t) = eθ(t – 1) serta u = ) t ( g t ……….(2.6) Dari persamaan (2.6) diketahui

g(t) t

u = dan jelas bahwa g(0) ≠ 0 maka oleh operasi pembagian deret pangkat, u mempunyai perwakilan deret pangkat, yaitu :

∑

∞ = = = 0 k k kt a g(t) t

u dan t =

∑

∞ dengan t merupakan invers dari deret pangkat u.

=0 k ku b k Dari (2.6) diperoleh : f(0) = e-θ. (g(t))k = ekλ(t – 1), (g(t))k t t f ∂ ∂ ( ) = ekλ(t – 1).θeθ(t – 1) = θe(θ + kλ)(t-1)

[

( k )(t-1)

]

= θ (θ + kλ) 1 -k 1 -k k 1 -k 1 -k e t t f(t) g(t)) ( t λ θ θ + ∂ ∂ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ k-1 _e(θ + kλ)(t-1) _{= θ (θ + kλ)}k-1 _e-(θ + kλ)

Dari hasil-hasil perhitungan tersebut penyajian (2.5) menjadi :

∑

∞ = + + + = 1 k ) k ( -1 -k k -1) -(t _{( k ) e} k! u e eθ θ θ θ λ θ λ

∑

∞ = = 0 k k k ) , ( P u θ λ

∑

∞ = = 0 n n n ) , ( P u θ λ ₌E(uN) Dan karena pgf GPD adalah GN(u) = E(uN) maka GN(u) = eθ(t-1) dengan t = ueλ(t-1). 5) Unimodal distribusi Poisson tergeneralisasi.

Diberikan distribusi probabilitas

{ }

P_n ∞₀ didefinisikan pada bilangan bulat nonnegatif dengan pgf GN(u). Dan diberikan

) u ( G log du d N = loge (t-1) du d θ _{= ( (t-1))} du d _θ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑

∞ = 1 du d 1 k k ku b θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

_∑

∞ ₋ = θ θ k u 1 k k b du d = k b = . 1 k 1 k

∑

∞ = − k u θ r u , r_k 0 0 k k k ≥

∑

∞ =

Menurut Steutel dan Harn (1979) distribusi probabilitas

{ }

P_n ∞₀ adalah unimodal jika

( )

r_k ∞₀ adalah tidak naik dan

{

P_n

}

∞₀ adalah tidak naik jika dan hanya jika r0 ≤ 1.

Teorema 2.2

Model GPD adalah unimodal untuk semua nilai-nilai dari θ dan λ.

Apabila θe-λ < 1 maka modus pada n = 0 dan apabila θe-λ = 1 maka modus pada n = 0 dan n = 1.

Apabila θe-λ > 1 maka modus pada n = M dan (θ – e-λ)( eλ - 2 λ) < M < a, dengan a adalah nilai terkecil dari M yang memenuhi pertidaksamaan :

_λ2M2 ₊M[2_λθ - (_{θ +}2_λ)eλ ]_+θ2 _>0…………..………...…….…..(2.7) Bukti : (1).

∑

∞ dengan t = u e = = = 0 n 1) -(t n n N( ) u P ( , ) e G u θ λ θ λ(t-1) = n 1 1 -n n - _u n! ) (n e

∑

∞ = n λ λ _{= H(u).} R(u) = du dH(u) du dt 1)] -(t [ du d u r 0 k k = θ =θ = θ

∑

∞ = k 1 -n 1 n 1 -n -n u n! ) (n e n

∑

∞ = =θ λ λ n-1 0 n 1 -n -n u 1)! -(n ) (n e

∑

∞ = =θ λ λ k k 0 k k -- _u k! ] 1) [(k e λ θ λ λ + =

∑

∞ = Karena itu diperoleh :

)! 1 k ( ) (k e k! ] 1) [(k e r r 1 -k k -k 1) -(k 1 -k k − + = + λ λ λ λ = k k k k e λ λ λ λ λ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = λ e-λ.e-1 = _=λe-λ+1 _≤ 1. Jadi 1 r r 1 -k

k _{≤ artinya bahwa}

(

_{adalah tidak naik sehingga menurut Steutel dan Harn} maka adalah unimodal untuk semua nilai θ dan λ.

)

∞ 0 k r

{

∞ 0 n( , ) P θ λ

}

Misalkan ) , ( P ) , ( P 0 1 λ θ λ θ = θe-λ _{= r}

0 ≤ 1 maka

{

P_n(θ ,λ)

}

₀∞ adalah tidak naik . Jadi apabila θe-λ < 1 maka modus n = 0 dan apabila θe-λ = 1 maka modus pada n = 0 dan n = 1.

(3). Misalkan θe-λ > 1 dan modus pada n = M.

Rasio dari dua probabilitas berturut-turut dari model GPD (2.1) adalah

) , ( P ) , ( P n 1 n λ θ λ θ +

Jika M adalah modus maka :

1 ) M 1)( (M e ) 1) (M ( ) , ( P ) , ( P 1 M -M M 1 M _< + + + + = ₊ + λ θ λ θ λ θ λ θ λ ……….…………...…(2.8) dan ) , ( P ) , ( P 1 -M M λ θ λ θ = M e . ) 1) -(M ( ) M ( -2 -M 1 -M λ λ θ λ θ + + 1 ) 1) -(M ( M e ) M ( 2 -M -1 -M > + + = λ θ λ θ λ ……...……(2.9) Dari pertidaksamaan (2.8) diperoleh :

M 1 M M 1 -M M M 1 ) M ( ) ( ) M ( ) M ( ) M ( ) 1) (M ( e 1) M ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + > + + + + > + + + > + ₋ λ θ λ λ θ λ θ λ θ λ λ θ λ θ λ θ λ M M > (θ - e-λ)(e-λ - 2λ)-1

Dan dari pertidaksamaan (2.8) diperoleh :

( M ) ) 1) -(M M( e ) M )( M ( 2 -M -2 -M λ θ λ θ λ θ λ θ λ + > + + + 2 -M 2 -M -) M ( ) 1) -(M ( ). M ( M e ) M ( λ θ λ θ λ θ λ θ λ + + + > + > _M-2 2 -M ) M ( ) -M ( ). M ( λ θ λ λ θ λ θ + + + > + + + λθ θ λ θ λ λ

Jadi terbukti memenuhi pertidaksamaan (2.2.4) dan menurut korolari bahwa jika λ

= 0 batas-batas modus adalah θ – 1 < M < θ, jadi juga terbukti pertidaksamaan (θ - e-λ)(eλ - 2λ) < M < a.

Dari teorema di atas tampak bahwa model distribusi Poisson tergeneralisasi adalah unimodal untuk semua θ dan λ kecuali jika θe-λ = 1 yaitu pada θ = e, λ = 1.

6) Perilaku ekor (tail behaviour) dari GPD. Lemma 2.2

Untuk θ dan λ yang ditetapkan dan n →∞maka : n - _{( exp(1- ))} n exp 2 n) N ( 32 λ λ λ θ θ π λ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− +} ≈ = P . Bukti :

Untuk n besar, penggunaan pendekatan n! fungsi massa peluang di dalam (2.1) sebagai berikut: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + ≈ = + 12n n -exp n 2 ) n - exp(-) n ( n) N ( P 1 n 1 -n 2 1 λ π λ θ λ θ θ , dengan λ1 = λ1(n) memenuhi 0 < λ1 < 1. _M 1 n 1 -n )) -(1 exp( n 12n -exp n 1 . 2 2 3 λ λ λ θ π λ θ θλ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎩ ⎨ ⎧ ≈ _{M .exp - n} - _{exp( (1 - ))}n 2 2 3 λ λ λ θ θ π λ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ≈ . ■

3. Simpulan Dan Saran. A. Simpulan.

1). Fungsi probabilitas model GPD tak terbatas dapat dibuktikan dengan menggunakan formula Lagrange atau formula beda Euler dengan aplikasi tes akar Cauchy dan formula Stirling.

2).Model GPD tak terbatas n! e ) n ( ) , ( P ) n ( -1 -n n λ θ λ θ θ λ

θ = + + memiliki beberapa sifat-sifat

penting diantaranya :

a. Nilai mean dan variansi ini akan naik jika λ naik.

b. Apabila N1 ~ GPD(θ1, λ) dan N2 ~ GPD(θ2, λ) maka N1 + N2 ~ GPD (θ1 + θ2, λ). c. Nilai pgf model GPD tak terbatas GN(u) akan naik jika λ juga naik.

d. Model GPD tak terbatas adalah unimodal untuk semua nilai-nilai θ dan λ kecuali apabila θe-λ _{= 1 yaitu pada θ = e, λ = 1.}

e. Jika λ naik maka akan menurunkan nilai probabilitas ekor kiri dan nilai probabilitas ekor kanan dari model GPD tak terbatas.

B. Saran.

Berhubungan dengan masalah ini dapat dilakukan penelitian lebih lanjut tentang pembuktian distribusi Poisson tergeneralisasi (GPD) menggunakan fungsi analitik dan penentuan sifat-sifat GPD yang lain, diantaranya : fungsi pembangkit momen dengan menggunakan fungsi Lambert, kumulan, momen pusat GPD, jumlahan variabel random sebanyak k variabel random, estimasi maksimum likelihood untuk θ dan λ, serta dapat dilakukan penelitian lebih lanjut untuk aplikasi dari model GPD.

4. Daftar Pustaka

Abramowitz, M and Stegun, I.A, 1965, “ Handbook of mathematical functions “, Dover

publications, New York.

Ambagaspitiya, R.S and Balakrishnan, N.,1994, “ On the compound generalized poisson distribution “, Astin Bulletin, vol. 24, No. 2.

Bain, L.J. and Engelhardt, M.,1992, “ Introduction to probability and mathematical statistics “, Duxbury press, California.

Consul, P.C. and Jain, G.C.,1973,” A generalization of the poisson distribution

“,Technometrics 15,791-799.

Consul, P.C.,1989,” Generalized poisson distributions;properties and applications

Dudewicz, E.D.and Mishra, S.N.,1988,” Modern mathematical statistics “ (terjemahan

oleh: R.K. Sembiring),ITB,Bandung.

Eric, W.W.,2003,” Tail Probability “,www.yahoo.com,Mathworld.

Gould, H.W.,1978,” Euler’s formula for nth differences of powers “,The american

mathematical montly 85,450-467.

Kapur, J.N. and Saxena, H.C.,1986,” Mathematical Statistics “,S. Chand & company

LTD,New Delhi.

Pitman, J,1993,” Probability “,Springer-Verlag,New York.

Roussas, G.G.,1973,” A first course in mathematical statistics “,Mei Ya

publications,Taiwan.

Sudargo, 2002, “ Beberapa permasalahan poisson dan generalisasinya (tesis)“,Jurusan

matematika UGM,Yogyakarta.

Taylor, A.E. and Mann, W.R.,1983,” Advanced calculus “, John Wiley & Sons,New York.

Thomas, G.B. and Finney, R.L.,1988,” Calculus and analytics geometry (7th edition)

“,Addison-Wesley publishing,New York.

Tuenter, H.J.H.,2000,” On the generalized poisson distribution”,Statistica Neerlandica,

Vol. 54,374-376.

Walpole, R.E. and Myers, R.H.,1988,” Modern mathematical statistics for engineers and scientists (4th edition) “,(terjemahan oleh : R.K. Sembiring),ITB,Bandung.