KELOMPOK 9 KELOMPOK 9 A.
A. DISTRIBUSI TRINOMIALDISTRIBUSI TRINOMIAL 1.
1. Pembuktian apakah distribusi Trinomial termasuk fungsi peluang ataukah bukan.Pembuktian apakah distribusi Trinomial termasuk fungsi peluang ataukah bukan. 2.
2. Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Trinomial.Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Trinomial. 3.
3. Mencari rumus varians pada distribusi Trinomial.Mencari rumus varians pada distribusi Trinomial. B.
B. DISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSON 1.
1. Pembuktian apakah distribusi Poisson termasuk Pembuktian apakah distribusi Poisson termasuk fungsi peluang ataukah bukan.fungsi peluang ataukah bukan. 2.
2. Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Poisson.Mencari rumus rataan (Mean) pada distribusi Poisson. 3.
3. Mencari rumus varians pada distribusi Poisson.Mencari rumus varians pada distribusi Poisson. 4.
4. MGF distribusi Poisson.MGF distribusi Poisson. PENYELESAIAN :
PENYELESAIAN : A.
A. DISTRIBUSI TRINOMIALDISTRIBUSI TRINOMIAL 1.
1. Apakah termasuk fungsi peluang ?Apakah termasuk fungsi peluang ?
Kita akan membuktikan apakah distribusi trinomial memenuhi syarat suatu fungsi peluang ? Kita akan membuktikan apakah distribusi trinomial memenuhi syarat suatu fungsi peluang ? Syarat fungsi peluang :
Syarat fungsi peluang : a) a) f f
x x
00
!! 00 !! !! !! 3 3 2 2 1 1
x x y y nn x xyy P P P P P P y y x x n n y y x x n n b) b)
11 0 0
n n x x x x f f
11
11
11 1 1 ! ! ! ! ! ! 1 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 1 1 0 0 00 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 00 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 00 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 00 3 3 2 2 1 1
n n n n x x n n n n x x x x n n x x x x n n y y y y x x n n y y x x n n x x x x n n y y y y x x n n y y x x n n x x x x n n y y y y x x n n y y x x n n x x x x n n y y y y x x n n y y x x P P P P P P P P P P P P P P x x n n x x P P n n P P P P P P y y x x n n y y x x n n x x n n x x P P n n P P P P P P y y x x n n y y x x n n x x n n x x P P n n P P P P P P P P x x n n x x n n y y x x n n y y x x n n P P P P P P y y x x n n y y x x n nKarena kedua sifat di atas terpenuhi, maka terbuktilah bahwa distribusi Trinomial termasuk fungsi Karena kedua sifat di atas terpenuhi, maka terbuktilah bahwa distribusi Trinomial termasuk fungsi peluang atau yang sering kita sebut dengan
peluang atau yang sering kita sebut dengan PMF (Probability Mass Function)PMF (Probability Mass Function) TUGAS STATISTIKA
TUGAS STATISTIKA MATEMATIMATEMATIKAKA INTAN KUSUMAWARDANI
INTAN KUSUMAWARDANI 160210101010
160210101010
Karena, setiap peristiwa kombinasi Karena, setiap peristiwa kombinasi pasti mempunyai nilai peluang pasti mempunyai nilai peluang
antara 0 sampai 1. antara 0 sampai 1.
2. Rumus Rataan
Dalam hal ini, kita akan menggunakan MGF untuk mencari meannya.
t x t y
e e E t t M
1
2 2 1,
t t
n n x x n t x t n x x n y y x n y t x t n x x n y y x n y t x t n x x n y y x n y t x t n x x n y y x n y x y t x t n x x n y y t x t y t x t P e P e P P e P x n x e P n P e P y x n y x n x n x e P n P e P y x n y x n x n x e P n P e P e P x n x n y x n y x n P P P y x n y x n e e y x f e e e e E t t M 3 2 1 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , ,
t
t
n
P
e
P
e
P
t
t
M
1,
2 1 1 2 2 3MGF bersama
X
dan YKita dapat mencari MGF masing-masing dari
X
dan Y . MGF ini disebut MGF marginal dariX
dan Y . 1) MGF marginal dari X
t
n n t n t t P e P P P P e P P e P e P t M 1 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 1 0 , 1 1 2 1 2) MGF marginal dari Y
t
n n t n t P e P P P e P P P e P P t M 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 , 0 2 2 2 Setelah mengetahui MGF marginal dari masing-masing peubah acak, kita dapat menentukan turunan pertama serta kedua dari MGF nya.
Terlihat bahwa MGF marginal dari
X
merupakan MGF dari distribusi binomialX
dengan parameter
n, P 1
. Dapat ditulisTerlihat bahwa MGF marginal dari Y merupakan MGF dari distribusi binomial Y dengan parameter
Mean dapat dicari dengan turunan pertama tiap MGF marginal.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 P n P P P n t M e P P e P n t M n t n t 1 P n x
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 1 2 2 P n P P P n t M e P P e P n t M n t n t 2 P n y
Jadi x
n
P 1 dan y
n
P 23. Rumus Varians a) Varians untuk X 2 1 1 2 )) ( ' ( ) ( ' ' t M t M x
' ' ) ( '' t 1 u v uv M
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 (1 )) .( ) ( (1 )) . )( 1 (n P et P n P et n P et P n P et n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 )) .( (1 )) .( ) ( (1 )) . )( 1 (n P et P n P et P P et n P et P n P et n
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0) ( 1)( 1 ) .( 1 ) ( ) ( 1 ). ( '' t n n P P P P P n P P P M
n
1 2 1) .1. .( 1 . 1 ). 1 (n P n P n
1 2 1) . )( 1 (n P nP n
2 1 1 2 )) ( ' ( ) ( ' ' t M t M x
) 1 ( ). ( . ) 1 ( 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 P nP nP nP P n nP nP P n P n nP P n n nP P n P n n b) Varians untuk Y 2 2 2 2 )) ( ' ( ) ( '' t M t M y
' ' ) ( '' t 2 u v uv M
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 )) .( ) ( (1 )) . )( 1 (n P et P n P et n P et P n P et n
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 (1 )) .( (1 )) .( ) ( (1 )) . )( 1 (n P et P n P et P P et n P et P n P et n
2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 0) ( 1)( 1 ) .( 1 ) ( ) ( 1 ). ( '' t n n P P P P P n P P P M
n
2 2 2) .1. .( 1 . 1 ). 1 (n P n P n
2 2 2) . )( 1 (n P nP n
2 2 2 2 M ''(t ) ( M '(t )) x
) 1 ( ). ( . ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P nP nP nP P n nP nP P n P n nP P n n nP P n P n n Jadi, varians untuk x adalah nP 1(1
P 1) dan untuk y adalah nP 2(1
P 2).B. DISTRIBUSI POISSON
Fungsi distribusi poisson
x f
lainnya x untuk x x e x , 0 ,... 2 , 1 , 0 , ! 1. Pembuktian PMF Syarat PMF : 1) f
x
0 0 ! ,.... 2 , 1 , 0
x x 0
Sehingga 0 !
x e x 2)
f
x
1
n x x x e 0 ! 1
n x x x e 0 !
n x x x e 0 !
m m e e
m m e
0 e
1
2. Rata-rata distribusi poisson
E
X
x f x n x
0
x f x n x
0 ! 0 x e x x n x
1
! 0
x x xe x n x
n x x x e 0 1!
n x x x e 0 1 1 ! 1
n x x x e 0 1 ! 1
n x x x e 0 1 ! 1
n x y y e 0 ! 1
m e e m
! ... ! 3 ! 2 ! 1 ! 0 ! 3 2 1 0 0 x n n n x x
! .... ! 3 ! 2 1 3 2 n n
m n x x e x nilai
0 ! , Misalkan : 1
x y Karena 1 ! 0
n x x x e maka 1 ! 0
n x y y e 3. Varian distribusi poisson
2
2 2 X E X E x
X E
X
X
E X E 2
1
X X
1
E
n x x f x x 0 1
n x x x e x x 0 ! 1
n x x x x x e x x 0 1 2! 1
n x x x e 0 2!
n x x x e 0 2 2 ! 2
n x x x e 0 2 2 ! 2
n x x x e 0 2 2 ! 2
n x y y e 0 2 ! 1 . 2
2
2
2 2 X E X E x
2 x
E
X
X
1
E X
E X
2
2 2
2 2
Jadi, rata-rata dari distribusi poisson
dan variannya adalah x2
Misalkan : 2
x y Karena 1 ! 0
n x x x e maka 1 ! 0
n x y y e 4. MGF (Moment Generating Function) dari distribusi poisson
t M x
E
etx
n x tx x f e 0
n x x tx x e e 0 !
n x x t x e e 0 !
n x x t x e e 0 !
n x e e x t x e e e e t t 0 !
n x e x t e x e e e e t t 0 ! t e e e
1
et e
t M x '
u'v
uv' t t e t e e e e e
0 t e t e e e
et e et e
et e
et 1
0
' t
M x
e0e
e01 1 1 1
e 0
e 0 e
1
t M '' x
u'v
uv'
1
1
t et t t et e e e e e 1
2 1
t t e t e t e e e e
0
'' t
M x
e0
e e01
e0 2e e01
2 0 0 1 1
e e 0 2 0 e e
1 1
2
2 2 x
E
X 2
E
X
2
2 0 ' 0 ' '
M t M t
2 2
2 2 Jadi, varian dari distribusi poisson dengan menggunakan MGF
2
E X 2
E X 2
M '' t
0
M ' t
0 2
X x
