Penerapan Distribusi Poisson pada Pertan

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Sepakbola adalah salah satu olahraga terpopuler di dunia saat ini. Seluruh lapisan masyarakat mulai dari anak-anak hingga orang tua mengenal permainan olahraga yang satu ini. Tidak heran jika klub-klub dan para pemain sepakbola sering menjadi sorotan di media. Eropa memiliki sebuah liga antarklub paling kompetitif dan terpopuler saat ini, yaitu Liga Champions, sebuah liga yang mempertemukan klub-klub terbaik di seluruh daratan Eropa.

Liga Champions Eropa 2015 saat ini telah menyelesaikan babak penyisihan grup dengan meloloskan 16 klub ke babak perdelapan final. Gol-gol yang tercipta pada babak 16 besar tersebut adalah yang paling ditunggu-tunggu oleh semua orang. Sejumlah orang terkadang menebak-nebak jumlah gol yang akan terjadi, namun jika hanya menggunakan tebakan biasa saja, hasilnya tidak akan efektif.

Prediksi skor dan jumlah gol pada pertandingan sepakbola dapat dihitung secara matematis menggunakan berbagai metode. Pada makalah ini saya menghitung kemungkinan jumlah gol yang dapat muncul pada babak 16 besar Liga Champions Eropa dengan menggunakan distribusi Poisson.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi Poisson?

2. Seperti apa data klasemen akhir babak penyisihan Liga Champions Eropa 2015?

3. Bagaimana rumus proses distribusi Poisson?

C. Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut. 1. Memahami sejarah dan perhitungan distribusi Poisson.

2. Menampilkan data-data skor pertandingan terakhir Liga Champions Eropa 2015.

3. Menjelaskan rumus proses distribusi Poisson.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian dan Sejarah Distribusi Poisson

Salah satu sebaran atau distribusi diskrit yang sangat bermanfaat adalah sebaran Poisson. Sebaran ini dapat dipandang sebagai penghampir sebaran binomial atau bentuk batas dari sebaran binomial. Poisson dapat juga didekati sesuai dengan sebaran itu sendiri dengan pertimbangan proses Poisson.

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Poisson bukanlah berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun sistem kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga ini.

Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson. Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medikal.

diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan koordinasi tangan hilang apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematika. Laplace dan Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika Poisson.

Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah tentang teori-teori persamaan dan teorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.

Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang ada di pundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan menunjukkan kegunaan teori tersebut.

Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820, sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi atau merupakan pengembangan karya Laplace.

probabilitas, dan istilah distribusi Poisson muncul. Distribusi Poisson mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil, meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti. Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah, sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah (ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.

Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”

Distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit yang mengestimasi probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau luas daerah tertentu (walpole, 1982). Contoh penerapannya adalah jumlah deringan telepon per jam di suatu kantor, jumlah goresan atau cacat dari suatu permukaan produk, jumlah bakteri dalam suatu kultur, dan kesalahan sambung pada nomor telepon.

Karakteristik distribusi Poisson yaitu terdiri dari n buah percobaan yang saling bebas. Ukuran n yang sangat besar dalam setiap percobaan hanya satu hasil saja yang dijadikan titik pengamatan, probabilitas terjadinya suatu hasil sukses konstan untuk setiap percobaan dan besarnya proposional terhadap selang waktu atau luas daerahnya, dan probabilitas terjadinya keluaran lebih dari satu dalam suatu selang waktu atau interval yang sangat sempit dapat diabaikan.

daerah tertentu. Fungsi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. Suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan distribusi Poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.

Ciri-ciri percobaan Poisson adalah sebagai berikut.

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebut, dapat diabaikan.

Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal sebagai berikut.

2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut.

a. Jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S, di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain-lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.

b. Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

c. Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

B. Data Klasemen Akhir Babak Penyisihan Liga Champions Eropa 2015 Liga Champions UEFA (bahasa Inggris: UEFA Champions League) adalah kejuaraan antarklub sepak bola tahunan antara klub-klub sepak bola tersukses di Eropa, dan sering dianggap sebagai trofi tingkat klub yang paling prestisius di Eropa. Real Madrid telah menjuarai kompetisi ini sepuluh kali dan menjadi yang terbanyak di seluruh Eropa. Tim-tim yang paling sukses berikutnya adalah AC Milan (7 kali juara), Liverpool FC, FC Bayern München, dan FC Barcelona (5 kali juara), AFC Ajax (4 kali juara), Manchester United F.C. dan F.C. Internazionale Milano (3 kali juara).

Liga Champions Eropa 2015 diikuti oleh 32 klub yang masing-masing terbagi ke dalam 8 grup klasemen. Berikut ini adalah tabel hasil pertandingan babak penyisihan terakhir Liga Champions Eropa yang berlangsung pada hari Rabu dan Kamis lalu (9 dan 10 Desember 2015).

No

. Pertandingan Jumlah Gol

1. Manchester City 4−2 Monchengladbach 6

2. Real Madrid 8−0 Malmo 8

3. Galatasaray 1−1 Astana 2

4. PSV 2−1 CSKA Moskwa 3

5. Wolfsburg 3−2 Manchester United 5

7. PSG 2−0 Shakhtar 2

8. Benfica 1−2 Atletico Madrid 3

9. Olympiakos 0−3 Arsenal 3

10. AS Roma 0−0 BATE 0

11. Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv 1

12. Chelsea 2−0 FC Porto 2

13. Gent 2−1 Zenit St. Petersburg 3

14. Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona 2

15. Valencia 0−2 Lyon 2

16. Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen 2

Total Gol 45

Klub-klub yang lolos ke babak 16 besar adalah klub peringkat pertama dan peringkat kedua dari masing-masing grup. Keenambelas klub tersebut adalah Real Madrid, PSG, Wolfsburg, PSV, Atletico Madrid, Benfica, Manchester City, Juventus, FC Barcelona, AS Roma, Bayern Munchen, Arsenal, Chelsea, Dinamo Kyiv, Zenit St. Petersburg, dan Gent.

Pengundian babak 16 besar dilakukan pada hari Senin, 14 Desember 2015 waktu Eropa. Berikut ini adalah daftar pertandingan dari hasil pengundian tersebut. Klub-klub ini akan bertanding antara bulan Februari dan Maret 2016 mendatang.

No

. Pertandingan

1. Gent vs Wolfsburg

2. AS Roma vs Real Madrid

3. PSG vs Chelsea

4. Arsenal vs FC Barcelona 5. Juventus vs Bayern Munchen 6. PSV vs Atletico Madrid 7. Benfica vs Zenit St. Petersburg 8. Dynamo Kyiv vs Manchester City

Jumlah total gol yang mungkin terjadi dari pertandingan-pertandingan tersebut dihitung menggunakan distribusi Poisson yang akan diuraikan pada subbab berikutnya.

C. Rumus Proses Distribusi Poisson

Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik oleh jumlah gol yang mungkin terjadi pada semua pertandingan babak 16 besar Liga Champions Eropa, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kemunculan gol dalam interval waktu jika proses kemunculannya mempunyai karakteristik sebagai berikut.

pada satu penuh waktu pertandingan, yaitu tingkat yang dapat diubah kepada rata-rata yaitu 1,5 kemunculan gol setiap 45 menit atau 0,0333 kemunculan gol setiap menit.

2. Jumlah kemunculan gol pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kemunculan gol di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kemunculan gol dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kemunculan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu gol yang dapat terjadi dalam waktu satu detik.

Rumus distribusi Poisson :

λ = Tingkat rata-rata kemunculan tiap unit waktu x = Jumlah kemunculan

e = 2,718

D. Perhitungan Kemungkinan Jumlah Gol pada Babak 16 Besar Liga Champions Eropa 2015 dengan Menggunakan Distribusi Poisson

Babak 16 besar Liga Champions Eropa terdiri dari 8 pertandingan dan diberikan tiga kondisi, yaitu :

1. Jumlah gol yang muncul tepat 20.

2. Jumlah gol yang muncul tidak lebih dari 7. 3. Jumlah gol yang muncul lebih dari 7.

No

. Pertandingan Jumlah Gol

1. Manchester City 4−2 Monchengladbach 6

2. Real Madrid 8−0 Malmo 8

3. Galatasaray 1−1 Astana 2

4. PSV 2−1 CSKA Moskwa 3

5. Wolfsburg 3−2 Manchester United 5

6. Sevilla 1−0 Juventus 1

7. PSG 2−0 Shakhtar 2

8. Benfica 1−2 Atletico Madrid 3

9. Olympiakos 0−3 Arsenal 3

10. AS Roma 0−0 BATE 0

11. Dinamo Kyiv 1−0 M. Tel-Aviv 1

12. Chelsea 2−0 FC Porto 2

13. Gent 2−1 Zenit St. Petersburg 3

14. Bayern Leverkusen 1−1 FC Barcelona 2

15. Valencia 0−2 Lyon 2

16. Dinamo Zagreb 0−2 Bayern Munchen 2

Total Gol 45

Dari tabel ini kita dapat menarik kesimpulan bahwa terdapat 45 gol yang tercipta pada 16 pertandingan, maka terdapat :

45

16 = 2,8125 ≈ 3 gol dalam 90 menit (1 pertandingan).

Rata-rata jumlah gol yang muncul dalam 1 pertandingan telah diketahui, selanjutnya penyelesaian kondisi-kondisi kemunculan gol dalam 720 menit (8 pertandingan) diuraikan sebagai berikut :

Jadi, kemungkinan terjadi tepat 20 gol dalam 8 pertandingan babak 16 besar Liga Champions Eropa adalah 6,252%.

2. Jumlah Gol yang Muncul Tidak Lebih dari 7 Maka, x ≤ 7 dan λ = 3 x 8 = 24.

P(0; 24) = 2,718₀−24_! .240 = 3,784 x 10−11

P(1; 24) = 2,718₁−24_! .241 = 90,816 x 10−11

P(2; 24) = 2,718₂−24_! .242 = 1089,792 x 10−11

P(3; 24) = 2,718₃−24_! .243 = 8718,336 x 10−11

P(4; 24) = 2,718₄−24_! .244 = 52310,016 x 10−11

P(5; 24) = 2,718₅−24_! .245 = 251088,0768 x 10−11

P(6; 24) = 2,718₆−24_! .246 = 1004352,307 x 10−11

P(7; 24) = 2,718₇−24_! .247 = 3443493,625 x 10−1

Kita akan mencari P(x ≤ 7; 24), maka :

P(x ≤ 7; 24) = P(0; 24) + P(1; 24) + P(2; 24) + P(3; 24) + P(4; 24) + P(5; 24) + P(6; 24) + P(7; 24)

= 3,784 x 10−11 _{+ 90,816 x 10}−11 _{+ 1089,792 x 10}−11 ₊

8718,336 x 10−11 _{+ 52310,016 x 10}−11 _{+ 251088,0768 x} 10−11 _{+ 1004352,307 x 10}−11 _{+ 3443493,625 x 10}−1 = 3443,493757 x 10−4

= 3443,493757 x 10−4 _{x 100%} P(x ≤ 7; 24) = 34,434%

3. Jumlah Gol yang Muncul Lebih dari 7 Maka, x > 7 dan λ = 3 x 8 = 24. P(x > 7; 24) = 100% − P(x ≤ 7; 24)

= 100% − 34,434% P(x > 7; 24) = 65,566%

BAB III

KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

Learn.Cyber. (2008). Modul Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia: http://cyber-learn.blogspot.co.id/2008/09/modul-distribusi-poisson.html [13 Desember 2015].

Mr. Shared. (2012). Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia:

http://21slowspeed.blogspot.co.id/2012/11/distribusi-poisson-sejarah-distribusi.html [14 Desember 2015].

Novianto, Gangsar. (2011). Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia:

http://gangsarnovianto.blogspot.co.id/2011/05/distribusi-poisson.html [13 Desember 2015].

Partini. (2015). Hasil Lengkap, Klasemen Dan Top Skor Liga Champions Tadi Malam, Rabu-Kamis 9 & 10 Desember 2015, [Online]. Tersedia:

http://www.radarindo.com/4727/hasil-lengkap-klasemen-dan-top-skor-liga-champions-tadi-malam-rabu-kamis-9-10-desember-2015/ [13 Desember

2015].

Sufahmi Afdhal. (2014). Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson, [Online]. Tersedia: http://blablablalabla.blogspot.co.id/2014/10/distribusi-binomial-dan-distribusi.html [13 Desember 2015].

http://www.bola.net/champions/