Surabaya, 18 Januari 2014
Program Studi Pendidikan Sains, Program Pascasarjana ISBN: 978-602-14702-6-8
DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL
ATAS RING KOMUTATIF
Dian Mustofani1), Subiono1)
1)
Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya e-mail: [email protected]
Abstract
The total graph of ring , denoted by is a graph with all elements of as vertices, and two distinct vertices , are adjacent if and only if , where denotes the set of zero-divisors of . The induced subgraph of with vertices on the regular elements denoted by be a regular graf of ring , and other subgraph of with vertices on the regular elements Z . Ring that use ini this research is ring of integers modulo. In this research, the partition dimention of subgraph will be formulated.
Keywords: the total graph, regular graph, partition dimention
Abstrak
Misal adalah ring komutatif. Graf total atas ring dinotasikan dengan adalah graf dengan semua elemen simpul di , dan dua simpul berbeda terhubung jika dan hanya jika dengan adalah himpunan pembagi nol atas. Subgraf terinduksi atas graf dengan elemen simpul di
dinotasikan dengan merupakan graf regular atas ring , sedangkan subgraf terinduksi dalam graf total yang lain yaitu subgraf terinduksi dengan elemen simpul di . Ring komutatif yang digunakan dalam penelitian ini adalah ring bilangan bulat modulo . Kemudian subgraf terinduksi atas ring komutatif ini dibuat partisi atas himpunan simpulnya sedemikian sehingga representasi setiap simpul terhadap himpunan partisi tersebut berbeda dengan kardinalitas partisi yang minimal. Hasil yang diperoleh dalam penentuan himpunan partisi tersebut tergantung pada sifat ring komutatif pembentuk graf tersebut.
Kata Kunci: graf total, graf regular, dimensi partisi
PENDAHULUAN
Penggabungan dua teori tentang struktur aljabar dan teori graf salah satunya dipelajari oleh (Anderson dan Badawi, 2008). Graf total atas ring dibentuk dari sebuah ring komutatif yang penyusunannya didasarkan pada himpunan pembagi nol . Sedangkan graf regular merupakan subgraf
dengan simpul dalam elemen regularnya. Gagasan dari dimensi partisi untuk graf pertama kali dipelajari oleh (Gary Chartrand dan Zhang, 2000). Dalam penelitiannya simpul-simpul pada graf terhubung direpresentasikan oleh kriteria lain, yakni melalui partisi himpunan simpul dan jarak antara tiap simpul dengan himpunan bagian pada partisi tersebut. Banyaknya partisi himpunan simpul yang minimum disebut dengan dimensi partisi.
Dalam tulisan ini akan dibahas tentang dimensi partisi atas subgraf terinduksi yang terdapat pada graf total , yaitu subgraf terinduksi dengan elemen simpul pada himpunan yang kemudian disebut
sebagai graf regular atau dan subgraf terinduksi dengan elemen simpul di himpunan pembuat nol atau Z . Dalam tulisan ini ring komutatif yang digunakan adalah ring bilangan bulat modulo . METODE
Pada aljabar ring merupakan suatu himpunan beserta dua operasi biner dan yang memenuhi sifat asosiatif terhadap penjumlahan, komutaif terhadap penjumlahan, ada yang merupakan elemen netral, punya invers terhadap penjumlahan, asosiatif terhadap perkalian, mempunyai elemen identitas terhadap perkalian, dan distributive. Bila semua elemen bersifat komutatif pada operasi , maka ring merupakan ring komutatif.
Misal suatu ring komutatif, suatu elemen dikatakan suatu pembagi nol bila ada suatu elemen taknol yang memenuhi (Subiono,2012). Apabila dan bukan pembagi nol atas ring ,
Program Studi Pendidikan Sains, Program Pascasarjana ISBN: 978-602-14702-6-8 Sebuah graf yang tersusun atas
himpunan berhingga dan . Elemen-elemen atas disebut simpul (node ), dan elemen atas disebut sisi. Sebuah subgraf atas adalah graf yang semua simpul dan sisinya berada di . Jika adalah subgraf atas , maka dapat dikatakan adalah supergraf atas (Gross dan Yellen, 2006). Graf atau graf lengkap, sedangkan graf bipartit lengkap .
Misal adalah sebuah graf, dan . Jarak antara dan disimbolkan dengan
adalah panjang lintasan terpendek dari simpul dan .
Dengan kata lain dan jika
tidak ada lintasan dari ke (Anderson dan Badawi, 2008).
Bila Diberikan himpunan - partisi terurut dari , representasi dari
terhadap adalah vector-
. Himpunan disebut partisi pembeda jika -vektor ) berbeda untuk setiap . Minimum dari – partisi pembeda dari disebut dimensi partisi dari
, dinotasikan dengan (Amalia, 2013).
Gambar 1. Graf
Misal adalah graf seperti dalam Gambar 1 ,
dengan , , dan
. Representasi terhadap adalah = (0, 1, 1), = (1, 0, 1), = (1, 1, 0), =(1, 2, 0), dan = (0, 2, 1). Maka adalah partisi pembeda dari , sebab berbeda untuk setiap dan minimum, sehingga . Dalam (Gary Chartrand dan Zhang, 2000) menyebutkan bahwa bila
untuk setiap ,
maka simpul dan harus berada dalam partisi yang berbeda di . Sehingga untuk sebuah graf lengkap , maka dimensi partisi .
Sebuah graf total atas ring komutatif dinotasikan dengan , merupakan graf tak-berarah dengan semua elemen atas sebagai simpul, dan untuk yang berbeda, dan terhubung jika dan hanya jika , dengan adalah himpunan pembagi nol atas disertai dengan elemen . Subgraf terinduksi atas dengan elemen simpul
di dinotasikan dengan yang
merupakan graf regular atas ring . Untuk selanjutnya dalam tulisan ini, disebut sebagai graf
regular atas ring . Sedangkan graf merupakan subgraf terinduksi atas T dengan simpul-simpul dalam (Anderson dan Badawi, 2008).
Dalam penelitian Anderson dan Badawi (2008), bila ring adalah sebuah ring komutatif dengan adalah ideal atas , maka adalah sebuah graf lengkap dan dalam graf graf tak-terhubung dengan Reg .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bagian ini akan dijelaskan penentuan dimensi partisi pada subgraf-subgraf terinduksi pada graf total, yaitu graf regular dan subgraf terinduksi dengan elemen simpul pada himpunan pembuat nol. Penentuan Dimensi Partisi pada Graf Regular
Dalam penjelasan ini akan ditinjau penentuan dimensi partisi pada graf regular berdasarkan ring penyusunnya.
Gambar 2. Graf regular ,
Gambar 2(a), (b), (c), dan (d) berturut-turut, merupakan graf regular atas ring untuk . Dapat dilihat bahwa graf regular untuk
merupakan graf yang tidak terhubung, sehingga tidak dapat ditentukan dimensi partisinya.
Untuk dan , dapat diselidiki
bahwa graf regular merupakan graf
lengkap , dengan , sehingga
. Simpulan tersebut dituliskan berikut ini :
Teorema 1 : Misal adalah graf regular
atas ring , untuk dan , maka
Bukti :
Karena dan , maka himpunan
pembuat nol adalah ideal. Dapat diperiksa untuk dan , adalah subgrup siklik yang
Program Studi Pendidikan Sains, Program Pascasarjana ISBN: 978-602-14702-6-8 dibangkitkan oleh elemen atau dapat ditulis
dengan
sedemikian sehingga , akibatnya
banyaknya koset kiri yang
terbentuk adalah . Berdasarkan sifat yang ada dalam penelitian Anderson dan Badawi (2008), untuk maka regular yang terbentuk
adalah graf lengkap . Sehingga
, untuk dan
.
Gambar 3. Graf regular ,
dan
Dalam Gambar 3(a) dan (b) berturut=turut merupakan graf regular , untuk dan . Sedangkan Gambar 3(c) dan (d) merupakan
graf regular , untuk .
Karena untuk setiap , dan graf regular yang terbentuk merupakan graf tak terhubung, maka tidak dapat ditentukan dimensi partisinya.
Untuk dan , dapat
diselidiki bahwa graf regular merupakan
graf lengkap , dengan , sehingga
. Simpulan tersebut dituliskan berikut ini :
Teorema 2 : Misal adalah graf regular
atas ring , untuk dan ,
maka .
Bukti :
Akan dibuktikan untuk setiap maka
. Ambil sebarang :
dan , karena adalah bilangan genap dengan maka adalah bilangan ganjil.
dan , karena adalah bilangan genap dengan maka adalah bilangan ganjil.
Sehingga , karena
adalah genap, maka dan
.
Karena untuk setiap , dan , maka untuk setiap simpul di saling terhubung, dan graf regular yang terbentuk adalah graf lengkap dengan elemen simpul sebanyak
elemen .
Penentuan Dimensi Partisi pada Subgraf Terinduksi Dengan Elemen Simpul di Himpunan Pembuat Nol.
Dalam bagian ini akan dibahas penentuan dimensi partisi pada subgraf terinduksi dengan elemen simpul di himpunan pembuat nol berdasarkan ring penyusunnya.
Gambar 4. Subgraf terinduksi Z ,
Untuk setiap , dengan , maka
himpunan pembuat nol , sehingga
subgraf terinduksi dengan elmen adalah graf dengan 1 simpul, seperti yang terlihat dalam Gambar 4.
Maka .
Gambar 5. Subgraf terinduksi Z ,
Untuk setiap , dengan , maka
subgraf terinduksi dengan elmen adalah graf lengkap seperti yang terlihat dalam Gambar 5.
Maka .
Teorema 3 : Misal adalah ring dengan ,
dengan . Maka .
Bukti :
Karena himpunan pembuat nol merupakan ideal atas ring jika dan hanya jika , dengan
Program Studi Pendidikan Sains, Program Pascasarjana ISBN: 978-602-14702-6-8 . Dalam tulisan Anderson dan Badawi
(2008), adalah ideal atas ring ,
merupakan sugrub terinduksi lengkap atas graf total . Sehingga dimensi partisi yang mungkin pada subgraf terinduksi = . Maka
, dengan ,
.
Teorema 4 : Misal adalah subgraf terinduksi dengan elemen simpula pada atas ring , untuk
. Misal subgroup dan
. Maka
. Bukti :
Misal adalah graf dengan order
, dimana
. Dan misal
dan . Maka
terdapat sedemikian sehingga ,
ini berarti bahwa , dan dapat diperiksa
juga untuk . Andaikan
partisi dimensinya adalah
, misal dan andaikan
, , dan untuk
, dan . Karena :
Untuk , entri ke-1 dalam
,
Untuk , entri ke-2 dalam
,
Untuk , entri ke- dalam
,
Dan untuk , entri ke-2 dalam
Ini menunjukkan , maka
kontradiksi, bukan partisi pembeda atas .
Sehingga .
Gambar 6. Subgraf terinduksi Z .
Contoh permasalahan dalam Gambar 6, adalah sebagai berikut, bila , maka seperti dalam Gambar 6. Di mana elemen-elemen simpulnya
adalah . Sub grup siklik
yang dibangun oleh elemen adalah
termuat dalam
himpunan pembuat nol , dan
. Karena 1, maka salah satu himpunan partisi pembeda yang mungkin adalah
, dengan ,
, dan . Maka representasi setiap simpul terhadap yaitu :
) =(0, 1, 1) ) =(1, 0, 1) ) =(0, 2, 2) ) =(1, 1, 0)
Karena ) berbeda untuk semua , jadi
.
SIMPULAN
Pada penelitian ini berhasil mendapatkan suatu formulasi dimensi partisi subgraf terinduksi pada graf total. Dimana dimensi partisi pada subgraf terinduksi ini bergantung pada nilai yang diberikan. Dimensi partisi pada graf regular untuk dengan
, dan untuk dengan
dan maka dimensi partisi pada graf regular tidak dapat ditentukan p,
sedangkan untuk maka
, kemudian untuk maka . Dimensi partisi pada subgraf terinduksi dengan elmen simpul pada himpunan
pembuat nolnya untuk maka
, sedangkan untuk maka , kemudian untuk
maka .
Dalam penelitian ini ring komutatif yang digunakan adalah ring himpunan bilangan bulat modulo , untuk penelitian selanjutnya disanrankan untuk meneliti dimensi partisi pada ring selain himpunan bilangan bulat modulo .
DAFTARPUSTAKA
Amalia, R. 2013. “Dimensi Partisi Bintang dari Graf Kincir yang Diperumum”. Tesis, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Anderson, D. F. dan Badawi, A. 2008. “The Total Graph of a Commutative Ring”. Journal of Algebra 320, 2706–2719.
Gary Chartrand, E. S. dan Zhang, P. 2000. “The Partition Dimention of a Graph”. Aequationes Mathematicae 59, 45–54.
Program Studi Pendidikan Sains, Program Pascasarjana ISBN: 978-602-14702-6-8 Gross, J. L. dan Yellen, J. 2006. Graph Theory and Its
Applications. second edn, USA: Chapman and Hall =CRCTaylor& Francis Group.
Herstein, I. N. 1996. Abstract Algebra. third edn. USA: Prentice Hall Inc.
Sari, A. N. 2013. “Dimensi Partisi Graf Hasil Amalgamasi Dua Graf Terhubung”. Tesis, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Subiono. 2012. “Aljabar Materi Kuliah Aljabar 2012”. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
