Edisi 16 April Pekan Ke-4, 2005 Nomor Soal: 151-160

(1)

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 16

April Pekan Ke-4, 2005

Nomor Soal: 151-160

151. Jika

π 2 π

1 sin cos

2005 2005

tan

π 2 π

cos sin

2005 2005

x

 





, maka nilai x adalah ....

A. π

5 B. π

401 C. π

1002,5 D. π

2005 E. 2π 2005

Solusi: [D]

π 2 π

1 sin cos

2005 2005

tan

π 2 π

cos sin

2005 2005

x

 





2

π π

1 sin 1 2 sin

2005 2005

π π π

cos 2 sin cos

2005 2005 2005

  





π π

sin 1 2sin

2005 2005

π π

cos 1 2sin

2005 2005

 _ 

 

 



 _ 

 

 

π

tan 2005



π _π

2005

x k , dengan kB

Jika k 0, maka π 2005 x .

152. Jika cotxtanxa, maka nilai cot2xtan2x....

A. a22 B. a21 C. a2 D. a21 E. a2 2 Solusi: [E]

Kita mengetahui bahwa a2b2



ab



22ab dan cot tanx x1, sehingga





2

2 2

cot xtan x cotxtanx 2cot tanx x a22

153. Tiang bendera diletakkan di puncak gedung, sehingga puncak dan dasar tiang

terlihat oleh pengamat dengan sudut



, dengan

5 1

tan



 . Jika tinggi gedung

adalah 40 meter dan jarak pengamat ke dinding gedung adalah 50 meter, tentukan panjang tiang bendera.

A.

21 11

19 m B. 1811

21m C. 11 16

21m D. 11 10

21m E. 11 9

21m

(2)

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005 Misalnya panjang tiang bendera adalah

CD



x

.





50 40 tan







 x

50 40 tan tan 1

tan

tan _ x

 









50 40 40 250

50

200 _ x 



50 40 210

250_ x

1250

21

840 

x



410

21 x



21 11 19 21 410_  x

Jadi, panjang tiang bendera adalah

21 11 19 m.

154. Titik-titik A, B, C, dan D terletak pada keliling lingkaran. AC adalah diameter dan CBDDBA. Jika CB2dan AB4, berapa panjang BD?

A. 4 3

B. 4 2

C. 3 3

D. 3 2

E. 2 3

Solusi: [D]

AC diameter ,ABC90, dan 

  

CBD DBA 45 .

Karena CADdanCBD dan sama-sama menghadap busur BC, maka

   

CAD CBD 45

Menurut Teorema Pythagoras

2 2 _AB

BC

AC   2242 2 5

A B

C

D

2

4



A B

C

D



A B

C

D x

4 0 50

 40 1

40 50 5

40 1 50 1

50 5

x

 _

(3)

Menurut Aturan Sinus:

ABD

155. Tentukan nilai eksak dari hasil kali cos cos2 cos4

7 7 7

cos cos cos

7 7 7

2sin cos cos

7 7 7

2sin cos

(4)



sin cos

 

16sin cos



24



sin cos cos sin



37 9 2 A 2A  2B 2B  A B A B 

 

1 16

 

1 24sin





37 9   AB 





12 sin

24 AB 





2 1 24 12 sin AB  

 



B 30 atau150

A

 

150 atau30

C

Untuk A30, maka 3sinA4cosB6 sehingga 4 6 2 3_ _

Karenanya besar sudut C adalah 30 . 

 

2

2 2

1 cot C 1 cot 30  1 3   1 3 4

157. Jika nilai minimum fungsi f x

 

cos4xsin4x2 1 cosk



 x



adalah 2 1  ,

maka nilai k adalah ....

A.  2 3 B. 1 3 C. 2 D.  2 3 E. 2 3

Solusi: [D]

 

4 4





cos sin 2 1 cos f x  x x k  x

 



2 2



2 2







cos sin cos sin 2 1 cos

f x  x x x x  k  x

 

_{2 cos}2 _{1 2} _{2 cos}

f x  x  k k x

 

2 cos 2 2 2 1

2 2

a a

f x  _ x _   a

 

dan dengan mempertimbangkan kasus berikut. Kasus 1:

Jika k 2, maka f

 

x memberikan minimum 1 4 kuntuk cosx1. Kasus 2:

Jika k 2, maka f

 

x memberikan minimum 1untuk cosx1. Kasus 3:

Jika   2 k 2, maka f

 

x memberikan minimum 2

2 1 2

k k

   untuk

cos 2 k x .

Dalam dua kasus pertama minimum f

 

x tidak dapat menjadi 2 1  .

(5)

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005 sin cos tan

A A C

sin cos tan sin cos tan

A A C sin cos

cos sin sin cos

cos

sin cos cos sin sin cos cos sin

A C A C

Di sini kita hanya memerlukan untuk menghitung interval (range) dari r. Karena a, b, c adalah barisan geometri, panjang maksimum hanya a atau c. Juga karena a, b, c adalah panjang tiga sisi segitiga, mereka memenuhi hubungan abcdan bca_.

(6)

lingkaran juga menyinggung kaki dan hipotenusa segitiga tersebut. Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.

(7)

AX PX A_

2 tan

AX r

 3 1

r AX 3

BX XY AX

AB  

353r2r2r 7r35

5

r

160. Dalam trapesium ABCD, AB/ /CD, A_{adalah sudut siku-siku,} AB8, 34

AD , CD24 , dan titk E terletak pada AD sedemikian sehingga besar AEB

 adalah setengah besar CED. Tentukan panjang AE.

A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 E. 18 Solusi: [D]

Misalnya AEBdan CED2. AE x dan DE17x. 8

tan

x

 

24 tan 2

34 x

  

2

2 tan 24

34

1 tan x



  



2

8 2

24 34 8 1

x

x x

 

  

  _{ }

2

16 24

34 64 x

x

x   

2

2 3

34 64 x

x

x   

2 2

68x2x 3x 192

2

5x 68x1920



5x12



x16



0 12

5

x  (ditolak) atau x16(diterima) Jadi, panjang AE adalah 16.

B A



C D

8

24

E



2

x