1
PENGGUNAAN ATURAN WARNSDORFF DAN ALGORITMA
DEVIDE AND CONQUER
DALAM MENYELESAIKAN PERMAINAN
BERBASIS STRATEGI : THE KNIGHT'S TOUR
Santi Septinandari1), Yemi Kuswardi S.Si., M.Pd.2) 1) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS
Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail : s a n t i s e p t i n a n d ar i @ s t ud e n t . u n s .a c . i d
2) Dosen Prodi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail : y e m i k u s w ar d i @ g m a il . c om
Abstrak
The Knigh Tour adalah salah jenis permainan catur yang telah
dikembangkan menjadi aplikasi virtual dan secara online. Prinsip utama permainan
ini adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati semua
petak pada papan catur tepat satu kali. prinsip utama permainan kningt tour
ini merupakan lintasan graph Hamilton. Banyak cara untuk mencari lintasan
Hamilton dalam suau graph. Dalam makalah ini akan dibahas dua cara penentuan
lintasan hamilton dalam permainan knigt tour, yaitu Aturan Warnsdoff dan
Algorifma
Devide and Conquer
. Hasil kajian yang diperoleh dari penerapan Aturan
Warnsdoff dan Algorifma
Devide and Conquer
dalam menyelesaikan permainan
kningt tour adalah ditemukannya suatu pola dan karakteristik tertentu dalam
menyelesaikan permainan The Knight Tour ukuran papan kecil dan besar dengan
penerapan Aturan Warnsdoff dan Algorifma
Devide and Conquer.
Kata kunci : The Knight Tour, Aturan Warnsdoff dan Algorifma
Devide
and
2 PENDAHULUAN
Matematika merupakan dasar dari semua ilmu. Matematika bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan rumit hingga sederhana sekalipun, termasuk dalam sebuah permainan/ game. Jenis permainan yang bisa diselesaikan dengan penerapan matematika ada banyak sekali, salah satunya adalah permainan berbasis strategi, baik tradisional maupun modern antara lain permainan modern adala game online The Knigt's Tour. Prinsip utamanya adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati semua petak pada papan catur tepat satu kali. Hal ini merupakan prinsip utama salah satu cabang ilmu matematika yaitu Graf, lebih tepatnya Lintasan Hamilton. Banyak cara untuk menyelesaikan persoalan ini, antara lain algoritma Devide and Conquer, algoritma Backtracking, metode De Moivre, Solusi Neural Network dan aturan Warnsdorff . Dalam menentukan strategi tersebut, perlu diperhatikan ukuran papan catur yang akan digunakan. Hal ini karena perbedaan ukuran papan catur mempengaruhi jenis metode atau algortima yang dipakai untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour. Penggunaan Algortima backtracking untuk menyelesaikan permainan ini sudah banyak dibahas dalam makalah-makalah lain, sedangkan metode De Moivre hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan papan catur ukuran standar nxn dengan n = 8. Selain itu, aturan Warnsdorff merupakan metode pertama yang dibahas untuk menyelesaikan pemecahan The Knight's Tour, yaitu sejak tahun 1823 dan algortima devide and conquer digunakan untuk papan berukuran besar. Beberapa penelitian yang terkait antara lain penelitian oleh Sahat Nicholas dalam makalah berjudul “Aplikasi Graf Dalam Permainan Catur” dan penelitian oleh minartin dalam skripsinya yang berjudul “Simulasi Knight's Tour Dengan Algoritma Warnsdorff's“.
Penulisan dalam makalah ini bertujuan untuk mengkaji penerapan Aturan Warnsdoff dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour papan ukuran kecil dan ukuran papan besar dengan bantuan algortima devide and conquer.
pilihan jalannya kuda dapat diibaratkan sebagai sisi yang menghubungkan dua titik sebagai gerakan dari bidak kuda. Permasalahan sirkuit Hamilton adalah bagaimana melewati semua titik tepat satu kali, sama seperti The Knight's Tour yaitu menempati setiap petak tepat satu kali.
PEMBAHASAN
Ukuran papan catur yang bisa dikatakan Knight's Tour
Tidak semua ukuran papan memiliki Knight's Tour. Allen Schwenk telah membuktikan adanya karakterisasi dari papan catur persegi panjang berukuran m x n sehingga dapat ditemukan knight's tour. Papan catur segiempat berukuran m x n (untuk m lebih kecil dari n) tidak memiliki
Knight's Tour jika m = 1, 2 atau m = 3 dan n = 5. Berikut ini ukuran papan catur yang dapat
A. Penggunaan Aturan Warnsdorff Pada Papan Ukuran Kecil Pada papan catur ukuran 3x4
Langkah-langkah yang digunakan oleh aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan permainan The Knight's Tour :
2) Mendata semua kemungkinan langkah yang dapat dilakukan oleh bidak kuda, lalu simpan dalam sebuah array, dimisalkan array .: x1 (di b3) , x2 ( di c2 )
3) Menghitung jumlah semua langkah yang mungkin dilakukan kuda ketika berada pada posisi tersebut ( petak posisi yang disebutkan dalam array X). Posisi yang dihitung adalah posisi yang belum pernah dilewati sebelumnya.
Jika dipilih X1, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak d2 atau c1. Sedangkan jika dipilih X2, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak a1. Sehingga :
X1 : kemungkinan 2 langkah X2 : kemungkinan 1 langkah
4) Posisi selanjutnya dipilih berdasarkan jumlah langkah yang paling sedikit yang bisa dilakukan pada posisi X tertentu.
5) Ulangi langkah 2-4 sampai seluruh papan permainan terisi.
X1
X2
6) Hasil permainan yang telah selesai contohnya seperti ini
Namun, pada penerapan permainan The Knight's Tour papan ukuran 3x4 ini, Aturan Warndoff ini bisa digunakan dengan penambahan syarat, yaitu pada langkah pertama, titik awal yang dipilih adalah petak dari kolom a atau kolom d saja.
Pola yang dihasilkan
Ukuran Karakteristik 3x7
a. Akan ada solusi jika start dari petak berwarna biru, kecuali pada kolom d2 ( karena berada di tengah sehingga kemungkinan langkah selanjutnya sama semua.
3x8
Jika dipilih titik asal di petak sudut, maka kemungkinan titik akhirnya ada 2 yaitu petak sebelahnya yang berada di kolom yang sama atau di petak sudut pada baris yang sama
5x5
Ada dua hal yang menjadi ciri khas penerapan Aturan Warndoff dalam The Knight's
Tour ukuran papan 5X5, yaitu :
a. Jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang dipilih adalah kotak biru yang ada di tepi papan ( a1, a3, a5, c1, c5, e1, e3, e5) maka bidak kuda akan berakhir di sebarang tempat ( acak )
b. Sebaliknya, jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang dipilih adalah kotak biru selain yang di tepi papan, maka bidak kuda akan berakhir di kotak biru tepi papan
9 8x8
Warna petak awal dan akhir selalu berbeda
Penggunaan Aturan Warnsdorff Papan Catur Ukuran Besar
Untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour dengan papan lebih besar, diperlukan sebuah algortima “bantuan” untuk mempermudah prosesnya. Algoritma yang sering digunakan dan paling popular adalah Algoritma Devide and Conquer. langkah-langkahnya sesuai dengan algoritma tersebut, yaitu :
Divide : Membagi masalah menjadi beberapa bagian yang memiliki kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil ( idealnya berukuran hampir sama ). Masing-masing bagian yang sudah dipartisi ini disebut basis. Misalnya untuk papan berukuran 16x16, maka dipartisi menjadi 4 bagian sama besar yaitu 8x8. Untuk papan ukuran 27x27 bisa dipartisi menjadi 16 basis denan ukuran 8x8, 6x8, dan 6x6. Begitupula seterusnya.
Conquer : Memecahkan ( menyelesaikan ) masing-masing upa-masalah ( secara rekursif ). Dalam hal ini, digunakanlah Aturan Warnsdorff lagi.
10 Papan catur ukuran 10 x 10
a. Divide ( dibagi )
Papan catur ukuran 10x10 dipartisi menjadi 4 bagian dengan ukuran masing- masing baian adalah 5x5.
b. Conquer ( menyelesaikan satu-satu ) dan Combine ( menggabungkan )
13 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan tersebut, penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut :
1. Penerapan Aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour ukuran papan kecil bisa dilakukan pada :
• papan ukuran papan nxn, n ganjil, n ≥ 5 • papan ukuran mxm, m genap, m ≥ 6
• papan ukuran axb, dengan a<b, a = 1 atau 2 atau 3 dan b = 5
2. Penerapan Aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan permaianan The Knight’s Tour ukuran papan besar bisa dilakukan dengan bantuan algoritma devide and conquer • Mempartisi papan ukuran besar menjadi beberapa bagian sehingga menjadi
papa ukuran kecil,
• Menyelesaikan tiap bagian kecil tadi dengan aturan warnsdorff, • Menggabungkan tiap penyelesaikan bagian kecil jadi kesatuan utuh. Saran
Dari pembahasan tersebut, sarand ari penulis adalah :
1. Pembahasan pada makalah seminar ini hanya terbatas pada solusi Open Tour, sedangkan solusi dari permainan The Knight's Tour sendiri ada 2 jenis yaitu Open dan Close Tour. Selain itu, penerapan Aturan Warnsdorff yang digunakan hanya terbatas pada cara manual, sehingga sangat disarankan untuk pengaplikasian lebih luas bisa menggunakan pemrograman computer.
2. Ada banyak sekali metode yang belum dibahas secara detail yang bisa digunakan untuk menemukan solusi dari permaian The Knight's Tour selain Aturan Warnsdorff, antara lain adalah Solusi Neural Network, Metode De Moivre, dan Algoritma Kunang-Kunang.
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2006.Matematika Diskrit, edisi keempat. Bandung : Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Diktat Kuliah IF 2153 Munir, Rinaldi. 2010. Strategi Algoritma. Bandung : Informatika ITB
14
Micky Yudi Utama. 2015. Makalah : Penerapan Teori Graf Untuk Penyelesaikan Teka Teki Permainan The Knigts Tour. Bandung : Sekolah Teknik Elektro Dan Informatika Minartin. 2005. Skripsi : Simulasi Knight's Tour Dengan Algoritma Warnsdorff's. Jember :
Universitas Jember
Mumtaz, Fahmi. 2009. Makalah : Aplikasi Teori Graf Pada Knight's Tour. Bandung : ITB
Sahat Nicholas Simangunsong. 2010. Makalah : Aplikasi Graf Dalam Permainan Catur. Bandung : ITB
