Logika Matematika
Rukmono Budi Utomo 30115301
Pengampu: Prof. Dr. Taufiq Hidayat
March 16, 2016
1
Logika
Logika berasal dari kata Yunani kuno (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal piki-ran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika merupakan salah satu cabang dalam ilmu filsafat yang merupakan cabang ilmu yang mempelajari filosofi terhadap sesuatu hal. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme atau dalam bahasa Latin(logica scientia) atau ilmu ilmu pengetahuan yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu di sini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.
Selain sebagai ilmu pengetahuan, logika juga dapat dipandang sebagai cabang fil-safat yang praktis. Makna dari Praktis di sini memberi arti bahwa logika dapat diprak-tikkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradi-sional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran.
Logika sebagai matematika murni, matematika adalah logika yang tersistimatisasi, matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur menggunakan simbol-simbol matematik (logika simbol-simbolik). Logika tersistimatisasi dikenalkan olehGalenus dan Sextus Empiricus.
2
Asal-Usul Logika
• Masa Yunani Kuno
Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpal-ing kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemu-dian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemukemu-dian disebut logica scientica.
Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:
*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan *Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia *Air jugalah uap
*Air jugalah es
Dengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.
• Abad pertengahan dan logika modern
Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eis-agoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti Petrus Hispanus (1210 - 1278),Roger Bacon (1214-1292),Raymundus Lullus (1232 -1315)yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian,
William Ocham (1295 - 1349).
Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh
Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalamAn Essay Concerning Human Understanding,Francis Bacon (1561 -1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunyaNovum Organum Scientiarum dan J.S. Mills (1806 - 1873) dalam bukunya System of Logic
3
Manfaat Berfikir Dengan Logika
Beberapa manfaat atau kegunaan apabila dapat berfikir secara logika antara lain:
• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional,
kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
• Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
• Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
• Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan
asas-asas sistematis
• Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis ,lurus, metodis dan analitis
seba-gaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang
4
Logika Matematika
Logika matematika merupakan salah satu cabang logika yang mengandung kajian matem-atis logika. Secara matemmatem-atis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran. Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggu-nakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus atau permasalahan. Dalam logika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, in-gkaran atau negasi, kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah dari beberapa pernyataan atau keadaan.
5
Pernyataan Dalam Matematika
Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :
• Negasi
Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu ni-lai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang ∼ yang berarti tidak
atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakansapi adalah hewan berkaki empat
maka negasinya adalahsapi bukan hewan berkaki empat. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P ∼P
B S S B
Tabel 1: kebenaran Matematika Negasi
P : Sapi adalah hewan berkaki empat (B)
∼P : Sapi bukanlah hewan berkaki empat (S)
• Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
dan atau disimbolkan dengan ∧. Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar
tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P Q P∧Q
B B B B S S S B S S S S
Tabel 1: kebenaran Matematika Konjungsi
Dalam konjungsi, dua buah pernyataanP dan Qbernilai benar (B) apabila baik pernyataanP dan Qkeduanya bernilai benar. Apabila ada salah satu dari P atau
Q bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q bernilai salah. Contoh kon-jungsi dari dua pernyataan yang benar adalah:
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q:Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)
P∧Q : Sapi adalah hewan herbivora dan sapi adalah pemakan rumput
Untuk contoh konjungsi dua buah pernyataanP dan Qyang tidak benar (Salah) cukup diberikan salah satu atau kedua pernyataan dari P dan Q
• Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
atau yang disimbolkan dengan ∨. Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi.
Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terda-pat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar. Dalam tabel kebenaran matematika, ne-gasi dapat disajikan sebagai berikut
P Q P∨Q
B B B B S B S B B S S S
Tabel 2: kebenaran Matematika Disjungsi
Dalam disjungsi, dua buah pernyataan P atau Q bernilai salah (S) apabila baik pernyataanP danQkeduanya bernilai Salah. Apabila ada salah satu dariP atau
baikP dan Qkeduanya bernilai Benar, maka konjungsiP danQpastilah bernilai benar. Contoh disjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar adalah:
Contoh 1. P dan Q benar
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q:Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)
P∨Q : Sapi adalah hewan herbivora atau sapi adalah pemakan rumput
(B)
Contoh 2. Salah satu P atau Q bernilai benar Misal hanya P benar
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q:Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)
P ∨Q : Sapi adalah hewan Herbivora atau sapi hewan yang dapat
ter-bang (B)
Perlu diperhatikan bahwa untuk contoh 1, karena P dan Q keduanya bernilai benar, maka tidak perlu diragukan lagi bahwa konjungsiP danQtentulah bernilai benar. Untuk contoh 2, meskipun pernyataanQbernilai salah, sedangkanP adalah pernyataan yang benar, tetap saja konjungsi P dan Q dalam contoh ini tetap bernilai benar, hal ini dikarenakan sifat atau yang memberikan beberapa pilihan kebenaran atas beberapa pernyataan. Apabila ada salah satu dari pilihan dalam pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai benar, maka tentu saja disjungsi dari pernyataan-pernyataan yang diberikan adalah benar. Apabila pilihan dari pernyataan-pernyataan yang diberikan semuanya salah, tentu saja tidak mungkin menghasilkan disjungsi yang benar, untuk itu dua buah pernyataanP dan Qyang salah tentu saja menghasilkan disjungsi yang salah.
• Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubungmakayang disimbolkan dengan→. MisalP →QdibacaJika
P maka Q. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P Q P →Q
B B B B S S S B B S S B
Dalam implikasi, dua buah pernyataan Jika P maka Q bernilai salah (S) apa-bila Pernyataan pertama (P) (anteseden) bernilai benar dan pernyataan kedua (Q) (konsekuen) bernilai salah. Selain dari kondisi di atas, maka implikasi dariP
makaQbernilai benar. Contoh implikasi dari dua pernyataan yang bernilaisalah
adalah:
Contoh1
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q:Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)
P∨Q : Jika Sapi adalah hewanHerbivora maka sapi hewan yang dapat
terbang (B)
Implikasi dari dua buah pernyataan di atas benilai salah, karena anteseden (P) bernilai benar, konsekuen(Q) bernilai salah yang tentu saja menghasilkan perny-ataan implikasi yang salah. Berdeda dengan kebalikannya, apabila anteseden
bernilai salah, namunkonsekuen bernilai benar, maka menghasilkan implikasi yang benar. Hal demikian dapat terjadi karena terlepas apapun nilai kebenaran dari
anteseden apabila menghasilkankonsekuen yang benar, maka implikasinya adalah benar.
Contoh 2
P :Sapi adalah Hewaninvertebrata(B)
Q:Sapi adalah Hewan pemakan rumput (S)
P ∨Q : Jika Sapi adalah hewan invertebrata maka sapi adalah hewan
pemakan rumput (B)
Selanjutnya untuk kondisi yang lain, dengan penalaran yang baik, kita akan dapat menerima bahwa meski pernyataan P dan Qsalah, implikasinya benar.
• Biimplikasi
Biimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berartijika dan hanya jika dan disimbolkan dengan↔ . P ↔ Qdibaca P jika dan hanya jika Q.Dalam
tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P Q P ↔Q
B B B B S S S B S S S B
Hakikat biimpikasi dari P jika dan hanya jika Q sejatinya adalah merupakan gabungan dua implikasi yakni Jika P maka Q dan Jika Q maka P. Menurut impikasi jika kedua pernyataan salah, maka nilai implikasinya benar, dan menurut konjungsi dua pernyataan yang benar adalah benar, denan demikian jelaslah alasan mengapa dua pernyataan salahP dan Q, maka biimplikasinya adalah benar.
6
Ekuivalensi Dalam Logika Matematika
Dalam Logika Matematika antara satu pernyataan dengan pernyataan lain dapat memi-liki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini disebut sebagai nilai kesetaraan atau ekuiv-alensi yang merupakan pernyataan-pernyataan bernilai sama atau bermakna sama. Ke-setaraan atauekuivalensi dilambangkan dengan ≡. Beberapa pernyataan dalam logika
matematika yang sama atau salingekuivalensi antara lan adalah:
• ∼(P ∧Q)≡∼P ∨ ∼Q
• ∼(P ∨Q)≡∼P ∧ ∼Q
• P →Q≡ ∼Q→ ∼P
• ∼(P →Q)≡(P ∧ ∼Q)
• ∼(P ↔Q)≡(P ∧ ∼Q)∨(Q∧ ∼P)
Pembuktian kesamaan atauekuivalensi di atas dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran matematika
P Q ∼P ∼Q P ∧Q P∨Q ∼(P∧Q) ∼(P ∨Q) P →Q P ↔Q ∼P∨ ∼Q
B B S S B B S S B B S
B S S B S B B S S S B
S B B S S B B S B S B
S S B B S S B B B B B
∼P∧ ∼Q ∼Q→ ∼P P∧ ∼Q ∼(P →Q) ∼(P ↔Q) (P ∧ ∼Q)∨(Q∧ ∼P)
S B S S S S
S S B B B B
S B S S B B
B B S S S S
Dalam tabel kebenaran logika matematika di atas, terbukti sifat kesamaan atau ekuiv-alensi yang beberapa pernyataan matematika yakni ∼ (P ∧Q) ≡∼ P ∨ ∼Q, ∼ (P ∨
Q) ≡∼P ∧ ∼Q, P → Q≡ ∼Q→ ∼P, ∼(P → Q) ≡(P ∧ ∼Q), dan ∼(P ↔Q) ≡
7
Penarikan Kesimpulan
Dalam Logika matematika terdapat beberapa cara untuk menarik kesimpulan dari premis-premis yang diketahui. Macam cara penarikan kesimpulan tersebut antara lain:
• Modus Ponen
Jika diketahui Premis pertama (P1) adalahjikaP makaQdan premis kedua (P2) adalah P, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan Q, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 :P →Q
P2 :P
KesimpulanQ
Contoh
P1 : Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Bandung
P2 : Hari libur tiba
Kesimpulan: Rani akan berlibur ke Bandung
• Modus Tollen
Jika diketahui Premis pertama (P1) adalahjikaP makaQdan premis kedua (P2) adalah ∼ Q, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan ∼ P, atau
secara matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 :P →Q
P2 :∼Q
Kesimpulan∼P
Contoh
P1 : Jika hari ini hujan, maka Rani tidak berlibur ke Bandung
P2 : Rani berlibur ke Bandung
Kesimpulan: Hari ini tidak hujan
• Silogisme
Jika diketahui Premis pertama (P1) adalahjikaP makaQdan premis kedua (P2) adalah jika Q makaR, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan jika
P makaR, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 :P →Q
P2 :Q→R
KesimpulanP →R
Contoh
P1 : Jika hari ini tidak hujan hujan, maka Rani berlibur ke Bandung
P2 : Jika Rani berlibur ke Bandung, maka ia akan mengunjungi Gedung Sate
Kesimpulan: Jika Hari ini tidak Hujan, maka Rani akan mengunjungi Gedung Sate
8
Referensi
• http://wahid-hambali.blogspot.co.id/2013/04/sejarah-perkembangan-logika-pengantar.htmldikutip
16 maret 2015 pukul 11.20 wib
• http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-logika-matematika.htmldikutip
