Materi dan LKS Matematika Kelas X Semester 2: Logika Matematika

(1)

LOGIKA MATEMATIKA

I PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYA

A. Pengertian Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh

Pernyataan Bukan pernyataan

1. 2 bilangan prima ( benar ) 2. Parabola y = x2_{+ 1 ,}

terbuka ke bawah ( salah )

1. apakah 2 bilangan prima ? 2. selamat , kamu lulus

B. Kalimat terbuka, peubah / variabel , Konstanta dan Penyelesaian Kalimat Terbuka.

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat peubah / variabel sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya.

Contoh

Kalimat terbuka x2_{– x – 2 = 0 , x}__R

X disebut variabel - 2 disebut konstanta

kalimat terbuka di atas benar untuk nilai x = .... x2_{– x – 2 = 0}

( x – 2 )( x + 1 ) = 0 x = 2 atau x = - 1

jadi kalimat di atas benar untuk x = 2 atau x = - 1

x = 2 dan x = - 1 disebut penyelesaian kalimat terbuka x2_{– x – 2 = 0, x}__R

C. Himpunan Penyelesaian suatu kalimat terbuka Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka x2_{– 3x – 10 = 0 , x}__R

Jawab

X2_{– 3x – 10 = 0}

( x – 5 ) ( x + 2 ) = 0 x = 5 atau x = - 2

jadi himpunan penyelesaian



 2,5



D. Negasi atau Ingkaran suatu pernyataan.

Diketahui suatu pernyataan ” p ” maka negasinya disimbolkan ”p ” atau ”

~p” dibaca ” non p ” atau ” bukan p ” atau ” tidak benar bahwa p ”

Untuk : jika p : 2 adalah bilangan prima maka p : 2 adalah bukan bilangan

prima atau tidak benar bahwa 2 adalah bilangan prima. Jiak p bernilai benar maka p bernilai salah atau sebaliknya.

II KONJUNGSI , DISJUNGSI , IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI.

A. Konjungsi.

Kongjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” DAN ” yang disimbulkan ”  ”

Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan

p Q pq

B B S S

B S B S

B S S S Cara mengingat

Jika salah satu pernyataan bernilai salah maka konjungsi dari dua pernyataan itu bernilai salah

(2)

B. Disjungsi.

Disjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” atau ” yang disimbolkan ”  ”

Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan

p Q pq

B B S S

B S B S

B B B S Cara mengingat

Jika salah satu pernyataan bernilai benar maka disjungsi dari dua pernyataan itu bernilai benar.

Menentukan nilai x agar kalimat ” p(x)  q ” dan ” p(x)  q ” bernilai ” benar atau salah ”

Contoh

1. tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai benar : ” dua bukan bilangan prima atau 2_{log y = 3 ”}

jawab

Agar bernilai benar 2_{log y = 3 harus benar ,}2_{log y = 3 benar untuk}

y = 23_{= 8}

2. Tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai salah : ” sin2__{+ cos}2_

= 1 dan cos y = 0,5 , y di kuadaran IV ” Jawab

Agar bernilai salah maka cos y = 0,5 harus bernilai salah , maka cos y

= 0,5 yang benar y = 3000

Jadi agar salah maka y ≠ 3000

C. Implikasi ( pernyataan bersyarat ).

Diketahui dua pernyataan p dan q, implikasi dari p dan q disimbolkan dengan ” p q ”atau ” p  q ” ( p disebut sebab / alasan dan q disebut kesimpulan ). Simbol / notasi ” p  q ” dibaca

1. jika p maka q 2. q jika p

3. p hanya jika q

4. p syarat cukup bagi q 5. q syarat perlu untuk p

Tabel kebenaran untuk implikasi ” p 

q ”

P Q p  q

B B S S

B S B S

B S B B Contoh

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

2. Tentukan nilai x yang menyebabkan implikasi ” jika 2x + 1 = x – 2 maka 3x + 2 < 2x , x R ” bernilai benar

Jawab

3x + 2 < 2x  3x – 2x < - 2  x < - 2 catatan

jika p dan q masing – masing merupakan himpunan penyelesaian dari

kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka “ p(x) 

q(x) bernilai benar jika P  Q „ Implikasi Logis

Pada pernyataan majemuk “ p(x)  q(x) ” jika pada setiap pengantian nilai x

yang menjadikan kalimat p(x) benar akan menjadikan kalimat q(x) benar pula,

maka pernyataan majemuk ” p(x)  q(x) ” disebut implikasi logis.

Contoh

Jika x = 2 maka x – 2 = 0

D. Biimplikasi ( Implikasi dwiarah )

Diketahui pernyataan p dan q maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan ” pq ” atau ” pq ” yang dibaca :

(3)

p

q

~p

~p  q

~p  q

B

S

B

S

B

S

...

..

...

1. p jika dan hanya jika q

2. jika p maka q dan jika q maka p disimbolkan ” (pq) (q  p) ” 3. p syarat perlu dan cukup bagi q

4. q syarat perlu dan cukup bagi p Tabel kebenaran untuk ” p 

q ” adalah

P Q pq

B B S S B S B S B S S B Biimplikasi dalam bentuk p(x)  q(x)

Biimplikasi p(x)  q(x) akan bernilai benar jika himpunan kalimat terbuka p(x) dan q(x) adalah sama.

Contoh

Jika x = 1 maka 3x + 5 = 8 dan jika 3x + 5 = 8 maka x = 1 Biimplikasi logis

Biimplikasi logis p(x)  q(x) disebut biimplikasi logis jika nilai x sehingga p(x) benar maka q(x) juga benar dan sebaliknya

Contoh

x  3 jika dan hanya jika 2x + 1  7

LEMBAR KEGIATAN SISWA ( PORTOFOLIO ). Lengkapilah titik – titik berikut!

1. Tentukan nilai x agar pernyataan beikut benar !

a) 3_{log x = 4 atau}

9 1 9

.

32 2 

b) cos₂ 0 dan 2 sin x = 1 , 0 < x < 900

c) jika

x x

cos 1

sec  maka _x2 _ _x_ ₂_₀

d) 36 kelipatan dari 3 jika dan hanya jika 0

6 2 1    x x

e) sin2_{x – cos}2_{x = - 1 syarat prlu untuk tan x = 1 , 180}0_{< x < 270}0

jawab a) karena 9 1 9 .

32 2  ( salah ), maka 3_{log x = 4 harus benar. Agar benar}



...



... ...

 x

b) Agar benar 2 sin x = 1 ( harus benar ). Sin x = ...

x = ...

c) Karena

x x

cos 1

sec  ( benar ) maka x2_{– x – 2}__{0 harus benar}

Agar benar x2_{– x – 2}_₀

( x ...)( x ...)  0 jadi ...

d) Karena 36 kelipatan dari 3 benar maka 0

6 2 1    x x harus ...

Agar ... , 0

6 2 1    x x

Harga nol : x = ... atau x = ... Jadi ...

e) Karena sin2_{x – cos}2_{x = - 1 adalah ... , tan x = 1 harus ...}

Agar ………. Tan x = 1 maka x ………

2. Lengkapilah tabel berikut a)

(4)

p

q

~q

p ~ q

p ~ q

B

S

...

S

...

..

...

p

q

~q

~q  p

~q  p (~qp)~q

B

S

B

S

B

S

…

S

…

p

q

~p

~q

~p q

~p~q

(~pq)(~p~q)

B

S

B

S

B

S

...

p

q

r

~q

p~q

qr

(p~q)(qr)

B

S

B

…

S

…

S

…

B

…

b)

c)

d)

e)

3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut

a) 2_{log 8 = 3 atau 3 bilangan komposit}

b) jika sin2_{x + cos}2_{x = 1 maka sin 2}__{= - 1}

c) 8x – 1 _{= 4 , x = 5/3 dan} ₄₈_₄ ₃

d) log a + log b = log ab jika dan hanya jika ( 2_{log 3 )(}3_{log2 ) = 1}

e) 5 bilangan prima syarat cukup bagi 5 bilangan ganjil. Jawab

a) p  q ( B ) jika salah satu benar p : 2_{log 8 =}2_{log 2}..._{= ... jadi ...}

b) p : sin2_{x + cos}2_{x = 1 adalah pernyataan ………..}

q : sin 2 = sin ( ….)o_{= …… pernyataan ………..}

jadi p  q adalah …………..

c) p : 8x14

 

23 x12.... 2........ 2.... ....... x... ( …)

q : 48  (...)(....) ... ... ( …. )

jadi pernyataan p  q = ………

d) p : log a + log b = log ab ( ...)

q :( 2_{log 3 )(}3_{log 2 ) =}...._{log ... = ...( ... )}

jadi pq ( ... )

e) p : 5 bilangan prima ( ...) q : 5 bilangan ganjil ( ... ) jadi p syarat cukup bagi q ( ... )

E. Tugas

(5)

p

q

~ p

~p  q

B

S

B

S

B

S

1. Buatlah lima contoh kalimat yang merupakan pernyataan dan tiga contoh kalimat yang bukan pernyataan.

2. Buatlah masing – masing sebuah kalimat majemuk yang menggunakan operasi kongjungsi , disjungsi, implikasi dan biimplikasi kemudian tentukan nilai kebenarannya!

UJI MATERI 1

A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a, b , c , d atau e di depan jawaban yang tepat.

1 Kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali ...

a) Matahari terbit dari barat b) Bunga melati berwarna putih c) Log 10 = 2

d) Kamu sangat hebat. e) Ngawi berada di jawa

2 Diketahui pernyataan p,q,r dengan p(B) ,q(S) dan r(B), pernyataan majemuk

berikut benar kecuali ... a) ( p  q )  r

b) ( ~ p  q )  r c) ( p  r ) q d) ( ~ p  q ) r e) ( ~ r  p ) ~ q

3 diberikan empat pernyataan p, q , r dan s jika pernyataan p q , q  r dan r 

s adalah salah maka pernyataan berikut benar kecuali ... a) ~s

b) ~p c) ~p ~ q d) p  q e) ~ s  ~ p

4 agar pernyataan berikut bernilai salah ” jika 2_{log a +}2_{log b =}2_{log ab maka x}2

+ 3x – 4 ≤ 0 ” nilai x adalah ... a) – 4 ≤ x ≤ 1

b) x ≤ - 4 atau x  1 c) x < - 4 atau x > 1 d) – 4 < x < 1 e) x < - 1 atau x > 4

5 jika p(B), ~ q (B) dan ~ r (S) maka pernyataan berikut yang bernilai benar

adalah .

a) ( p  q )  r b) ( p  ~ q

c) p  ( q  r ) d) p  ( q  r ) e) p  ( ~ q  ~r ) 6

Nilai kebenaran dari kolom ke 4 adalah .... a. BBSB

b. BBBS c. BSBB d. SBSB e. SBBB

7 Diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah , maka :

1. ~ p  q 2. ~ p  ~ q 3. q  p 4. ~ q  p

Pernyataan di atas yang benar adalah ... a) 1,2 dan 3

b) 1 dan 3

(6)

p

q

~ q

p  ~ q

B

S

B

S

B

S

p

q

pq

p  (pq)

B

S

B

S

B

S

c) 2 dan 4 d) 4 saja

e) semua benar

8 Agar pernyataan berikut bernilai benar ” 2 bilangan komposit atau x2_{– 2x – 3}

= 0 ” maka nilai x = .... a) 3 atau – 2

b) – 3 atau 2 c) 3 atau 2 d) 1 atau – 2 e) 3 atau – 1

9 jika pernyataan p benar, q salah dan s benar, maka pernyataan berikut yang

bernilai benar adalah ... a) ( p  q )  s

b) (~ p  q )  s c) ( p  q )  s d) p  ( q  ~ s ) e) ( q  s )  ~ p

10 Negasi dari pernyataan ” semua siswa SMA tidak suka belajar ” adalah ... a) semua siswa SMA suka belajar

b) ada siswa SMA tidak suka belajar c) Tidak semua siswa SMA suka belajar d) Ada siswa SMA suka belajar

e) Tidak ada siswa SMA suka belajar

11 Jika pernyataan p(B) , q(B) dan r(S) maka pernyataan (1) ( p  q ) r

(2) ( p  ~q ) ~ r (3) (r  p ) ~ q (4) ( q  r )  p yang bernilai benar adalah ... a) 1 , 2 dan 3

b) 1 dan 3 c) 2 dan 4 d) 4 saja e) semua benar

12 jawaban kolom terakhir dari tabel dibawah ini adalah ...

a) SBSB b) SBBS c) SBSS d) BBBB e) SBBB

13 Agar pernyataan berikut ” sin 1

2

3 __ _dan3_{log ( x + 5 ) = 2 ” bernilai benar,}

nilai x = ... a) 9 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 14

Nilai kebenaran pada kolom terakhir adalah .... a) SSBB

b) BSSS

(7)

p

q

~ p

….

B

S

B

S

B

S

B

S

p

q

~ p

~ p  q

( ~ p  q )  p

B

S

...

..

...

p

q

~q

p ~ q

q ( p ~ q )

B

S

...

..

...

p

q

r

q  r

p ( q r )

B

S

...

....

...

..

...

....

c) SSBS d) SBSB e) SBBB

15 Kalimat untuk kolom terakhir pada tabel di bawah adalah ....

a) p  q b) ~ p  q c) ~ p  ~ q d) ~ q  p e) q  ~ p

B . Jawablah soal – soal berikut dengan benar!

1 Diketahui pernyataan p(B), ~q(B) dan r(S) tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut :

a) ( p  q ) ~ r b) ~ p ( q  r ) c) ~r ( p  q ) d) ( q  r )  p

e) ( ~ q  p )( r  q ) f) ( p  ~ q )  r

2 Diketahui ketiga pernyataan berikut bernilai benar p  ~ q , q  r dan r  s. Jika p bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran dari

a) q b) r c) s d) ~ r  s

3 Tentukan nilai x agar pernyataan berikut benar !

a) 2_{log 8 = 3 dan}x_{log 5 = 1}

b) jika 25 bilangan kuadrat maka 2x2_{– x – 1 = 0}

c) 6 adalah faktor dari 86 atau 2 sin x = 1 , 0 ≤ x ≤ 

d) sin₂ 0 jika dan hanya jika 2_{log 32 = x}

e) jika log 100 = 2 maka 2_log 2_{log x = 2}

4 Lengkapilah tabel berikut :

a)

b)

c)

(8)

p

q

r

qr

p ( q  r )

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

...

..

...

p

q

~ p

~ q

q  ~ p

p  ~ q

(q~p)(p~q)

B

S

d)

e)

5 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !

a) Sin  = 0 atau sin2_{x – cos}2_{x = 1}

b) Jika 5 bilangan komposit maka 5 bilangan ganjil c) 15 kelipatan 5 jika dan hanya jika 15 bilangan prima d) cos₂ 1 dan log 10 = 1

e) jika log 1 = 0 maka log 0,1

III PERNYATAAN MAJEMUK.

A. Pengertian

Pernyataan majemuk adalah yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal ( komponen ) yang dipakai dengan menggunakan kata hubung logika.

Contoh ~ p  q ( p  q )  r

B. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen – komponen selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh

Perhatikan tabel berikut !

p q ~ p ~ p  q p  q

B B S S

B S B S

S S B B

B S B B

Kolom 3 dan 4 bernilai sama sehingga ( ~ p  q ) ekuivalen dengan p  q

yang ditulis ( ~ p  q )  p  q Sifat – sifat operasi dalam logika

1. Komutatif : p  q  q  p

p  q  q  p

2. Assosiatif : p  ( q  r )  ( p  q )  r p ( q  r )  ( p  q )  r

(9)

3. Distributif : p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) p ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )

4. De Morgan : ~ ( p  q )  ~ p  ~ q

~ ( p  q )  ~ p  ~ q

5. Ingkaran rangkap : ~ ( ~ p )  p

6. Idempoten : p  p  p

p  p  p

7. Identitas : p  B  B

p  S  p p  B  p p  S  S

8. Kesetaraan : ( ~ p  q )  p  q

p  q  ( p  q )( q  p )

9. Komplemen : p  ~ p  B

p  ~ p  S 10. Tautologi

Sebuah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran

Contoh

( p  q )  p selalu bernilai B 11. Kontradiksi

Sebuah kalimat yang benilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran misalnya ~ p  ~ ( p  q )

C. Ingkaran / negasi Konjungsi , Disjungsi , Implikasi dan Biimplikasi. 1. ~ ( p  q )  ~ p  ~ q

2. ~ ( p  q )  ~ p  ~ q 3. ~ ( p  q ) p  ~ q

4. ~ ( p q )  ( p  ~ q )( q  ~ p )

IV HUBUNGAN KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI.

Jika diketahui implikasi p  q maka :

1. Konvers : q  p

2. Invers : ~ p  ~ q

3. Kontraposisi : ~ q 

~ p

p q p q q  p ~ p  ~ q ~ q  ~ p

B B S S

B S B S

B S B B

B B S B

B S B B Dari di atas disimpulkan bahwa

p  q  ~ q  ~ p ~ p  ~ q  q  p contoh

1. tentukan negasi dari invers implikasi ” jika ibu pergi ke pasar maka adik menangis”

jawab

invers ” Jika ibu tidak pergi ke pasar maka adik menangis ” Negasinya ” Ibu tidak pergi ke pasar dan adik tidak menangis ” 2. Tentukan kontraposisi dari konvers implikasi ” p ( q  ~ r ) ”

Jawab

Konvers ( q  ~ r ) p

Kontraposisi dari konversnya ~ p  ( ~ q  r )

Ternyata kontraposisi dari konvers implikasi sama dengan invers dari implikasi tersebut

V PERNYATAAN BERKUANTOR.

A. Kuantor universal ( umum )

(10)

p

q

~ q  p

~ q  ( ~ q  p )

B

S

p

q

~ q  p

~ q  ( ~ q  p )

B

S

Kata yang digunakan : semua , setiap , seluruhnya Simbol yang dipakai ” Ax ” atau ” x ” dibaca ” setiap x ”

Contoh semua siswa SMA berseragam OSIS B. Kuantor eksistensial ( khusus )

Kata yang digunakan : ada , beberapa , sebagian , terdapat Simbol yang dipakai ” Ex “ atau “ x “ dibaca “ ada x “

Contoh ada bilangan prima yang genap C. Negasi pernyataan berkuantor.

1. Diketahui pernyataan p : ” x P(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat P(x) ”

maka ~ p : Ex ~P(x) dibaca ” ada x yang tidak berlaku sifat P(x) ”

2. Diketahui pernyataan q : ”Ex Q(x) ” dibaca ” ada x berlaku sifat Q(x) ” maka ~ q : ” Ax ~Q(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat bukan Q(x) ”

Contoh

p : semua warga menginginkan pemimpin yang tidak korupsi ~ p : ada warga yang menginginkan pemimpin yang korupsi q : Beberapa bilangan ganjil habis dibagi 3

~ q : semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 3

LEMBAR PORTOPOLIO

1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi a) Jika bulan bersinar terang maka langit cerah sekali b) ( p  q ) r

c) cos3₂ 0,5 atau nilai maksimum y = cos ax adalah 1 d) ~ p  q

jawab

a) konvers invers kontraposisi

b) konvers r ( p  q ) invers

kontraposisi

c) diubah dulu menjadi : jika cos3₂ 0,5 maka ... konvers

invers kontraposisi

d) diubah dulu menjadi : ~ p  q  .... ... konvers

invers kontraposisi

2. Tentukan nilai dari pernyataan majemuk berikut ! a) q  ~ p

b) ~ q  ( ~ q  p ) c) ( p  q )  ~ p d) ( p  ~ r )  q jawab

a) karena ada 2 pernyataan maka tabelnya terdiri 4 baris

p q ~ p q  ~ p

B B S S

B S B S

b)

c)

(11)

p

q

r

B

S

B

...

..

B

..

S

B

S

..

p

q

p  q

q  ( p  q )

B

S

p

q

~ p

p  q

(p  q ) ~ p

(( p  q )  ~ p ) q

B

S

p

q

p q

( p  q ) p

B

S

p

q

( ~ p  q )

( p  q ) ( ~ p  q )

B

S

d) Karena ada 3 pernyataan maka tabelnya terdiri 8 baris

3. Tunjukkan pernyataan majemuk berikut, apakah merupakan tautologi , kontradiksi atau bukan keduanya.

a) q  ( p  q )

b) (( p  q )  ~ p ) q c) ( p  q ) p

d) ( p  q ) ( ~ p  q ) jawab

a) q  ( p  q ) cara 1

dengan sifat – sifat operasi logika q  ( p  q )  ~ p  ( p  q )

 ( ~ p  p )  ...

 B  ...

 .... cara 2

dengan tabel kebenaran

Karena kolom terakhir bernilai ... semua maka tautologi b) (( p  q )  ~ p ) q

c) ( p  q ) p

d) ( p  q ) ( ~ p  q ) dengan tabel kebenaran

(12)

4. Tentukan negasi dari pernyataan

a) Jika semua bilangan prima ganjil maka 2 bukan bilangan prima b) Gajah tidak punya taring dan kucing mengeong

c) Bulan bersinar di malam hari atau 4 faktor dari 24 d) ( ~ p  q ) r

e) p  q jawab

a) Negasi dari p  q adalah ...

Jadi negasi pernyataan di atas adalah .... b) ~ ( p  q ) = ....

jadi negasinya ... c) ~ ( p  q )  ...

jadi negasinya

d) ~ (( ~ p  q ) r ) = ... e) ~ (p  q ) = ...

UJI MATERI 2

A. Berilah tanda silang pada huruf a , b , c , d atau e pada jawaban yang benar ! 1. Negasi dari pernyataan p  ~ q adalah ..

a) p  q b) ~ p  ~ q c) ~ p  q d) p  ~q e) p  q

2. Ingkaran dari pernyataan ” semua siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos ”

a) Tidak ada siswa SMA 1 teladan suka membolos b) Ada siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos c) Semua siswa SMA 1 teladan suka membolos d) Ada siswa SMA 1 teladan suka membolos e) Semua siswa SMA 1 teladan rajin belajar 3. invers dari konvers implikasi ( ~ p  q )  r adalah ...

a) ( p ~q ) ~ r b) r  ( ~ p  q ) c) ~ r  ( ~ p  ~ q ) d) ~ r  ( p  ~ q ) e) ~ r  ( ~ p  ~ q )

4. Bentuk p ( q ~ p ) ekuivalen dengan : 1. ( ~ q  p )  ~ p

2. ~ p  ( q  ~ p ) 3. ~ p  q

4. ~ p  ( ~ q  p )

pernyataan yang benar adalah ... a) 1 , 2 dan 3

b) 1 dan 3 c) 2 dan 4 d) 4

e) semua salah

5. Negasi kontraposisi implikasi : jika rina sakit maka semua orang susah adalah ...

a) Jika rina tidak sakit maka semua orang tidak susah b) Jika rina sakit maka ada orang tidak susah

c) Ada orang susah dan rina tidak sakit d) Ada orang tidak susah dan rina sakit e) Semua orang tidak susah atau rina sakit 6. konvers dari implikasi ” ( ~ p  q ) ~q ” adalah ..

a) ( p `~ q )  q

(13)

b) ( p `~ q )  ~ q c) ~(~ p  q )  q d) ~ p  q

e) p  q

7. pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ... a) ~ ( p  ~q )  ~ p  q

b) ~( p  ~ q )p  ~ q c) ( p q) ~ q  p  ~ q

d) ( p  ~ q )  p  p  ( p  ~ q) e) ~p  q  p  q

8. pernyataan majemuk berikut yang merupakan kontradiksi adalah ... a) ( p  q ) ( p  q )

b) p  ( ~ p  q ) c) ( p  q )  p d) q  ( p  ~ q ) e) ( p  ~ q )  p

9. negasi dari invers implikasi ” ~ p  q ” adalah ... a) ~ p  ~ q

b) ~ p  q c) ~ p  q d) p  q e) p  q

10.Negasi dari pernyataan “ jika Nafila tidak rajin belajar maka semua temannya tidak senang “ adalah ....

a) Jika nafila belajar maka semua temannya senang

b) Jika nafila tidak rajin belajar maka ada temannya senang c) Nafila rajin belajar dan ada temannya senang

d) Nafila tidak rajin belajar dan ada temannya senang e) Nafila tidak rajin belajar atau ada temannya senang

11.pernyataan ( p  q )  ( ~ q  p ) memiliki nilai kebenaran yang sama dengan ...

a) BBSS b) BBBS c) SSBB d) Tautologi e) Kontradiksi

12.invers dari ” ( p  ~ q )  ~ p ” adalah ... a) ( p  ~ q )  p

b) ( p  ~ q )  p c) ~ p  q

d) p  ~ q e) p  ~ q

13.negasi dari ~ p  ( ~ q  r ) adalah ... a) p  ( q  ~ r )

b) p  ( q  ~ r ) c) ~ p  ( q  ~ r ) d) ~ p  ( q  ~ r ) e) p  ( ~ q  r )

14.diketahui tiga pernyataan berikut bernilai benar p  q , q  ~ r dan ~ r  s. Jika nilai kebenaran p benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ...

a) r  s b) p  r c) r  p d) r  ~ q e) q  r

15.konvers dari pernyaaan p  q adalah ... a) ~ p  q

b) p  q c) ~ p  q

(14)

d) q  ~ p e) ~ q  ~ p

16.pernyataan berikut bernilai benar kecuali ... a) ~ ( p  q )  ~ p  ~ q

b) ( p  q )  ~ q  p  ~ q c) ~ ( p  ~ q )  ~ p  ~ q d) ~ ( p  q )  p  ~ q e) ~ ( p  ~ q )  p  q

17.jika pernyataan p(B ) dan p  ~ q ( S ) maka pernyataan berikut : 1. p  q

2. ~ p  ~q

3. ~ p  ~ q

4. ( p  q )  ~ p yang benar adalah ...

a) 1 , 2 , 3 b) 1 , 3 c) 2 , 4 d) 4

e) semua benar

18.Pernyataan p  ( ~ p  q ) ekuivalen dengan ... a) ~ p  ( ~ p  q )

b) p  ( p  ~ q ) c) ~ p ( ~ p  q) d) ~ p  ( ~ p  q ) e) p  ( ~ p  q )

19.Pernytaan berikut selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran kecuali ... a) P  ~ p

b) ~ ( p  ~ p ) c) ( p  q )  p d) ~ p  ~ ( p  q ) e) ( p  ~ q )  ~ q

20.Negasi dari pernyataan ” jika Khurin pandai menyanyi maka semua orang senang” adalah ...

a) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka semua orang tidak senang b) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka ada orang yang senang c) Jika semua orang tidak senang maka khusin pandai menyanyi d) Khurin pandai menyanyi dan ada orang tidak senang

e) Khurin tidak pandai menyanyi dan semua orang senang

B. Jawablah soal berikut dengan benar !

1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari a) ( p  q )  ~ r

b) ~ p  q

c) jika semua siswa naik kelas maka ada guru yang tidak senang d) Harminingsih suka menyanyi atau semua orang senang

2. Manakah yang merupakan tautologi, kontradiksi atau bukan keduanya dari kalimat majemuk berikut ?

a) ( ~ p  q )  ~ p b) ( p  q )  ( ~ p  q ) c) ( p  ~ q )  q d) p  ( ~ q  p ) e) ( p  q )  ~ q

f) ( p  ~ q )  ( q  ~ p ) g) ~ p  ~ ( p  q )

3. Tentukan negasi dari invers implikasi berikut :

a) Jika 4 + 3 > 5 maka semua bilangan prima adalah ganjil b) ( p  ~ q )  ~ p

c) Taufik menang lomba jika ia bersemangat tinggi 4. Buktikan ekuivalen berikut !

a) ( p  q )  r  ( p  r )  ( q  r ) b) p  ( q  r )  ( p  q )  r

(15)

c) ( p  q )  ( p  r )  p  ( ~ q r ) d) ( p  ~ q )  ~ p  p  q

e) p  ~ q  ( p  ~ q )  ( q  p )

5. tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut : a) ( ~ p  q )  ( p  q )

b) p  ( ~ q  p ) c) ( ~ p  q )  r

d) ( p  ~ q )  ( ~ r  q )

VI PENARIKAN KESIMPULAN.

Penarikan kesimpulan dai suatu argumen didasarkan dari beberapa pernyataan yang benar ( disebut premis ) sehingga didapatkan suatu kesimpulan ( konklusi ) yang benar.

Suatu argumen dikatakan sah ( valid ) jika dapat dibuktikan konjungsi dari premis –premisnya adalah benar atau merupakan sebuah tautologi.

Cara sederhana untuk membukikan suatu argumen itu sah ( valid ) atau tidak adalah dengan bantuan tabel kebenaran

Contoh

Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut valid Luthfi tidak rajin belajar atau ia naik kelas

Luthfi rajin belajar

Kesimpulan luthfi naik kelas Jawab

Misal p = luthfi rajin belajar

q = luthfi naik kelas

sehingga kalimat di atas dapat disimbolkan

premis 1 : ~ p  q ( B )

premis 2 : p ( B )

konklusi : q ( B )

Perhatikan tabel kebenaran ( ( ~ p  q )  p ) 

q berikut !

p q ~ p ( ~ p  q ) ( ~ p  q )  p ( ( ~ p  q )  p )  q

B B S S

B S B S

S S B B

B S B B

B S S S

B B B B

Dari tabel terlihat bahwa ( (~ p  q ) p ) q merupakan tautologi jadi kesimpulan dari di atas valid

Berbagai pola penarikan kesimpulan A Modus ponen

Premis 1 : p  q ( B )

Premis 2 : p ( B )

Konklusi : q ( B )

B Modus tollens.

Premis 2 : ~ q ( B )

Konklusi : ~ p ( B )

C Silogisma.

Premis 2 : q  r ( B )

Konklusi : p  r ( B )

D Silogisme disjungtif

Premis 1 : p  q ( B )

Premis 2 : ~ q ( B )

Konklusi : p ( B )

E Kombinasi dua argumen modus ponens ( dilema konstruktif ).

Premis 1 : (pq)(rs)( B )

Premis 2 : p  r ( B )

Konklusi : q  s ( B )

F Kombinasi dua argumen modus tollens ( dilema destruktif ).

Premis 1 : (pq)(rs)( B )

(16)

p

q

~ p

~p  q p q

q

((~pq)(pq))q

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Premis 2 : ~ q  ~ s ( B )

Konklusi : ~ p  ~ r ( B )

G Konjungsi.

Premis 1 : p ( B )

Premis 2 : q ( B )

Konklusi : p  q ( B )

H Addition ( penambahan )

Premis 1 : p ( B )

Konklusi : p  q ( B )

Catatan

Untuk membuktikan suatu argumen dari beberapa premis, bentuklah ke pola-pola penarikan kesimpulan diatas, jika ternyata sulit gunakan tabel kebenaran Contoh

Apakah penarikan kesimpulan berikut valid ?

Premis 1 : ~ p  q ( B )

Konklusi : q ( B )

Bukti dengan tabel

Pada tabel diatas pada kolom terakhir menunjukkan tautologi karena nilai kebenaran B semua sehingga argumen valid

VII BUKTI LANGSUNG DAN TAK LANGSUNG.

Sebuah rumus / dalil / teorema dapat dibuktikan kebenarannya dengan mengambil kesimpulan yang didasarkan pada pernyataan – pernyataan yang benar ( misalnya definisi , aksioma atau sifat ) dan dari dalil – dalil lain yang telah dibuktikan benar.

A Bukti langsung.

Cara penarikan kesimpulan dengan silogisma , modus ponen , modus tollen dan lain – lain seperti di atas merupakan contoh – contoh bukti langsung Contoh

Buktikan bahwa untuk semua a dan b  R maka berlaku ( a – b )2_{= a}2_{– 2ab +}

b2

Jawab

( a – b )2_{= ( a – b )( a – b )} _{( definisi perpangkatan )}

= a(a - b) – b( a – b ) ( distributif perkalian )

= a2_{– ab – ba + b}2 _{( distributif perkalian )}

= a2_{– ab – ab + b}2 _{( komutatif pekalian )}

= a2_{– 2ab + b}2 _{( definisi penjumlahan )}

B Bukti tak langsung.

Jika akan membuktikan kebenaran sebuah pernyataan tunggal p maka dilakukan dengan cara kontradiksi yaitu dengan membuktikan ~ p salah. Karena ~ p salah maka p haruslah benar.

Contoh

Dengan bukti tak langsung buktikan kebenarannya : 1. 3 adalah bilangan irrasional

jawab

misal p : 3 adalah bilangan irasional

~ p: 3 bukan bilangan irasional

~ p bernilai salah jadi pastilah p benar

2. jika n genap maka n2_{genap n}__{bilangan bulat.}

Jawab

Misal p : n genap q : n2_genap

jadi p  q ( implikasi )

(17)

akan dibuktikan kontraposisinya ~ q  ~ p benar

yaitu jika n2_{bukan bilangan genap maka n bukan bilangan genap}

jelas bahwa ~ q  ~ p benar jadi p  q benar

VIII BUKTI DALAM MATEMATIKA DENGAN INDUKSI MATEMATIKA

1. pengertian induksi matematika.

Induksi matematika adalah proses pembuktian teorema / pernyataan dari kasus-kasus khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli.

2. Langkah – langkah pembuktian dengan induksi matematika

a) Dibuktikan apakah benar teorema tersebut berlaku untuk n = 1 ( bilangan asli terkecil ) pada kasus tertentu pengambilan n tidak harus 1

b) Dianggap teorema tersebut benar untuk n = k , k  A

c) Dibuktikan apakah teorema tersebut benar untuk n =k+ 1 jika benar maka disimpulkan teorema tersebut berlaku untuk semua nilai n.

Contoh

Dengan induksi matematika buktikan bahwa untuk nA berlaku 2 + 4 + 6 + ..

+ 2n = n2_{+ n}

Jawab

 untuk n = 1

ruas kiri 2n = 2.1 = 2

ruas kanan n2_{+ n = 1 + 1 = 2 jadi benar}

 untuk n = k dianggap benar, sehingga berlaku 2 + 4 + 6 + ...+ 2k = k2_+k

 akan dibuktikan apakah benar untuk n = k + 1

2 + 4 + 6 + ....+ 2k + 2 ( k + 1 ) = k2_{+ k + 2 ( k + 1 )}

= k2_{+ k + 2k + 2}

= k2_{+ 3k + 2}

= k2_{+ 2k + 1 + k + 1}

= ( k + 1 )2_{+ ( k + 1 )}

jadi terbukti benar untuk 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 ( k+1 ) = ( k + 1)2₊

( k+ 1 )

LEMBAR PORTOFOLIO

A isilah titik – titik di bawah dengan jawaban yang benar!

1 Dari premis-premis berikut, tentukan kesimpulannya

a) p ~ q ( B )

q ( B )

...

b) ~ p  q  ... kesimpulan ... ~ r  ~ q  ... ...

p p

... ...

c) ( p  q )  r  ... kesimpulan ... ~ s  ~ r  ... ... s  t  ... ...

2 dengan induksi matematika buktikan bahwa yang berikut berlaku untuk semua x bilangan asli

a) 3 + 6 + 9 + 12 + ...+ 3n = ½ n (3 + 3n ) b) 34n_{– 1 habis dibagi 80}

c) 2n_{> n}

jawab

a) 3 + 6 + 9 + ....+ 3n = ½ n ( 3 + 3n ) * untuk n = 1

ruas kiri 3n = 3 . 1 = 3

ruas kanan ½ n ( 3 + 3n ) = ½ ( 3 + ...) = ... jadi benar

* dianggap benar untuk n = k

jadi 3 + 6 + 9 + ...+ ...= ½ k ( ... ) * apakah benar untuk n = k + 1

3 + 6 + 9 + ...+ 3k + 3( k+1 ) = ½ ( k + 1 )( ... + ...) ruas kiri

3 + 6 + 9 + ...+ 3k + 3( k+1 )

(18)

½ k ( ... + ...) + 3 ( k+1 ) ... ...

... = ruas kanan

b) 34n_{– 1 habis dibagi 80}

 untuk n = 1 maka 34_{– 1 = 80 habis dibagi 80}

 dianggap benar untuk n = k jadi 34k_{– 1 habis ...}

 akan ditunjukkan apakah benar untuk n = k + 1

34( k + 1 )_{– 1 apakah habis dibagi 80 ?}

3 ..._{– 1} _{= ( 3} ... _{- 1 ) - ...}

... = ... jadi ...

c) 2n_{> n}

 untuk n = 1 

 dianggap benar untuk n = k jadi 2k_{> k}

 apakah benar untuk n = k + 1  2 k + 1 _{> ...}

 bukti 2k + 1 _{= 2} ....₂..._{> 2k karena 2}k_{> k}

2....₂...._{> k + k}__{k + 1 karena k}_₁

jadi ...

3 Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut :

a) ~ q  ~ p ( B ) b) p  q ( B ) c) p  q ( B )

~ q  r ( B ) q ( B ) ~ p ( B )

p  r ( B )  p ( B )  ~ q ( B ) jawab

a. ~ q  ~ p  p  ... silogisme ~ q  r  .... ...

sehingga p  r ( B ) b.

dengan tabel

p q p  q ( p  q )  q p q  p

B B S S

B B

b) p  q ( B ) ~ p ( B )  ~ q ( B )

akan dibuktikan apakah ( p  q ) ( ~ p ) ~ q merupakan tautologi ( p  q )  ~ p  ~q

( p  ~ p )  ( q  ... )  ~ q ...  ( q  ... )  ~ q ...  ~ q ~ ( ... )  ~ q ...  ~ q ... jadi ...

UJI MATERI 3

A Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b , c , d atau e di depan jawaban yang benar!

1 Diketahui 3 premis seperti berikut

1) p  q ( B ) 2) ~ q  r ( B )

3) ~ r ( B )

kesipulan dari 3 premis di atas adalah ... a) p

b) p  ~ r c) q d) ~ p e) ~ q

(19)

2 Diketahui premis – premis ” jika amerika marah maka dunia geger, ternyata amerika marah ” maka kesimpulan yang dapat diambil adalah ..

a) Dunia marah b) Dunia tidak geger

c) Jika dunia geger maka amerika marah d) Dunia geger

e) Dunia tidak marah

3 Argumen berikut yang tidak sah adalah ...

a) p  q p q b) ~ p  q

~ p ~ p c) p  q

q p d) p  q

q  ~ r p  ~ r e) p  q

q  r ~ p  r

4 jika premis 1 : ( p  q )  ( r s ) ( B ) jika premis 2 : p  r ( B ) maka konklusinya adalah ....

a) p  q b) p  r c) q  s d) q  s e) q  r

5 Diketahui premis 1 : ~ p  q ( B ) Premis 2 : ~ p  r ( B ) Premis 3 : ~ ( ~ s  r ) ( B ) Konklusinya adalah …

a) ~ s b) ~ q  ~ s c) q  s d) q  ~ s e) ~ q  s

6 diketahui premis – premis berikut :

premis 1 : ( p  q )  ( r  s ) ( B )

premis 2 : p  r ( B )

premis 3 : ~ q ( B )

kesimpulan dari ketiga premis di atas adalah ... a) p  q

b) ~ p c) ~ s d) s

e) p  ~ s

7 diketahui penarikan kesimpulan :

premis 1 : ~ p  ( q  r )

premis 2 : q  ~ r

konklusi : p

akan benar jika , jika

1. q diganti ~ q pada premis 2 2. ~ r diganti r pada premis 2 3. p diganti ~ p pada konklusi 4. ~ diganti p pada premis 1 jawaban yang tepat adalah ...

a. 1 , 2 , 3

(20)

b. 1 , 3 c. 2 , 4 d. 4 e. semua

8 Ali jago tinju atau ia jago gulat, ternyata ali tidak jago tinju. Kesimpulan dari

pernyataan di atas adalah ... a) Ali tidak jago tinju

b) Ali jago tinju c) Ali tidak jago gulat d) Ali jago gulat

e) Ali jago tinju dan gulat

9 Diketahui beberapa premis berikut :

(1) Jika ifah terlambat masuk sekolah maka pak guru marah (2) Pak guru tidak marah atau semua siswa takut

(3) Ada siswa tidak takut

Kesimpulan dari premis (1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) adalah ... a. ifah terlambat masuk sekolah

b. jika ifah terlambat masuk sekolah maka semua siswa takut c. pak guru marah

d. ifah tidak terlambat masuk sekolah e. ifah tidak takut

10 diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut :

1 p  q 2 p  q 3 p  q

~ q p  r p

~ p q  r q

yang sah adalah ... a) 1 saja

b) 1 dan 2 c) 1 dan 3 d) 2 dan 3 e) 1 , 2 dan 3

B Jawablah soal – soal di bawah ini dengan singkat dan benar !

1 Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut

a) p  q ( B )

~ q ( B )

p ( B )

b) p  q ( B )

q ( B )

p ( B )

c) p  q ( B )

~ q  r ( B )

~ r ( B )

~ p ( B )

d) q  ~ p ( B )

q ( B )

p ( B )

e) ~ p  q ( B )

r  ~ q ( B ) r  ~ s ( B ) p  ~ s ( B )

f) p  q ( B )

q  r ( B )

p  r ( B )

2 dengan induksi matematika buktikan pernyataan berikut !

a) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ...+ n . ( n + 1 ) = 1/3 n ( n + 1 )(n + 2 ) n  A

b) n n n A

k

k _ _ _





 ₍₄ ₁_), 4

3 1

1 1

c)





 _ _

 n

k

n

n _n _n _A

n 1

1 _.₂ _, 2

). 1 (

d) k2_{+ 1 habis dibagi 2 , k}__{bilangan ganjil}

(21)

e) n ( n + 1 ) habis dibagi 2 . n  A

f) 1.2.3 + 2 .3 . 4 + 3.4.5 + ...+ n (n+1)(n+2)= ₄1 n ( n+1 )( n + 2 )( n + 3 )

g)





   n

k

n n n 1

2 ₂ 1

2

3 dengan menggunakan bukti langsung, buktikan kebenaran tiap pernyataan berikut:

a) untuk semua a dan b  R maka ( a – b )2_{= a}2_{– 2ab + b}2

b) jika 3x – 2 = 1 maka x2_{+ 4x – 5 = 0 , x}__R

c) untuk semua sudut x maka a + cos x > 0

4 Tentukan kesimpulan dari premis – premis berikut

a) p  ~ q ( B )

q ( B )

b) p ~ q ( B )

p  r ( B )

~ r ( B )

c) ( q  ~ r )  p ( B )

~ p ( B )

d) p  ~ q ( B )

q  r ( B )

s  ~ r ( B )

5 dengan menggunakan bukti tak langsung atau langsung , buktikan tiap pernyataan berikut !

a) ( cos x + sin x ) 2_{= 1 + 2 sin x cos x}

b) jika n2_{bilangan bulat genap maka n bilangan genap}

c) buktikan bahwa 2 adalah irrasional

d) jika x2_{+ 3x – 4 < 0 maka – 4 < x < 1}