BAB 2
PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONAL
1.
Pendahuluan
Dilihat dari bentuk struktur kalimatnya, suatu pernyataan akan memiliki bentuk susunan
minimal terdiri dari subjek diikuti predikat kemudian dapat diikuti objeknya.
Contoh 1:
Dewi belajar.
Badu adalah seorang mahasiswa yang pandai pada mata kuliah Bahasa Indonesia.
Kalimat pertama hanya memiliki subjek dan predikat, sedangkan kalimat kedua memiliki
subjek, predikat, objek dan keterangan. Pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar
atau salah disebut proposisi sehingga logika yang memproses penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi – proposisi disebut logika proposisional. Proposisi dapat digabungkan dengan perangkai – perangkai, sehingga disebut proposisi majemuk. Proposisi majemuk terdiri dari banyak proposisi atomic. Proposisi atomic adalah proposisi yang tidak dapat
dipecah – pecah menjadi beberapa proposisi lagi.
Contoh 2:
Kadang-kadang suatu proposisi atomik dapat dijumpai hanya terdiri dari satu kata.
Belajarlah!
Kata tersebut dapat diubah menjadi kalimat lengkap tanpa mengubah artinya sehingga
menjadi:
Anda harus belajar dengan rajin
Contoh 3:
Disini akan dijumpai dua buah proposisi
Belajarlah, atau anda gagal Jadi, kalimat lengkapnya adalah:
Proposisi yang pertama “Anda harus belajar dengan rajin” dan proposisi kedua “Anda akan gagal”, keduanya dirankai dengan perangkai “atau”. Jadi sekarang proposisi dibentuk dari
suatu kalimat yang lengkap atau dari suatu pernyataan yang lengkap.
Contoh 4:
Persoalan lain yang mungkin terjadi adalah suatu kalimat yang telah memiliki perangkai pada
subjeknya.
Ayah dan ibu pergi ke Solo.
Kalimat tersebut harus dipisah pada perangkainya untuk dijadikan proposisi, tetapi tetap
memiliki arti yang sama. Untuk itu, kalimat tersebut harus diubah seperti berikut:
Ayah pergi ke Solo dan Ibu pergi ke Solo.
Kalimat tersebut menjadi dua proposisi yang dirangkai dengan perangkai “dan”, walaupun
dapat saja ditafsirkan ayah dan ibu pergi ke Solo tidak dilakukan secara bersama-sama.
2.
Argumen-argumen
Argumen adalah kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis diikuti oleh kesimpulan
yang selaras dengan premis-premisnya. Ada suatu argumen yang dikatakan secara logis kuat,
tapi ada juga yang secara logis tidak kuat.
Contoh argumen yang secara logis kuat:
a. Jika anda belajar rajin, maka anda lulus ujian.
b. Jika anda lulus ujian, maka anda senang.
c. Dengan demikian, jika anda belajar rajin, maka anda senang.
Pernyataan (a) dan (b) merupakan premis dari argument, sedangkan pernyataan (c)
merupakan kesimpulan yang mengikuti / berasal dari premis – premisnya. Jika premis
bernilai benar, maka kesimpulan juga harus bernilai benar sehingga argument tersebut
disebut argumen yang logis kuat.
Untuk memanipulasi logika, Aristoteles telah mengembangkan suatu pola untuk argumen
yang bernilai benar atau salah. Setiap huruf akan menggantikan satu proposisi , termasuk
semua premis dan kesimpulan, baik berbentuk majemuk ataupun tunggal.
A = Anda belajar rajin.
B = Anda lulus ujian.
C = Anda senang.
Selanjutnya, bentuk argumen tersebut menjadi:
1) Jika A, maka B
2) Jika B, maka C
3) Jika A, maka C
3.
Proposisi-proposisi
Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan
kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika
tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran.
Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut
juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
a. Yogyakarta adalah kota pelajar
b. 2 + 2 = 4
c. 13 adalah bilangan ganjil
d. Soekarno adalah alumnus UGM.
e. 1 + 1 = 2
f. 8 akar kuadrat dari 8 + 8
g. Ada monyet di bulan
h. Hari ini adalah hari Rabu
i. Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n adalah bilangan genap
j. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Tidak semua kalimat berupa proposisi
a. Dimanakah letak pulau bali?
b. Pandaikah dia?
c. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
d. Isilah gelas tersebut dengan air!
e. x + y = 8
f. x > 3
Kalimat a, b dan c jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak
dapat ditentukan kebenarannya. Kalimat d jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat
perintah . Kalimat e dan f juga bukan proposisi karena nilai kebenaran kalimat tergantung
dari harga x dan y.
Penalaran Deduktif
Penalaran yang didasarkan premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik kesimpulan.
contoh:
a. Semua mahasiswa baru mengikuti ospek.
b. Wulandari adalah mahasiswa baru.
c. Dengan demikian, Wulandari mengikut ospek.
Penalaran Induktif
Penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik
kesimpulan yang bersifat umum.
contoh:
premis 1 : ayam 1 berkembang biak dengan telur
premis 2 : ayam 2 berkembang biak dengan telur
premis 3 : ayam 3 berkembang biak dengan telur
...
...
...
premis 50 : ayam 50 berkembang biak dengan telur
Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (salah/benar)
Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat, disebut pernyataan
primer/tunggal/atom. Sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata
hubung kalimat, disebut pernyataan majemuk.
Preposisi
Kalimat yang benar atau salah, tetapi tidak keduanya
Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa o atom / kalimat sederhana
o kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika.
Kalimat sederhana bisa berupa o simbol konstanta : true dan false
o simbol variabel proposisi dengan huruf kecil : p, q, r, s, p1, q1, …
Literial adalah atom atau negasinya.
Contoh:
p : 13 adalah bilangan ganjil
q : Soekarno adalah alumni UGM
r : Ayam adalah binatang unggas
s : 2+2=4
Latihan soal:
1. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi, dan tentukan nilai
kebenarannya T atau F?
a. Semarang adalah ibukota Propinsi Jawa Tengah.
b. Bandung adalah ibukota Propinsi Jawa Timur.
j. x + y = y + z jika x = z
2. Apa bentuk kebalikan (negasi) dari proposisi berikut?
a. Hari ini adalah hari Minggu
b. Tidak ada musim hujan di Indonesia
c. 2 + 3 = 5
d. Musim kemarau di Indonesia adalah panas dan kering
e. Tidak ada Candi Borobudur di Daerah Istimewa Yogyakarta
3. Manakah dari pernyataan berikut yang berupa propoSisi atomik dan yang berupa proposisi
majemuk?
a. Setiap orang Indonesia kaya raya
b. Bowo kaya raya, demikian juga Dewi
c. Bowo dan Dewi sama-sama kaya raya
d. Badu kaya raya dan memiliki banyak harta
