Logika Proposisi 1: Motivasi – Pohon Urai (Parse Tree)

(1)

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

Agustus-September 2018

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 _{Discrete Mathematics and Its Applications} (Bab 1), Edisi 7, 2012,olehK. H. Rosen (acuan utama).

2 Discrete Mathematics with Applications (Bab 2), Edisi 4, 2010,olehS. S. Epp.

3 Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems (Bab 1), Edisi 2, 2004,oleh M. Huth dan M. Ryan.

4 _{Mathematical Logic for Computer Science} (Bab 2, 3, 4), Edisi 2, 2000,oleh M. Ben-Ari.

5 Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.

6 _Slide kuliah Logika Matematika di Telkom University oleh A. Rakhmatsyah, B. Purnama.

(3)

2 _{Pengertian Proposisi}

3 _{Beberapa Contoh Proposisi}

4 _{Operator Logika dan Proposisi Majemuk}

5 _{Presedens Operator Logika}

6 _{Formula Logika Proposisi (Materi Suplemen)}

(4)

Motivasi

Bahasan

1 _Motivasi

(5)

computer science dansoftware engineering.

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

Seorangsoftware engineer diminta oleh manajernya untuk membuat suatu sistem informasi dengan spesi…kasi berikut:

(6)

Motivasi

Motivasi: Mengapa Perlu Belajar Logika Proposisi?

Logika proposisi merupakan salah satu dasar ilmu yang diperlukan dalam

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

(7)

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

1 Ketika_{system software} di-_upgrade,_user tidak dapat mengakses_{…le system};

2 Jikauser dapat mengakses…le system, makauser dapat menyimpan…le baru;

(8)

Motivasi

Motivasi: Mengapa Perlu Belajar Logika Proposisi?

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

(9)

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

3 Jika_user tidak dapat menyimpan _…le baru, maka_{system software} tidak sedang di-upgrade.

Apakah sistem informasi dengan spesi…kasi di atas dapat dibuat?

(10)

Motivasi

Motivasi: Mengapa Perlu Belajar Logika Proposisi?

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

3 Jika_user tidak dapat menyimpan _…le baru, maka_{system software} tidak sedang di-upgrade.

Apakah sistem informasi dengan spesi…kasi di atas dapat dibuat? Dengan perkataan lain,apakah spesi…kasi sistem di atas merupakan spesi…kasi yang konsisten?

(11)

1 _Motivasi

(12)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(13)

De…nisi Proposisi

Proposisi merupakankalimat deklaratif ataupernyataanyang memiliki nilai kebenaranbenaratausalah, tetapitidak keduanya.

Logika proposisi: suatu sistem logika yang didasarkan atas proposisi. Logika proposisi juga diistilahkan dengan kalkulus proposisi (propositional calculus).

(14)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(15)

De…nisi Proposisi

Proposisi sederhana biasanya ditulis dengan hurufp; q; r; s; p1; p2; : : : ;

(16)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

Proposisi sederhana biasanya ditulis dengan hurufp; q; r; s; p1; p2; : : : ; q1; q2; : : :.

(17)

De…nisi Proposisi

Nilai kebenaran yang mungkin untuk suatu proposisi:

benar, dapat pula ditulis: B,

(18)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(19)

De…nisi Proposisi

benar, dapat pula ditulis: B,T,true,

(20)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(21)

De…nisi Proposisi

benar, dapat pula ditulis: B,T,true,>,1

(22)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(23)

De…nisi Proposisi

benar, dapat pula ditulis: B,T,true,>,1 salah, dapat pula ditulis: S,F,

(24)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(25)

De…nisi Proposisi

benar, dapat pula ditulis: B,T,true,>,1 salah, dapat pula ditulis: S,F,false,?,

(26)

Pengertian Proposisi

De…nisi Proposisi

(27)

1 _Motivasi

(28)

Beberapa Contoh Proposisi

23

(29)

23

<32

Ini suatu pernyataan?

(30)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

(31)

23

<32

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi?

(32)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

(33)

23

<32

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi? Ya. Nilai kebenarannya?

(34)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

(35)

23

<32

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi? Ya. Nilai kebenarannya? Benar.

34

43

<10

(36)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

34

43

<10

(37)

23

<32

34

43

<10

Ini suatu pernyataan? Ya.

(38)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

34

43

<10

(39)

23

<32

34

43

<10

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi? Ya.

(40)

Beberapa Contoh Proposisi

23

<32

34

43

<10

(41)

23

<32

34

43

<10

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi? Ya.

Nilai kebenarannya? Salah(karena34

43

= 17).

(42)

Beberapa Contoh Proposisi

(43)

x+ 3 2018

(44)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

(45)

x+ 3 2018

Ini suatu pernyataan? Ya. Ini suatu proposisi?

(46)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

(47)

x+ 3 2018

Ini suatu proposisi? Bukan,karena nilai kebenarannya bergantung pada nilai x(pernyataan benar untukx 2015dan salah untuk nilai xyang lain).

(48)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

(49)

x+ 3 2018

Ini suatu proposisi? Bukan,karena nilai kebenarannya bergantung pada nilai x(pernyataan benar untukx 2015dan salah untuk nilai xyang lain). Pernyataan seperti ini dinamakan sebagaikalimat terbuka.

x+ 2x 3x= 0

(50)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

(51)

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

(52)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

(53)

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

Ini suatu proposisi? Ya,karenaberapapun nilaix,pernyataan

x+ 2x 3x= 0selalu benar.

(54)

Beberapa Contoh Proposisi

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

(55)

x+ 3 2018

x+ 2x 3x= 0

x+ 2x 3x= 0selalu benar. Nilai kebenarannya? Benar.

(56)

Beberapa Contoh Proposisi

(57)

“Pelajari materi kuliah Logika Matematika dengan baik!”

(58)

Beberapa Contoh Proposisi

(59)

Ini suatu pernyataan? Bukan,ini suatu permintaan. Ini suatu proposisi?

(60)

Beberapa Contoh Proposisi

Ini suatu pernyataan? Bukan,ini suatu permintaan.

(61)

Ini suatu proposisi? Bukan,karena ini bukan suatu pernyataan. Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.

Latihan

Periksa apakah kalimat-kalimat di bawah ini merupakan proposisi atau bukan.

(62)

Beberapa Contoh Proposisi

Latihan

(63)

Latihan

1 “Apakah Anda sudah mengerti apa itu proposisi?”

2 “Saya sudah mengerti de…nisi proposisi.”

(64)

Beberapa Contoh Proposisi

Latihan

(65)

Latihan

3 “Fus Ro Dah!”

4 “Bla bla bla, $#@&%!”

(66)

Operator Logika dan Proposisi Majemuk

Bahasan

1 _Motivasi

(67)

Sejauh ini kita telah melihat contoh-contoh proposisi sederhana,

(68)

Operator Logika dan Proposisi Majemuk

(69)

Sejauh ini kita telah melihat contoh-contoh proposisi sederhana, yang juga disebut sebagai proposisiatom.

Ketika kita diberikan beberapa proposisi atom, kita dapat membentuk proposisi baru menggunakanoperator (penghubung) logika. Proposisi yang dihasilkan selanjutnya disebut sebagaiproposisi majemuk(compound proposition).

(70)

Operator Logika dan Proposisi Majemuk

Berdasarkan banyaknya proposisi atom yang dioperasikan, ada dua jenis operator logika dasar, yaitu

(71)

1 operatoruner (unary): hanya memerlukan satu _operand: negasi (:atau );

2 operatorbiner (binary): memerlukan duaoperand:

(72)

Operator Logika dan Proposisi Majemuk

1 operatoruner (unary): hanya memerlukan satu _operand: negasi (:atau );

(73)

Negasi/

Negation

Apabilapmerupakan suatu proposisi, maka:p(atau p) juga merupakan proposisi yang dinamakan sebagainegasidari p.

(74)

Negasi/

Negation

Negasi/

Negation

(75)

Negasi/

Negation

:pdibacatidak pataubukan patau notp

:pmemiliki makna/ nilai kebenaran yang berlawanan denganp

(76)

Negasi/

Negation

Negasi/

Negation

(77)

Negasi/

Negation

:pbernilai benar(T)tepat ketikapbernilaisalah

Tabel kebenaran untuk negasi

p :p

T

(78)

Negasi/

Negation

Negasi/

Negation

p :p

T F

(79)

Negasi/

Negation

p :p

T F

F T

(80)

Beberapa Contoh Negasi

Latihan

Tuliskan (dalam bahasa Indonesia) negasi dari proposisi-proposisi berikut:

1 “Saya seorang mahasiswa”

2 “Bulan ini bukan bulan Agustus”

3 “Alex tidak pernah tidak datang tepat waktu”

4 210_<102

5 34 43

(81)

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

1 “tidak benar bahwa saya seorang mahasiswa” atau

(82)

Beberapa Contoh Negasi

Latihan

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

(83)

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

1 “tidak benar bahwa saya seorang mahasiswa” atau “saya bukan seorang mahasiswa”

2 “tidak benar bahwa bulan ini bukan bulan Agustus” atau

(84)

Beberapa Contoh Negasi

Latihan

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

(85)

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

2 “tidak benar bahwa bulan ini bukan bulan Agustus” atau “bulan ini bulan Agustus”

3 “tidak benar bahwa Alex tidak pernah tidak datang tepat waktu” atau

(86)

Beberapa Contoh Negasi

Latihan

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

(87)

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

3 “tidak benar bahwa Alex tidak pernah tidak datang tepat waktu” atau “Alex pernah tidak datang tepat waktu”

4 210 102

(88)

Beberapa Contoh Negasi

Latihan

4 210_<102

5 34 43

Solusi:

(89)

Contoh

Tentukan negasi dari proposisi-proposisi berikut dalam bahasa Indonesia.

1 Bill lebih kaya daripada Steve.

2 Steve lebih tua daripada Bill.

Solusi:

(90)

Negasi dan Antonim

Contoh

Solusi:

(91)

Contoh

Solusi:

1 “Tidak benar bahwa Bill lebih kaya daripada Steve”atau dengan perkataan lain“Bill sama kayanya dengan Steve atau Bill lebih miskin daripada Steve”.

(92)

Negasi dan Antonim

Contoh

Solusi:

(93)

Contoh

Solusi:

2 “Tidak benar bahwa Steve lebih tua daripada Bill”atau dengan perkataan lain“Steve sama tuanya dengan Bill atau Steve lebih muda daripada Bill”.

(94)

Konjungsi/

Conjunction

Konjungsi/

Conjunction

(95)

Apabilapdanqmerupakan proposisi, makap^qjuga merupakan proposisi yang dinamakan sebagaikonjungsi daripdanq.

p^qdibacapdanq ataupand q

(96)

Konjungsi/

Conjunction

Konjungsi/

Conjunction

(97)

p^qbernilaibenar(T)tepat ketikapdanqkeduanyabernilaibenar,selain itu konjungsi daripdanq bernilaisalah

Tabel kebenaran untuk konjungsi

p q p^q

T T

(98)

Konjungsi/

Conjunction

Konjungsi/

Conjunction

p q p^q

T T T

(99)

p q p^q

T T T

T F F

F T

(100)

Konjungsi/

Conjunction

Konjungsi/

Conjunction

p q p^q

T T T

(101)

p q p^q

T T T

T F F

F T F

F F F

(102)

Beberapa Contoh Konjungsi

Latihan

Diberikan proposisi-proposisi berikut:

p:Matahari terbit dari timur q: 2 3 32

r: Kucing adalah reptil s: 24

>42

Tuliskan (dalam bahasa Indonesia) dan tentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi majemuk berikut: (1)p^ :q; (2):r^ :s.

(103)

>42

Solusi:

1 _p_{^ :q}:

(104)

Beberapa Contoh Konjungsi

Latihan

>42

Solusi:

(105)

>42

Solusi:

1 _p_{^ :q}:Matahari terbit dari timur_dan2 3_>32

Karena nilai kebenaran dari “Matahari terbit dari timur” adalah

(106)

Solusi:

Karena nilai kebenaran dari “Matahari terbit dari timur” adalahbenardan nilai kebenaran dari2 3>32

(107)

>42

Solusi:

adalahsalah, maka nilai kebenaran dari p^ :qadalah

(108)

Solusi:

(109)

>42

Solusi:

adalahsalah, maka nilai kebenaran dari p^ :qadalahsalah.

2 _:r_{^ :s}:

(110)

Solusi:

(111)

>42

Solusi:

2 _:r_{^ :s}:Kucing bukan reptil_dan24 42

Karena nilai kebenaran dari “Kucing bukan reptil” adalah

(112)

Solusi:

(113)

>42

Solusi:

Karena nilai kebenaran dari “Kucing bukan reptil” adalahbenardan nilai kebenaran dari24

42

adalahbenar, maka nilai kebenaran dari:r^ :s adalah

(114)

Solusi:

(115)

Apabilapdanqmerupakan proposisi, makap_qjuga merupakan proposisi yang dinamakan sebagaidisjungsi daripdanq.

(116)

Disjungsi/

Disjunction

Disjungsi/

Disjunction

(117)

p_qdibacapatauqatau por q

p_qbernilai salah(F)tepat ketikapdanqkeduanyabernilai salah,selain itu disjungsi daripdanq bernilaibenar

(118)

Disjungsi/

Disjunction

Disjungsi/

Disjunction

Tabel kebenaran untuk disjungsi

p q p_q

(119)

p q p_q

T T T

T F

(120)

Disjungsi/

Disjunction

Disjungsi/

Disjunction

p q p_q

T T T

T F T

(121)

p q p_q

T T T

T F T

F T T

F F

(122)

Disjungsi/

Disjunction

Disjungsi/

Disjunction

p q p_q

T T T

T F T

F T T

(123)

p q p_q

T T T

T F T

F T T

F F F

Perhatikan bahwap_qjuga bernilaibenarketikapdanqkeduanya bernilai

benar.

(124)

Beberapa Contoh Disjungsi

Latihan

>42

Tuliskan (dalam bahasa Indonesia) dan tentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi majemuk berikut: (1):p_ :q; (2)r_ :s.

(125)

>42

Solusi:

1 _:p_{_ :q}:

(126)

Beberapa Contoh Disjungsi

Latihan

>42

Solusi:

(127)

>42

Solusi:

1 _:p_{_ :q}:Matahari tidak terbit dari timur_atau2 3_>32

Karena nilai kebenaran dari “Matahari tidak terbit dari timur” adalah

(128)

Solusi:

Karena nilai kebenaran dari “Matahari tidak terbit dari timur” adalahsalah

dan nilai kebenaran dari2 3>32

(129)

>42

Solusi:

adalahsalah,maka nilai kebenaran dari :p_ :qadalah

(130)

Solusi:

(131)

>42

Solusi:

adalahsalah,maka nilai kebenaran dari :p_ :qadalahsalah.

2 _r_{_ :s}:Kucing adalah reptil_atau

(132)

Solusi:

2 _r_{_ :s}:Kucing adalah reptil_atau24 42

(133)

>42

Solusi:

Karena nilai kebenaran dari “Kucing adalah reptil” adalahsalahdan nilai kebenaran dari24

42

adalah

(134)

Solusi:

(135)

>42

Solusi:

Karena nilai kebenaran dari “Kucing adalah reptil” adalahsalahdan nilai kebenaran dari24

42

adalahbenar, maka nilai kebenaran darir_ :s adalahbenar.

(136)

Disjungsi Eksklusif (

XOR

)

Disjungsi Eksklusif (

Exclusive-OR – XOR

)

(137)

Apabilapdanqmerupakan proposisi, makap qjuga merupakan proposisi yang dinamakan sebagaidisjungsi eksklusif/exclusive or (xor)dari pdanq.

p qdibacapxor q

(138)

Disjungsi Eksklusif (

XOR

)

Disjungsi Eksklusif (

Exclusive-OR – XOR

)

p qdibacapxor q

(139)

p qdibacapxor q

p qbernilaibenar(T)tepat ketikapdanqmemilikinilai kebenaran yang berbeda

Tabel kebenaran untukxor

p q p q

T T

(140)

Disjungsi Eksklusif (

XOR

)

Disjungsi Eksklusif (

Exclusive-OR – XOR

)

p qdibacapxor q

p q p q

T T F

(141)

p qdibacapxor q

p q p q

T T F

T F T

F T

(142)

Disjungsi Eksklusif (

XOR

)

Disjungsi Eksklusif (

Exclusive-OR – XOR

)

p qdibacapxor q

p q p q

T T F

(143)

p qdibacapxor q

p q p q

T T F

T F T

F T T

F F F

(144)

Beberapa Contoh Disjungsi Eksklusif

Latihan

p:Alex adalah mahasiswa FIF q: Alex adalah mahasiswa FTE r: 2adalah bilangan genap s: 2adalah bilangan prima

Tuliskan (dalam bahasa Indonesia) proposisi majemuk: (1)p q; (2) r sdan tentukan nilai kebenaran untukr s.

(145)

Solusi:

1 p q:

(146)

Beberapa Contoh Disjungsi Eksklusif

Latihan

Solusi:

(147)

Solusi:

1 p q:“Alex adalah mahasiswa FIF tetapi bukan mahasiswa FTE atau Alex bukan mahasiswa FIF tetapi mahasiswa FTE”;atau dapat juga“Alex adalah mahasiswa FIF atau mahasiswa FTE, tetapi tidak keduanya”.

(148)

Beberapa Contoh Disjungsi Eksklusif

Latihan

Solusi:

(149)

Solusi:

2 _r _s: “2adalah bilangan genap tetapi bukan bilangan prima atau2 bukan bilangan genap tetapi bilangan prima”;

(150)

Beberapa Contoh Disjungsi Eksklusif

Latihan

Solusi:

(151)

Solusi:

2 _r _s: “2adalah bilangan genap tetapi bukan bilangan prima atau2 bukan bilangan genap tetapi bilangan prima”;atau dapat juga“2adalah bilangan genap atau bilangan prima, tetapi tidak keduanya”. Nilai kebenaran darir danskeduanya benar, akibatnya nilai kebenaran darir sadalah

(152)

Beberapa Contoh Disjungsi Eksklusif

Latihan

Solusi:

(153)

Implikasi

Apabilapdanqmerupakan proposisi, makap!qjuga merupakan proposisi yang dinamakan sebagaiimplikasijikap, makaq. Di sini,pdisebut sebagai hipotesis/ anteseden/ premis danqdisebut sebagai konklusi/ konsekuensi.

p!qdibaca:

(154)

Implikasi

p!qdibaca:

(155)

Implikasi

p!qdibaca:

jikap, makaq(if p,thenq) qjikap

pmengakibatkanq qdiakibatkan olehp

(156)

Implikasi

p!qdibaca:

(157)

Implikasi

p!qdibaca:

apabila p, makaq qapabilap

padalah syarat cukup untukq qadalah syarat perlu untukp

(158)

p!qbernilaisalah (F)apabila pbenartetapiqsalah,selain itup!q

bernilaibenar

Tabel kebenaran untuk implikasi

p q p!q

(159)

bernilaibenar

p q p!q

T T T

T F

(160)

bernilaibenar

p q p!q

T T T

T F F

(161)

bernilaibenar

p q p!q

T T T

T F F

F T T

F F

(162)

bernilaibenar

p q p!q

T T T

T F F

F T T

(163)

Contoh

Tinjau proposisi-proposisi berikut:

p:“nilai ujian Logika Matematika saya selalu100” q:“nilai akhir Logika Matematika saya adalah A” p!q:

(164)

Contoh Implikasi

Contoh

p:“nilai ujian Logika Matematika saya selalu100” q:“nilai akhir Logika Matematika saya adalah A”

(165)

Contoh

p!q: “apabila nilai ujian Logika Matematika saya selalu100, maka nilai akhir Logika Matematika saya adalah A”

p!qbernilaisalah (F)ketika

(166)

Contoh Implikasi

Contoh

(167)

Contoh

p!qbernilaisalah (F)ketika nilai ujian Logika Matematika saya selalu100, tetapi nilai akhir Logika Matematika saya bukan A”

p!qtetapbernilai benar(T)ketika: