CATATAN KULI AH
Pe r t e m u a n I X : Opt im a si Pe r t u m bu h a n
da n Aplik a sin ya
A. Fu n gsi Ek spon e n sia l
• Bent uk Fungsi Eksponesial: y = f( x) = bx
di m ana basis b > 1, x adalah eksponen, f( x)∈ ℜ
Not e: I st ilah eksponen ( x) berart i pangkat t erhadap sebuah basis bilangan ( b) .
Bat asan Nilai b:
• b ≠ 1 dan b ≠ 0, karena
f( x) = 1x = 1; f( x) = 0x = 0, Æ konst an
• 0 < b < 1 dikecualikan, karena dapat dinyat akan dalam eksponen negat if
• b< 0 dikecualikan, karena berakibat banyak nilai f( x) dengan x adalah bilangan real m enj adi bilangan im aj iner, cont ohnya ( - b)½ • Basis yang populer adalah: e dan 10
• Secara um um fungsi eksponensial dirum uskan dalam bent uk: y = variabe t ak bebas
b = basis
t = variabel bebas
a = fakt or skala vert ikal / akt or ‘penekan’ c = fakt or skala horisont al / fakt or ‘pem erluas’
Grafiknya:
ct
ab
• e adalah basis yang disukai ( preferred base)
Grafik for f( x) = ex
• Karakt erist ik fungsi eksponensial nat ural:
B. Fu n gsi Ek spon e n sia l N a t u r a l da n M a sa la h Pe r t u m bu h a n asimptot
t jangkauan
• Unt uk m encari bilangan e dapat digunakan aproksim asi dengan
bilangan ke
konvergen Maclaurin
Jadi int repret asi dari y = Aert : adalah nilai dari sebuah invest asi $A pada suku bunga nom inal r, dan dim aj em ukkan secara
kont inu dalam t kali at as periode invest asi ( # hari, bulan, at au t ahun) ( pert um buhan dalam invest asi)
• Laj u Pert um buhan Sesaat
• Pert um buhan Kont inu vs. Pert um buhan Diskrit Misal proses pem aj em ukan bunga diskrit sbb: A, A( 1+ i) , A( 1+ i)2, A( 1+ i)3 …
Dengan A= invest asi awal, i= suku bunga. Misalkan b= ( 1+ i) , m aka secara um um dapat diringkas m enj adi A( b)t, dengan t = j um lah periode.
Selanj ut nya dapat dicari bilangan r sehingga didapat : ( 1+ i) = b= er
Sehingga kit a dapat m engubah bent uk diskrit dalam bent uk kont inu dengan fungsi eksponen nat ural :
A( 1+ i)t = A( b)t = A( e)rt
Akibat nya kasus diskrit dapat dianalisis m elalui kasus kont inu. I ni m enj elaskan m engapa fungsi eksponensial nat ural digunakan secara luas dalam analisis ekonom i
• Pendiskont oan dan Pert um buhan Negat if
Nilai m asa depan ( fut ure) :
V=f( pem aj em ukan dari nilai sekarang ( present ) A)
(
)
(
dV dt)
dengan V
Hubungan /
(r) L
/
dt dV V Perubahan Tingkat
(V) value Future
: didapat maka
kontinu, secara
an dimajemukk yang
(r) bunga suku pada
(t) waktu atas
(A) awal investasi dari
depan masa
di nilai adalah V
Misal
r dt dV V
n Pertumbuha aju
V dt dV r
rV rAe dt
dV Ae V
rt rt
= =
= =
=
rt
Nilai Sekarang ( present )
A= f( pendiskont oan nilai m asa depan ( fut ure) V)
Di sini ert disebut fakt or diskont o ( discount fact or) dan –r disebut
fakt or penuaan ( rat e of decay)
C. Loga r it m a
• Art i Logarit m a
Y= bt ⇔ t = Logb( Y) Cont oh:
• Log Biasa dan Log Nat ural
Eksponen biasa : ⇔ Log biasa :
Eksponen nat ural : ⇔ Log biasa :
• At uran- at uran logarit m a
o Hasil kali :
o Hasil Bagi :
o Pangkat :
o Pem balikan Basis ( Base inversion) :
o Konversi Basis ( Base conversion) :
rt
Ve
A
=
−3 001 . 0
2 01 . 0
1 1 . 0
0 1
1 10
3 1000
10 10 10 10 10 10
− =
− =
− = =
= =
Log Log Log Log Log Log
t
b
Y = t =logbY
t
e
Y = t=logeY =lnY
( )
uv lnu lnvln = +
( )
u/v lnu lnvln = −
) ( ln lnua =a u
b b e
e b
ln 1 log
1
log = =
(
)(
)
) ln(
) ln( log
log log
b u u
e
u b e
D . Fu n gsi Loga r it m a
⇔
• Karakt erist ik fungsi logarit m a: Monot on Naik Jika ln y1 = ln y2, m aka y1 = y2 dan
Jika ln y1 > ln y2, m aka y1 > y2 • Bent uk Grafik :
Not e : y= et ( biru) , y= 2t ( m erah- at as) , y= ln( t ) ( m erah) , sudut 450 ( hij au)
• Konversi Basis
Misal er = bc m aka ln er = ln bc r = ln bc = c ln b
sehingga: er = ec ln b dan y = Abct = Ae( c ln b) t = Aert
• Cont oh: Carilah pem aj em ukan kont inu dengan suku bunga
nom inal per t ahun r yang ekuivalen dengan pem aj em ukan diskrit dengan suku bunga i= 5% pert ahun [ dim aj em ukkan per
set engah t ahun ( sem iannually) ]
1.025 c
i 1 b 1, t 2, c .05, i 1, a
dimana = = = = = + =
= =abct aert
y
t
e
( ) ( ) 1.050625 % 94 . 4 025 . 1 ln 2 ln ln ln
misal
1 025 . 1 ln 2
ln = =
=
≈ =
= = =
e e
y
b c r
b c e r
b e
t b c c r
• Aplikasi
Kegunaan ut am a dari t ransform asi logarit m a dalam riset ekonom i adalah ket ika m engest im asi fungsi produksi at au
perkalian fungsi nonlinear lainnya. Transform asi fungsi produksi ke dalam fungsi logarit m a m em buat nya dapat diest im asi dengan m et ode regresi linier.
Misal Q = banyak out put , L = pegawai ( labor) dan K= capit al ( capit al input s) :
Fungsi Produksi
Diam bil t ransform asi logarit m anya m enj adi:
Di sini nilai α dan β diest im asi dengan regresi linier.
E. D e r iva t if Fu n gsi Ek spon e n sia l da n Fu n gsi Loga r it m a
• At uran fungsi Log
Derivat if dari fungsi log dengan basis e Biasa:
Um um :
• At uran fungsi Eksponensial
Derivat if dari fungsi eksponensial dengan basis e Biasa:
Um um :
β α
K AL Q=
K L
A
Q ln ln ln
ln = +α +β
t dt
t dln =1
( )
( )
( )
t ft f dt
t f
dln = ′
t t
e dt de dt dy
= =
t t
e dt de dt dy
• Kasus unt uk Basis b
Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis b
Fungsi eksponensial:
b
Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis e
Fungsi eksponensial:
t
Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis e
Eksponensial: Logart m a:
D . Opt im a si Ke t e pa t a n W a k t u ( Tim in g) • Masalah Penyim panan Anggur
Nilai sekarang ( Present value) : A( t ) = Ve- rt dan Pert um buhan nilai ( V) sebagai fungsi wakt u:
Maka nilai sekarang dari V dapat dinyat akan sebagai:
Transform asi Logarit m anya:
Dengan m endiferensiasi ke dua sisi didapat :
Karena A≠0, kondisi dA/ dt = 0
Dapat dipenuhi j ika dan hanya j ika :
2 2 1
2 1 * 2 1
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
= −
r t
r t
t * adalah wakt u penyim panan yang opt im um
• Masalah penebangan kayu
Misal nilai kayu ( yang t elah dit anam pada suat u lahan) m erupakan fungsi wakt u:
2 1
2 2 V= t = t
t
ke V =
rt t rt t
ke e
ke t
A( )= − = ½−
( )
(
)
(
t rt)
k
e rt t k
e k t
A t rt
− + =
− + =
+
= −
½ ½
ln
ln ln
ln ln
ln ½
r t A dt
dA = − −
2 1
2 1 1
0 2
1
0 2
1
2 1
2 1
= − =
= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
− −
r t dt dA
r t A dt dA
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− = A t− r dt
dA 21
Kem udian V diubah m enj adi nilai sekarangnya:
( )
rtVe−
= t A Didapat :
( )
t rte t
A =212 −
Transform asi Logarit m anya:
( )
t e t rtA =ln(2)t +ln( )−rt = ln(2)−
ln 12 12
Dengan m endiferensiasi ke dua sisi didapat :
( )
r t
dt dA A dt
t A d
− =
= −
2 ln 2 1 1
ln 12
Karena A≠0, kondisi dA/ dt = 0
r t
r t
A dt dA
− =
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −
= − −
2 ln 2 1 0 2
ln 2
1 12 12
Dapat dipenuhi j ika dan hanya j ika :
2 2
1 2
1
2 2 ln * 2 ln
2 2
ln 2 1
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =
= − −
r t
r t
t r
t * adalah wakt u penebangan yang opt im um
La t ih a n :
1. Jika nilai anggur berkem bang sesuai dengan fungsi 2 t
e
